\chapter{Primitives\\et équations différentielles} 

\section{Primitives}

\begin{exointro}{Lycée Alain, le Vésinet}
% auteur : pasquet
On considère la fonction $f$ définie sur $\R\setminus\{-1;3\}$ par:
\[
f(x)=\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2-2x-3}.
\]
\begin{questions}
\item Montrer que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme :
\[
f(x)=a + \dfrac{b}{x-3} + \dfrac{c}{x+1}.
\]

\item En déduire la primitive de $f$ qui s'annule pour $x=0$.
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Introduction}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle \textit{primitives} de $f$ toutes les fonctions $F$ dérivables sur $I$ telles que $F'=f$ sur $I$.
\end{defin}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item Les primitives de $f(x)=\nep^x$ sur $\R$ sont les fonctions $F\;:\;x\mapsto \nep^x + k$, $k\in\R$. En effet, si on dérive $F(x)$, on obtient : $F'(x)=\nep^x = f(x)$.

\item Les primitives de $g(x)=\cos x$ sur $\R$ sont les fonctions $G\;:\;\sin x + k$, $k\in\R$ car $G'(x)=g(x)$.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{Remarque}
il y a une infinité de primitives; on dit qu'elles sont définies \textit{à une constante près} (que nous avons notée $k$ dans les exemples précédents). Mais dès que l'on impose une condition sur une de leurs valeurs, il n'en existe plus qu'une. Cette condition est parfois appelée \textit{condition initiale}.

Par exemple, la primitive $G$ de la fonction $g$ définie par $g(x)=\cos x$ telle que $G(\pi)=0$ est $G(x)=\sin x$.
\end{Remarque}

\begin{thm}
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
\end{thm}

\subsection{Primitives usuelles}

Un tableau de dérivées usuelles donne, par lecture inverse, un tableau de\linebreak primitives à connaître.
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{array}{|c|l>{\text{avec } k\in \R}c|}
\hline\tabulartitle
\text{ La fonction usuelle }  & \multicolumn{2}{c|}{\text{ Ses primitives }}\\
\hline
x \mapsto 1   & x\mapsto x + k & \\
\hline 
x \mapsto x^n \quad 
\begin{array}{c}
\text{avec } x \in \R \text{ si } n \in \N^* \\ 
\text{et } x \neq 0 \text{ si } n \in \N
\end{array} 
& x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k\rule[-1mm]{0pt}{8mm}  &\\
\hline
x \mapsto \dfrac{1}{x}\rule[-2mm]{0pt}{8mm} \text{ avec } x > 0 & x \mapsto \ln x+k &\\
\hline
x \mapsto \dfrac{1}{x^2} \text{ avec } x \neq 0 & x \mapsto -\dfrac{1}{x}+k\rule[-4mm]{0pt}{10mm}  &\\
\hline
x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}\rule[-4mm]{0pt}{10mm} \text{ avec } x > 0 & x \mapsto 2\sqrt{x}+k &\\
\hline
x\mapsto \nep^x & x \mapsto \nep^x +k &\\
\hline
x \mapsto \sin x & x \mapsto -\cos x +k &\\
\hline
x\mapsto \cos x & x \mapsto \sin x + k &\\
\hline
\end{array}
\]

\newpage

\subsection{Primitives et fonctions composées}

Il est souvent possible de mettre en évidence la dérivée d'une fonction composée. Le tableau suivant regroupe les cas les plus courants ($u$ désigne une fonction dérivable sur un intervalle $I$).

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline\tabulartitle
\text{Fonction $f$}&\text{Une primitive $F$}&\text{Conditions}\\
\hline
u'u^n &\dfrac{u^{n+1}}{n+1} \rule[-4mm]{0pt}{11mm} & n\in\Z\setminus\{-1\}\\
\hline
\dfrac{u'}{\sqrt{u}}&2\sqrt{u}&u>0 \text{ sur $I$.} \rule[-4mm]{0pt}{10mm}\\
\hline
\dfrac{u'}{u}&\ln |u|&u\neq0 \text{ sur $I$.} \rule[-4mm]{0pt}{10mm} \\
\hline
u'\nep^u&\nep^u& \rule[-2mm]{0pt}{6mm} \\
\hline
x\mapsto f(ax+b)\quad a\neq0&x\mapsto\dfrac{1}{a} F(ax+b)&\text{$F$ primitive de $u$ sur $I$.} \rule[-4mm]{0pt}{10mm} \\
\hline
\end{array}
\]

