\chapter{Somme de variables aléatoires}

\begin{exointro}{Lycée \'Edouard Branly, Nogent-sur-Marne}
Un jeu télévisé se déroule en deux manches:
\begin{itemize}
\item \textit{Première manche}

Le ou la candidat.e. tire au hasard et simultanément deux boules d'une urne contenant 20 boules numérotées de 1 à 20. Si une boule portant un numéro multiple de 5 est choisie, 20 points sont gagnés; dans le cas contraire, aucun point n'est gagné.

\item \textit{Seconde manche}

Le ou la candidat.e. doit ouvrir une porte parmi trois portes fermées. Seule l'une d'elles peut multiplier par 2 les gains gagnés lors de la première manche. L'une des deux autres permet d'ajouter 5 points; quant à l'autre, elle retire 5 points si les gains de la première manche sont supérieurs ou égaux à 5. Sinon, rien n'est retiré.
\end{itemize}

À l'issue de ces deux manches, chaque point vaut 100 \euro.

\Par

On appelle $G$ le gain du ou de la candidat.e.

\begin{questions}
\item On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de points à l'issue de la première manche.

Déterminer la loi de probabilité de $X$, puis calculer $E(X)$.

\item On note $Y$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique des points à l'issue de la seconde manche.

Déterminer la loi de probabilité de $Y$ ainsi que $E(Y)$.

\item Calculer $E(G)$.


\item À l'issue de ces deux manches, le ou la candidat.e. doit participer à la manche finale qui consiste à répondre à cinq questions de culture générale. À chaque mauvaise réponse, il ou elle perd 200 \euro sur les gains obtenus précédemment.
\BreakWithoutItem
On note $Z$ la variable aléatoire représentant le nombre de bonnes réponses d'un.e. candidat.e. lors de cette manche finale.

La société productrice du jeu estime que $Z$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,2$.

Déterminer le gain que peut espérer avoir le ou la candidat.e. à l'issue de cette finale.
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}

\section{Linéarité de l'espérance}

\begin{prop}
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires. L'espérance de la variable aléatoire $X+Y$ est:
\[
E(X+Y) = E(X) + E(Y).
\]
De plus, pour tout réel $a$, l'espérance de la variable aléatoire $aX$ est:
\[
E(aX) = aE(X).
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
Xavier et Yvone vont au restaurant. Xavier hésite de façon équiprobable entre les menus à 18 \euro, 24 \euro et 36 \euro. Yvonne hésite, quant à elle, de façon équiprobable entre les menus à 24 \euro et 36 \euro.

On note $X$ et $Y$ les variables aléatoires représentant le prix du menu choisi respectivement par Xavier et Yvonne.

Alors, $X = \{18;24;36\}$ et $Y = \{24;36\}$ et:
\begin{align*}
E(X) & = \dfrac{1}{3}\times18 + \dfrac{1}{3}\times24 + \dfrac{1}{3}\times36\\
& = 6+8+12\\
&=26
\end{align*}
et
\begin{align*}
E(Y) & = \dfrac{1}{2}\times24+\dfrac{1}{2}\times36\\
& =12+18\\
&=30.
\end{align*}
Ainsi,
\[
E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 26+30=56.
\]
On peut ainsi dire que le prix moyen de la facture de ce repas est 56 \euro.

\Par

Si Xavier va seul au restaurant 5 fois, et s'il choisit à chaque fois au hasard un menu parmi les 3 cités précédemment, la facture moyenne totale correspondra à $E(5X)$, soit à $5E(X)$, et donc à $5\times26=130$ \euro.
\end{Exemple}


\newpage

\section{Variance de deux variables aléatoires\\ indépendantes}


\begin{defin}[variables aléatoires indépendantes]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires.

$X$ et $Y$ sont indépendantes si:
\[
P\big((X=x) \cap (Y=y)\big)=P(X=x) \times P(Y=y).
\]
\end{defin}



\begin{prop}
Soit $X$ une variable aléatoire. Pour tout réel $a$, la variance de la variable aléatoire $aX$ est:
\[
V(aX)=a^2V(X).
\]
Son écart-type est donc:
\[
\sigma(aX) = |a|\sigma(X).
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
reprenons le cas de Xavier de l'exemple précédent.
\begin{align*}
V(X) & = \dfrac{1}{3}\big[ (18-26)^2 + (24-26)^2 + (36-30)^2 \big]\\
& = 56.
\end{align*}
Ainsi,
\[
V(5X) = 5^2 V(X) = 25 \times 56 = \numprint{1400}.
\]
De plus, 
\[
\sigma(5X) = 5\sigma(X) = 5 \sqrt{V(X)} = 10\sqrt{14} \approx 37,42.
\]
\end{Exemple}

\begin{aretenir}
Ce dernier résultat peut-être interprété comme une marge d'erreur par rapport à l'espérance : on peut alors dire que pour 5 repas, Xavier paiera 130 \euro avec une marge d'erreur de 37,42 \euro.

Cependant, gardons à l'esprit que ce ne sont que des probabilités... et que l'intervalle $[130-37,42~;~130+37,42]$ est très approximatif !
\end{aretenir}

\begin{prop}
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires \textit{indépendantes}. 

La variance de la variable aléatoire $X+Y$ est:
\[
V(X+Y)=V(X)+V(Y).
\]
\end{prop}


\section{Somme et moyenne de variables indépendantes}

\subsection{Généralités}

\begin{prop}\label{somme-var-prop}
Soient $X_1$, ..., $X_n$ $n$ variables aléatoires indépendantes. On pose alors :
\[
S_n = \sum_{k=1}^n X_k = X_1+\cdots+X_n\quad\text{et}\quad M_n=\dfrac{S_n}{n}.
\]
Alors,
\begin{itemize}
\item $E(S_n) = \displaystyle\sum_{k=1}^n E(X_k)$ et $V(S_n)=\displaystyle\sum_{k=1}^n V(X_k)$.

\item $E(M_n)=\displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n E(X_k)$ et $V(M_n)=\displaystyle\dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n V(X_k)$.
\end{itemize}
\end{prop}


\subsection{Application à la loi binomiale}

Si, pour $1\leqslant k\leqslant n$, $X_k$ est une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli alors \mbox{$E(X_k)=p$} et $V(X_k)=p(1-p)$ et la propriété~\ref{somme-var-prop} donne:
\begin{align*}
E(X_1+\cdots+X_n) & =\displaystyle\sum_{k=1}^n p = n \times p = np\\
V(X_1+\cdots+X_n) & = \displaystyle \sum_{k=1}^n p(1-p) = np(1-p).
\end{align*}

D'où la propriété suivante:
 
\begin{prop}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Alors,
\[
E(X)=np\qquad,\qquad V(X)=np(1-p)\qquad\text{et}\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.
\]
\end{prop}
\enlargethispage*{4em}
\begin{Exemple}
dans une urne, il y a 7 boules bleues et 3 rouges.
On choisit au hasard une boule de cette urne puis on la remet, et on répète cette expérience 10 fois de façon indépendante.

La probabilité de choisir une boule bleue lors d'un tirage est $p = 0,7$.

Si $X$ représente le nombre de boules bleues obtenues à l'issue de ces 10 tirages au sort, alors $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n;p)$ et son espérance est :
\[
E(X) = 10 \times 0,7 = 7.
\]
\end{Exemple}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $X$ est la variable aléatoire représentant le nombre de points à l'issue de la première manche.

Il y a 4 boules portant un numéro multiple de 5 : 5, 10, 15 et 20.

Notons $A$ l'événement : \og la boule porte le numéro 5, 10, 15 ou 20 \fg.

Pour la première boule, il y a 4 chances sur 20 de choisir une boule dont le numéro est un multiple de 5, donc $P(A)=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}$. 

En revanche, pour la seconde boule, il ne reste plus que 19 boules. Donc si l'événement $A$ est réalisé pour la première boule, il reste 3 boules adéquates pour la seconde, d'où une probabilité de $\dfrac{3}{19}$. Un raisonnement analogue nous donne les autres probabilités.

On peut alors représenter la situation avec l'arbre  suivant:

\begin{center}
\includegraphics{355_sommevar-01}
\end{center}



On peut alors donner la loi de probabilité de $X$ sous forme d'un tableau:

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|Zc|Zc|Zc|}
\hline
$X=k$ & 0 & 20 & 40\\
\hline
$P(X=k)$ & $\dfrac{4}{5}\times\dfrac{15}{19}=\dfrac{12}{19}$ & $1-\dfrac{12}{19}-\dfrac{3}{95}=\dfrac{32}{95}$ & $\dfrac{1}{5}\times\dfrac{3}{19}=\dfrac{3}{95}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Ainsi,
\[
E(X)=20\times\dfrac{32}{95} + 40\times\dfrac{3}{95}=8.
\]
\Break
\item On peut illustrer la situation à l'aide d'un arbre:

\begin{center}
\includegraphics{356_sommevar-02}
\end{center}

À l'aide du principe multiplicatif, on obtient alors la loi de probabilité de $Y$ suivante:

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*{8}{Zc|}}
\hline
$Y=k$ & 0 & 5 & 15 & 25 & 35 & 40 & 45 & 80\\
\hline
$P(Y=k)$ & $\dfrac{8}{19}$ & $\dfrac{4}{19}$ & $\dfrac{32}{285}$ & $\dfrac{32}{285}$ & $\dfrac{1}{95}$ & $\dfrac{32}{285}$ & $\dfrac{1}{95}$ & $\dfrac{1}{95}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On a ainsi:
\[
E(Y) = 5\times\dfrac{4}{19} + \cdots + 80\times\dfrac{1}{95}=\dfrac{668}{57}.
\]

\item Par définition,
\[
G = 100Y
\]
donc:
\begin{align*}
E(G) & = E(100Y)\\
& = 100E(Y)\\
& = \dfrac{\numprint{66800}}{57}\\
& \approx\numprint{1172}.
\end{align*}

L'organisateur ou l'organisatrice de ce jeu peut donc espérer perdre en moyenne \numprint{1172} \euro... s'il programme un grand nombre de fois le jeu.

\Break

\item $Z \hookrightarrow \mathcal{B}(5;0,2)$ donc $E(Z)=5 \times 0,2 = 1$, ce qui signifie qu'en moyenne, le ou la candidat.e. répond correctement à une seule question, et donc qu'il ou elle perd en moyenne 800 \euro.

Ainsi, le gain moyen final est:
\[
E(G)-800\approx\numprint{1172}-800\approx 372\text{ \euro}.
\]

\begin{Remarque}
on peut aussi s'intéresser à l'écart-type. Si on note $F$ la variable aléatoire représentant le gain final, 
\[
F = E(G)-200Z.
\]
Ainsi, 
\begin{align*}
\sigma(F) & = \sigma\big(E(G) - 200Z\big)\\
& = 200\sigma(Z)\\
& =200\sqrt{5\times 0,2\times(1-0,2)}\\
& \approx178,88.
\end{align*}
Cette valeur est assez conséquente par rapport à $E(F)\approx372$.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{solintro}