\thumb

%%%

\begin{qcm}{Parité et périodicité} {10}
Pour chaque question, une seule réponse est juste. Choisir la bonne réponse.
\begin{questions}
\item Une période de la fonction $f:x\mapsto\cos(3x)$ est :\resetchoix\par
	 
	 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	 \choix{} $\dfrac{2\pi}{3}$ & 
	 \choix{} $3\pi$ & 
	 \choix{} $\dfrac{3\pi}{2}$
	 \end{tabularx}
	
\item La fonction $x \mapsto \cos \left( x+ \dfrac{\pi}{4} \right)$ est : \\ \resetchoix

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix paire &
	\choix impaire &
	\choix ni l'un ni l'autre
	\end{tabularx}
	
\item La fonction $g : x \mapsto \sin 3x$ est :\\ \resetchoix

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix paire &
	\choix impaire &
	\choix ni l'un ni l'autre
	\end{tabularx}
	
\item Une période de la fonction $h : x \mapsto \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} \right)$ est : \\\resetchoix

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
	\choix $2\pi$ &
	\choix $\dfrac{\pi}{2}$ &
	\choix $8\pi$
	\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \label{ch5qcm3q1} Réponse \choix[a]. En effet, pour tout $x$ réel, 
\[ f\left( x+\dfrac{2\pi}{3} \right) = \cos \left[ 3\left(x+\dfrac{2\pi}{3} \right) \right] = \cos (3x+2\pi) = \cos 3x. \]


\item Réponse \choix[c]. En effet, la fonction cos est paire, mais cette fonction est obtenue par translation de la fonction cos le long de l'axe des abscisses de $\dfrac{\pi}{4}$, elle n'est donc ni paire ni impaire. 

\item \label{ch5qcm3q3} Réponse \choix[b]. En effet, pour tout réel $x$, 
\[ g(-x)=\sin (3(-x)) = \sin(-3x) = -3\sin x=-g(x).\]
Donc $g$ est impaire. 

\item Réponse \choix[c]. En effet, pour tout réel $x$, 
\begin{align*}
 h(x+8\pi) &= \sin \left( \dfrac{x+8\pi +\pi}{4} \right) \\
 & = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} +\dfrac{8\pi}{4} \right) \\
& = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} +2\pi \right) \\
& = \sin \left( \dfrac{x+\pi}{4} \right) \\
& = h(x).
\end{align*}


\begin{Remarque}
pour les questions \ref{ch5qcm3q1} et \ref{ch5qcm3q3}, on a trouvé une période, mais on n'a pas montré que c'était la plus petite.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{qcm}{Variations}{15}
Pour chaque question, une seule réponse est juste. Choisir la bonne réponse.
\begin{questions}
\item La fonction $f$ définie sur $[0~;\pi]$ par $x \mapsto \cos \left( x+ \dfrac{\pi}{4} \right)$ est : \\ \resetchoix
	\choix croissante sur $[0~;\pi ]$ \\
	\choix croissante sur $[2~;\pi ]$ \\
	\choix croissante sur $\left[ \dfrac{3\pi}{4}~;\pi \right]$

\item La fonction $g$ définie sur $I = [0~;\pi]$ par $g : x \mapsto \sin (2x)$ : \\ \resetchoix
	\choix a les mêmes variations que la fonction $x\mapsto\sin x$ sur $I$ \\
	\choix est croissante sur $\left[0~; \dfrac{\pi}{4} \right]$ \\
	\choix est monotone sur $I$
	
\item La fonction $h$ définie sur $[0~;\pi]$ par $h : x \mapsto \sin x +\cos x$ : \\ \resetchoix
	\choix est décroissante \\
	\choix admet pour maximum $\sqrt{2}$ \\
	\choix admet pour maximum $\dfrac{\pi}{4}$
	
\enlargethispage*{2\baselineskip}
\item La fonction $k : x \mapsto \cos 3x$ définie sur $I = [-2~;2]$ : \\ \resetchoix
	\choix a les mêmes variations que la fonction $\cos$ \\
	\choix admet un maximum local pour $x= 2$ \\
	\choix admet deux minimums locaux sur $I$
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. En effet, la fonction cosinus est croissante sur $[\pi~;2\pi]$, donc $f$ est croissante sur $\left[ \dfrac{3\pi}{4} ~; \pi \right]$.

\item Réponse \choix[b]. En effet, $g'(x) = 2\cos 2x$ donc, à $2\pi$ près :
\[ 
g'(x) > 0 \Leftrightarrow  2x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2} ~; \dfrac{\pi}{2} \right] 
 \Leftrightarrow  x \in \left[ -\dfrac{\pi}{4} ~; \dfrac{\pi}{4} \right].
 \]

\item Réponse \choix[b]. Cette fonction est périodique de période $2\pi$, donc on peut l'étudier sur $[-\pi~;\pi]$.
\[ 
\begin{aligned}
h'(x) &= \cos x -\sin x \\
h'(x) &> 0 \Leftrightarrow \cos x > \sin x \Leftrightarrow x \in \left[ -\dfrac{3\pi}{4} ~; \dfrac{\pi}{4} \right] .
\end{aligned}
\]
On obtient donc le tableau suivant :

\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x 	& -\pi & 	&-\frac{3\pi}{4} & 	& \frac{\pi}{4} & 	& \pi \\\hline
h'(x)& 	& -	&0	&+	&0	&-	& \\\hline
	&-1	&	& 	&	& \sqrt{2} & &\\
h(x)&	&\searrow&	&\nearrow& 	&\searrow &\\
	& 	&	&-\sqrt{2}	&	&	&	&-1\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\item Réponse \choix[c]. \'Etudions la fonction sur $[-\pi~;\pi]$ dans un premier temps.
\[ 
\begin{aligned}
k'(x) &= -3\sin 3x \\
k'(x) > 0 &\Leftrightarrow \sin (3x) <0 \\
&\Leftrightarrow 3x \in ]-\pi~;0[ \pod{2\pi}\\
&\Leftrightarrow x \in \left] -\dfrac{ \pi}{3}~; 0\right[ \pod{\dfrac{2\pi}{3}} \\
&\Leftrightarrow x \in \left] -\pi~; -\dfrac{2\pi}{3} \right[ \cup \left] -\dfrac{\pi}{3}~;0 \right[ \cup \left] \dfrac{\pi}{3}~;\dfrac{2\pi}{3} \right[.
\end{aligned}
\] 
On obtient donc le tableau suivant :
\[ 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\hspace*{-2em}
\begin{array}{|C|lcc<{\!\!\!\!\!}c<{\!\!}ccccccc<{\!\!}c<{\!}ccr|}\hline\tabulartitle
x 	& -\pi & 	&-\frac{2\pi}{3} &-2 & 	& -\frac{\pi}{3} & 	& 0 &  	&\frac{\pi}{3} & 	& 2 & \frac{2\pi}{3} & 	& \pi \\\hline
k'(x)&0	& +	&0	&\vline&-	&0	&+	&0	&-	&0	&+	&\vline&0	&-	&0 \\\hline
	&	&	&1 	&\vline&	&  & 	&1	&	&	&	&\vline&1	&	& 	\\
k(x)&	&\nearrow&	&\vline&\searrow& 	&\nearrow & 	&\searrow	&	&\nearrow	&\vline&	&\searrow	&\\
	&-1 &	&	&\vline&	&-1	&	&	&	&-1	&	&\vline&	&	&-1\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

