\thumb

% 

\begin{vf}{Loi binomiale ?}{10}
Dire, dans chaque situation, s'il est vrai que la variable aléatoire $X$ suit une loi
binomiale.
Donner le cas échéant les valeurs des paramètres de la loi
binomiale associée.
\begin{questions}
  \item On lance 5 fois successivement un dé à jouer non truqué, et on
  note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de 2 obtenus parmi
  ces lancers. 

  \item On lance 5 fois successivement un dé à jouer non truqué, et on
  note $X$ la variable aléatoire égale au numéro du premier lancer pour
  lequel on obtient le chiffre 6, en convenant que $X=0$ si le chiffre
  6 n'est jamais obtenu. 

  \item On lance 10 fois successivement 2 dés à jouer non pipés, et on
  note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où une somme
  de 10 est obtenue en ajoutant les chiffres des 2 dés. 

  \item Une branche présente 10 fleurs blanches ou roses réparties au
  hasard. 
  On compte au total 2 fleurs blanches et 8 fleurs roses. 

  On cueille successivement et au hasard 3 fleurs, et on note $X$ la
  variable aléatoire égale au nombre de fleurs blanches cueillies. 
\end{questions}  
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item \emph{Vrai}. Il s'agit de la répétition d'épreuves de Bernoulli
  identiques et indépendantes entre elles. 

  La variable aléatoire $X$, qui aux 5 résultats obtenus associe le
  nombre de 2 obtenus, suit une loi de binomiale de paramètres
  $n=5$ et $p=\frac{1}{6}$.

  \item \emph{Faux}. La loi binomiale s'intéresse au nombre
  d'occurrences du même événement lors de la répétition d'expériences
  identiques et indépendantes (il s'agit ici d'une loi géométrique \textit{tronquée}). 

  \item \emph{Vrai}. Les épreuves répétées successivement sont les lancers
  de 2 dés. Elles sont identiques et indépendantes. 

  Il y a trois façons d'obtenir 10 avec la somme des chiffres de 2
  dés: $(4 ; 6)$, $(5 ; 5)$ et $(6 ; 4)$. 
  Il y a au total $6^2=36$ lancers possibles de 2 dés. 
  La probabilité d'obtenir la somme 10 avec 2 dés est donc de 
  \mbox{$p=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.}

  La variable aléatoire qui associe aux 10 lancers le nombre de fois
  que la somme 10 est obtenue suit donc une loi binomiale de
  paramètres $n=10$ et $p=\frac{1}{12}$.  

  \item \emph{Faux}. Une fois une fleur cueillie, blanche ou rose, le nombre
  total de fleurs change pour la cueillette suivante, et les
  probabilités de cueillir une fleur blanche ou rose aussi. 

  Les expériences successives ne sont pas indépendantes les unes des autres, et on
  ne peut donc pas utiliser la loi binomiale.
\end{questions}
\end{corrige}

% 

\begin{qcm}{Loi binomiale}{15}
Pour chaque question, choisir la bonne réponse.
\begin{questions}
\item Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de
      paramètres 5 et 0,1. 
      La probabilité $P(X\leqslant2)$ est alors (arrondie au
      centième): 
      \par\resetchoix\hskip-0.6em
      \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $0,99$ & \choix{} $0,01$ & 
        \choix{} $0,5$ & \choix{} $0,617$
      \end{tabularx}
      
\item Le nombre d'issues d'une répétition de $n$ épreuves de Bernoulli est égal à :\resetchoix\par \hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $2$ & \choix{} $n$ & 
        \choix{} $2n$ & \choix{} $2^n$
\end{tabularx}
      
\item $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Le nombre de valeurs prises par $X$ est :\resetchoix\par \hskip-0.6em
      \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $n$ & \choix{} $2^n$ & 
        \choix{} $n+1$ & \choix{} $p^2$
      \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. La probabilité est donnée par 
      \[\begin{array}{ll}
      P(X\leqslant2)
      &=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\[3mm]
      &=\dbinom{5}{0}0,1^0\times 0,9^5+\dbinom{5}{1}0,1^1\times 0,9^4+\dbinom{5}{2}0,1^2\times 0,9^3\\[4mm]
      &=0,9^5+5\times0,1\times0,9^4+10\times0,1^2\times0,9^3\\[3mm]
      &\approx 0,99.
      \end{array}\]

      \item Réponse \choix[d]. À chaque répétition, il y a deux fois plus de branches à l'arbre. Donc pour $n$ répétions, il y a $2^n$ chemins, donc $2^n$ issues.
      \item Réponse \choix[c]. Les valeurs prises par $X$ sont les nombres de succès lors d'une répétition de $n$ expériences. $X$ prend donc les valeurs entières de 0 à $n$, c'est-à-dire $n+1$ valeurs.
\end{questions}
\end{corrige}

% 

\begin{qcm}{Logique et répétition d'expériences}{15}
Dans la maison des associations de la commune, il y a deux salles de réunion, A et B. Les deux salles ont la même probabilité d'être occupées, sans préférence pour l'une ou l'autre. La probabilité que l'une au moins des salles soit occupée est 0,91.
Pour chaque question, déterminer la bonne réponse.
\begin{questions}
\item La probabilité que les deux salles soient libres est \par\hskip-0.6em
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $0,455$ & \choix{} $0,8281$ & 
        \choix{} $0,09$& \choix{} $1-\sqrt{0,91}$
      \end{tabularx}  

\item 
La probabilité que la salle A soit occupée est :\resetchoix\par\hskip-0.6em
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $\sqrt{0,91}$ & \choix{} $0,03$ & 
        \choix{} $0,3$& \choix{} $0,7$
      \end{tabularx}
  \item 
La probabilité qu'exactement une salle soit occupée est :\resetchoix\par\hskip-0.6em
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $0,49$ & \choix{} $0,42$ & 
        \choix{} $0,5$& \choix{} $0,7$
      \end{tabularx}    
      \item 
La probabilité qu'au moins une salle soit libre est :\resetchoix\par\hskip-0.6em
 \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
        \choix{} $0,09$ & \choix{} $0,51$ & 
        \choix{} $0,49$& \choix{} $0,7$
      \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
La désignation des salles occupées est assimilée à une répétition de deux expériences identiques et indépendantes. On peut alors utiliser l'arbre représentant cette expérience. On note $p$ la probabilité que la salle A (ou la salle~B) soit occupée. On note A (respectivement B) l'événement : \og La salle A (respectivement B) est occupée \fg. La probabilité de l'issue correspondant à un chemin est le produit des probabilités figurant sur ce chemin.
\begin{center}
\includegraphics{333_binom-04}
\end{center}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. L'événement \og les deux salles sont libres \fg{} est l'événement contraire de \og au moins une salle est occupée\fg. Donc la probabilité de cet événement est $1-0,91=0,09$.

