\thumb

%

\begin{qcm}{Connaissances du cours}{5}
Pour chaque question, donner la bonne réponse parmi les propositions faites.
\begin{questions}
\item L'espérance mathématique de la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,2$ est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $0,02$ & \choix $0,2$ & \choix $2$ & \choix $20$
\end{tabularx}


\item La variance de la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,15$ est:\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $3$ & \choix $2,55$ & \choix $17$ & \choix $0,1275$
\end{tabularx}

\item Soient $X\hookrightarrow\mathcal{B}(15;0,1)$ et $Y\hookrightarrow\mathcal{B}(20;0,3)$ deux variables aléatoires. Que vaut $E(X+Y)=$ ?\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $7,5$ & \choix $35$ & \choix $0,4$ & \choix $3,5$
\end{tabularx}

\item Soit $X$ une variable aléatoire de variance 5. Si on multiplie par 2 toutes les valeurs prises par $X$  alors la variance devient:\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $10$ & \choix $15$ & \choix $20$ & \choix $25$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. D'après le cours, si $X \hookrightarrow\mathcal{B}(n;p)$ alors $E(X)=np$. Donc ici, $E(X)=10\times0,2=2$.

\item Réponse \choix[b]. D'après le cours, si $X \hookrightarrow\mathcal{B}(n;p)$ alors $V(X)=np(1-p)$. Donc ici, $V(X)=20\times0,15\times(1-0,15)=2,55$.

\item Réponse \choix[a]. En effet, $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ par linéarité de l'espérance. Or, $E(X)=15\times0,1=1,5$ et $E(Y)=20\times0,3=6$. Donc $E(X+Y)=1,5+6=7,5$.

\item Réponse \choix[c]. En effet, d'après le cours, $V(aX) = a^2V(X)$ donc\linebreak $V(2X) = 2^2V(X) = 4\times5 = 20$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2023

\begin{qcm}{Applications du cours}{10}
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. 

Pour chacune des questions, quelle est la seule proposition exacte? 

Aucune justification n'est demandée.
\begin{questions}
\item Dans une région, on a recensé la fréquence du nombre de personnes par foyer:
\begin{center}
\begin{tabular}{|Zl|*5{Zc|}}
\hline
\tabulartitle
Nombre de personnes & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
Fréquence & $0,36$ & $0,22$ & $0,24$ & $0,12$ & $0,06$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\Par
On choisit au hasard un foyer de cette région, et on note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes dans ce foyer.
\begin{questions}
\item Quelle est l'espérance de $X$?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $3,2$ & \choix $2,3$ & \choix $3$ & \choix $0,2$
\end{tabularx}

\item Que vaut l'écart-type de $X$?\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $1,53$ & \choix $2$ & \choix $1,24$ & \choix $\sqrt{1,53}$
\end{tabularx}
\end{questions}

\item On veut interroger 100 foyers de cette région, que l'on considère comme un échantillon de taille 100 de la loi de probabilité de $X$.

Soit $S_{100}$ la variable aléatoire qui donne la somme d'un tel échantillon et $M_{100}$ la variable aléatoire qui donne la
moyenne de l'échantillon.
\begin{questions}
\item Que vaut l'espérance de $S_{100}$?\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $2,3$ & \choix $124$ & \choix $1534$ & \choix $230$
\end{tabularx}

\newpage

\item Que vaut la variance de $S_{100}$?\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $1,24$ & \choix $153$ & \choix $124$ & \choix $1,53$
\end{tabularx}

\item Que vaut l'espérance de $M_{100}$ ?\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $2,3$ & \choix $124$ & \choix $23$ & \choix $230$
\end{tabularx}

\item Que vaut l'écart-type de $M_{100}$?\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
\choix $0,124$ & \choix $\dfrac{\sqrt{1,53}}{10}$ & \choix $0,0124$ & \choix $\dfrac{\sqrt{1,53}}{100}$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. En effet,
\[
E(X) = 1\times0,36 + 2\times0,22+3\times0,24+4\times0,12+5\times0,06=2,3.
\]

\item Réponse \choix[d]. Dans la mesure où aucune justification n'est demandée, on peut utiliser la calculatrice pour répondre. Attention cependant au résultat; la calculatrice affiche:
\[
1,23693168769
\]
dont une valeur \textit{approchée} est certes 1,24, mais cette dernière n'est pas la valeur \textit{exacte}. Par conséquent, la réponse \choix[c] n'est pas la bonne.