Il y a deux minimums locaux sur $[-2~;2]$: $-1$ et 1.

\begin{attention}
Ne pas se laisser piéger : $\dfrac{2\pi}{3}$ est très proche de $2$, et si on se fie à la calculatrice, on peut croire que le maximum est atteint en $2$.
\end{attention}
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{\'Equations et inéquations}

%%% NEW 2023

\begin{exo}{\'Equations}{Lycée François Mauriac, Bordeaux}{1}{10}
Résoudre sur $]-\pi;\pi]$ les équations suivantes.
\begin{questions}
\item $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$
\item $\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{2}$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Nous allons utiliser ici les équivalences suivantes, où $k\in\Z$:
\begin{align*}
\cos x = \cos a & \iff x = a + 2k\pi \text{ ou } x = -a+2k\pi.\\
\sin x = \sin a & \iff x = a + 2k\pi\text{ ou } x = \pi-a+2k\pi
\end{align*}
\end{methode}

\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} & 
\iff \cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}\\
& \iff \begin{cases}
x+\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}+2k\pi\\[8pt]
x+\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{3}+2k\pi
\end{cases},\ k\in\Z\\
& \iff \begin{cases}
x=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\\[8pt]
x = -\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi
\end{cases},\quad k\in\Z\\
& \iff \begin{cases}
x = 0+2k\pi\\[8pt]
x = -\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi
\end{cases},\quad k\in\Z
\end{aligned}$

\Par

L'ensemble des solutions de l'équation $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ sur $]-\pi;\pi]$ est donc:

\Par

\[
\mathscr{S}=\left\{ 0 ; -\dfrac{2\pi}{3} \right\}.
\]

\Par

\item $\begin{aligned}[t]
\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{2} & \iff \sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\\
& \iff \begin{cases}
2x-\dfrac{\pi}{4} & = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\\[8pt]
2x-\dfrac{\pi}{4} & = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + 2k\pi
\end{cases},\qquad k\in\Z\\
& \iff \begin{cases}
2x & = -\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\\[8pt]
2x & = \pi + \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi
\end{cases},\qquad k\in\Z\\
& \iff \begin{cases}
2x & = \dfrac{\pi}{12} + 2k\pi\\[8pt]
2x & = \dfrac{17\pi}{12} + 2k\pi
\end{cases},\qquad k\in\Z\\
& \iff \begin{cases}
x & = \dfrac{\pi}{24} + k\pi\\[8pt]
x & = \dfrac{17\pi}{24} + k\pi
\end{cases},\qquad k\in\Z
\end{aligned}$

\Par

Ainsi, les solutions de l'équation sur $]-\pi;\pi]$ sont obtenues en prenant $k=0$ et $k=-1$; on obtient alors l'ensemble des solutions suivant:

\Par

\[
\mathscr{S}=\left\{ -\dfrac{23\pi}{24} ~;~ -\dfrac{7\pi}{24} ~;~ \dfrac{\pi}{24} ~;~ \dfrac{17\pi}{24} \right\}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{\'Equations et inéquations}{Lycée Buffon, Paris}{2}{25}
\begin{questions}
\item Résoudre dans $\R$, puis dans $I=[-\pi~;\pi]$, l'inéquation : 
\[
\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2}.
\]
\item Résoudre dans $\R$, puis dans $J=[-\pi~;3\pi]$, l'équation : 
\[ 2\cos^2x+3\cos x+1=0.\]
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'après le cercle trigonométrique, 
\[
\sin X\geqslant\dfrac{1}{2}\text{ pour }\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant X\leqslant \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\quad , \quad k\in\Z.
\]

Cela signifie que :
\begin{align*}
\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2} & \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant 3x-\dfrac{\pi}{6}\leqslant\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\\
& \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{3}+2k\pi\leqslant 3x\leqslant \pi+2k\pi\\
& \Leftrightarrow\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}.
\end{align*}

Si l'on ne veut que les solutions dans $[-\pi~;\pi]$, les valeurs extrêmes que l'on peut prendre pour $k$ vérifient : $-\pi\leqslant\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}$, c'est-à-dire $-\dfrac{5}{3}\leqslant k$, et comme $k$ est entier, $-1\leqslant k$, et : $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant\pi$, soit $k\leqslant1$.

$k$ peut donc prendre les valeurs $-1$, 0 et 1.

L'ensemble solution est donc : 
\[ 
S=\left[-\dfrac{5\pi}{9}~;-\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{9}~;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{9}~;\pi\right].
\]

\item On pose $X=\cos x$. L'équation devient alors : $2X^2+3X+1=0$.

Le discriminant est égal à 1 ; l'équation admet donc deux solutions : $X=-1$ et $X=-\dfrac{1}{2}$.

Alors, l'équation $2\cos^2x+3\cos x+1=0$ équivaut à :
\[
\cos x=-1\qquad\text{ou}\qquad\cos x=-\dfrac{1}{2}\;,
\]
c'est-à-dire :
\[
x=-\pi+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\]
\[\text{ou}\quad x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k''\pi\quad,\quad k\in\Z,\ k'\in\Z,\ k''\in\Z.
\]
L'ensemble des solutions de l'équation dans l'intervalle $[-\pi~;3\pi]$ est donc :
\[ S=\left\lbrace -\pi~; -\dfrac{2\pi}{3}~; \dfrac{2\pi}{3}~; \pi~; \dfrac{4\pi}{3}~;\dfrac{8\pi}{3}~; 3\pi\right\rbrace.\]
\end{questions}
\end{corrige}

% 2014

\begin{exo}{Inéquation associée  à une équation}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pins-Justaret}{3}{20}
Résoudre dans l'intervalle $]-\pi~;\pi[$ :
\begin{questions}
\item $2\sin^2x+\left(2-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}=0$.
\item $2\sin^2x+\left(2-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}\leqslant0$.
\end{questions}

\textit{Aide :} $\left(2+\sqrt{3}\right)^2=7+4\sqrt{3}$.
\end{exo}

\begin{corrige}
On pose $X=\sin x$.
\begin{questions}
\item \label{ch5ex7q1}Le polyn\^ome $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}$ a pour discriminant $7+4\sqrt{3}$, que l'on factorise sous la forme $\left(2+\sqrt{3}\right)^2$ (en utilisant l'aide de l'énoncé).