\item Réponse \choix[d]. D'après la question 1, la probabilité qu'aucune salle ne soit occupée est $(1-p)^2=0,09$. Par conséquent $1-p=0,3$ et alors $p=0,7$.

\item Réponse \choix[b]. \og Une seule salle est occupée \fg{} correspond aux deux issues $(A,\overline{B})$ et $(B,\overline{A})$, et a pour probabilité : \[2\times p\times (1-p)=2\times 0,7\times 0,3=0,42\]
\item Réponse \choix[b]. \og Au moins une salle est libre \fg{} est l'événement contraire de \og Les deux salles sont occupées \fg. Donc la probabilité de cet événement est $1-p^2=1-0,7^2=1-0,49=0,51$.
\end{questions}
\end{corrige}
		
%

\begin{qcm}{Logique}{15}
Pour chaque question, choisir la ou les bonnes réponses.
\begin{questions}
\item On joue à pile ou face deux fois de suite.\\
L'événement \og obtenir au moins une fois pile \fg{} est égal à l'événement :\par 
\choix{} \og obtenir une fois pile \fg{} \emph{et} \og obtenir deux fois pile \fg.\\
\choix{} \og obtenir une fois pile \fg{} \emph{ou} \og obtenir deux fois pile\fg.\\
\choix{} \og obtenir 0 fois face \fg.\\
\choix{} \og obtenir 0 fois face \fg \emph{ou} \og obtenir une fois face \fg.

\item On joue à pile ou face deux fois de suite.\\
L'événement \og obtenir au plus une fois pile \fg{} est égal à l'événement :\resetchoix\par 
\choix{} \og obtenir une fois face \fg{} \emph{et} \og obtenir deux fois face \fg.\\
\choix{} \og obtenir une fois face \fg{} \emph{ou} \og obtenir deux fois face \fg.\\
\choix{} \og obtenir 0 fois pile \fg.\\
\choix{} \og obtenir 0 fois pile \fg{} \emph{ou} \og obtenir une fois pile \fg.

\item On joue à pile ou face trois fois de suite.\\
L'événement contraire  de \og obtenir au moins une fois face \fg{} est : \resetchoix\par 
\choix{} \og Obtenir trois piles \fg.\\
\choix{} \og Obtenir au moins une fois pile \fg.\\
\choix{} \og Obtenir 0 fois  pile \fg.\\
\choix{} \og Obtenir 0 fois face \fg.

\item Soit $X$ une variable aléatoire.\\
L'événement contraire de \og $X$ est au moins égal à 3 \fg est : \resetchoix\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix{} $X\leqslant3$. &
\choix{} $X<3$. & 
\choix{} $X\geqslant 3$. &
\choix{} $X > 3$.
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponses \choix[b] et \choix[d]. On ne peut pas obtenir en même temps une fois pile \emph{et} deux fois pile, par contre l'un ou l'autre convient.

\og Obtenir 0 fois face \fg{} revient à \og Obtenir 2 fois pile \fg, donc ne convient pas. 

\og Obtenir 0 fois face \fg{} ou \og Obtenir une fois face \fg{} revient à \og Obtenir 2 fois pile \fg{} ou \og Obtenir une fois pile \fg, c'est-à-dire obtenir au moins une fois pile.

\item Réponses \choix[b] et \choix[d]. \og Obtenir au plus une fois pile \fg{} signifie obtenir 0 fois pile ou une fois pile, ou bien obtenir 2 fois face ou une fois face. 

\item  Réponses \choix[a] et \choix[d]. Le contraire de \og Obtenir au moins une fois face \fg{} est \og n'obtenir aucune face \fg{} ou bien \og n'obtenir que des piles \fg.

\item Réponse \choix[b]. $X$ est au moins égal à 3 peut s'écrire $X\geqslant 3$. Le contraire est donc $X<3$.
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{qcm}{Répétition d'expériences}{15}
\enlargethispage*{2em}
Pour chaque question, une seule réponse est exacte.
\begin{questions}
\item On répète 3 fois de suite une expérience ayant 2 résultats possibles. Le nombre de chemins de l'arbre associé à cette répétition d'expériences est : \par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix{} 2. & \choix{} 4. & \choix{} 6. & \choix{} 8.
\end{tabularx}

\item On répète 2 fois de suite une expérience ayant 3 résultats possibles. Le nombre de chemins de l'arbre associé à cette répétition d'expériences est : \resetchoix\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix{} 3. & \choix{} 6. & \choix{} 8. & \choix{} 9.
\end{tabularx}

\item On répète trois fois de suite une même expérience ayant trois issues équiprobables. Alors les listes de résultats :\resetchoix\par 
\choix{} ont toutes pour probabilité $\dfrac{1}{3}$.\\[4pt]
\choix{} ont toutes pour probabilité $\dfrac{1}{27}$.\\[4pt]
\choix{} ont toutes pour probabilité $\dfrac{1}{6}$.\\[4pt]
\choix{} n'ont pas toutes la même probabilité.

\item Une expérience aléatoire donne le résultat A avec une probabilité de $0,4$, le résultat B avec une probabilité de $0,5$ et le résultat C avec une probabilité de $0,1$. On répète 5 fois cette expérience, dans des conditions indépendantes les unes des autres. Alors la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le résultat A est obtenu :\resetchoix\par 
\choix{} suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;0,4)$.\\
\choix{} suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5~;0,4)$.\\
\choix{} suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5~; 0,6)$.\\
\choix{} ne suit pas une loi binomiale.
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[d]. Chaque expérience ayant deux issues possibles, le nombre d'issues est multiplié par 2 à chaque répétition. Il y a donc $2^3=8$ issues au total, donc 8 chemins.
\item Réponse \choix[d]. Il y a $3^2=9$ chemins.
\item Réponse \choix[b]. L'arbre associé à l'expérience a $3^3=27$ chemins équiprobables. Donc chaque issue a pour probabilité $\dfrac{1}{27}$.
\item Réponse \choix[b]. Bien que l'expérience ait 3 issues, on peut, pour la question posée, l'assimiler  à une épreuve de Bernoulli à deux issues : obtenir A avec une probabilité de $0,4$, ou ne pas obtenir A. Dans ce cas, la variable qui donne le nombre de fois où A est obtenu suit bien la loi $\mathcal{B}(5~;0,4)$.
\end{questions}
\begin{methode}
Lors d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes, il peut s'agir d'une loi binomiale, même si l'expérience répétée a plus de deux issues. En effet, on s'intéresse souvent à la réalisation ou non d'une issue particulière. Il suffit alors de reformuler la description de l'expérience pour obtenir une épreuve de Bernoulli.
\end{methode}
\end{corrige}


