\chapter{Dérivation et convexité}

\begin{exointro}{Lycée Carnot, Dijon}
Soit la fonction $\begin{array}[t]{ll@{~}l@{~}l}
f :~&\R_+ &\longrightarrow& \R\\
  & x &\longmapsto& 6x \sqrt{x} - 3x^2 - 2x.
\end{array}$
\begin{questions}
\item  
\begin{questions}
\item  Montrer que $f$ est dérivable sur $\R_+^*$, et calculer $f'$.
\item  Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et calculer $f'(0)$.
\item  Montrer que $f'$ est dérivable sur $\R_{+}^*$, mais pas en 0.
\par
Calculer $f''$.
\end{questions}
\item  
\begin{questions}
\item  Étudier le signe de $f''$ et dresser le tableau de variation de $f'$.
\item Déduire de la question précédente que l'équation $f'(x)=0$\linebreak possède deux solutions $\alpha$ et $\beta$ (avec $\alpha < \beta$).
\item  Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variation de $f$.
\item  En reprenant l'expression de $f'$ et en posant $X = \sqrt{x}$, trouver les valeurs exactes de $\alpha$ et $\beta$.
\end{questions}
\item La courbe représentative de $f$ admet-elle un ou plusieurs points\linebreak d'inflexion ?
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}

\section{Complément sur la dérivation}

\subsection{Définitions}
\enlargethispage*{4em}
\begin{defin}[dérivabilité en un point]
Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel appartenant à $I$. 

On dit que $f$ est \emph{dérivable} en $a$ si :
\[\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\text{ est une limite réelle finie }\ell.\]
\Par
Cette limite est appelé \textit{nombre dérivé} de $f$ en $a$, noté $f'(a)$.
\end{defin}

\begin{defin}[dérivabilité sur un intervalle]
On dit que $f$ est \textit{dérivable sur un intervalle} $I$ si $f$ est dérivable en tout point $a$ de $I$. La fonction $f'\,: x\mapsto f'(x)$ est alors appelée \emph{fonction dérivée de $f$ sur $I$}.
\end{defin}

\begin{Exemple}
soit $f(x)=\sqrt{x}$ définie sur $[0;+\infty[$. Alors, pour $x\in[0;+\infty[$ et $a>0$:
 
\[
\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}\textcolor{DR}{\times\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}.
\]

Ainsi,

\[
\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}.
\]

\Par

Cette limite existe pour tout $a > 0$ donc $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et :
\[
f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
\]
\end{Exemple}


\subsection{Dérivation des fonctions composées}

\begin{defin}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions telles que :
\begin{itemize}
\item $u$ est définie sur un ensemble $U$ et prend ses valeurs dans un ensemble $V$,
\item $v$ est définie pour tout $x$ de $V$.
\end{itemize}
On considère alors la fonction $f$ définie sur $U$ par :
\[
f(x) = v\big[ u(x) \big].
\]
$f$ est appelée une \textit{fonction composée}, et on note:
\[
f = v \circ u.
\]
\end{defin}

\begin{Exemple}
soient $u$ et $v$ les fonctions définies par:
\begin{itemize}
\item $v\;:\;\begin{aligned}[t]
[0 ; +\infty[ & \to \R_+\\
x & \mapsto \sqrt{x}
\end{aligned}$

\item $u\;:\;\begin{aligned}[t]
[-1 ; +\infty[ & \to [0;+\infty[\\
x & \mapsto x+1
\end{aligned}$
\end{itemize}
Alors,
\[
f(x) = (v \circ u)(x) = v\big[u(x)\big] = \sqrt{x+1}.
\]
\end{Exemple}
\newpage
\begin{thm}[théorème de dérivation des fonctions composées] 
Soit $f(x)=(v\circ u)(x)$, définie et dérivable sur un intervalle $I$. 