L'équation $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}=0$ admet donc deux solutions : $X=-1$ et $X=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

L'équation $2\sin^2x+\left(2-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}=0$ équivaut donc à :
\[
\sin x=-1\qquad\text{ou}\qquad\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Dans l'intervalle $]-\pi~;\pi[$, $\sin x=-1$ pour $x=-\dfrac{\pi}{2}$, et $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ pour $x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{2\pi}{3}$.

L'équation admet donc trois solutions dans $]-\pi~;\pi[$ : $-\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.

\item  Grâce aux calculs de la question \ref{ch5ex7q1}, on connaît les racines de l'expression $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}$. 

Comme le coefficient de $X^2$ est positif, on sait que cette expression est inférieure ou égale à 0 lorsque $X$ est compris entre les racines, c'est-à-dire : $-1\leqslant X\leqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

En revenant à la variable $x$, cela donne : $-1\leqslant \sin x\leqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\enlargethispage*{\baselineskip}

Le cercle trigonométrique montre que les solutions dans $]-\pi~;\pi[$ de cette double inéquation sont tous les réels $x$ tels que :
\[
x\in\left]-\pi~;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{2\pi}{3}~;\pi\right[.
\]
\begin{center}
\includegraphics{189_trigo-06}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{\'Etudes de fonctions}