Par élimination, on exclut les réponses \choix[a] et \choix[b]. Il nous reste donc que la dernière proposition. On vérifie tout de même qu'une valeur approchée de $\sqrt{1,53}$ est bien la valeur affichée par la calculatrice.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Réponse \choix[d]. En effet, d'après le cours,
\[
E(S_{100}) = 100\times E(X) = 100\times2,3=230.
\]

\item Réponse \choix[b]. En effet, d'après le cours,
\[
V(S_{100}) = 100\times V(X) = 100\times\sigma(X)^2= 100\times1,53=153.
\]

\item Réponse \choix[a]. En effet, d'après le cours,
\[
E(M_{100}) = \dfrac{1}{100}E(S_{100}) = 2,3.
\]

\item Réponse \choix[d]. En effet, d'après le cours,
\[
\sigma(M_{100}) = \sqrt{\dfrac{1}{100}\times V(S_{100})}=\dfrac{\sigma(S_{100})}{100}=\dfrac{\sqrt{1,53}}{10}.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{vf}{Vérification de connaissances}{5}
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier les\linebreak réponses.
\begin{questions}
\item Si une variable aléatoire $X$ ne prend que des valeurs positives ou nulles, alors $E(X)\geqslant0$.
\item Si $E(X)\geqslant 0$ alors la variable aléatoire $X$ ne prend que des valeurs positives ou nulles.
\item $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires de variances respectives 8 et 10. Alors, $V(X+Y)=18$.
\end{questions}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Vrai}. D'après la formule du calcul de l'espérance, si $X$ ne prend que des valeurs positives, l'espérance est obtenue par produit puis somme de quantités positives. Donc $E(X)\geqslant 0$.
\item \emph{Faux}. Contre-exemple : la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur $-1$ avec une probabilité de $0,1$ et la valeur 1 avec une probabilité de $0,9$ a pour espérance $E(X)=0,1 \times (-1)+0,9\times 1=0,8$. Donc $E(X)>0$, mais $X$ prend une valeur négative. 
\item \textit{Faux}. Pour ajouter deux variances, il est nécessaire que les deux variables soient indépendantes, ce qui n'est pas précisé ici. 

%Dire que $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ est donc incorrect sans information complémentaire sur $X$ et $Y$.
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Pile ou Face}{Lycée Voltaire, Paris}{1}{15}
Un joueur lance trois fois de suite une pièce équilibrée. Chaque fois que le joueur obtient Face, il gagne 2 points, sinon il perd 1 point.\\
Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue d'une partie. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance $E(X)$.
\end{exo}


\begin{corrige}
Le lancer d'une pièce équilibrée est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0,5$ dont le succès est \og Obtenir Face \fg. Si on répète le lancer trois fois, de façons indépendantes, la variable $Y$ qui donne le nombre de fois $y_i$ où Face est obtenu suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;0,5)$.\\
En notant $x_i$ les valeurs de la variable aléatoire $X$, on peut dresser le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*4{Zc|}}
\hline
$y_i$&0&1&2&3\\
\hline
$P(Y=y_i)$&$ \dbinom{3}{0}0,5^3$&$\dbinom{3}{1}0,5^3$&$\dbinom{3}{2}0,5^3$&$\dbinom{3}{3}0,5^3$\\
\hline
$x_i$&$-3$&0&3&6\\
\hline
$P(X=x_i)$&$0,125$&$0,375$&$0,375$&$0,125$\\
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
 
L'espérance de $X$ est donc :
\[
E(X)=-3\times 0,125+3\times 0,375+6\times 0,125=1,5.
\]
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Loi binomiale}{Lycée Jean Puy, Roanne}{1}{25}
Lors d'un jeu radiodiffusé, on estime que le candidat, quelle que soit la question posée, a deux chances sur trois de donner la bonne réponse. Il gagne 50~euros par réponse exacte.

L'animateur du jeu lui pose successivement cinq questions.

\begin{questions}
\item Calculer la probabilité que le candidat ait cinq bonnes réponses.
\item Quelle est la probabilité que le candidat gagne 250 euros ?
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de réponses exactes au bout des cinq questions. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier la réponse.
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$ qui compte le gain total du joueur.
\item Calculer l'espérance de gain du joueur.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le jeu est une succession de 5 expériences identiques et indépendantes.\\
\og Donner cinq bonnes réponses \fg{} correspond à la liste de cinq résultats \og Donner la bonne réponse \fg, et a donc pour probabilité $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{5\strut}= \dfrac{32}{243}$.

\item Le candidat gagne 250 euros lorsqu'il a cinq bonnes réponses, donc la probabilité qu'il gagne 250 euros est $\dfrac{32}{243}$.

\item Chaque question correspond à une épreuve de Bernoulli dont le succès est \og Donner la bonne réponse \fg, et a pour probabilité $\dfrac{2}{3}$. Comme il y a 5 répétitions indépendantes, la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(5~; \dfrac{2}{3}\right)$.

