\chapter{Fonctions sinus\\et cosinus}


\begin{exointro}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{fonctions sinus et cosinus}{https://media.prepamath.fr/ILTMch06exoIntro}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.3,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTMch06exoIntro}}}
\vspace*{-5mm}

L'observation de l'écran graphique d'une calculatrice laisse penser que, lorsque $x$ est un réel, $1-\dfrac{x^2}{2}\leqslant\cos{x}$.\\
On se propose de valider cette propriété en étudiant la fonction numérique définie par :
$$f(x)=\cos{x}-\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right).$$
\begin{questions}
\item Montrer que $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f'$ sur $\R$ puis en déduire le signe de la fonction $f'$.
\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ puis que, pour tout réel $x$, $1-\dfrac{x^2}{2}\leqslant\cos{x}.$
\item En admettant l'inégalité $\cos{x}\leqslant1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$  valable pour tout réel $x$, déterminer, si elle existe, la limite en 0 de $g(x)=\dfrac{1-\cos{x}}{x^2}$.
\end{questions}
\end{exointro}


\section{La fonction sinus}

\subsection{Dérivée}

\begin{prop}
La fonction sinus est dérivable sur $\R$ et pour tout nombre réel $x$, $\sin' x = \cos x$.
\end{prop}


\subsection{\'Etude sur $I = [0~;\pi]$ }

On a $\sin 'x = \cos x$. 

\Par

Or, sur $I$, $\cos x > 0$ si $x < \dfrac{\pi}{2}$, $\cos x = 0$ si $x=\dfrac{\pi}{2}$ et $\cos x < 0$ si $x > \dfrac{\pi}{2}$.

\Par

D'où le tableau de variation sur $[0~;\pi]$ :  

\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x& 0 & &\frac{\pi}{2} & & \pi \\\hline
\sin' & &+&0&-& \\\hline
&&& 1 &&\\
\sin &&\nearrow&&\searrow&\\
& 0 &&&&0\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

Sa courbe représentative sur $[0~;\pi]$, avec sa tangente à l'origine, est représentée ci-dessous.

\begin{center}
\includegraphics{176_trigo-01}
\end{center}

\subsection{Parité et périodicité}

\subsubsection{Parité}

Pour tout nombre réel $x$, 
\[
\sin (-x) = -\sin x,
\]
donc la fonction $x\mapsto\sin x$ est \textit{impaire}, d'où la propriété suivante:

\begin{prop}
La représentation graphique de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.
\end{prop}

\subsubsection{Périodicité}

Pour tout nombre réel, 
\[
\sin (x+2\pi) = \sin (x),
\] 
donc la fonction $x\mapsto\sin x$ est \textit{périodique} de période de $2\pi$, d'où la propriété suivante:

\begin{prop}
La représentation graphique de la fonction sinus dans un repère $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ est invariante par toute translation de vecteur $k2\pi \vec{\imath}$, $k$ appartenant à $\Z$.
\end{prop}


\begin{center}
\includegraphics{177_trigo-02}
\end{center}


\section{La fonction cosinus}

\subsection{Dérivée}

\begin{prop}
La fonction cosinus est dérivable sur $\R$ et pour tout nombre réel $x$,
\[
\cos 'x = -\sin x.
\]
\end{prop}

\subsection{\'Etude sur l'intervalle $[0~;\pi]$}

Pour tout nombre réel $x$, $\cos 'x = -\sin x$. Or, $\sin x \ge 0$ sur $[0~; \pi]$, donc la fonction cosinus est décroissante sur $[0~; \pi]$.


\begin{minipage}{3.5cm}
\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcr|}
\hline\tabulartitle
x& 0 & & \pi \\\hline
\cos' & 0&-&0 \\\hline
& 1 &&\\
\cos & &\searrow&\\
& && -1\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-3.5cm}
\includegraphics{177_trigo-03}
\end{minipage}

\subsection{Parité et périodicité}

\subsubsection{Parité}

Pour tout réel $x$, 
\[
\cos (-x) = \cos x,
\]
donc la fonction $x\mapsto\cos x$ est \textit{paire}, d'où la propriété suivante:

\begin{prop}
La courbe représentative de la fonction $\cos$ est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\end{prop}

\begin{center}
\includegraphics{178_trigo-04}
\end{center}

\subsubsection{Périodicité}

Pour tout nombre réel $x$, 
\[
\cos (x+2\pi) = \cos x,
\]
donc la fonction $x\mapsto\cos x$ est \textit{périodique} de période $2\pi$, d'où la propriété suivante:

\begin{prop}
La représentation graphique de la fonction cosinus dans un repère $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ est invariante par toute translation de vecteur $k2\pi \vec{\imath}$, $k$ appartenant à $\Z$.
\end{prop}

On a représenté ci-dessous les fonctions sinus (en pointillés) et cosinus. Elles se déduisent l'une de l'autre par une translation de vecteur $\dfrac{\pi}{2}\vec{\imath}$.


\begin{center}
\includegraphics{178_trigo-05}
\end{center}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{solintro}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.3,0.2){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTMch06exoIntro}}}
\rput(-0.8,-0.9){\PictoNathanLive[Video]}
\vspace*{-5mm}
\begin{questions}
\item
La fonction $\cos$ est deux fois dérivable sur $\R$ et la fonction :\linebreak[4] 
$x\longmapsto 1-\dfrac{x^2}{2}$ est deux fois dérivable sur $\R$ comme fonction polynôme donc la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.

\item
Pour tout réel $x$, 
\[f'(x)=-\sin{x}+x\;,\]
\[f''(x)=1-\cos{x}.\]

Comme pour tout réel $x$, $\cos{x}\leqslant1$, on en déduit que $f''(x)$ est positif sur $\R$ et ne s'annule que pour $x=2k\pi$ où $k\in\Z$.
Il en résulte que la fonction $f'$ est strictement croissante sur $\R$.

Comme $f'(0)=0$ et $f'$ est strictement croissante sur $\R$, on peut en déduire que $f'$ est strictement négative sur $\left]-\infty~;0\right[$ et strictement positive sur $\left]0~;+\infty\right[$.

\item
D'après l'étude du signe de $f'$ obtenu à la question précédente, on en déduit que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty~;0\right[$ et strictement croissante sur $\left]0~;+\infty\right[$.

La fonction $f$ admet un minimum en 0 et ce minimum vaut $f(0)=0$. Il en résulte que, pour tout réel $x$, on a $f(x)\geqslant f(0)$ soit $f(x)\geqslant 0$.

Par conséquent, pour tout réel $x$, $\cos{x}-\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right)\geqslant0$, d'où finalement :
\[1-\dfrac{x^2}{2}\leqslant\cos{x}.\]

\item
En admettant l'inégalité donnée par le texte et en utilisant le résultat de la question précédente, on obtient l'encadrement, valable pour tout réel $x$ :
\[1-\dfrac{x^2}{2}\leqslant\cos{x}\leqslant1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}.\]
On encadre alors $g(x)$ :
\[\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^2}{24}\leqslant g(x)\leqslant
 \dfrac{1}{2}.\]
Or,
\[\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^2}{24}\right)=\dfrac{1}{2}.\]
On en déduit d'après le théorème de limite par encadrement que :
\[\lim_{x\to 0}g(x)=\dfrac{1}{2}.\]
\end{questions}
\end{solintro}