Alors, pour $x\in I$:
\[
f'(x)=u'(x) \times v'\big[u(x)\big].
\]
\end{thm}

On en déduit alors les propriétés suivantes:

\begin{props}
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
\Par 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\tabulartitle\hline
Fonction  & Dérivée & Condition\\
\hline
$\nep^u$ & $u'\nep^u$ & \diagbox[width=25mm,height=5mm,dir=SW]{\diagbox[width=25mm,height=5mm]{}{}}{} \\
\hline
$\sqrt{u}$ & $\dfrac{u'\strut}{2\sqrt{u}\strut}$ & $u(x)>0$ sur $I$\\
\hline
$u^n$ & $nu'u^{n-1}$\rule[-1mm]{0pt}{5mm} & $n\in\N^*$ \\
\hline
$\sin(u)$ & $u' \times \cos (u)$ & \diagbox[width=25mm,height=5mm,dir=SW]{\diagbox[width=25mm,height=5mm]{}{}}{} \\
\hline
$\cos(u)$ & $-u' \times \sin(u)$ & \diagbox[width=25mm,height=5mm,dir=SW]{\diagbox[width=25mm,height=5mm]{}{}}{} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{props}

\begin{Exemple}soit $f(x)=\nep^{x^2}$. 

On peut écrire $f(x)=\nep^{u(x)}$ avec $u(x)=x^2$ et $u'(x)=2x$.

Ainsi, $f'(x)=u'(x)\nep^{u(x)}=2x\nep^{x^2}$.
\end{Exemple}


\section{Convexité d'une fonction}

\subsection{Dérivée seconde}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, de dérivée $f'$. Si $f'$ est également dérivable sur $I$, la dérivée de $f'$ sur $I$, notée $f''$, est appelée \textit{dérivée seconde} de $f$.
\end{defin}

\begin{Exemple}
soit $f(x)=x^3$. Alors $f'(x)=3x^2$ et $f''(x)=\big(3x^2\big)' = 6x$.
\end{Exemple}

\subsection{Fonction concave, fonction convexe}

\begin{defins}
\begin{itemize}
\item On dit que $f$ est \textit{concave} sur un intervalle $I$ si $f''(x)<0$ sur $I$.

\item On dit que $f$ est \textit{convexe} sur un intervalle $I$ si $f''(x)>0$ sur $I$.
\end{itemize}
\end{defins}

\textit{Interprétation graphique :} 
\begin{itemize}
\item la courbe représentative d'une fonction \textit{convexe}  sur un intervalle $I$ sera toujours \textit{au-dessus} de ses tangentes;

\item la courbe représentative d'une fonction \textit{concave}  sur un intervalle $I$ sera toujours \textit{en dessous} de ses tangentes.
\end{itemize}

\Par

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{078_continuite-fig5a}
\Par
Fonction \textit{convexe} sur $[-3~;~2]$
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{078_continuite-fig5b}
\Par
Fonction \textit{concave} sur $[-3~;~2]$
\end{center}
\end{minipage}

\subsection{Point d'inflexion}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, et soit $a\in I$.

On dit que le point de coordonnées $\big(a~;~f(a)\big)$ est un \textit{point d'inflexion} de la courbe représentative de $f$ si $f''(x)$ s'annule en $a$ en  changeant de signe.
\end{defin}

Graphiquement, cela se traduit par un changement de convexité en $a$.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{078_continuite-fig6}
\end{center}
\newpage
\begin{Exemple}
soit $f(x)=x^3$. Alors, $f''(x)=6x$ et:
\begin{itemize}
\item $f''(x)<0$ sur $]-\infty~;~0[$;
\item $f''(x)>0$ sur $]0~;~+\infty[$;
\item $f''(x)=0$.
\end{itemize}
Donc le point de coordonnées $(0~;~f(0))$, c'est-à-dire l'origine du repère, est un point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{079_continuite-fig7}
\end{center}
\end{Exemple}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$ et on a, pour tout réel $x$ strictement positif :
\begin{align*}
f'(x) & = 6\sqrt{x}+6x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-3\times 2x-2\\
& = 9\sqrt{x}-6x-2.
\end{align*}

\item On revient à la définition : pour tout réel $x$ strictement positif,
\[
\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=6\sqrt{x}-3x-2\;,
\]
donc :
\[
\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}(6 \sqrt{x}-3x-2) =-2.
\]
On en déduit que la fonction $f$ est dérivable en $0$ et que \linebreak[4]$f'(0)=-2$.
\Break
\item La fonction $f'$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$, et, pour tout réel $x$ strictement positif,\linebreak[4]  $f''(x)=\dfrac{9}{2\sqrt{x}}-6$. D'autre part,
 \[
 \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f'(x)-f'(0)}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\frac{9}{\sqrt{x}}-6\right)=+\infty.
 \]
 Donc $f'$ n'est pas dérivable en $0$.
\end{questions}