%

\begin{qcm}{Loi binomiale}{15}
Pour chaque question, choisir la ou les bonnes réponses.
\begin{questions}
\item On considère un schéma de Bernoulli de 8 répétitions. Le nombre de listes de résultats qui contiennent 5 succès est :\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\choix{} $\dbinom 5 8 $. &
\choix{} $\dbinom 8 5 $. & 
\choix{} $\dbinom 5 3 $. &
\choix{} $\dbinom 8 3 $.
\end{tabularx}

\item On lance un dé truqué trois fois de suite~; la probabilité d'obtenir le 6 est $0,2$. Alors la probabilité d'obtenir deux fois 6 sur les trois lancers est : \resetchoix\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} $0,2^2\times 0,8$. &\choix{} $\dbinom 3 2 (0,2+0,2+0,8)$.\\[6pt] 
\choix{} $\dbinom 3 2 (0,2\times0,2\times0,8)$. &\choix{} $3 \times 0,2^2\times 0,8$.
\end{tabularx}

\item On considère une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(6~;0,7)$. Alors :\resetchoix\par\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\choix{} $P(X=4)=P(X=2)$. &\choix{} $P(X=4)<P(X=2)$.\\
\choix{} $P(X=4)>P(X=2)$.  &\choix{} $P(X=4)=2\times P(X=2)$.
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponses \choix[b] et \choix[d]. Par définition, le nombre de listes de 8 résultats qui contiennent 5 succès est \og 5 parmi 8 \fg, c'est-à-dire $\dbinom 8 5$. Mais une liste qui contient 5 succès est une liste qui contient 3 échecs. En inversant le rôle des deux issues, on trouve qu'il y a $\dbinom 8 3$ listes qui conviennent. $\dbinom 8 3 = \dbinom 8 5$.
      \enlargethispage*{2em}
\item Réponse \choix[c] et \choix[d]. Par définition de la loi binomiale, la probabilité d'obtenir deux fois 6 en 3 lancers est $\dbinom 3 2 \times 0,2^2 \times 0,8$. Or $\dbinom{3}{2}=3$, donc la probabilité est aussi égale à $3\times 0,2^2\times 0,8$.
\item Réponse \choix[c].\\
{\fontsize{9}{11}\selectfont
$P(X=4)=\dbinom{6}{4}\times 0,7^4\times 0,3^2$ et $P(X=2)= \dbinom{6}{2}\times 0,7^2\times 0,3^4$}. Soit on fait le calcul, soit on utilise le fait que $\dbinom{6}{4}=\dbinom{6}{2}$ (voir explications à la question 1) et on constate que : 
\[0,3^2 P(X=4)=0,7^2 P(X=2).\]
On trouve alors que :
\[
P(X=4)> P(X=2).
\]
et de plus que :
\[
P(X=4)\neq 2P(X=2)\;,
\]
donc \choix[d] est faux.
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{qcm}{Tirage bicolore}{15}
Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules noires. On tire, avec remise, une boule au hasard, $n$ fois de suite (avec $n > 1$).

Parmi les propositions suivantes, quelle est la probabilité d'obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur ? Justifier.\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} $1-\dfrac{1}{2^n}$ & 
\choix{} $1-\dfrac{1}{2^{n-1}}$ & 
\choix{} $1-\dfrac{1}{2^{2n}}$
\end{tabularx}
\end{qcm}

\begin{corrige}
Chaque tirage est un tirage de Bernoulli, la probabilité d'obtenir une boule blanche est 0,5. 

Si l'on effectue $n$ tirages avec remise, la variable aléatoire qui donne le nombre de boules blanches obtenues suit la loi binomiale de paramètre $n$ et 0,5.

Ne pas obtenir des boules toutes de la même couleurs, signifie ne pas obtenir $n$ boules blanches ni $n$ boules noires.

Or, la probabilité d'obtenir $n$ boules blanches est $\dfrac{1}{2^n}$, de même la probabilité d'avoir $n$ boules noires est $\dfrac{1}{2^n}$. Comme ces deux événements sont incompatibles, la probabilité que l'un ou l'autre se produise est :
\[
\dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{2^n}=2\times\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{1}{2^{n-1}}.
\]
La probabilité de l'événement contraire est donc $1-\dfrac{1}{2^{n-1}}$.

La réponse exacte est donc la réponse \choix[b].
\end{corrige}

\begin{exo}{Lancer de dé}{Lycée \'Edouard Branly, Nogent-sur-Marne}{1}{10} 
Un joueur lance quatre fois de suite un dé parfaitement équilibré. Il marque 1~point pour chaque face numérotée 6 qu'il obtient. On s'intéresse à la variable aléatoire $X$  qui à chaque série de quatre lancers associe le nombre de points marqués.
\begin{questions}
\item Expliquer pourquoi la variable étudiée suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item Quelle est la probabilité de gagner 3 points?
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'expérience est une répétition de 4 lancers de dé, donc de 4 expériences identiques et indépendantes. Obtenir la face 6 est le succès de l'épreuve de Bernoulli, et sa probabilité $p$ vaut $\dfrac{1}{6}$. La variable $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\left(4,\dfrac{1}{6}\right)$.

\item La probabilité de gagner 3 points est :
\begin{align*}
P(X=3) & =\dbinom{4}{3}\left(\dfrac{1}{6}\right)^3\times\left(\dfrac{5}{6}\right)^1\\
& =4 \times\dfrac{5}{6^4}\\
& = \dfrac{5}{324}.
\end{align*}


\item Pour déterminer la loi de probabilité de $X$ il reste à calculer la probabilité d'avoir 0, 1, 2 ou 4 fois la face numérotée 6.
\Par
\begin{align*}
P(X=0) & = \dbinom 4 0\left( \dfrac{1}{6}\right) ^0\times\left( \dfrac{5}{6}\right) ^4\\%[5pt]
& =\dfrac{5^4}{6^4}\\%[5pt]
& =\dfrac{625}{\numprint{1296}}.
\end{align*}
\Par
\begin{align*}
P(X=1) & = \dbinom 4 1 \left( \dfrac{1}{6}\right) ^1\times\left( \dfrac{5}{6}\right) ^3\\%[5pt]
& = 4 \times \dfrac{5^3}{6^4}\\%[5pt]
& = \dfrac{125}{324}.
\end{align*}
\Par
\begin{align*}
P(X=2) & = \dbinom4 2\left( \dfrac{1}{6}\right) ^2\times\left( \dfrac{5}{6}\right) ^2\\%[5pt]
& = 6 \times \dfrac{5^2}{6^4}\\%[5pt]
& = \dfrac{25}{216}.
\end{align*}
%\newpage
\begin{align*}
P(X=4) & =\dbinom4 4\left( \dfrac{1}{6}\right) ^4\times\left( \dfrac{5}{6}\right) ^0\\%[5pt]
& =\dfrac{1}{6^4}\\%[5pt]
& =\dfrac{1}{\numprint{1296}}.
\end{align*}