%%% 2014

\begin{exo}{Fonction dérivée}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pins-Justaret}{1}{15}
Calculer la dérivée des fonctions suivantes en précisant leur ensemble de définition.
\begin{questions}
\item $f(x)=2\sin(8x)-5\cos\left(7x-\dfrac{\pi}{3}\right)$.
\item $g(x)=\big[\cos(7x)\big]^4$.
\item $h(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R$ comme somme et composée de fonctions définies et dérivables sur $\R$.
\[
f'(x)=16\cos(8x)+35\sin\left(7x-\dfrac{\pi}{3}\right).
\]
\item $g$ est définie et dérivable sur $\R$ comme puissance entière d'une fonction définie et dérivable sur $\R$.
\[
g'(x)=4\big[-7\sin(7x)\big]\times\big[\cos(7x)\big]^3=-28\sin(7x)\cos^3(7x).
\]
\item La fonction $h$ est définie et dérivable pour tout $x$ tel que $\cos x\neq 0$, c'est-à-dire pour tout $x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\Z$. Dans ce cas:
\[
h'(x)=\dfrac{\cos x\times \cos x+\sin x\times\sin x}{\left(\cos x\right)^2}=\dfrac{1}{\cos^2 x}.
\]
\textit{Remarque} : $h$ est appelée \og fonction \textit{tangente} \fg.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2014 - Hors programme 2020
%\begin{exo}{\'Etude d'une fonction}{Lycée La Bruyère, Versailles}{3}{25}
%Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3\cos x-2\cos^3x$.
%
%On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$.
%
%\begin{questions}
%\item Démontrer que $f$ est paire et périodique de période $2\pi$.
%\item Justifier que $f$ est dérivable sur $\R$ et que, pour tout réel $x$,
%\[ f'(x)=3\sin x\cos 2x.\]
%\item \'Etudier les variations de $f$ sur $[0~;\pi]$.
%\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0,5$ dans l'intervalle $[0~;\pi]$.
%
%Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de chacune de ces éventuelles solutions.
%\item Tracer la courbe représentative de $f$ sur $[0~;\pi]$. Comment en déduire la courbe $\mathcal{C}$ sur $\R$ ?
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item La fonction $f$ est paire lorsque pour tout réel $x$ de son ensemble de définition, on a $f(-x)=f(x)$.
%
%Ici, $f(-x)=3\cos(-x)-2\cos^3(-x)=3\cos x-2\cos^3x=f(x)$ car la fonction $\cos$ est paire.
%
%De plus, comme la fonction $\cos$ a pour période $2\pi$ :
%\[
%f(x+2\pi)=3\cos(x+2\pi)-2\cos^3(x+2\pi)=3\cos x-2\cos^3 x=f(x).
%\]
%
%La fonction $f$ est donc paire et admet $2\pi$ comme période.
%
%\item $f$ est composée de la somme et du produit de fonctions dérivables sur $\R$, elle est donc dérivable sur $\R$, et les formules de dérivation donnent :
%\begin{align*}
%f'(x) & =-3\sin x-2\times3\times(-\sin x)\times\cos^2x\\
%& =-3\sin x+6\sin x\cos^2x\\
%& = -3\sin x\big(1-2\cos^2 x\big).
%\end{align*}
%
%Or, $\cos(2x)=-1+2\cos^2x$. 
%
%Par conséquent, on a bien $f'(x)=3\sin x\cos(2x)$.
%
%\item Pour $x$ compris entre 0 et $\pi$, on a $2x$ compris entre 0 et $2\pi$. Dans cet intervalle, $\cos(2x)<0$ pour $\dfrac{\pi}{2}<2x<\dfrac{3\pi}{2}$, c'est-à-dire $\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{3\pi}{4}$.
%
%On peut alors dresser le tableau de signes de $f'(x)$ et le tableau de variation de $f$ page suivante.
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|C|*7{Zc}|}
%\hline\tabulartitle
%$x$ & 0 &  & $\frac{\pi}{4}$ &  & $\frac{3\pi}{4}$ &   & $\pi$\\
%\hline
%$\sin x$ & 0 & + &  & + &  & + & 0\\
%\hline
%$\cos 2x$ &  & + & 0 & $-$ & 0 & + & \\
%\hline
%$f'(x)$ & 0 & + & 0 & $-$ & 0 & + & 0\\
%\hline
%        &  &  & $\sqrt{2}$ &  &  &  & $-1$ \\
%$f(x)$  &      & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
%        &  $1$     &          &  &  & $-\sqrt{2}$ & & \\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%\item D'après le tableau de variation de $f$, sur $\left[0~;\dfrac{\pi}{4}\right]$, on a $f(x)\geqslant1$, donc $f(x)=0,5$ n'a pas de solution dans cet intervalle.
%
%De même, sur $\left[\dfrac{3\pi}{4}~;\pi\right]$, on a $f(x)\leqslant-1$, donc $f(x)=0,5$ n'a pas de solution dans cet intervalle.
%
%En revanche, sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{4}~;\dfrac{3\pi}{4}\right]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante ; $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)>0,5>f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ d'après les valeurs du tableau de variation. Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique $\alpha$ compris dans l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{4}~;\dfrac{3\pi}{4}\right]$ tel que $f(\alpha)=0,5$.
%
%Ce réel $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x)=0$ dans l'intervalle $[0~;\pi]$.
%
%\`A la calculatrice, on trouve : $f(1,40)\approx \numprint{0,50008}$ et $f(1,41)\approx\numprint{0,41210}$. Par conséquent, $1,40<\alpha<1,41$.
%
%\item Tableau de valeurs pour tracer la courbe de $f$ :
%
%\hspace*{-1.5em}
%\begin{tabular}{|C|*9{Zc|}}
%\hline\tabulartitle
%$x$ & 0 & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\dfrac{2\pi}{3}$ & $\dfrac{3\pi}{4}$ & $\dfrac{5\pi}{6}$ & $\pi$\\
%\hline
%$f(x))\approx$ & 1 & 1,3 & 1,4 & 1,25 & 0 & $-1,25$ & $-1,4$ & $-1,3$ & $-1$\\\hline
%\end{tabular}
%
%\Par
%
%Pour tracer la courbe de $f$, on gradue l'axe des abscisses par fractions de $\pi$. D'autre part, on connaît quatre tangentes horizontales.
%
%\Par
%
%\begin{center}
%\includegraphics{190_trigo-07}
%\end{center}
%
%Comme la fonction est paire, on obtient la partie de la courbe entre $-\pi$ et 0 par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Puis comme la fonction est de période $2\pi$, on obtient la totalité de la courbe en translatant le morceau tracé entre $-\pi$ et $\pi$, de  $2k\pi$ unités, avec $k$ qui décrit $\Z$.
%\end{questions}
%\end{corrige}
%%
%\begin{exo}{Une limite à connaître}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{15}\label{exLimSin}
%\begin{questions}
%\item Expliquer ce que représente $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
%
%\item En déduire, la valeur de $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item La quantité $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ est le taux de variation de la fonction entre $x$ et $x+h$ et sa limite quand $h$ tend vers $0$ est $f'(x)$, si cette limite existe et est finie.
%
%\item On a donc $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} =\sin '(0) = \cos 0 = 1 $.
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%\begin{exo}{Limites trigonométriques}{Lycée Chaptal, Paris}{2}{15}% 
%\begin{questions}
%\item  Soit $\alpha$ un nombre réel non nul. Déterminer $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin(\alpha x)}{\sin(x)}$.
%\item Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\cos(x)-1}{\sin^2(x)}$.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%        \item  Pour tout réel $x$ non nul :
%        \[\frac{\sin(\alpha x)}{\sin(x)}=\alpha\times\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha x}\times\frac{x}{\sin(x)}.\]
%%       
%Or, d'après le cours :  
%\[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{\sin(x)}=1 \quad \text{dont on déduit :} \quad         \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(\alpha x)}{\alpha x}=1.\]
%
% Finalement :
%        \[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(\alpha x)}{
%        \sin(x)}=\alpha\times 1\times 1=\alpha.\]
%%
%\item  Le numérateur et le dénominateur sont de limite nulle, donc $\displaystyle \frac{\cos x -1}{\sin^2 x}$ présente une forme indéterminée en $0$.
%
% Cependant, en utilisant \ $\cos^2x+\sin^2x=1$\ :
%        $$\frac{\cos x-1}{\sin^2 x}=\frac{\cos x-1}{1-\cos^2 x} = \frac{-(1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}.$$
%        En simplifiant le numérateur et le dénominateur :
%        $$\frac{\cos x-1}{\sin^2 x}=\frac{-1}{1+\cos x}.$$ 
%        Donc:
%        $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{\sin^2 x}=\frac{-1}{
%        1+1}=-\frac{1}{2}.$$
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%\begin{exo}{Fonction trigonométrique}{Lycée Lakanal, Sceaux}{2}{30}
%Soit $f$ la fonction de $\R$ vers $\R$ définie par :
%\[
%f(x)=\cos(3x)\cos^3 x.
%\]
%Soit $\mathcal{C} $ la courbe représentative de $f$ dans un repère
%orthonormal.
%\begin{questions}
%\item  
%\begin{questions}
%		\item  Montrer que $f$ est paire et périodique de période $\pi$. Expliquer pourquoi on peut réduire l'étude de $f$ à l'intervalle $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
%
%		\item  Étudier les variations de $f$.
%\end{questions}
%
%\item  
%\begin{questions}
%\item  Tracer $\mathcal{C} $.
%\item  Déterminer l'abscisse des points de $\mathcal{C} $ où la tangente à $\mathcal{C} $ est\linebreak parallèle à \hbox{l'axe $(Ox)$.}
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item
%	\begin{questions}
%	\item $\begin{aligned}[t]
%	f(x+\pi)&=\cos[3(x+\pi)]\cos^3(x+\pi)\\
%	&=\cos(3x+2\pi+\pi)\cos^3(x+\pi).
%	\end{aligned}$
%	
%	Or, 
%	\[\cos(X+\pi)=-\cos X\] et \[\cos(X+2\pi)=\cos X\;,\] donc :
%	\begin{align*}
%	 f(x+\pi)&=-\cos(3x)[-\cos^3(3x)]\\
%	 &=\cos(3x)\cos^3(x)\\
%	 &=f(x).
%	 \end{align*}
%	La fonction $f$ admet donc $\pi$ pour période.
%	\[ f(-x) = \cos (-3x) \cos ^3(-x) = \cos(3x) \cos^3(x)\]
%	car la fonction $\cos$ est paire. Donc $f(-x) = f(x)$, ce qui signifie que $f$ est paire.
%	
%	La fonction $f$ étant périodique de période $\pi$, il suffit de l'étudier sur une période, par exemple sur l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2} ~; \dfrac{\pi}{2}\right]$. Mais, comme elle est aussi paire, il suffit de l'étudier sur l'intervalle $\left[0~; \dfrac{\pi}{2}\right]$, l'étude sur l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;0\right]$ se déduisant par symétrie.    
%	
%	\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x \in \R$,
%\begin{align*}
%f'(x)&=-3\sin(3x)\cos^3 x-3\cos (3x)\sin x\cos^2 x\\
%&=-3\cos^2 x\left( \cos(3x)\sin x+\sin (3x)\cos x
%\right)\\
%&=-3\sin(4x)\cos^2 x
%\end{align*}
%car $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$.\\
%
%D'où le tableau de variation de $f$ pour $x\in \Bigl[0,
%\dfrac{\pi}{2}\Bigr]$ :
%\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4}
%\begin{array}{|C|c c c c c|}
%\hline\tabulartitle
%\rule[-1.3ex]{0ex}{2ex}x       & 0 & & {\pi\over 4} &  & {\pi\over2}\\
%\hline
%f'(x) & 0 & - & 0 & + & 0 \\
%\hline
% & 1 &  &  & & 0  \\
%f&  & \searrow &  & \nearrow &  \\
% \rule[-1.3ex]{0ex}{2ex}&  &  & -{1\over4} &  &   \\
%\hline
%\end{array}
%\]
%\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%
%\end{questions}
%
%\item
%\begin{questions}
%\item  On représente la courbe de $f$ entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ (pour l'obtenir sur $\R$, il suffit de translater la
%courbe ainsi tracée).
%\begin{center}
%\includegraphics{193_trigo-08}
%\end{center}
%
%\item La tangente à $\mathcal{C} $ au point d'abscisse
%$x$ a pour coefficient directeur $f'(x)$. Les points en lesquels la tangente à $\mathcal{C} $ est parallèle à $(Ox)$ sont donc les points d'abscisse $x$ tels que :
%\[
%f'(x)=0\Longleftrightarrow \sin(4x)\cos^2 x=0 \Longleftrightarrow
% x = 0 \pod{\frac{\pi}{4}}.\]
%Cette condition tient compte de l'annulation possible du cosinus ; en effet, dans ce cas $x=\dfrac{\pi}{ 2}\pod{\pi}$, cette condition impliquant la condition ci-dessus.
%\par
%Ce sont donc tous les points d'abscisse $k\dfrac{\pi}{4}$ où $k\in\Z$.
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{corrige}
%