\item Comme chaque réponse exacte fait gagner 50 euros, si on note $y_i$ les valeurs prises par $Y$, on a $y_i=50 x_i$. Connaissant la loi de $X$, on en déduit la loi de $Y$ dans le tableau suivant :

\begin{center} 
\fontsize{9}{11}\selectfont
\begin{tabular}{|>{\raggedleft\arraybackslash}M{15mm}|*6{>{\centering\arraybackslash}Z{m{9mm}}|}}
\hline
$x_i$&0&1&2&3&4&5\\
\hline
$y_i$&0&50&100&150&200&250\\
\hline
$P(X~=~x_i)$ $P(Y~=~y_i)$&$\dbinom{5}{0}\dfrac{1}{3^5}$&$\dbinom{5}{1}\dfrac{2}{3^5}$&$\dbinom{5}{2}\dfrac{2^2}{3^5}$&$\dbinom{5}{3}\dfrac{2^3}{3^5}$&$\dbinom{5}{4}\dfrac{2^4}{3^5}$&$\dbinom{5}{5}\dfrac{2^5}{3^5}$\\
\hline
Valeurs\linebreak approchées&0,004 &0,041 &0,165 & 0,329& 0,329&0,132 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Pour calculer l'espérance de $Y$, on peut prendre les valeurs numériques du tableau et appliquer la formule, mais il est plus rapide de constater que comme $y_i=50x_i$, alors :
\[ p_1y_1+\cdots+p_5y_5=50(p_1x_1+\cdots+p_5x_5)=50 E(X).\]
Or, on sait que si $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, son espérance vaut $np$. Par conséquent $E(Y)=50 \times 5\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{500}{3}$.
\end{questions}
\end{corrige}



%

\begin{exo}{Un dé tétraédrique déséquilibré}{Lycée Odilon Redon, Pauillac}{2}{20}
On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les chiffres
1, 2, 3 et 4. 
On lit le résultat d'un lancer sur la face cachée du dé. 

On note $p_i$ la probabilité d'obtenir le chiffre $i$ suite à un
lancer de ce dé. 

Le dé est déséquilibré de telle sorte que ces probabilités sont: 
\[
p_1=0,1 \ ; p_2=0,2\ ; p_3=0,3 \ ; p_4=0,4\ .
\]

On lance deux fois successivement ce dé. 
On suppose que les lancers sont indépendants entre eux. 

\begin{questions}
\item Dresser un arbre pondéré décrivant l'expérience. 
\item Quelle est la probabilité d'obtenir les chiffres 1 et 3 dans cet
      ordre ? 
\item Quelle est la probabilité d'obtenir deux chiffres 
      distincts rangés par ordre croissant ?

\item On instaure la règle suivante: 
      si un joueur lançant deux fois successivement ce dé obtient
      deux chiffres distincts rangés par ordre croissant il gagne 2
      euros, si il obtient deux fois le chiffre 1 il gagne 5
      euros, tandis que, dans tous les autres cas, il perd 3 euros. 

      On note $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. 
      \begin{questions}
      \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
      \item Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$. 

      Ce jeu est-il équitable ?

      \item On modifie la  valeur des gains de la manière suivante: 
      si on obtient deux chiffres distincts rangés par ordre
      croissant on gagne 5 euros, si on obtient deux fois le 
      chiffre 1 on gagne 11 euros, et sinon, dans tous les autres cas,
      on perd 5 euros. 

      On note $Y$ la variable aléatoire égale au gain du joueur avec
      cette nouvelle règle. 

      Déterminer l'espérance et l'écart type de $Y$.
      \end{questions}

\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On est en présence de la répétition de deux expériences identiques et indépendantes. On peut construire l'arbre pondéré suivant, en indiquant les
probabilités d'obtention de chaque chiffre pour le premier et le deuxième lancer.


\begin{center}
\includegraphics{368_varind-01}
\end{center}
\begin{methode}
La probabilité de l'issue représentée par un chemin est égale au produit des probabilités présentes sur le chemin.
\end{methode}
\item Il n'y a qu'une seule façon d'obtenir les chiffres 1 et 3 dans
cet ordre. 
La probabilité de cet événement est: 
$p=0,1\times 0,3=0,03$.

\item Les différentes façons d'obtenir deux chiffres distincts rangés
      par ordre croissant sont les suivantes: 
      \[
      (1;2)\,; (1;3)\,; (1;4)\,; (2;3)\,;(2;4)\,;(3;4)
      \]
      La probabilité de l'événement correspondant est donc: 
      \[\begin{aligned}
      p
      &=0,1\times0,2+0,1\times0,3+0,1\times0,4\\
       &\hspace{0.4cm}+0,2\times0,3+0,2\times0,4
       +0,3\times0,4\\
      &=0,35.
      \end{aligned}\]

   \item   
   \begin{questions}
      \item Avec cette règle, le gain algébrique à ce jeu peut-être de $-3$ euros, 2~euros ou 5 euros. 