\newpage

On peut résumer ces résultats dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*5{Zc|}}
\hline
$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\dfrac{625}{\numprint{1296}}$ & $\dfrac{125}{324}$ & $\dfrac{25}{216}$ & $\dfrac{5}{324}$ & $\dfrac{1}{\numprint{1296}}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{Remarque}
il est toujours prudent de vérifier que la somme des probabilités est égale à 1.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Deux tirages successifs}{Lycée Paul Painlevé, Oyonnax}{1}{15}
Une urne contient de nombreux jetons, indiscernables au toucher, ayant l'une des trois couleurs : bleu, jaune ou rouge.

On tire un jeton au hasard.  La probabilité de tirer un jeton bleu est $0,25$ ~; celle d'obtenir un jeton jaune est $0,4$.
\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton rouge à un tirage ?
\item On effectue l'expérience deux fois de suite avec remise du jeton dans l'urne après le premier tirage. 

\`A l'aide d'un arbre pondéré à construire sur la copie, répondre aux questions suivantes:
\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton bleu au premier tirage, puis un jeton jaune au second ?
\item Quelle est la probabilité d'obtenir deux jetons de couleurs différentes ?
\end{questions} 
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\enlargethispage*{2em}
\begin{questions}
\item Comme la somme des probabilités des issues d'une expérience vaut 1, la probabilité d'obtenir un jeton rouge est $1-0,25-0,4=0,35$.
\item On note $B_i$ l'événement \og Tirer un jeton bleu  au $i$-ième lancer\fg,\linebreak $R_i$  \og Tirer un jeton rouge au $i$-ième lancer\fg{} et $J_i$ \og Tirer un jeton jaune au $i$-ième lancer \fg, avec $i=1$ ou $i=2$.
L'arbre pondéré associé à l'expérience est donc :

\begin{center}
\includegraphics{337_binom-05}
\end{center}

\begin{questions}
\item Comme il y a remise du premier jeton tiré avant le second tirage, les deux expériences successives sont indépendantes, et la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat de la liste.
\[
P(B_1,J_2)=0,25\times 0,4=0,1.
\]

\enlargethispage*{3em}
\item L'événement \og Obtenir deux jetons de couleurs différentes \fg{} est l'événement contraire de \og Obtenir deux jetons de même couleur \fg. La probabilité de cet événement est donc :
\begin{align*}
1-P(B_1,B_2)-P(J_1,J_2)-P(R_1,R_2) & =1-0,25^2-0,4^2-0,35^2\\
& =0,655.
\end{align*}

\begin{Remarque}
on peut aussi faire la somme des probabilités des 6 issues qui composent l'événement, mais c'est bien sûr plus long !
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Groupe sanguin}{Lycée Notre-Dame de Sainte-Croix, Neuilly-sur-Seine}{1}{15}
La probabilité qu'un français soit du groupe sanguin A est de $0,45$, qu'il soit du groupe sanguin $O$ est de $0,43$. Dans les autres cas, la personne est du groupe sanguin $B$ ou $AB$~; on décide de dire dans ce cas qu'elle est du groupe $C$. On étudie le groupe sanguin de trois personnes prises au hasard dans cette population. Vue la taille de la population, le choix des trois personnes peut être assimilé à une répétition de trois expériences identiques et indépendantes.

\begin{questions}
\item Combien de chemins contient l'arbre pondéré associé à cette expérience (il n'est pas demandé de dessiner l'arbre) ?

On notera A l'événement \og la personne est du groupe A \fg, O l'événement \og la personne est du groupe O \fg{} et C l'événement \og la personne est du groupe C \fg. Donner toutes les listes de résultats.
\item Quelle est la probabilité que les trois personnes soient toutes du groupe~A ?
\item Quelle est la probabilité qu'il y ait exactement une personne de chaque groupe ?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins une personne soit du groupe A ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'arbre représentant l'expérience a $3\times 3\times 3=27$ chemins. Les différentes listes de résultats sont :

\begin{center}
\begin{tabular}{cccccc}
(A,A,A)&(A,A,O)&(A,A,C)&(A,O,A)&(A,O,O)&(A,O,C)\\
(A,C,A)&(A,C,O)&(A,C,C)&(O,A,A)&(O,A,O)&(O,A,C)\\
(O,O,A)&(O,O,O)&(O,O,C)&(O,C,A)&(O,C,O)&(0,C,C)\\
(C,A,A)&(C,A,O)&(C,A,C)&(C,O,A)&(C,O,O)&(C,O,C)\\
(C,C,A)&(C,C,O)&(C,C,C)
\end{tabular}
\end{center}

Comme il y a répétition de 3 expériences identiques et indépendantes, la probabilité de chaque liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.

\item L'événement, \og Les trois personnes sont du groupe sanguin $A$ \fg{} a pour probabilité :
\[
P(A)=0,45^3\approx0,091.
\]

\item L'événement \og Il y a une personne de chaque groupe \fg{}  est la réunion de toutes les listes contenant les 3 résultats A, O et B, quel que soit leur ordre. 

La probabilité de chaque liste contenant les trois résultats est :\[ 0,45\times 0,43\times 0,12\approx 0,0232. \]
On compte  qu'il y a exactement 6 listes contenant ces trois résultats, donc la probabilité qu'il y ait une personne de chaque groupe sanguin est environ $6\times 0,0232\approx 0,139$.

\item Pour cette question, on peut procéder de deux façons.