%%% NEW 2023

\begin{exo}{Une fonction particulière}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{2}{15}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
\[
f(x)=2\sin(x)\cos(x).
\]
\begin{questions}
\item Étudier la parité et la périodicité de $f$.
\item Justifier alors que $f$ peut être étudiée sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item Montrer que $f'(x)=2\big[ 2\cos^2(x) - 1 \big]$.
\item Sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, étudier le signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f$ sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item En déduire les variations sur $[-\pi;\pi]$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x)=2\sin(x)\cos(x)$.
\begin{itemize}
\item Étudions la parité de la fonction $f$:
\[
f(-x)=2\sin(-x)\cos(-x)=2 \times[-\sin(x)] \times \cos(x) = -f(x).
\]
De plus, $f$ est définie sur $\R$, centré en 0.

\Par

Ainsi, $f$ est impaire.

\Par

\item Étudions la périodicité de $f$.

$f$ est le produit d'une constante et de deux fonctions $2\pi$-périodiques. Par conséquent, elle est au minimum $2\pi$-périodique:
\[
f(x+2\pi) = 2\sin(x+2\pi)\cos(x+2\pi) = 2\sin(x)\cos(x) = f(x).
\]
On peut maintenant se demander si l'on ne pourrait pas réduire la période de moitié: la fonction $f$ est-elle $\pi$-périodique ? Pour le savoir, calculons:
\begin{align*}
f(x+\pi) & = 2\sin(x+\pi)\cos(x+\pi)\\
         & = 2 \big(-\sin(x)\big) \big(-\cos(x)\big)\\
         & = 2\sin(x)\cos(x)\\
         & = f(x).
\end{align*}

$f$ est donc bien $\pi$-périodique. Peut-on encore diviser la période par 2 ? Calculons:
\begin{align*}
f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) & = 2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\\
& = 2\big(\cos(x)\big)\big(-\sin(x)\big)\\
& = -2\sin(x)\cos(x)\\
& \neq f(x).
\end{align*}
On ne peut donc pas réduire la période à $\dfrac{\pi}{2}$.

\Par

Par conséquent, $f$ est périodique de période $\pi$.
\end{itemize}

\item $f$ étant $\pi$-périodique, on peut l'étudier sur un intervalle quelconque d'amplitude $\pi$.

De plus, $f$ étant impaire, on peut prendre cet intervalle centré en 0, par exemple $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$, et ne prendre qu'une moitié.

\Par

On peut ainsi étudier $f$ sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

\item $f$ est de la forme $2uv$, avec $u(x) = \sin(x)$ et $v(x)=\cos(x)$. Donc:
\begin{align*}
f'(x) & = 2 \big[ u'(x)v(x) + v'(x)u(x) \big]\\
      & = 2\big[ \cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) \big]\\
      & = 2\big[ \cos^2(x) - \sin^2(x) \big]
\intertext{Or, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ donc $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$, d'où:}
f'(x) & = 2\big[ \cos^2(x) - 1+\cos^2(x) \big]\\
      & = 2\big[ 2\cos^2(x) - 1 \big].
\end{align*}

\item Sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$,
\begin{align*}
f'(x) \geqslant 0 & \iff  2\cos^2(x) - 1 \geqslant 0\\
                  & \iff \cos^2(x) \geqslant \dfrac{1}{2}\\[8pt]
                  & \iff \cos(x) \geqslant \dfrac{\sqrt2}{2}\\[8pt]
                  & \iff 0 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{4}.
\end{align*}
On a alors le tableau suivant:
% ERRVOL On a alors le le tableau suivant:
\[
\begin{array}{|C|*5{c}|}
\hline
\tabulartitle
x     & 0 &  & \dfrac{\pi\strut}{4\strut} & & \dfrac{\pi}{2}\\
\hline
f'(x) &   & + & 0 & - & \\
\hline
      &   &          & 1 &          &  \\
 f(x) &   & \nearrow &             & \searrow & \\
      & 0 &          &             &          & 0\\
\hline
\end{array}
\]

\item Par symétrie centrale par rapport à l'origine du repère, on déduit les variations de $f$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ suivantes:
\[
\begin{array}{|C|*9{c}|}
\hline
\tabulartitle
x     &-\dfrac{\pi}{2} &  & -\dfrac{\pi}{4}& & 0 &  & \dfrac{\pi\strut}{4\strut} & & \dfrac{\pi}{2}\\
\hline
f'(x) & & - & 0 & + & 2 & + & 0 & - & \\
\hline
      &  & & & &  &          & 1 &          &  \\
 &   &  &  &  &   & \nearrow &             & \searrow & \\
f(x) & 0 &  &  &  & 0 &          &             &          & 0\\
 &   & \searrow &  & \nearrow &   &  &             &  & \\
  &   &  & -1 &  &   &  &             &  & \\
\hline
\end{array}
\]
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 2014

\begin{exo}{Aire maximale}{Lycée La Bruyère, Versailles}{2}{20}
Les parents d'Amélie utilisent un paravent à trois panneaux pour cacher un tas de vieilleries dans leur garage.