\begin{Exemples}
Dans les exemples suivants, nous prenons $u(x)=x^2+x+1$, en remarquant que pour tout réel $x$, $u(x)>0$.
\begin{itemize}
\item Une primitive de $f(x)=(2x+1)\big(x^2+x+1\big)^5$ est : $F(x)=\dfrac{1}{6}\big(x^2+x+1\big)^6$.
\item Une primitive de $f(x)=\dfrac{2x+1}{\big(x^2+x+1\big)^2}$ se trouve en mettant $f(x)$ sous la forme $f(x)=(2x+1)\big(x^2+x+1\big)^{-2}$. 

On trouve alors : $F(x)=\dfrac{1}{-2+1}\big(x^2+x+1\big)^{-2+1}$, soit $F(x)=-\dfrac{1}{x^2+x+1}$.
\item Une primitive de $f(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}$ est : $F(x)=2\sqrt{x^2+x+1}$.
\item Une primitive de $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$ est : $F(x)=\ln\big(x^2+x+1\big)$.
\item Une primitive de $f(x)=(2x+1)\nep^{x^2+x+1}$ est : $F(x)=\nep^{x^2+x+1}$.
\end{itemize}
De plus, une primitive de $f(x)=\sin(4x-5)$ est : $F(x)=-\dfrac{1}{4}\cos(4x-5)$.
\end{Exemples}

\newpage

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Commençons avant tout par réduire au même dénominateur la forme donnée par l'énoncé:
\begin{align*}
a + \dfrac{b}{x-3} + \dfrac{c}{x+1} & = \dfrac{a(x-3)(x+1) + b(x+1) + c(x-3)}{(x-3)(x+1)}\\
& = \dfrac{ax^2-2ax-3a+bx+b+cx-3c}{x^2-2x-3}\\
& = \dfrac{ax^2+(-2a+b+c)x-3a+b-3c}{x^2-2x-3}.
\end{align*}
Nous venons ainsi d'obtenir une expression de la même forme que celle de $f(x)$.

Ainsi, si cette dernière expression doit être égale à $f(x)$ pour tout réel $x$ de son domaine de définition, alors:
\[
\dfrac{ax^2+(-2a+b+c)x-3a+b-3c}{x^2-2x-3} = \dfrac{2x^2-3x+1}{x^2-2x-3}
\]
ce qui signifie que les coefficients doivent être égaux deux à deux;\linebreak autrement dit:
\[
\begin{cases}
a & = 2\\
-2a+b+c & = -3\\
-3a+b-3c & = 1
\end{cases}
\quad\text{soit}\qquad
\begin{cases}
a & = 2\\
b+c & = 1\\
b-3c & = 7
\end{cases}.
\]
En soustrayant la 3\ieme{} équation à la 2\ieme{}, on obtient:
\[
(b+c)-(b-3c)=1-7 \quad\text{soit}\quad 4c=-6\quad\text{et donc}\quad c = \dfrac{-6}{4}=-\dfrac{3}{2}.
\]
En remplaçant $c$ par cette valeur dans la 2\ieme{} équation, on obtient:
\[
b-\dfrac{3}{2}=1\qquad\text{soit}\qquad b=\dfrac{5}{2}.
\]
Finalement,
\[
f(x)=2+\dfrac{5}{2}\times\dfrac{1}{x-3} - \dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{x+1}.
\]

\item $f$ est la somme des fonctions :
\[
u\;:\;x\mapsto2,\qquad v\;:\;x\mapsto\dfrac{5}{2}\times\dfrac{1}{x-3},\qquad w\;:\;x\mapsto-\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{x+1}.
\]
Une primitive de $u$ est la fonction :
\[
U\;:\;x\mapsto 2x+ C_1, \quad C_1\in\R.
\]
Une primitive de $v$ est la fonction :
\[
V\;:\;x\mapsto\dfrac{5}{2}\ln|x-3|+C_2,\quad C_2\in\R.
\]
Une primitive de $w$ est la fonction :
\[
W\;:\;x\mapsto-\dfrac{3}{2}\ln|x+1|+C_3,\quad C_3\in\R.
\]
\vspace*{-2em}
\BreakWithoutItem
Ainsi, une primitive de $f$ est la fonction $F = U+V+W$, soit :
\[
F(x)=2x+\dfrac{5}{2}\ln|x-3|-\dfrac{3}{2}\ln|x+1|+C,\quad C\in\R.
\]
On souhaite trouver la primitive s'annulant pour $x=0$.
\begin{align*}
F(0) = 0 & \iff 2\times0+\dfrac{5}{2}\ln|0-3|-\dfrac{3}{2}\ln|0+1|+C=0\\
& \iff 0 + \dfrac{5}{2}\ln 3 - 0 = -C\\
& \iff C = -\dfrac{5}{2}\ln 3.
\end{align*}