La première consiste à identifier  toutes les listes qui contiennent au moins un $A$ et d'ajouter leurs probabilités. On trouve :
\begin{align*}
 & 0,45^3\\
+\ & 3\times 0,45^2\times 0,43\\
+\ & 3\times 0,45^2\times 0,12\\
+\ & 6\times 0,45\times0,43\times 0,12\\
+\ & 3\times 0,45\times 0,43^2\\
+\ & 3\times 0,45\times 0,12^2\\
\approx\ & 0,834.
\end{align*}

Une autre méthode consiste à ne considérer plus que deux événements: \og Être du groupe sanguin $A$ \fg{} et son contraire \og Ne pas être du groupe sanguin $A$ \fg, de probabilités respectives $0,45$ et $0,55$. L'événement \og Au moins une personne est du groupe $A$ \fg{} est l'événement contraire de \og Aucune personne n'est du groupe $A$ \fg.\\
Sa probabilité est donc :
\[
1-0,55^3\approx 0,834.
\]
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Lancer de deux dés}{Lycée La Bruyère, Versailles}{1}{20}
Une partie consiste à lancer simultanément deux dés équilibrés. On gagne si les deux chiffres obtenus sont identiques.
\begin{questions}
\item Calculer la probabilité de gagner.
\item On répète quatre fois l'expérience, et on appelle $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de parties gagnées lors des quatre expériences.
\begin{questions}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et en donner les paramètres.
%\item Quelle est l'espérance et la variance de la loi $X$?
\item Déterminer la probabilité de ne jamais gagner.
\item Déterminer la probabilité de gagner deux fois.
\end{questions}
\item On répète $n$ fois l'expérience, et on définit la variable $Y$ donnant le nombre de parties gagnées.\par 
Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure ou égale à 0,99.

\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le lancer de deux dés équilibrés est une expérience à 36 issues équiprobables, parmi lesquelles 6 sont gagnantes.\par 
La probabilité de gagner est donc $\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$.

\item 
\begin{questions}
\item Chaque partie est une expérience de Bernoulli dont la probabilité du succès est $\dfrac{1}{6}$. On répète 4 parties, le résultat d'un lancer n'a pas d'influence sur le résultat du lancer suivant, donc les expériences sont identiques et indépendantes. La variable $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\left( 4~;\dfrac{1}{6}\right)$.

\item $P(X=0)=(1-p)^4=\left( \dfrac{5}{6}\right) ^4=\dfrac{625}{1296}\approx 0,482$.

\item $P(X=2) = \dbinom{4}{2}p^2(1-p)^2=6 \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \left( \dfrac{5}{6}\right) ^2=\dfrac{25}{216}\approx 0,116$.
\end{questions}

\item $P(Y\geqslant 1)= 1-P(Y=0)= 1 - (1-p)^n=1-\left( \dfrac{5}{6}\right) ^n$.\par 
On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que $1-\left( \dfrac{5}{6}\right) ^n\geqslant 0,99$, c'est-à-dire telle que $\left( \dfrac{5}{6}\right) ^n \leqslant 0,01$.\par 
En calculant les puissances successives de $\dfrac{5}{6}$ à la calculatrice (il suffit d'afficher les termes successifs de la suite géométrique $\left( \dfrac{5}{6}\right) ^n $) on trouve que la plus petite valeur de $n$ telle que $\left( \dfrac{5}{6}\right) ^n \leqslant 0,01$ est $n=26$.

\begin{Remarque}
nous aurions pu trouver $n$ en résolvant l'inéquation de\linebreak manière algébrique:
\begin{align*}
\left( \dfrac{5}{6}\right) ^n \leqslant 0,01 & \iff \ln \left[ \left( \dfrac{5}{6}\right) ^n \right] \leqslant \ln(0,01)\\
& \iff n\ln\left( \dfrac{5}{6}\right) \leqslant \ln(0,01)\\
& \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln\left(\frac{5}{6}\right)}\quad\text{ car }\ln\left(\frac{5}{6}\right)<0\\
& \iff n \geqslant 25,2585\\
& \iff n = 26\text{ car $n$ est entier}.
\end{align*}
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Des formes et des couleurs}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{15}
Chaque probabilité sera exprimée sous forme d'une fraction irréductible.

Dans une boîte, on dispose de deux cubes : un rouge et un vert, et de quatre boules : une jaune, une rouge, une verte et une bleue.

Un bébé prend au hasard un objet de la boîte, le montre fièrement à son papa, puis le remet dans la boîte. Il prend à nouveau un objet dans la boîte, et le donne à son papa qui le remet aussi dans la boîte. On appelle tirage le couple des deux objets ainsi obtenus et on suppose que tous les tirages sont équiprobables.

\begin{questions}
\item Combien y a-t-il de tirages possibles ? On pourra s'aider d'un tableau ou d'un arbre.
\item Trouver la probabilité de chacun des événements suivants :
\begin{itemize}
\item $A$ : \og Il a obtenu deux cubes \fg.
\item $B$ : \og Il a obtenu deux boules \fg.
\item $C$ : \og Il a obtenu deux objets de formes différentes \fg.
\item $D$ : \og Il a obtenu deux objets rouges \fg.
\item $E$ : \og Il a obtenu deux objets de la même couleur \fg.
\item $F$ : \og Il a obtenu deux objets de couleurs différentes \fg.
\item $G$ : \og Il a obtenu deux objets de même couleur, mais de formes différentes \fg.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il y a six objets différents et deux tirages successifs identiques et indépendants car ils sont avec remise. Il y a donc $6 \times 6 = 36$ tirages. Chaque tirage a pour probabilité $\dfrac{1}{36}$.

On peut faire un arbre pour représenter l'expérience, mais celui-ci est très volumineux puisqu'il y a 6 branches qui se divisent en 6.

Un tableau à double entrée est plus lisible dans ce cas, et pour trouver la probabilité d'un événement, il suffira alors de compter le nombre d'issues dans cet événement et multiplier ce nombre par $\dfrac{1}{36}$.

{\fontsize{9}{11}\selectfont
\begin{tabular}{|C|*6{Zc|}}
\hline\tabulartitle
&CR&CV&BJ&BR&BV&BB\\
\hline
CR&(CR,CR)&(CR,CV)&(CR,BJ)&(CR,BR)&(CR,BV)&(CR,BB)\\
\hline
CV&(CV,CR)&(CV,CV)&(CV,BJ)&(CV,BR)&(CV,BV)&(CV,BB)\\
\hline
BJ&(BJ,CR)&(BJ,CV)&(BJ,BJ)&(BJ,BR)&(BJ,BV)&(BJ,BB)\\
\hline
BR&(BR,CR)&(BR,CV)&(BR,BJ)&(BR,BR)&(BR,BV)&(BR,BB)\\
\hline
BV&(BV,CR)&(BV,CV)&(BV,BJ)&(BJ,BR)&(BJ,BV)&(BJ,BB)\\
\hline
BB&(BB,CR)&(BB,CV)&(BB,BJ)&(BB,BR)&(BB,BV)&(BB,BB)\\
\hline
\end{tabular}
}
\item En comptant les issues favorables pour chaque événement, on obtient les probabilités suivantes:\\
$P(A)=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}.$\\
$P(B)=\dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9}.$\\
$P(C)= 1-P(A)-P(B)=\dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9}.$\\
$P(D)=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}.$\\[4pt]
$P(E)=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}$ \\
$F$ est l'événement contraire de $E$: $P(F)=1-P(E) = \dfrac{13}{18}$.\\
$P(G)=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Loi géométrique tronquée}{Lycée Mansart, Saint-Cyr-l'École}{2}{30}
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé équilibré jusqu'à ce que la face 6 apparaisse, puis à noter le nombre de lancers effectués.
\begin{questions}
\item  
\begin{questions}

