\chapter{Intégration}

\begin{exointro}{Lycée Henri IV, Paris}
On appelle $A(x)$ l'aire comprise entre la droite d'équation $y=3$ et la\linebreak parabole d'équation $y=x^2$. 

Calculer $A(x)$. 
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}

\section{Intégrale et aire}

\subsection{Introduction}

\begin{defin}[unité d'aire]
Dans un repère orthogonal $\left(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$, on appelle \textit{unité d'aire} l'aire du rectangle défini par les vecteurs $\vec\imath$ et $\vec{\jmath}$.
\end{defin}

\enlargethispage*{4em}
\begin{defin}[intégrale d'une fonction positive]
Soit $f$ une fonction \emph{continue} et \emph{positive} sur un intervalle $[a~;b]$, et soit $\mathcal {C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$.  

L'\textit{intégrale} de $a$ à $b$ de la fonction $f$ est l'aire du domaine situé entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle $[a~;~b]$; elle est exprimée en unité d'aire (en abrégé : ua).
On la note :
\[
\mathscr{A}=\int_a^b f(x)\dd x.
\]
\end{defin}

\begin{center}
\includegraphics{233_integrale-fig1}
\end{center}

\begin{defin}[intégrale d'une fonction négative]
Soit $f$ une fonction \textit{continue} et \textit{négative} sur un intervalle $[a~;b]$, et soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 

Le nombre  $\int_a^b f(x)\dd x$ est égal à l'opposé de l'aire du domaine situé entre l'axe des abscisses et la courbe  $\mathcal{C}$ sur $[a~;~b]$.
\end{defin}


On étend la définition du symbole $\int_a^b f(x)\dd x$ au cas $a>b$ en posant alors :
\[
\int_a^bf(x)\dd x=-\int_b^a f(x) \dd x.
\]
C'est l'\emph{intégrale de $a$ à $b$} de $f$ (attention à ne pas
évoquer l'\emph{intervalle $[a~;b]$} si $a>b$).

\subsection{Propriétés de l'intégrale}

\begin{thm}[relation de Chasles]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$, $b$, $c$ trois réels appartenant à $I$. Alors :
\[
\int_a^b f(x)\dd x=\int_a^c f(x)\dd x + \int_c^b f(x)\dd x.
\]
\end{thm}

\begin{attention}
Il n'existe aucune condition d'ordre entre les réels $a$, $b$ et $c$. La relation de Chasles n'impose pas d'avoir $a<b<c$.
\end{attention}

\begin{Exemple}
quand la fonction $f$ n'est pas de signe constant sur $[a~;~b]$, on utilise la relation de Chasles pour déterminer son intégrale de $a$ à $b$.
\end{Exemple}
\begin{center}
\includegraphics{234_integrale-fig2}
\end{center}
\Par
\[
\int_a^b f(x)\dd x = \underbrace{\int_a^c f(x)\dd x}_{>0} + \underbrace{\int_c^d f(x)\dd x}_{<0} + \underbrace{\int_d^b f(x)\dd x}_{>0}.
\]
L'intégrale désigne alors une \textit{aire algébrique}, c'est-à-dire une aire avec un signe (positif ou négatif).

Sur cet exemple, il semble que $\int_a^b f(x)\dd x>0$ car la somme de l'aire des domaines situés au-dessus de l'axe des abscisses semble  supérieure à celle du domaine situé en dessous.



\begin{props}
Pour tout réel $a$,
\begin{itemize}
\item si $f$ est impaire, alors :
\[
\int_{-a}^{a} f(x)\dd x=0\,;
\]
\item si $f$ est paire, alors:
\[
\int_{-a}^{a} f(x)\dd x=2\int_{0}^{a} f(x)\dd x\,;
\]
\item si $f$ est périodique de période $T$, alors :
\[
\int_a^{a+T}f(x)\dd x=\int_0^T f(x)\dd x.
\]
\end{itemize}
\end{props}

\begin{Exemple}
la fonction $x\mapsto\sin x$ est impaire et $2\pi$-périodique donc:
\[
\forall\; a\in\R,\quad\int_{-a}^a \sin x \dd x = 0\qquad\text{et}\qquad\int_a^{a+2\pi}\sin x\dd x = \int_0^{2\pi} \sin x\dd x.
\]
\end{Exemple}