Déterminer la loi de probabilité de $X$, c'est donner les probabilités de chacun des événements :
\[
P(X=-3)\,, P(X=2) \ \ \text{et} \ P(X=5).
\] 

D'après la question précédente, on a déjà calculé \mbox{$P(X=2)=0,35$.} 

On gagne de plus 5 euros uniquement lorsqu'on obtient deux fois le chiffre 1. Cet événement se produit avec une probabilité de :
\[P(X=5)=0,1\times 0,1=0,01\,.\]

Dans tous les autres cas, on perd 3 euros, et ainsi: 
\[\begin{aligned}
P(X=-3)
&=1-\Bigl( P(X=2)+P(X=5)\Bigr) \\
&=1-0,35-0,01=0,64.
\end{aligned}
\]

On peut résumer ces résultats par le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$: 

            \begin{center}
            \begin{tabular}{|R|c|c|c|}\hline
            Gain $x_i$ & -3 & 2 & 5  \\\hline
            $P(X=x_i)$ & 0,64 & 0,35 & 0,01\\\hline
            \end{tabular}
            \end{center}

      \item L'espérance de $X$ est: 
            \[
            E(X)=-3\times0,64+2\times0,35+5\times0,01
            =-1,17.
            \]
            On en déduit que ce jeu n'est pas équitable: 
            en moyenne, le joueur peut s'attendre à perdre 1,17 euros
            par partie. 

            La variance de $X$ est: 
            \[\begin{aligned}
            V(X)
            &=(-3+1,17)^2\times0,64+(2+1,17)^2\times0,35\\
            &\hspace{1cm}+(5+1,17)^2\times0,01\\
            &\approx 6,04.
            \end{aligned}\]
            D'où son écart type: 
            \[
            \sigma(X)=\sqrt{V(X)}\approx 2,46.
            \]

      \item On remarque que l'on passe de la variable aléatoire $X$ à
            la variable aléatoire $Y$ par la relation affine: 
            \[
            Y=2X+1.
            \]
La loi de probabilité de $Y$ est alors:
\begin{center}
            \begin{tabular}{|R|c|c|c|}\hline
            Gain $y_i$ & -5 & 5 & 11  \\\hline
            $P(X=y_i)$ & 0,64 & 0,35 & 0,01\\\hline
            \end{tabular}
            \end{center}

           La formule du cours  sur l'espérance donne:
            \[
            E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=-1,34.
            \]

            Pour la variance  et l'écart-type, on fait le calcul suivant:
            \begin{align*}
            V(Y) & = 0,64(-5+1,34)^2+0,35(5+1,34)^2+0,01(11+1,34)^2\\
            & =24,1644. \end{align*}
            
            Par conséquent, $\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}\approx 4,92$.
      \end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%
\newpage

\begin{exo}{Jouer sans se ruiner}{Lycée Blaise Pascal,Clermont-Ferrand}{2}{20}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{jouer sans se ruiner}{https://media.prepamath.fr/ILTMch11exo07}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.3){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTMch11exo07}}}
\vspace*{-5mm}

L'oncle de Tatiana est accroc au jeu de grattage. Chaque semaine, il achète jusqu'à 20 euros de cartes à gratter à deux euros. Il achète une première carte et la gratte. Si elle est gagnante, il s'arrête, sinon il en achète une seconde, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il ait une carte gagnante ou bien qu'il ait dépensé 20 euros.
La probabilité d'avoir une carte gagnante est 0,12.
\begin{questions}
\item Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
\item Quelle est la probabilité que l'oncle achète 4 cartes?
\item Quelle est la probabilité que l'oncle achète 10 cartes?
\item Quelle est la probabilité que l'oncle ne gagne rien?
\item Soit $ X$ la variable aléatoire qui à chaque série d'achats de la semaine, associe la somme dépensée.
\begin{questions}
\item Établir la loi de probabilité de $X$.
\item Quelle est l'espérance de $X$? Interpréter ce résultat.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTMch11exo07}}}
\rput(-0.5,-1.1){\PictoNathanLive[Video]}
\vspace*{-5mm}

Nous sommes en présence d'une loi géométrique tronquée.
\begin{questions}
\item L'arbre est celui d'un schéma de Bernoulli de 10 répétitions, dont on ne garde pas les branches issues d'un succès.
\begin{center}
\includegraphics{370_varind-02}
\end{center}
 \item On note $G$, l'issue de l'épreuve de Bernoulli : \og la carte achetée est gagnante \fg{} et $P$ : \og la carte est perdante \fg. L'oncle achète 4 cartes exactement si les 3 premières ne sont pas gagnantes, et si la dernière est gagnante. Il faut donc calculer \par $P(P,P,P,G)=0,88^3\times 0,12 \approx0,082$.
 \item L'oncle achète 10 cartes si les 9 premières sont perdantes. La dernière carte n'a pas d'importance puisqu'il s'arrêtera de toute façon car il aura dépensé 20 euros.\par 
 La probabilité est donc $0,88^9\approx0,316$.
 \item L'oncle ne gagne rien si les 10 cartes achetées sont perdantes. La probabilité de cet événement est $0,88^{10}\approx0,279$.
 \item
 \begin{questions}
 \item  L'oncle dépense $2n$ euros lorsqu'il achète $n$ cartes. Pour tout entier $n$ tel que $1\leqslant n < 10$, il achète $n$ cartes si les $n-1$ premières sont perdantes, donc  on a $P(X=2n)=0,88^{n-1}\times 0,12$.\par 
 Par contre $P(X=20)= 0,88^9$.
 