 \item Quelle est la probabilité de lancer le dé exactement 10 fois?
\item $n$ étant un entier non nul, exprimer en fonction de $n$ la probabilité de lancer le dé exactement $n$ fois.
\item Quelle est la probabilité de lancer le dé au moins 10 fois?
\end{questions} 
\item Algorithmique.
\begin{questions}
\item Écrire un algorithme qui simule cette expérience et donne le nombre de lancers effectués pour obtenir le premier 6.
\item Programmer cet algorithme en Python.
\item Cet algorithme contient une boucle, risque-t-elle de ne jamais finir?
\item Modifier l'algorithme précédent pour simuler \numprint{1000} répétitions de l'expérience et obtenir la fréquence avec laquelle le dé est jeté 10 fois ou plus.
\item Faire fonctionner cet algorithme et comparer avec le résultat de la question 1.c.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
Cette expérience peut se modéliser par un schéma de Bernoulli  dont on ne conserve qu'une partie de l'arbre. Seule la branche conduisant à l'échec est prolongée. La probabilité du succès est $\dfrac{1}{6}$, donc celle de l'échec est $\dfrac{5}{6}$.
\newpage
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Si on lance le dé exactement 10 fois, cela signifie que les 9 premiers lancers n'ont pas donné 6, mais que le 10\ieme{} lancer a été un succès. La probabilité de cette liste de résultats est donc :
\[ \left( \dfrac{5}{6}\right) ^9\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{5^9}{6^{10}}\approx 0,032.\]
\item  Le raisonnement précédent avec $n$ lancers montre que la probabilité de lancer le dé exactement $n$ fois est égale à :
\[ \left (\dfrac{5}{6}\right )^{n-1}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{5^{n-1}}{6^n}.\]

\item On lance le dé au moins 10 fois lorsque les 9 premiers lancers n'ont pas donné 6. Les résultats obtenus sur les lancers suivants n'ont pas d'importance. Donc la probabilité de lancer le dé au moins 10 fois est égale à $\dfrac{5^9}{6^9}\approx 0,194$.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item On peut utiliser l'algorithme suivant.

\begin{algorithme}{}
Traitement
\quad N et S prennent la valeur 0
\quad Tant que S = 0 Faire
\qquad E $\leftarrow$ entier au hasard entre 1 et 6
\qquad Si E = 6 Alors
\qquad\quad S $\leftarrow$ 1
\qquad\quad Fin de Si
\qquad N $\leftarrow$ N+1
\quad Fin de Tant que
Sortie
Afficher N
\end{algorithme}

\Par

\item  En Python:

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/ILTM/varind-ex-geomtronquee.py}}}
\rput(-0.5,-1.7){\PictoNathanLive[Prog]}
\vspace*{-3mm}

\begin{listing}{En Python}{varind-ex-geomtronquee.py} \end{listing}

\newpage

\item Pour sortir de la boucle \og Tant que S=0 \fg, il faut obtenir la valeur 6. Comme c'est le résultat d'un choix au hasard, il y a une infime chance théorique de ne jamais l'obtenir, ou au moins de devoir répéter la boucle de très nombreuses fois.

\item Pour cette nouvelle simulation, il faut introduire un compteur de 1 à \numprint{1000}, et un test d'arrêt dès que le nombre de lancers atteint 10. On peut utiliser l'algorithme suivant.

\begin{algorithme}{}
N $\leftarrow$ 0, S $\leftarrow$ 0, C $\leftarrow$ 0
Pour I allant de 1 à 1000 Faire
\quad Tant que S = 0 et N$<$10 Faire
\quad\quad E $\leftarrow$ entier au hasard entre 1 et 6
\quad\quad Si E = 6 Alors S $\leftarrow$ 1 Fin de Si
\quad\quad N $\leftarrow$ N+1
\quad\quad Si N = 10  Alors C $\leftarrow$ C+1 Fin de Si
\quad Fin de Tant que
\quad N $\leftarrow$ 0, S $\leftarrow$ 0
Fin de Pour
F $\leftarrow$ C/1000
Afficher F
\end{algorithme}

\Par

\item En Python:

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/ILTM/varind-ex-geomtronquee-2.py}}}
\rput(-0.5,-1.7){\PictoNathanLive[Prog]}
\vspace*{-3mm}

\begin{listing}{En Python}{varind-ex-geomtronquee-2.py}\end{listing}

\Par

En exécutant deux fois l'un de ces programmes, on a trouvé $ 0,204 $  et $0,182$  , qui sont bien des fréquences proches de la valeur théorique (le temps de calcul peut être assez long selon le modèle de calculatrice).
\end{questions}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Forte probabilité}{Lycée Vaugelas, Chambéry}{2}{30}
Adrien a constaté que le matin, lorsqu'il met dans la cage de son perroquet une assiette de graines, un morceau de pomme et de l'eau fraiche, celui-ci commence par boire avec une probabilité de $\dfrac{1}{4}$, commence par la pomme avec une probabilité de $\dfrac{1}{3}$ et le reste du temps commence par les graines.
\begin{questions}
\item Adrien observe le comportement de son perroquet trois jours de suite. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le perroquet a commencé par aller boire.
\begin{questions}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

\item Déterminer combien de chemins de l'arbre associé à l'expérience, correspondent à l'événement $(X=1)$.

Calculer $P(X=1)$ et $P(X=3)$.

\item Calculer la probabilité pour que le perroquet commence au moins une fois par aller boire.
\end{questions} 

\item On observe le perroquet $n$ jours de suite.


Calculer le nombre minimal $n$ de jours d'observation pour que la probabilité que le perroquet ait au moins une fois commencé par aller boire, soit supérieure à $95\%$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item On considère que chaque jour, le comportement du perroquet est indépendant de son comportement de la veille. Il y a chaque jour trois possibilités, mais comme on s'intéresse uniquement au fait que le perroquet commence par aller boire ou non, on peut considérer que l'expérience est la répétition de 3 épreuves de Bernoulli dont le succès est \og Le perroquet commence par boire \fg, avec une probabilité de $\dfrac{1}{4}$. Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(3~;\dfrac{1}{4}\right)$.

\item Par définition, le nombre de chemins associés à l'événement \linebreak$(X=1)$ est $\dbinom 3 1 =3$.\enlargethispage*{2em}

$P(X=1)=\dbinom 3 1 \times \dfrac{1}{4}\times \left( \dfrac{3}{4}\right) ^2=\dfrac{27}{64}$.