 
\begin{thm}[linéarité de l'intégrale]
Quelles que soient les fonctions continues $f$ et $g$, pour tous réels $\lambda$ et $\mu$:
\[
\int_a^b \big(\lambda f(x)+\mu g(x)\big)\dd x=\lambda \int_a^b f(x)\dd x+\mu
\int_a^b g(x)\dd x.
\]
\end{thm}

\begin{Exemple}
$\displaystyle\int_{0}^1 \big(3x^2-5x+1\big)\dd x = 3\int_0^1 x^2\dd x - 5\int_0^1 x\dd x + \int_0^1 1\dd x$.
\end{Exemple}


\begin{props}[positivité de l'intégrale]
\begin{itemize}
\item Si pour tout $x$ de $[a~;b]$, $f(x) \geqslant 0$, alors : $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\dd x \geqslant 0$. 

\item Si pour tout $x$ de $[a~;b]$, $f(x) \leqslant 0$, alors : $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\dd x \leqslant 0$.
\end{itemize}
\end{props}

\begin{Exemple}
sur $[0~;~1]$, $x^2\geqslant0$ donc $\displaystyle\int_0^1 x^2 \dd x \geqslant 0$.
\end{Exemple}
 
\begin{prop}[intégration des inégalités]
Si pour tout nombre réel $x$ de $[a~;b]$, $g(x) \leqslant f(x)$, alors : 
\[
\int_{a}^{b} g(x)\dd x \leqslant \int_{a}^{b} f(x)\dd x.
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
on sait que pour $x>0$, $\ln x < x$ donc $\displaystyle\int_1^2 \ln x\dd x < \int_1^2 x \dd x$.
\end{Exemple}

\section{Calcul d'une intégrale}

\subsection{Lien entre intégrale et primitive}

\begin{thm}
Si $f$ est une fonction continue positive sur $[a~;~b]$ alors la fonction $F_a$ définie sur $[a~;~b]$ par :
\[
F_a(x)=\int_a^x f(t)\dd t
\]
est la primitive de $f(x)$ qui s'annule en $a$.
\end{thm}

\begin{coro}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a~;~b]$, et soit $F$ une primitive de $f$ sur $[a~;~b]$. Alors,
\[
\int_a^b f(x) \dd x = F(b) - F(a).
\]
\end{coro}

\begin{Remarque}
$F(b)-F(a)$ est aussi noté $\big[F(x)\big]_a^b$.
\end{Remarque}

\begin{Exemple}
on sait qu'une primitive de $f(x)=x^2$ est $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3$ donc:
\[
\int_0^1 x^2 \dd x  = F(1)-F(0) = \dfrac{1}{3}.
\]
\end{Exemple}

\newpage
\subsection{Valeur moyenne d'une fonction}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a~;~b]$. On appelle \textit{valeur moyenne de $f$} le nombre $\mu$ tel que:
\[
\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\dd x.
\]
\end{defin}

Graphiquement, cette valeur correspond à la hauteur du rectangle de base $b-a$ qui a la même aire que le domaine situé entre l'axe des abscisses et la courbe représentative de $f$ sur $[a~;~b]$:

\Par

\begin{center}
\includegraphics{237_integrale-fig3}

\Par

L'aire du rectangle hachuré est égale à $\displaystyle\int_a^b f(x)\dd x$.
\end{center}

\begin{prop}
Si $f$ est une fonction continue et $T$-périodique alors:
\[
\mu=\dfrac{1}{T}\int_0^T f(x)\dd x.
\]
\end{prop}

\begin{plusloin}
En sciences physiques, la \textit{valeur efficace} est définie comme étant la racine carrée de la valeur moyenne du carré de la fonction : $e=\displaystyle\sqrt{\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f^2(x)\dd x}$.
\end{plusloin}