Le paravent est déplié contre un mur de la façon suivante :

\begin{center}
\includegraphics{182_trigo-09}
\end{center}

Les trois panneaux du paravent sont de même longueur. Le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle. On pose $\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=1$, et on appelle $x$ la mesure en radians de l'angle $\widehat{\text{BAD}}$ comprise entre 0 et $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{questions}
\item Exprimer la longueur AD ainsi que la hauteur BH en fonction de $x$.
\item 
\begin{questions}
\item Montrer que l'aire disponible derrière le paravent est égale en fonction de $x$ à : 
\[ A(x)=(1+\cos x)\sin x.\]
\item Montrer que pour tout $x\in\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$, 
\[ 
A'(x)=2\left(\cos x-\dfrac{1}{2}\right)(1+\cos x).
\]
\item \`A l'aide du cercle trigonométrique, résoudre dans  l'intervalle  $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$ l'inéquation $\cos x\geqslant\dfrac{1}{2}$.
\item En déduire le sens de variation de la fonction $A$ sur $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item Quelle est l'aire maximale de la zone que l'on peut cacher ainsi avec ce paravent, et comment faut-il l'installer ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Comme le trapèze est isocèle, $AD=2AH+BC$.

De plus, $AH=AB\cos x$ et $BH=AB\sin x$ donc $AD=1+2\cos x$ et $BH=\sin x$.

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
A(x) & = AH\times BH+BH\times BC\\
& = 1\times\cos x \times\sin x+1\times\sin x\times1\\
& = \left(\cos x+1\right)\sin x\;.
\end{aligned}$

\item La fonction $A$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$.
\begin{align*}
A'(x) & = \cos x(1+\cos x)+\sin x(-\sin x)\\
& = \cos x(1+\cos x)-(1-\cos^2x)\\
& = 2\cos^2 x+\cos x -1\;.
\end{align*}
Or, 
\begin{align*}
2\left(\cos x-\dfrac{1}{2}\right)(1+\cos x) & =2\left(\cos x+\cos^2x -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos x\right)\\
& = 2\cos^2x +\cos x-1.
\end{align*}
Cela prouve que l'on a bien $A'(x)=2\left(\cos x-\dfrac{1}{2}\right)(1+\cos x)$.

\newpage

\item \label{ch5ex12qc}\par~
\vspace*{-2em}
\begin{center}
\includegraphics{193_trigo-10}
\end{center}

Sur le cercle trigonométrique, on lit que dans l'intervalle $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on a $\cos x\geqslant\dfrac{1}{2}$ pour $x\in\left[0~;\dfrac{\pi}{3}\right]$.

\item On calcule : 
\[ A(0)=0\quad ; \quad A\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\quad;\quad A\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}.\]

Gr\^ace à la question \ref{ch5ex12qc}, on conna\^it le signe de $A'(x)$ sur $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$ et on peut établir le tableau de variation de $A$ suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $0$ &  & $\dfrac{\pi}{3}$ &  & $\dfrac{\pi}{2}$\\
\hline
$A'(x)$ &  & $+$ & $0$ & $-$ & \\
\hline
        &  &     & $\frac{3\sqrt{3}}{4}$&  &  \\
$A(x)$  &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
        & 0 &           &  &            & 1\\
        \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item L'aire maximale est obtenue lorsque l'angle $\widehat{BAD}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$ radians, et elle vaut alors $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2014 - Hors programme 2020
%\begin{exo}{Somme d'un sinus et d'un cosinus}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{20}
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=1+\sin x-\dfrac{1}{2}\cos(2x)$.
%
%\begin{questions}
%\item
%\begin{questions}
%\item Prouver que $f$ est périodique sur $\R$.
%\item Démontrer que $f$ n'est ni paire, ni impaire.
%\end{questions}
%\item \'Etablir les variations de $f$ sur $[-\pi~;\pi]$ puis construire la courbe de $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;\pi]$.
%\item Démontrer que les fonctions $f$ et $f^2$ ont les mêmes variations sur $\R$.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item
%\begin{questions}
%\item $f(x+2\pi)=1+\sin(x+2\pi)+\dfrac{1}{2}\cos\big[2(x+2\pi)\big]$.
%
%Comme les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont de période $2\pi$, on trouve :
%\[ f(x+2\pi)=1+\sin x+\dfrac{1}{2}\cos(2x)=f(x).\]
%La fonction $f$ est donc périodique et $2\pi$ en est une période.
%
%\item $f(0)=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$. La fonction n'est donc ni paire ni impaire car pour $x=0$, elle ne vérifie ni $f(-x)=f(x)$, ni $f(-x)=-f(x)$.
%\end{questions}
%
%\item La fonction $f$ est dérivable sur $[-\pi~;\pi]$  puisque les fonctions $\sin$ et $\cos$ le sont. De plus, on a :
%\[ f'(x)=\cos x+\sin(2x). \]
%
%Comme $\sin(2x)=2\sin x\cos x$, on a :
%\[ f'(x)=\cos x+2\sin x\cos x=\cos x(1+2\sin x).\]
%
%Sur $[-\pi~;\pi]$, $\cos x>0$ pour $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{\pi}{2}\right[$ et $1+2\sin x<0$ pour $\sin x<-\dfrac{1}{2}$ donc pour $x\in\left]-\dfrac{5\pi}{6}~;-\dfrac{\pi}{6}\right[$.
%
%Cela permet d'établir le tableau de signes de $f'(x)$ puis le tableau de variation de $f$ :
%
%\Par
%
%\hspace*{-4.5em}
%\begin{tabular}{|C|*{11}{Zc}|}
%\hline\tabulartitle
%$x$ & $-\pi$ &  & $-\frac{5\pi}{6}$ &  & $-\frac{\pi}{2}$ &  & $-\frac{\pi}{6}$ &  & $\frac{\pi}{2}$ &  & $\pi$\\
%\hline
%$\cos x$ &  & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & 0 & $-$ & \\\hline
%$1+2\sin x$ & & $+$ & 0 & $-$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  & $+$ & \\
%\hline
%$f'(x)$ &  & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\
%\hline
%       & 0,5 & & & & 0,5 & &  &  & 2,5 & & \\
%$f(x)$ &     & $\searrow$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
%       &    &  &0,25 & &  &  & 0,25 & & & & 0,5\\
%\hline
%\end{tabular}
%
%\begin{center}
%\includegraphics{195_trigo-11}
%\end{center}
%
%\item D'après le tableau de variation précédent, on constate que le minimum de $f$ sur $[-\pi~;\pi]$ est 0,5, donc la fonction $f$ est positive sur $[-\pi~;\pi]$. Or, $f$ est de période $2\pi$ et $[-\pi~;\pi]$ est d'amplitude $2\pi$ ; par conséquent, $f(x)>0$ pour tout réel $x$.
%
%D'autre part, comme la fonction $f$ est dérivable, la fonction $f^2$ l'est aussi, et sa dérivée est égale à $2ff'$. Or, pour tout réel $x$, $f(x)>0$ donc la dérivée de $f^2$ est du même signe que $f'$, ce qui montre que les deux fonctions, $f^2$ et $f$ ont les mêmes variations sur $\R$.
%\end{questions}
%\end{corrige}
%