$P(X=3)=\dbinom 3 3 \times \left( \dfrac{1}{4}\right)  ^3=\dfrac{1}{64}$.

\item L'événement \og Le perroquet commence par aller boire au moins une fois \fg{} est le contraire de l'événement \og Le perroquet ne commence jamais par aller boire \fg. La probabilité cherchée est donc $1-P(X=0)=1-\left( \dfrac{3}{4}\right) ^3=\dfrac{37}{64}\approx0,58$.
\end{questions}

\item Par un raisonnement identique à celui de la question précédente, sur une période de $n$ jours, la probabilité que le perroquet ait commencé par aller boire au moins une fois est $1-0,75^n$.

On veut $1-0,75^n>0,95$, c'est-à-dire $0,75^n<0,05$. On sait que la suite géométrique de raison $0,75$ est une suite décroissante car\linebreak$0<0,75<1$. En calculant à la calculatrice  les termes successifs de cette suite, on trouve que le premier entier tels que $0,75^n<0,05$ est $n=11$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2023

\begin{exo}{Extrait d'un bac}{Lycée Notre-Dame de Boulogne, Boulogne-Billancourt}{2}{30}

Une chocolaterie fabrique deux sortes de chocolats: des chocolats noirs et des chocolats au lait. 60\% des chocolats fabriqués sont noirs. Parmi ceux-ci, 70\% sont fourrés, tandis que 30\% seulement des chocolats au lait sont fourrés.

\subsectionnn{Partie A}

\textit{Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte.}

Un client fait une dégustation de chocolats et il en choisit un au hasard.

On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item $N$ : « le chocolat choisi est noir ».
\item $F$ : « le chocolat choisi est fourré ».
\end{itemize}

\enlargethispage*{3\baselineskip}
\begin{questions}
\item Donner la probabilité $P_1$ que le chocolat choisi soit noir.
\item Déterminer la probabilité $P_2$ que le chocolat choisi soit noir et fourré.

Justifier la réponse.
\item On note $P_3$ la probabilité que le chocolat choisi soit fourré.

Justifier que $P_3 = 0,54$.
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

Un client achète une boîte de $n$ chocolats, où $n$ est un entier naturel non nul.

Chaque chocolat mis dans la boîte est choisi au hasard et on suppose le nombre de chocolats suffisamment grand pour que l'on puisse considérer que les choix successifs sont faits de façon identique et indépendante.

On note $X_n$ la variable aléatoire représentant le nombre de chocolats fourrés contenus dans la boîte.

\begin{questions}
\item Préciser la loi suivie par $X_n$.
\item Dans cette question, $n = 12$ et, pour chaque probabilité demandée, on donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près.
\begin{questions}
\item Donner la probabilité $P_4$ que la moitié des chocolats de la boîte soient fourrés.
\item Donner la probabilité $P_5$ que la boîte contienne au moins un chocolat fourré.
\item Donner la probabilité $P_6$ que la boîte contienne au plus trois chocolats fourrés.
\end{questions}

\item Dans cette question, $n$ est quelconque.
\begin{questions}
\item Donner, en fonction de $n$, la probabilité $q_n$ que la boîte contienne au moins un chocolat fourré.
\item Déterminer le nombre minimum $n_0$ de chocolats que doit acheter le client afin que la probabilité que la boîte contienne au moins un chocolat fourré soit strictement supérieure à 0,98.

Détailler les calculs.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\subsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item D'après l'énoncé, il y a 60\% de chocolats noirs. Par conséquent,
\[
P_1=0,6.
\]
\item On nous demande de calculer ici:
\begin{align*}
P_2 & = P(N \cap F)\\
P_2 & = P(N) \times P_N(F)\\
P_2 & = 0,6 \times 0,7\\
P_2 & = 0,42.
\end{align*}

\item Nous pouvons dessiner un arbre des probabilités pour appuyer notre raisonnement:
\begin{center}
\includegraphics{344_binomiale-chocolats}
\end{center}

Dans cette question, on nous demande de calculer $P_3=P(F)$.

D'après la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
P_3 & = P(N\cap F) + P(\overline{N}\cap F)\\
    & = 0,42 + 0,4\times0,3\\
    & = 0,42 + 0,12\\
    & = 0,54.
\end{align*}
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item L'épreuve consistant à choisir au hasard un chocolat et à regarder s'il est fourré est une épreuve de Bernoulli de probabilité $p=P(F)=0,54$.

L'expérience consistant à répéter $n$ fois de manière indépendante cette épreuve est donc un schéma de Bernoulli, dont $X_n$ représente le nombre de succès.
Par conséquent, $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,54$.

\item
\begin{questions}
\item On nous demande ici de calculer $P_4=P(X_{12}=6)$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
P_4 \approx 0,2171.
\]

\newpage

\item On nous demande ici de calculer $P_5=P(X_{12} \geqslant 1)$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
P_5 \approx 0,9999.
\]

\item On nous demande ici de calculer $P_6=P(X_{12} \leqslant 3)$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
P_6 \approx 0,5014.
\]
\begin{aretenir}
\og au moins $k$ \fg{}  signifie \og $k$ ou plus \fg{} donc se traduit par \og $\geqslant k$ \fg.

\og au plus $k$ \fg{}  signifie \og $k$ ou moins \fg{} donc se traduit par \og $\leqslant k$ \fg.
\end{aretenir}
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item La probabilité $q_n$ pour que la boîte contienne au moins un chocolat fourré est:
\begin{align*}
q_n & = P(X_n \geqslant 1)\\
    & = P\big( \overline{X_n < 1} \big) \\
    & = 1 - P(X_n < 1)\\
    & = 1 - P(X_n=0)\\
    & = 1 - (1-0,54)^n\\
q_n & = 1 - 0,46^n.
\end{align*}

\item On cherche le premier $n$ tel que:
\begin{align*}
q_n > 0,98 & \iff  1 - 0,46^n > 0,98\\
& \iff 1-0,98 > 0,46^n\\
& \iff 0,46^n < 0,02\\
& \iff \ln\big(0,46^n\big) < \ln(0,02)\\
& \iff n\ln(0,46) < \ln(0,02)\\
& \iff n > \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,46)}\\
\intertext{(on change le sens de l'inégalité car on divise par $\ln(0,46)<0$)}
& \iff n > 5,04.
\end{align*}
Il faut donc que le client achète au minimum $n_0=6$ chocolats pour que la probabilité qu'il y ait au moins un chocolat fourré soit strictement supérieure à 0,98.
\end{questions}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%

%%% NEW 2023

\begin{exo}{Extrait d'un bac}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{2}{30}
Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide. 