 On peut résumer la loi de probabilité de $X$ dans le tableau suivant contenant les valeurs approchées au millième:\\
 
\begin{tabular}{|R|*6{Zc|}}
 \hline
$x_i$ & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12\\
\hline 
$P(X=x_i)$ & $0,12$ & $0,106$ & $0,093$ & $0,082$ & $0,72$ & $0,063$ \\
\hline
 \end{tabular}
 
 \medskip
 
 \begin{tabular}{|R|*4{Zc|}}
 \hline
$x_i$&14&16&18&20\\
\hline 
$P(X=x_i)$&$0,056$&$0,049$&$0,043$&$0,316$\\
\hline
 \end{tabular}
 \item On calcule l'espérance de $X$ grâce à la formule du cours et on obtient $E(X)\approx12,02$.\\ 
Cela signifie que sur un grand nombre de semaines, l'oncle peut envisager dépenser en moyenne $12,02$~euros par semaine.
 \end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}



%

\begin{exo}{Le tapis vert}{Lycée Alexandre Dumas, Saint-Cloud}{2}{25}
Il y a plusieurs années, la Française des Jeux organisait un jeu qui s'appelait \og le tapis vert \fg. Ce jeu consistait à choisir une carte de chaque couleur dans un jeu de 32 cartes et à cocher les quatre cases correspondantes dans une grille. Ces choix étaient ensuite comparés aux quatre cartes tirées par l'organisateur.
\begin{questions}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque grille associe le nombre de cartes qui coïncident avec les cartes tirées.
\begin{questions}
\item Montrer que $X$ suit une loi binomiale de paramètres 4 et $\dfrac{1}{8}$.
\item Établir le tableau de la loi de probabilité de $X$. Garder les valeurs exactes sous forme fractionnaire.
\end{questions}
\item Pour gagner, il fallait avoir au moins deux cartes exactes. 

Quelle était la probabilité d'avoir une grille gagnante?

\item  Les gains étaient attribués de la façon suivante:
\begin{itemize}
\item pour 2 cartes exactes, on gagnait 2 fois sa mise ;
\item pour 3 cartes exactes, on gagnait 30 fois sa mise ;
\item pour 4 cartes exactes, on gagnait \numprint{1000} fois sa mise.
\end{itemize}
On note $G$ le gain algébrique du joueur pour une mise de 1 euro.
\begin{questions}
\item Déterminer la loi de probabilité de $G$ (garder les valeurs exactes).
\item Quelle est l'espérance de gain du joueur à $10^{-2}$ près?
\item Ce jeu est-il favorable au joueur?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Pour chaque couleur, il est choisi au hasard une carte parmi les 8 cartes de cette couleur. La probabilité d'avoir la bonne carte de cette couleur est donc $\dfrac{1}{8}$. Ce choix est répété de façons indépendantes pour les 4 couleurs. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre 4 et $\dfrac{1}{8}$.

\item Pour établir la loi de probabilité de $X$, on utilise la formule\linebreak $P(X=k)=\dbinom{4}{k}\left( \dfrac{1}{8}\right) ^k \left( \dfrac{7}{8}\right) ^{4-k}$. Les coefficients binomiaux $\dbinom{4}{k}$ sont égaux à 1, 4, 6, 4 et 1. On a donc le tableau de probabilité de $X$ suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*5{Zc|}}
\hline
$k$& 0&1&2&3&4\\
\hline
$P(X=k)$&$\dfrac{7^4}{8^4}$&$4\times \dfrac{7^3}{8^4}$&$6\times \dfrac{7^2}{8^4}$&$4\times \dfrac{7}{8^4}$&$\dfrac{1}{8^4}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{questions}

\item Il est plus rapide de chercher la probabilité de l'événement contraire \og avoir 0 ou 1 carte exacte \fg.\par 
$P(X=0)+P(X=1)=\dfrac{7^4+4\times 7^3}{8^4}=\dfrac{11\times 7 ^3}{8^4}.$\par 
La probabilité d'avoir une grille gagnante était donc  $1-\dfrac{11\times 7 ^3}{8^4}=\dfrac{323}{8^4}$, soit environ $ 0,0789$.
\item
\begin{questions}
\item La mise étant de 1 \euro, le gain pour 2 cartes exactes est 1~\euro, le gain pour 3 cartes exactes est 29 \euro, le gain pour 4 cartes exactes est 999~\euro, et pour 0 ou 1 carte exacte, il est égal à $-1$~\euro.