\item
\begin{questions}
\item On a, pour tout réel $x$ strictement positif, $f''(x)=\dfrac{9-12\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$, donc $f''(x)$ est du signe de $9-12\sqrt{x}$ car $2\sqrt{x}>0$.
\begin{align*}
f''(x)>0 & \iff 9-12\sqrt{x}>0\\
& \iff 12\sqrt{x}<9\\
& \iff \sqrt{x}< \dfrac{3}{4}\\
& \iff x < \dfrac{9}{16}\text{ sur }]0~;~+\infty[*.
\end{align*}
De plus, 
\[
f'(x)=x\left(\dfrac{9\sqrt{x}}{x}-\dfrac{6x}{x}-\dfrac{2}{x}\right)=x\left(-6+\dfrac{9}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x}\right)
\]
et 
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-6+\dfrac{9}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x} \right)=-6\;,
\]
donc $\lim\limits_{x\to+\infty} f'(x)=-\infty$.

D'où le tableau :
\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x& 0 & &\frac{9}{16}& &+\infty\\
   \hline
f''(x) & \vline~\vline &+&0&-& \\
\hline
&&&\frac{11}{8}&&\\
f'(x)&&\nearrow&&\searrow&\\
&-2&&&&-\infty\\
\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\item La fonction $f'$ est continue sur $[0~;+\infty[$. De plus :
\begin{itemize}
\item $f'$ est strictement croissante sur $\left[0~;\dfrac{9}{16}\right]$ et :
 \[f'(0)<0<f'\left(\frac{9}{16}\right).\]
\BreakWithoutItem
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc un unique $\alpha \in \left[0~;\dfrac{9}{16}\right[$ tel
que $f'(\alpha)=0$.

\item $f'$ est strictement décroissante sur 
$\left[\dfrac{9}{16}~;+\infty\right[$ et 
\[f'\left(\frac{9}{16}\right)>0>\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x).\]
Il existe donc un unique $\beta \in
\left[\dfrac{9}{16}~;+\infty\right]$ tel que $f'(\beta)=0$.
\end{itemize}


\item Calculons la limite de $f$ en $+\infty$. 

Pour tout réel $x$ strictement positif,

\[
6x\sqrt{x}-3x^2-2x=x^2\left(-3+\dfrac{6}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x}\right).
\]
$\lim\limits_{x\to
+\infty}\left(-3+\dfrac{6}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x}\right)=-3$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}x^2=+\infty$ donc :

\hfill $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Finalement :
\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x& \hphantom{-}0 & &\alpha& &\beta&&+\infty\\
   \hline
f'(x)&-2&-&0&+&0&-&-\infty\\
\hline
& \hphantom{-}0&&&&f(\beta)&&\\
f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\
&&&f(\alpha)&&&&-\infty\\
\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\item Les réels $\alpha$ et $\beta$ sont les solutions de l'équation $9\sqrt{x}-6x-2=0$ (avec
$\alpha>0$ et $\beta>0$). Posons $X=\sqrt{x}$, et cherchons les solutions positives de l'équation  $6X^2-9X+2=0$. Ce sont :
\[X_1=\frac{9+\sqrt{33}}{12}\quad\text{et}\quad X_2=\frac{9-\sqrt{33}}{12}.\]

On a bien  $0<\dfrac{9-\sqrt{33}}{12}<\dfrac{9+\sqrt{33}}{12}$, donc :
\[\alpha=\left(\dfrac{9-\sqrt{33}}{12}\right)^2\quad\text{et}\quad \beta=\left(\dfrac{9+\sqrt{33}}{12}\right)^2.\]

\emph{Application numérique} : à $10^{-2}$ près, $\alpha\approx 0,07$ et $\beta\approx 1,51$.
\end{questions}
\Break
\item Nous avons vu à la question 2 (a) que $f''(x)$ s'annulait en $x=\dfrac{9}{16}$ en changeant de signe donc la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion en $\dfrac{9}{16}$.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{082_continuite-fig1}
\end{center}
\end{questions}
\end{solintro}