\newpage

\begin{solintro}
Le cas qui nous intéresse correspond à la figure :
\begin{center}
\includegraphics{238_integrale-solintro}
\end{center}
L'aire $A(x)$, en unité d'aire, est donc égale à l'aire du rectangle $ABCD$ moins \og l'aire sous la courbe  \fg :
\begin{align*}
A(x)&= \text{Aire}(ABCD)-\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} x^2\dd x\\
&= 6 \sqrt{3}-2\int_{0}^{\sqrt{3}} x^2\dd x 
\quad\text{(car } x\mapsto x^2 \text{ est paire)}\\
&= 6 \sqrt{3}-2 \left[ \dfrac{1}{3}x^3 \right]_0^{\sqrt3}\\
&= 6 \sqrt{3}-2 \times \dfrac{1}{3} \times 3 \sqrt{3}\\
&= 4 \sqrt{3}.
\end{align*}
\vspace*{-2.5em}
\end{solintro}

\section{Intégration par parties}

\begin{exointro}{Lycée français de New Dehli}
Soit $n$ un entier naturel. 

Exprimer en fonction de $n$ l'intégrale:
\[
I_n = \int_1^\nep x^n \ln x \dd x.
\]
\vspace*{-2.5em}
\end{exointro}

\begin{thm}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et de dérivées continues sur $[a~;~b]$. Alors,
\[
\int_a^b u'(x) \times v(x) \dd x = \big[ (uv)(x) \big]_a^b - \int_a^b u(x) \times v'(x)\dd x.
\]
\end{thm}

\begin{Exemple}
en posant $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln x$ sur $[1~;~\nep]$, on obtient $u(x)=x$\linebreak (à une constante près) et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$. Le théorème donne alors:
\begin{align*}
\int_1^\nep 1 \times \ln x \dd x & = \big[ x \times \ln x\big]_1^\nep - \int_1^\nep x\times\dfrac{1}{x}\dd x\\
& = [\nep\ln\nep - 1\ln 1] - \int_1^\nep 1\dd x\\
& = \nep - \big[ x \big]_1^\nep\\
& = \nep - (\nep - 1)\\
\text{Donc }\int_1^\nep \ln x\dd x& = 1.
\end{align*}
\end{Exemple}

\begin{plusloin}
L'intégration par parties est un outil très puissant. Si l'on s'inspire de l'exemple précédent, on peut écrire pour $a>0$ et $x>0$:
\[
\int_a^x \ln(t)\dd t= x\ln x - x - (a\ln a-a).
\]
On peut en conclure qu'une primitive de la fonction $x\mapsto\ln x$\\
est la fonction $x\mapsto x\ln x-x$.
\end{plusloin}

\begin{solintro}
Posons:
\begin{multicols}{2}
$u'(x) = x^n$

$v(x) = \ln x$
\end{multicols}

Alors,

\begin{multicols}{2}
$u(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$

$v'(x)=\dfrac{1}{x}$
\end{multicols}

et par intégration par parties, on obtient:

\begin{align*}
I_n & = \big[u(x)v(x)\big]_1^\nep - \int_1^\nep u(x)v'(x)\dd x\\[10pt]
& = \left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ln x\right]_1^\nep - \int_1^\nep \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\times\dfrac{1}{x}\dd x
\end{align*}
\Break
\begin{align*}
I_n & = \left(\dfrac{\nep^{n+1}}{n+1}\ln \nep - \dfrac{1^{n+1}}{n+1}\ln 1\right) - \int_1^\nep\dfrac{x^n}{n+1} \dd x\\[10pt]
& = \dfrac{\nep^{n+1}}{n+1} - \dfrac{1}{n+1}\int_1^\nep x^n \dd x\\[10pt]
& =  \dfrac{\nep^{n+1}}{n+1} - \dfrac{1}{n+1}\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_1^\nep\\[10pt]
& = \dfrac{\nep^{n+1}}{n+1} - \dfrac{1}{(n+1)^2}\left(\nep^{n+1}-1\right)\\[10pt]
& = \dfrac{(n+1)\nep^{n+1}-\nep^{n+1}+1}{(n+1)^2}\\[10pt]
& = \dfrac{n\nep^{n+1}+1}{(n+1)^2}.
\end{align*}
\end{solintro}