Le tableau de la loi de probabilité de $G$ est:

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*4{Zc|}}
\hline
gain $g$&$-1$&1&29&999\\
\hline
$P(X=g)$&$\dfrac{11\times 7^3}{8^4}$&$\dfrac{6\times 7^2}{8^4}$&$\dfrac{4\times 7}{8^4}$&$\dfrac{1}{8^4}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item L'espérance du gain du joueur est :\par
$-1\times \dfrac{11\times 7^3}{8^4}+1 \times\dfrac{6\times 7^2}{8^4}+29\times\dfrac{4\times 7}{8^4}+999\times\dfrac{1}{8^4}$\par 
Ce qui donne $E(G) \approx  -0,41$.
\item Comme l'espérance de gain du joueur est négative, ce jeu n'est pas favorable au joueur.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Assurance}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-Sous-Bois}{2}{25}
Un assureur automobile compte \numprint{2000} clients. On suppose que la probabilité qu'un des clients ait un accident est égale à $0,12$. Soit $X$ la variable qui donne le nombre de conducteurs accidentés parmi les \numprint{2000} clients.
\begin{questions}
\item Déterminer la loi suivie par $X$ et en donner les paramètres.
\item Calculer la probabilité pour qu'il y ait au moins 240 clients accidentés.
\item Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\leqslant n)\geqslant 0,95$.
\item On suppose que chaque accident coûte en moyenne 4000 euros à l'assurance.\par 
On note $a$ le prix payé par chaque client pour s'assurer.\par 
Soit $Y$ la variable aléatoire qui donne le bénéfice (algébrique) réalisé par l'assureur.

\begin{questions}
\item Exprimer $Y$ en fonction de $X$ et de $a$.
\item En déduire espérance de $Y$ en fonction de $a$.
\item Pour quelles valeurs de $a$ l'espérance $E(Y)$ est-elle positive ou nulle?
\item Si $a=500$, calculer puis interpréter $P(Y\geqslant \numprint{100000})$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $X$ suit une loi binomiale de paramètres \numprint{2000} et 0,12.
\item $P(X\geqslant 240)=1-P(X\leqslant 239) \approx 0,51$.
\item Par essais successifs, on trouve : 
\[ P(X\leqslant263)\approx0,946 \text{ et } P(X\leqslant264)\approx 0,953.\] Le plus petit $n$ tel que $P(X\leqslant n)\geqslant 0,95$ est donc $264$.
\item
\begin{questions}
\item $Y = \numprint{2000}a-\numprint{4000}X$.
\item $E(Y)=\numprint{2000}a -\numprint{4000}E(X)$. Or $E(X)=\numprint{2000}\times 0,12=240$, donc $E(Y)=\numprint{2000}a - \numprint{960000}$.
\item $E(Y)\geqslant 0$ pour  $\numprint{2000}a\geqslant\numprint{960000}$, c'est-à-dire $a\geqslant 480$.
\item Si $a=500$, alors $Y=\numprint{1000000}-\numprint{4000}X$, donc $Y\geqslant\numprint{100000}$ pour $X\leqslant225$. Or $P(X\leqslant225)\approx 0,159$.\\
La probabilité que le bénéfice soit supérieur à \numprint{100000} euros pour une cotisation de 500 euros est d'environ $0,159$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Stand de tir}{Lycée Jean Pierre Vernant, Pin-Justaret}{2}{30}
Sandy aime bien aller au stand de tir de la fête foraine de son village. Bien que les carabines soient très mal réglées, elle sait que la probabilité, à chaque tir, qu'elle atteigne la cible est $0,68$.

Elle effectue 25 tirs successifs. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de tirs réussis.
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Quelle loi suit la variable aléatoire $X$? Justifier.
\item Calculer son espérance, interpréter ce résultat.
\item Déterminer à $10^{-5}$ près la probabilité que Sandy atteigne la cible à chacun de  ses 25 tirs.
\item Déterminer à $10^{-3}$ près la probabilité qu'elle atteigne la cible au moins 20 fois.

\end{questions}
\item Sandy doit payer 10 euros pour pouvoir faire les 25 tirs. Mais chaque tir réussi donne droit à un point d'une valeur de 0,5 euros. Elle pourra ensuite les utiliser sur le stand pour acheter des bonbons. A ce jeu, on appelle gain (qui peut être négatif), la différence entre la valeur gagnée avec les points et le prix de la partie. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à une partie de 25 tirs, associe le gain de Sandy.
\begin{questions}
\item Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
\item En déduire $E(Y)$. Pour qui le jeu est-il favorable?
\item Quel est le nombre maximum de tirs que Sandy doit réussir pour que le forain gagne de l'argent?
\item Quelle est la probabilité que le forain ne gagne pas d'argent lorsque Sandy joue?
\end{questions}
\item Dans cette question, Sandy effectue $n$ tirs. Déterminer l'entier $n$ à partir duquel la probabilité que Sandy réussisse au moins un tir dépasse 99\%.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item  Chaque tir est une expérience de Bernoulli de paramètre $0,68$. Les résultats des 25 tirs sont indépendants les uns des autres, la variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres 25 et $0,68$.
\item D'après le cours, $E(X) = 25\times 0,68=17 $. Cela signifie que si Sandy effectue plusieurs séries de 25 tirs, elle peut espérer en réussir en moyenne 17 par série.
\item On cherche $P(X=25)= 0,68^{25}\approx 0,00006$.
\item La probabilité que Sandy atteigne la cible au moins 20 fois est égale à :
\begin{multline*}
P(X=20)+P(X=21)+P(X=22)+P(X=23)\\+P(X=24)+P(X=25).
\end{multline*}
On utilise la calculatrice pour effectuer ce calcul et on trouve\linebreak$P(X\geqslant 20)\approx 0,141$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item $Y=0,5X-10$.
\item On a alors : $\begin{aligned}[t]
E(Y) & = E(0,5X-10)\\
& =0,5 E(X)-10\\
& = 0,5\times 17-10\\
& =-1,5.
\end{aligned}$

L'espérance du gain de Sandy étant négative, cela signifie que le jeu est défavorable à Sandy, mais par contre il est favorable au forain.
\item Le forain gagne de l'argent si Sandy gagne moins  de 10 euros, donc réussit au plus 19 tirs.
\item La probabilité que le forain ne gagne pas d'argent est donc la probabilité que Sandy réussisse au moins 20 tirs, c'est-à-dire environ $0,141$ (d'après la question 1).
\end{questions}

\item L'événement \og Sandy réussit au moins un des $n$ tirs \fg{} est l'événement contraire de l'événement \og Sandy ne réussit aucun des $n$ tirs \fg. La probabilité  de réussir au moins un tir est donc $1-0,32^n$.\\
On cherche le plus petit $n$ tel que $1-032^n\geqslant 0,99$:
\begin{align*}
1-0,32^n\geqslant 0,99 & \iff -0,32^n \geqslant 0,99-1\\
& \iff 0,32^n \leqslant 0,01\\
& \iff \ln\big(0,32^n\big) \leqslant \ln(0,01)\\
& \iff n\ln(0,32) \leqslant \ln(0,01)\\
& \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,32)}\text{ (car }\ln(0,32)<0)\\
& \iff n \geqslant 4,04.
\end{align*}
\enlargethispage*{3\baselineskip}
$n$ étant un entier, la plus petite de ses valeurs qui correspond est $n=5$.

Donc, si Sandy réalise au moins 5 tirs, la probabilité qu'elle en réussisse au moins un est  supérieure ou égale à 0,99.
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Éviter le gaspillage}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-Bois}{2}{30}
Les 500 employés d'une entreprise déjeunent à l'un ou l'autre des deux services de la cantine. La probabilité qu'un employé déjeune au premier service est égale à 0,6. On suppose que les employés prennent leur décision indépendamment les uns des autres.\par 
On note $X$ la variable aléatoire qui  donne le nombre d'employés qui mangent au premier service lors d'un déjeuner.
\begin{questions}
\item Quelle est la loi suivie par $X$? Justifier et donner ses paramètres.
\item Quelle est la probabilité qu'il y ait autant de personnes au premier service qu'au second?
\item Calculer l'espérance de $X$, puis $P(X\leqslant E(X))$.
\item Quelle est la probabilité qu'il y ait au plus 280 personnes au premier service?
\item Quelle est la probabilité qu'il y ait entre 290 et 310 personnes au premier service?
\item Si le gérant veut être sûr de pouvoir servir tous les employés quel que soit le service qu'ils choisissent, il doit prévoir 500 repas pour chaque service. Mais en prenant un petit risque, il peut faire des économies importantes et éviter un gros gaspillage.\par 
Quel est le nombre minimal de couverts à prévoir pour le premier service afin que la probabilité de servir tous les employés souhaitant manger à ce service soit supérieure ou égale à $0,99$?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le choix du service est une expérience de Bernoulli. Le succès est le choix du premier service et a une probabilité de 0,6. L'expérience est répétée 500 fois de façons indépendantes. $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres 500 et 0,6.
\item Il y a autant de personnes au premier service qu'au second service si il y a 250 personnes au premier service. \\
$P(X=250)= \dbinom{500}{250}\times 0,6^{250}\times 0,4^{250} \approx 1,32 \times 10^{-6}$.
\item \begin{methode}
Les calculs de probabilité demandés dans les questions 3 à 6 ne sont pas possibles \og à la main \fg. En revanche, les calculatrices permettent le calcul de $P(X\leqslant k)$ ou $P(X=k)$ dans le cas d'une loi binomiale.
\end{methode}

$E(X)=500\times 0,6=300$. \par
$P(X\leqslant 300)\approx 0,517$.
\item $P(X\leqslant 280)\approx 0,038$.
\item $P(290\leqslant X \leqslant 310)=P(X\leqslant 310)-P(X\leqslant 289)\approx 0,662$
\item On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(X\leqslant n)\geqslant 0,99$.\par 
Par essais successifs, on trouve $P(X\leqslant 324)\approx0,9878$ et\newline $P(X \leqslant 325)\approx0,9904$.\par 
Il faut donc que le gérant prévoie au minimum 325 repas.
\end{questions}
\end{corrige}