On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant. 

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants: 

\begin{itemize}
\item à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9$; 
\item si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95$; 
\item si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$. 
\end{itemize}

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l'événement \og le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine \fg. 


\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l'aide d'un arbre pondéré qui fera intervenir les événements $R_1$ et $R_2$. 
\item Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine. 
\item Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à $0,875$. 
\item Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? 
		
On arrondira le résultat à $10^{-3}$. 
\end{questions}

\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la $n$-ième semaine. 

On a alors $r_n = p\left(R_n\right)$. 
\begin{questions}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré (aucune justification n'est attendue) : 
		
\begin{center}
\includegraphics{330_binomiale-suite-1}
\end{center}

\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1} = 0,75  r_n + 0,2$. 
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[
r_n = 0,1 \times  0,75^{n-1} + 0,8.
\]
\item Calculer la limite de la suite $\left(r_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 
\end{questions}

\item On suppose dans cette question que la probabilité qu'un client fidèle depuis longtemps ramène sa bouteille est égale à 0,8.

On choisit au hasard et de manière indépendante parmi ces clients 20 d'entre eux. On suppose que le nombre total de ces clients est assez grand pour assimiler ces choix à un tirage avec remise.

\textit{On arrondira les probabilités au millième.}

\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité que tous les clients ramènent leur bouteille?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins 15 d'entre eux ramènent leur bouteille?
\item Quelle est la probabilité qu'au plus 10 d'entre eux ramènent leur bouteille?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item D'après les informations données dans l'énoncé, on peut construire l'arbre de probabilités suivant:
\begin{center}
\includegraphics{346_binomiale-suite-2}
\end{center}

\item La probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première
et de la deuxième semaine est:
\begin{align*}
P(R_1 \cap R_2) & = 0,9 \times 0,95\\
& = 0,855.
\end{align*}

\item La probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième
semaine est:
\begin{align*}
P(R_2) & = P(R_1 \cap R_2) + P(\overline{R_1} \cap R_2)\\
& = 0,855 + 0,1\times0,2\\
& = 0,875.
\end{align*}

\item On cherche ici:
\begin{align*}
P_{R_2}\big(\overline{R_1}\big) 
& = \dfrac{P\big(\overline{R_1} \cap R_2\big)}{P(R_2)}\\
& = \dfrac{0,1\times0,2}{0,875}\\
& \approx 0,023.
\end{align*}
\end{questions}

% Question 2
\item
\begin{questions}
\item L'arbre complété est représenté page ci-contre.

\Par

Les probabilités conditionnelles ne changent pas par rapport à l'arbre précédent. Il faut ici imaginer que l'on fait un \og zoom \fg{} sur un événement $R_n$, $n$ étant quelconque, et compléter l'arbre en supposant connu $P(R_n)=r_n$.

\newpage

\begin{center}
\includegraphics{347_binomiale-suite-3}
\end{center}


\item D'après l'arbre ci-dessus et la formule des probabilités totales:
\begin{align*}
r_{n+1} = P(R_{n+1}) & = P(R_n \cap R_{n+1}) + P(\overline{R_n} \cap R_{n+1})\\
                     & = 0,95r_n + 0,2(1-r_n)\\
                     & = 0,75r_n + 0,2.
\end{align*} 

\item On démontre par récurrence l'égalité souhaitée.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation:} $r_1 = P(R_1) = 0,9$ d'après l'énoncé.

De plus, $0,1\times0,75^{1-1}+0,8=0,1+0,8=0,9$.

Ainsi, l'égalité est vraie pour $n=1$.

\item \textit{Hérédité:} supposons que pour un entier $k\geqslant1$ fixé,
\[
r_k = 0,1\times0,75^{k-1}+0,8.
\]
Alors, en multipliant par 0,75, on a:
\begin{align*}
0,75r_k & = 0,75\times(0,1\times0,75^{k-1}+0,8)\\
        & = 0,1\times0,75^{k-1}\times0,75 + 0,8\times0,75\\
        & = 0,1\times0,75^{k} + 0,6.
\end{align*}
Enfin, en ajoutant $0,2$, on obtient:
\[
0,75r_k + 0,2 = 0,1\times0,75^{k} + 0,8
\]
soit :
\[
r_{k+1} = 0,1\times0,75^{k} + 0,8.
\]
L'hérédité est alors prouvée.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[
r_n = 0,1\times0,75^{n-1} + 0,8.
\]

\item $\lim\limits_{n\to+\infty} 0,75^{n-1} = 0$ car $0<0,75<1$. Par conséquent, \mbox{$\lim\limits_{n\to+\infty} r_n = 0,8$.}

Cela signifie qu'à longs termes, la probabilité qu'un client ramène sa bouteille est égale à 0,8.
\end{questions}

% question 3
\item On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de clients ramenant leur bouteille.

L'expérience consistant à regarder si un client ramène sa bouteille est une épreuve de Bernoulli dont le succès a pour probabilité 0,8. On répète cette épreuve 20 fois de manière indépendante.

Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,8$.

On peut alors répondre aux questions suivantes à l'aide de la calculatrice. Voici ici l'exemple avec la calculatrice \textit{Numworks}.
\begin{itemize}
\item Dans le menu principal, on choisit l'item \og Probabilités \fg:
\Par
\begin{center}
\includegraphics{348_binomiale-numworks1} 
\includegraphics{348_binomiale-numworks2}
\end{center}
\item Ensuite, on choisit la première ligne: \og Binomiale \fg, puis on entre les paramètres de la loi binomiale:
\Par
\begin{center}
\includegraphics{348_binomiale-numworks3} 
\includegraphics{348_binomiale-numworks4}
\end{center}
\end{itemize}

\begin{questions}
\item On cherche ici $P(X = 20)$. On peut:
\begin{itemize}
\item soit calculer directement:
\[
P(X=20) = 0,8^{20} \approx 0,012.
\]
\item soit utiliser la calculatrice:
\Par
\begin{center}
\includegraphics{348_binomiale-numworks5} 
\end{center}
\end{itemize}

\newpage

\item La probabilité qu'au moins 15 des clients choisis ramènent leur bouteille est $P(X\geqslant15)$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{349_binomiale-numworks6} 
\end{center}
La valeur approchée au millième est alors:
\[
P(X \geqslant 15) \approx 0,804.
\]

\item La probabilité qu'au plus 10 d'entre eux ramènent leur bouteille est $P(X \leqslant 10)$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{349_binomiale-numworks7} 
\end{center}
On trouve:
\[
P(X \leqslant 10) \approx 0,003.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige
