\chapter{Succession d'épreuves indépendantes}

\section{Répétition d'expériences identiques et\\indépendantes}

\begin{exointro}{Lycée La Bruyère, Versailles}
On dispose d'un dé cubique équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges.\par 
Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue.
\begin{questions}
\item Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient noires.
\item Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu les deux faces obtenues soient de même couleur.
\item Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu les deux faces obtenues soient de couleurs différentes.
\end{questions}
\end{exointro}

\begin{defin}
On dit qu'il y a \textit{répétition d'expériences identiques et indépendantes} lorsque la même expérience est effectuée plusieurs fois, dans les mêmes conditions, et que le résultat d'une réalisation n'a pas d'influence sur le résultat de la suivante.

Les issues de la répétition d'expériences sont des listes d'issues de l'expérience répétée.
\end{defin}

\newpage

\begin{prop}
La probabilité d'une liste de résultats d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes est égale au produit des probabilités de chaque issue qui constitue cette liste.
\end{prop}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item  On note $V$ (respectivement $N$, $R$) l'événement \og obtenir une face verte (respectivement noire, rouge)\fg.
\begin{center}
\includegraphics{318_binom-01}
\end{center}
\item L'expérience est la répétition, de façon indépendante, de deux expériences identiques. Les issues sont donc des listes de résultats de l'expérience répétée, et la probabilité d'une liste est le produit des probabilités des résultats qui la composent.\\
Puisque le dé est équilibré, la probabilité d'obtenir $V$ à un lancer est $\dfrac{1}{6}$, celle d'obtenir $N$ est $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ et celle d'obtenir $R$ est $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.\par 
Alors $P(N,N)=\left( \dfrac{1}{3}\right) ^2=\dfrac{1}{9}$.

\item Les deux faces obtenues sont de la même couleur si elles sont toutes les deux vertes, noires, ou rouges. La probabilité de cet événement est donc (voir page suivante) :
\BreakWithoutItem
\[P(V,V)+P(N,N)+P(R,R)=\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}.\]

\item L'événement \og Les deux faces obtenues ne sont pas de la même couleur \fg{} est l'événement contraire de \og Les deux faces sont de la même couleur\fg. La probabilité d'avoir deux faces de couleurs différentes est donc\linebreak$1-\dfrac{7}{18}=\dfrac{11}{18}$.
\end{questions}
\end{solintro}

\section{Schéma de Bernoulli}

\begin{exointro}{Lycée Hector Berlioz, Vincennes}
Cinq amis se sont inscrits sur internet à un tirage au sort pour recevoir gratuitement un magazine. La probabilité $p$ d'être choisi est 0,32. Pour chaque réponse, on donnera d'abord la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près.
\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité $P_1$ que les cinq amis reçoivent le magazine?
\item Quelle est la probabilité $P_2$ qu'au moins un des cinq ne reçoive pas le magazine?
\item Quelle est la probabilité $P_3$ qu'au moins un des cinq reçoive le magazine?
\item Quelle est la probabilité $P_4$ qu'exactement trois des amis reçoivent le magazine?
\end{questions}
\end{exointro}

\begin{defin}[épreuve de Bernoulli]
Une \textit{épreuve de Bernoulli} est une expérience aléatoire où seules 2 issues sont possibles : le \textit{succès} ($S$) et l'\textit{échec} ($\bar{S}$).
\end{defin}

\begin{center}
\includegraphics{319_binom-02}
\end{center}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item Sur une chaîne de production de smartphones, on en choisit un au hasard. L'épreuve consistant à regarder s'il est défectueux est une épreuve de Bernoulli: il est soit défectueux ($S$) soit non défectueux ($\bar{S}$).

\item Dans une trousse, on choisit au hasard un stylo. L'épreuve consistant à regarder s'il est rouge est une épreuve de Bernoulli : soit il l'est ($S$), soit il ne l'est pas ($\bar{S}$).
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{defin}[loi de Bernoulli]
On considère une épreuve de Bernoulli dont le succès est de probabilité $p$.

La loi de Bernoulli associée à cette épreuve est la suivante :

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|Zc|Zc|}
\tabulartitle\hline
$X = k$ & 0 & 1\\
\hline
$P(X = k)$  & $1-p$ & $p$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{defin}


\begin{defin}[schéma de Bernoulli]
On répète $n$ fois une même épreuve de Bernoulli dans les mêmes conditions (on dit : \textit{de façon indépendante}). Cette succession d'épreuves est appelée un \textit{schéma de Bernoulli}.
\end{defin}

On représente un schéma de Bernoulli de la manière suivante :

\begin{center}
\includegraphics{320_binom-03}

\textit{Exemple d'une succession de trois épreuves de Bernoulli}
\end{center}

\begin{Remarque}
l'épreuve, la loi et le schéma de Bernoulli tirent leur nom du mathématicien Jacques Bernoulli (1654 -- 1705).
\end{Remarque}

\subsection{Loi Binomiale}

\vspace*{-1em}
\begin{defin}
On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès est $p$. On répète $n$ fois de façon indépendante cette épreuve, et on note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de succès à l'issue de cette succession d'épreuves. 

On dit que la loi de probabilité de $X$ est la \textit{loi binomiale} de paramètres $n$ et $p$, et on note $X \hookrightarrow \mathcal{B}(n;p)$.
\end{defin}

À l'issue de ces $n$ épreuves, $X$ peut valoir 0, 1, 2, ... jusqu'à $n$.

\vspace*{-.5em}
\begin{prop}[nombre de chemins à $k$ succès]
Si on répète $n$ fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli alors il y a $\dbinom{n}{k}$ chemins comportant exactement $k$ succès.
\end{prop}

En effet, on regarde combien de \og mots \fg{} de $n$ lettres (prises dans l'alphabet \{$S,\bar{S}$\}) comportent exactement $k$ lettres \og $S$ \fg. Cela revient à choisir sans ordre et sans remise $k$ emplacements ($1\leqslant k\leqslant n$) où seront placés les \og S \fg, et mettre les \og $ \overline{S}$ \fg{} aux emplacements restants. Il s'agit donc d'une combinaison, d'où un nombre égal à $\dbinom{n}{k}$.

\vspace*{-.5em}
\begin{prop}
Soit $X \hookrightarrow \mathcal{B}(n;p)$.

Alors, pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$, 
\[
P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.
\]
\end{prop}

\enlargethispage*{3em}

\vspace*{-.5em}
\begin{solintro}
L'expérience décrite est modélisée par un schéma de Bernoulli, composé de 5 répétitions d'une épreuve de Bernoulli dont le succès, recevoir le magazine, a pour probabilité $0,32$. La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre d'amis qui reçoivent le magazine suit donc la loi binomiale de paramètre 5 et $0,32$.
\begin{questions}
\item $P_1=P(X=5)=\dbinom{5}{5}\times0,32^5\times(1-0,32)^{5-5}=0,32^5 \approx 0,0034$.
\item L'événement \og Au moins un des cinq amis ne reçoit pas le magazine \fg{} est l'événement contraire de \og Les cinq amis reçoivent le magazine\fg.\par 
 $P_2=P(X\leqslant 4)=1-P(X=5)=1-0,32^5 \approx0,9966$.
 \item De façon analogue,\\
  $P_3=P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-0,68^5\approx 0,8546$.
 \item $P_4=P(X=3)=\dbinom{5}{3}\times 0,32^3\times 0,68^2 \approx0,1515.$
\end{questions}
\vspace*{-1em}
\end{solintro}