%%% 2014 

\begin{exo}{Un algorithme}{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-Fossés}{2}{30}
La fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $f(x)=\sin^2x+\cos x$.

$\mathcal{C}$ est sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

\begin{questions}
\item Démontrer que $f$ est périodique de période $2\pi$.
\item Démontrer que l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$.
\item En déduire que l'on peut restreindre l'intervalle d'étude de $f$ à $[0~;\pi]$.
\item Vérifier que pour tout réel $x$ on a :$f'(x)=(2\cos x-1)\sin x$.
\item Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $[0~;\pi]$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0~;\pi]$.
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $[0~;\pi]$.
\item On considère l'algorithme suivant :\vspace*{-0.5em}

\begin{algorithme}{}
Entrée
\quad Saisir les valeurs de a, b et p
Traitement
\quad Tant que b-a$>$p
\qquad c  $\leftarrow \frac{a+b}{2}$	
\qquad Si $f(a)\times f(c)<0$, alors
\qquad\qquad b $\leftarrow$ c
\qquad Sinon
\qquad\qquad a $\leftarrow$ c
\quad Fin de Tant que
Sortie
\quad Afficher a et b
\end{algorithme}

\begin{questions}
\item Faire fonctionner l'algorithme avec $a=1$, $b=3$ et $p=0,1$ et compléter le tableau suivant:

\Par

\begin{tabular}{|C|*5{Zc|}}
\hline\tabulartitle
\'Etape & Test : $b-a>p$ & $c$ & Test : $f(a)\times f(c)<0$ & $a$ & $b$\\
\hline
 & & & & 1 & 3\\
 \hline
1 & Vrai & 2 & Faux & 2 & 3\\
\hline
2 & & & & & \\
\hline
$\vdots$ & & & & & \\
\hline
\end{tabular}

\item\label{ch5ex12q7b} Quelles sont les valeurs affichées à la sortie de l'algorithme ? Que peut-on en déduire ?
\end{questions}

\item Résoudre l'équation $(E)$ : $X^2-X-1=0$.
\item Montrer que $\alpha$ est solution de $f(x)=0$
si et seulement si $\cos\alpha$ est solution de $(E)$.
\item En déduire la valeur exacte de $\cos\alpha$, puis un encadrement au centième de $\alpha$. Vérifier que ce résultat est en accord avec les valeurs trouvées à la question \ref{ch5ex12q7b}.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont périodiques de période $2\pi$ donc pour tout $x\in\R$ :
\[
f(x+2\pi)=\sin^2(x+2\pi)+\cos(x+2\pi)=\sin^2x+\cos x=f(x).
\]
La fonction $f$ est donc périodique et $2\pi$ en est une période.

\item Pour tout réel $x$, comme la fonction $\sin$ est impaire et la fonction $\cos$ paire, on a :
\begin{align*}
f(-x) & =\sin^2(-x)+\cos(-x)\\
& =(-\sin x )^2+\cos x\\
& =\sin^2x+\cos x\\
& =f(x).
\end{align*}
La fonction $f$ est donc paire, ce qui signifie que l'axe des ordonnées est axe de symétrie de la
courbe dans un repère orthonormé.

\item Comme $f$ est de période $2\pi$, on peut restreindre l'étude de $f$ à l'intervalle $[-\pi~;\pi]$ d'amplitude $2\pi$.

Comme $f$ est paire, et comme l'intervalle $[-\pi~;\pi]$ est symétrique par rapport à 0, il suffit d'étudier $f$ sur le demi-intervalle : $[0~;\pi]$.

\item La fonction $f$ est bien dérivable car les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables sur $\R$.
\[
f'(x)=2\cos x\sin x-\sin x=(2\cos x-1)\sin x.
\]

\item Sur $]0~;\pi[$, $\sin x>0$ et $2\cos x-1>0$ pour $\cos x>\dfrac{1}{2}$, donc pour $x\in\left]0~;\dfrac{\pi}{3} \right[$.

On obtient le tableau de signes de $f'$ puis le tableau de variation de $f$ sur $[0~;\pi]$ suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $0$ &  & $\dfrac{\pi}{3}$ &  & $\pi$\\
\hline
$\sin x$ & $0$ & $+$ &  & $+$ & $0$\\
\hline
$2\cos x-1$ & & $+$ & $0$ & $-$ & \\
\hline
$f'(x)$ & $0$ & $+$ & $0$ & $-$ & $0$\\
\hline
 & & & $\frac{5}{4}$& & \\
$f(x)$ & & $\nearrow$ &  & $\searrow$ & \\
 & $1$ &  &  & & $-1$\\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}


\item Sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{3}~;\pi\right]$, la fonction est continue et strictement décroissante. $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)>0$ et $f(\pi)<0$.  Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel $\alpha$ unique dans $\left[\dfrac{\pi}{3}~;\pi\right]$ tel que $f(\alpha)=0$.

D'autre part, d'après le tableau de variation, la fonction $f$ ne s'annule pas entre 0 et $\dfrac{\pi}{3}$ car son minimum sur cet intervalle est 1.

Par conséquent, $\alpha$ est l'unique réel de $[0~;\pi]$ tel que $f(\alpha)=0$.