La primitive demandée est donc:
\[
F(x)=2x+\dfrac{5}{2}\ln|x-3|-\dfrac{3}{2}\ln|x+1|-\dfrac{5}{2}\ln 3.
\]
\end{questions}
\end{solintro}


\section{\'Equations différentielles}

\begin{exointro}{Nouveau programme}
\begin{questions}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y'=3y-9$.
\item On pose (E) : $y'=2y-x^3$.
\begin{questions}
\item Montrez que $y_1(x)=\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{8}$ est une solution particulière de (E).
\item En déduire toutes les solutions de (E).
\end{questions}
\end{questions}
\vspace{-1.5em}
\end{exointro}

\subsection{y' = ay}

\begin{defin}
Soit $a$ un nombre réel. Résoudre l'équation différentielle $y'=ay$ d'inconnue $y$ signifie trouver toutes les fonctions $y$ dérivables sur un intervalle $I$  telles que pour tout réel $x$ dans $I$, $y'(x)=ay(x)$. 
\end{defin}

\enlargethispage*{4em}
\begin{anecdote}
Une \textit{différentielle} est, dans le vocabulaire scientifique, une dérivée. C'est la raison pour laquelle une équation où l'inconnue est une fonction qui est dérivée au moins une fois est qualifiée d'équation différentielle.
\end{anecdote}

\newpage
\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $y' + y = 0$ est une équation différentielle du type $y'=ay$ avec $a=-1$ car $y'+y=0 \iff y'=-y$.
\item $y'=\dfrac{1}{2}y$ est aussi une équation différentielle du type $y'=ay$ avec $a=\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{prop}
L'équation:
\[
y'=ay
\]
admet pour solutions les fonctions $y$ de la forme:
\[
y(x)=C\nep^{ax},\quad C\in\R.
\]
\end{prop}

\begin{Remarque}
il existe donc une infinité de solutions, définies à une constante $C$ près.
\end{Remarque}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item L'équation différentielle $y'=-y$ admet pour solutions: 
\[
y(x)=C\nep^{-x},\quad C\in\R.
\]
On peut facilement vérifier en calculant sa dérivée:
\[
y'(x)=-C\nep^{-x}=-y(x).
\]


\item L'équation différentielle $y'=\dfrac{1}{2}y$ admet pour solutions:
\[
y(x)=C\nep^{\frac{1}{2}x},\quad C\in\R.
\]
On peut vérifier en calculant:
\[
y'(x)=\dfrac{1}{2}C\nep^{\frac{1}{2}x}=\dfrac{1}{2}y(x).
\]
\end{itemize}
\end{Exemples}

\subsection{y' = ay + b}

\begin{prop}
Soient $a$ et $b$ deux réels. L'équation différentielle $y'=ay+b$ admet pour solutions les fonctions $y$ telles que:
\[
y(x) = C\nep^{ax}-\dfrac{b}{a},\quad C\in\R.
\]
\end{prop}

\Par

\begin{Exemple}
l'équation différentielle $y' = 3y + 7$ admet pour solutions:
\[
y(x)=C\nep^{3x}-\dfrac{7}{3},\quad C\in\R.
\]
\Break
On peut vérifier en calculant sa dérivée:
\[
y'(x)=3C\nep^{3x}
\]
puis en calculant:
\begin{align*}
y'(x)-3y(x) & = 3C\nep^{3x}-3\left(C\nep^{3x}-\dfrac{7}{3}\right)\\[6pt]
y'(x)-3y(x)& = 3C\nep^{3x}-3C\nep^{3x}+3\times\dfrac{7}{3}\\
y'(x)-3y(x)& = 7.
\end{align*}
On a bien : $y'-3y=7$, soit $y'=3y+7$.
\end{Exemple}

\subsection{y' = ay + f}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction. On appelle \textit{équation homogène associée} à l'équation\linebreak $y'=ay+f$ l'équation différentielle $y'=ay$.
\end{defin}

\begin{Remarque}
si on note (E) l'équation $y'=ay+f$, on note (E$_0$) son équation homogène associée.
\end{Remarque}

\begin{methode}
Pour résoudre l'équation $y'=ay+f$, on utilise la méthode suivante:
\begin{questions}
\item On résout d'abord (E$_0$).

On trouve les solutions de l'équation homogène associée à (E):
\[
y_0(x)=C\nep^{ax}.
\]

\item On trouve une solution particulière de (E).

On la note par exemple $u$; dans ce cas, on a :
\[
u'(x)-au(x)=f(x).
\]
\item On ajoute les solutions.

Les solutions de (E) sont alors:
\[
y(x)=y_0(x)+u(x).
\]
\end{questions}


En Terminale, une solution particulière vous sera proposée la plupart du temps. Dans le cas contraire, il faut s'inspirer de la forme de $f(x)$ pour en trouver une. Par exemple, si $f(x)$ est un polynôme de degré 2 alors une solution particulière est aussi un polynôme de degré 2, comme l'illustre l'exemple page suivante.
\end{methode}

\newpage

\begin{Exemple}
on considère l'équation différentielle:
\[
y' = -2y + x^2.\tag{E}
\]
\begin{questions}
\item On résout l'équation homogène associée à (E).
\[
y'=-2y\tag{E$_0$}
\]
admet pour solutions:
\[
y_0(x)=C\nep^{-2x},\quad C\in\R.
\]

\item Solution particulière de (E).

On pose $y_1(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}$. On souhaite montrer que $y_1$ est une solution particulière de (E). On calcule pour cela sa dérivée:
\[
y_1^\prime(x)=x-\dfrac{1}{2}.
\]
Ensuite, on calcule:
\begin{align*}
-2y_1(x)+x^2 & = -2\left(\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\right)+x^2\\
& = -x^2+x-\dfrac{1}{2}+x^2\\
& = x-\dfrac{1}{2}\\
& = y_1^\prime(x).
\end{align*}
$y_1$ est donc bien solution de (E).

\item On conclut en ajoutant les deux résultats.

Les solutions de (E) sont donc:
\[
y(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+C\nep^{-2x},\quad C\in\R.
\]
\end{questions}
\end{Exemple}

\enlargethispage*{3em}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item L'équation \mbox{$y'=3y-9$} est une équation différentielle du type\linebreak $y'=ay+b$ donc d'après le cours, les solutions de cette équation sont les fonctions:
\[
y(x)=C\nep^{3x}-\dfrac{-9}{3},\qquad C\in\R
\]
soit, après simplification:
\[
y(x)=C\nep^{3x}+3,\qquad C\in\R.
\]
On vérifie en calculant:
\begin{align*}
y'(x)-3y(x) & = 3C\nep^{3x}-3\big(C\nep^{3x}+3\big)\\
& = 3C\nep^{3x}-3C\nep^{3x}-9\\
& = -9.
\end{align*}
On a bien $y'-3y=-9$, soit $y'=3y-9$.

\vspace*{-2em}
\Break

\item On pose (E) : $y'=2y-x^3$.
\begin{questions}
\item $y_1(x)=\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{8}$ donc:
\[
y_1^\prime(x) = \dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{4}.
\]
On a alors:
\begin{align*}
y_1^\prime(x)-2y_1(x) & = \dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{4} - 2\left( \dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{8} \right)\\
& = -x^3.
\end{align*}
Ainsi, $y_1^\prime(x) = 2y_1(x)-x^3$. La fonction $y_1$ est donc une solution de (E).

\item De la solution particulière $y_1(x)$, on déduit que l'ensemble des solutions de (E) sont les fonctions:
\[
y(x)=y_1(x)+y_0(x)
\]
où $y_0(x)$ sont les solutions de l'équation homogène associée à (E), donc de la forme:
\[
y_0(x)=C\nep^{2x},\qquad C\in\R.
\]
Ainsi, les solutions de (E) sont:
\[
y(x)=\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{8}+C\nep^{2x},\qquad C\in\R.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}