\newpage
\item 
\begin{questions}
\item On a le tableau suivant :

\hspace*{-2.8em}
\begin{tabular}{|C|>{\centering\arraybackslash}m{1.5cm}|Zc|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|Zc|Zc|}
\hline\tabulartitle
\'Etape & Test :\newline $b-a>p$ & $c$ & Test :\newline $f(a)\times f(c)<0$ & $a$ & $b$\\
\hline
 & & & & 1 & 3\\
 \hline
1 & Vrai & 2 & Faux & 2 & 3\\
\hline
2 & Vrai & 2,5 & Vrai & 2 & 2,5 \\
\hline
3 & Vrai & 2,25 & Vrai & 2 & 2,25 \\
\hline
4 & Vrai & 2,125 & Faux & 2,125 & 2,25\\
\hline
5 & Vrai & \numprint{2,1875} & Faux & \numprint{2,1875} & 2,25\\
\hline
6 & Faux & & & & \\
\hline
\end{tabular}

\item L'algorithme affiche \numprint{2,1875} et 2,25, qui constituent un encadrement de $\alpha$ d'amplitude
inférieure ou égale à 0,1.
\end{questions}

\item Le discriminant de l'équation $X^2-X-1=0$ est égal à 5. Elle admet donc deux solutions qui sont : $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

\item $\begin{aligned}[t]
f(\alpha)=0 & \iff \sin^2\alpha+\cos\alpha=0\\
& \iff 1-\cos^2\alpha + \cos\alpha = 0\\
& \iff \cos^2\alpha-\cos\alpha-1=0
\end{aligned}$

ce qui signifie que $\cos\alpha$ est une solution de $(E)$.

\item La seule solution de l'équation $(E)$ qui convienne est $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ car\linebreak $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}>1$ et ne peut donc pas \^etre égale à un cosinus. 

Par conséquent, $\cos\alpha=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.

\`A la calculatrice, à l'aide de la touche \TAcos, on trouve \linebreak$2,23<\alpha<2,24$, ce qui est bien compatible avec le résultat de la question \ref{ch5ex12q7b}.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2014

\begin{exo}{Étude de la dérivabilité en 0}{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles}{3}{30}
\begin{questions}
\item On désigne par $g$ la fonction numérique définie sur $[0~;\pi]$ par : 
\[ 
g(x)=x\cos x-\sin x.
\]

\'Etudier $g$ et dresser son tableau de variation.

En déduire le signe de $g(x)$ sur $[0~;\pi]$.

\item Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0~;\pi]$ par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
f(0)=1 & \\
f(x)=\dfrac{\sin x}{x} & ,\quad x\in]0~;\pi]
\end{array}
\right.
\]
Justifier que $f$ est continue en 0, puis étudier les variations de $f$.

\item Étude de la dérivabilité de $f$ en 0.
\begin{questions}
\item Prouver que, pour tout nombre réel $x\geqslant0$,  on a : 
\[
0\leqslant x-\sin x\leqslant \dfrac{x^3}{6}.
\]

\textit{Aide :} pour cela, on introduira la fonction $\varphi$ définie sur $[0~;+\infty[$ par $\varphi(x)=\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}$. On calculera les dérivées $\varphi'$, $\varphi''$ et $\varphi'''$ et on en déduira le signe de $\varphi(x)$.


\item Prouver que $f$ est dérivable en 0 et calculer $f'(0)$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $g$ est dérivable sur $[0~;\pi]$ et :
\[ g'(x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x.\]

Comme sur $]0~;\pi[$, $x>0$ et $\sin x>0$, on en déduit que $g(x)$ est strictement négatif sur cet intervalle donc $g$ est strictement décroissante sur $[0~;\pi]$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*3{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $0$ &  & $\pi$\\
\hline
 & 0 &  & \\
 $g(x)$ &  & $\searrow$ & \\
  &  &  & $-\pi$\\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}

La fonction $g$ admet un maximum égal à 0 en 0, puis elle est strictement décroissante sur $[0~;\pi]$ donc $g(x)<0$ pour $x\in]0~;\pi]$.

\item Pour tout $x\in]0~;\pi]$, $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ , la fonction est continue et dérivable.

De plus,
\[
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-\sin 0}{x-0}=u'(0)=1,
\]
avec $u(x)=\sin x$ et donc $u'(x)=\cos0 = 1$.

\begin{Remarque}
on s'est ici servi du taux d'accroissement de la fonction $\sin$ en 0.
\end{Remarque}

Par conséquent, comme la limite de $f$ en 0 est égale à $f(0)$, la fonction $f$ est, par définition de la continuité, continue en 0.

Pour étudier les variations de $f$, il suffit d'étudier ses variations sur $]0~;\pi]$. On peut donc calculer la dérivée de $f$ sur $]0~;\pi]$ :
\[
f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}.
\]
D'après l'étude du signe de $g(x)$, on en déduit que $f'(x)<0$ sur $]0~;\pi]$ et donc strictement décroissante sur $[0~;\pi]$.

\item
\begin{questions}
\item Soit $\varphi(x)=\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}$. Tous les calculs suivants sont sur $[0~;\pi]$. On a :
\[
\varphi'(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}\quad,\quad\varphi''(x)=-\sin x+x\]
\[\text{et}\quad\varphi'''(x)=-\cos x+1.\]

Comme $\cos x\leqslant1$, $\varphi'''(x)\geqslant0$ ; la fonction $\varphi''$ est donc croissante.

Comme de plus $\varphi''(0)=-\sin 0+0=0$, on a alors $\varphi''(x)\geqslant0$ ; cela prouve que la fonction $\varphi'$ est croissante.

On a encore $\varphi'(0)=\cos0-1+\dfrac{0^2}{2}=0$ et, par conséquent,\linebreak $\varphi'(x)\geqslant0$.

La fonction $\varphi$ est par conséquent croissante, et comme $\varphi(0)=0$, on obtient que $\varphi(x)\geqslant0$.

Ainsi,
\[
-\sin x+x\geqslant0 \text{ (car }\varphi''(x)\geqslant0)\text{ et }\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}\geqslant0\;,
\]
c'est-à-dire :
\[
0 \leqslant x-\sin x\leqslant\dfrac{x^3}{6}.
\]
Cela justifie donc l'encadrement proposé. 

\item Pour étudier la dérivabilité de $f$, il faut étudier la limite lorsque $x$ tend vers 0 du taux de variation : 
\[
\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}=\dfrac{\sin x-x}{x^2}.
\]
D'après la question précédente, $0\leqslant x-\sin x\leqslant \dfrac{x^3}{6}$, donc en multipliant par $-1$ et en divisant par $x^2$, on a :
\[
-\dfrac{x}{6}\leqslant\dfrac{\sin x-x}{x^2}\leqslant0.
\]
Le théorème de limite par encadrement permet donc de prouver que :
\[
\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x-x}{x^2}=0.
\]
La limite du taux d'accroissement de $f$ entre 0 et $x$ existe et elle est finie, donc $f$ est dérivable
en 0, et sa dérivée est égale à la limite, c'est-à-dire $f'(0)=0$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}





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