 
%
 
\begin{exo}{Commission}{Lycée Saint-Louis, Saint-Nazaire}{2}{30}
Au cours d'une journée, un commercial se déplace pour visiter  quatre clients contactés lors d'une foire exposition, afin de leur proposer l'achat d'un produit de grande consommation d'une valeur de 500 euros.\\
Compte tenu de son expérience, le commercial estime qu'à chacune de ses visites, la probabilité que le client lui achète son objet est de $0,3$. 
\begin{questions}
\item Calculer la probabilité de l'événement A : \og Seul le premier client achète l'objet \fg.
\item Calculer la probabilité de l'événement B : \og Un seul client achète l'objet \fg.
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de ventes lors des quatre visites.
\begin{questions}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
\item Établir le tableau de la loi de probabilité de $X$.
\end{questions}
\item Le commercial perçoit 15\% sur le total de sa vente.
\begin{questions}
\item Établir la loi de probabilité associée au gain de la journée.
\item Quelle est l'espérance mathématique du gain ?
\end{questions}
\item Que doit être le pourcentage (arrondi au dixième) de sa commission pour que cette espérance dépasse 100 euros ? 
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
Les quatre visites successives peuvent se modéliser par la répétition d'expériences identiques et indépendantes.
\begin{questions}
\item La probabilité que seul le premier client achète l'objet est donc\linebreak$0,3\times 0,7^3 \approx 0,103$.
\item Cela peut être le premier, le deuxième, le troisième ou le quatrième client qui achète l'objet, les trois autres ne l'achetant pas. La probabilité de $B$ est donc $4 \times P(A)= 1,2 \times 0,7^3\approx 0,412$.
\item
\begin{questions}
\item Chaque visite est une épreuve de Bernoulli dont le succès est \og Le client achète l'objet \fg, de probabilité $0,3$. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(4~;0,3)$.
\newpage
\item La loi de probabilité de $X$ est donc :
\begin{center}
\scalebox{0.9}{%
\begin{tabular}{|C|Z{p{3cm}}|}
\hline\tabulartitle
$x_i$ & \centering\arraybackslash $P(X=x_i)$ \\
\hline
0 & $\dbinom{4}{0}\times0,7^4$\\
\hline
1 & $\dbinom{4}{1}\times0,3\times0,7^3$\\
\hline
2 & $\dbinom{4}{2}\times0,3^2\times0,7^2$\\
\hline
3 & $\dbinom{4}{3}\times0,3^3\times0,7$\\
\hline
4 & $\dbinom{4}{4}\times0,3^4$\\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}
\end{questions}  
 
\item 
\begin{questions}
\item Si il y a $x_i$ ventes, le gain est $\dfrac{15\times500}{100}x_i=75x_i$. On déduit donc du tableau précédent la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne le gain de la journée.

\begin{center}
\scalebox{0.9}{%
\begin{tabular}{|C|Z{p{3cm}}|Zc|}
\hline\tabulartitle
$y_i$ & \centering\arraybackslash Probabilité & Valeur approchée\\
\hline
0 & $\dbinom{4}{0}\times0,7^4$ & $0,240$\\
\hline
75 &$\dbinom{4}{1}\times0,3\times0,7^3$ & $0,412$\\
\hline
150 & $\dbinom{4}{2}\times0,3^2\times0,7^2$ & $0,265$\\
\hline
225 & $\dbinom{4}{3}\times0,3^3\times0,7$ & $0,076$\\
\hline
300 & $\dbinom{4}{4}\times0,3^4$ & $0,008$\\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}

\item Avec les valeurs approchées du tableau et la définition de l'espérance, on trouve que l'espérance du gain journalier est $90,15$.\\
Mais on peut aussi voir d'après la définition de l'espérance, que si l'on multiplie toutes les valeurs par un même nombre, alors on multiplie l'espérance par ce nombre. 

Puisque l'espérance d'une variable qui suit la loi binomiale est égale à $np$, si l'on multiplie ses valeurs par 75 on trouve que l'espérance du gain journalier est $4\times 0,3\times 75 =90$. C'est la valeur que nous allons prendre pour la suite car le calcul précédent était fait avec des valeurs approchées.
\end{questions}

\item Pour que l'espérance devienne supérieure à 100, il faut qu'elle soit multipliée par $\dfrac{100}{90}$. Étant donnée la définition de l'espérance, on voit qu'il suffit de multiplier toutes les valeurs de la variable par $\dfrac{100}{90}$. \enlargethispage*{\baselineskip}

Pour cela il suffit que le taux de commission soit multiplié par $\dfrac{100}{90}$ et devienne donc $\dfrac{100}{90}\times 0,15\approx 0,167$, soit environ $16,7$\%.
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Jeu défavorable}{Lycée Camille Vernet, Valence}{3}{30}
Un stand d'une kermesse propose le jeu suivant : une roue est divisée en 10 secteurs, trois bleus et sept jaunes. On fait tourner la roue, et un repère désigne un secteur lorsqu'elle s'immobilise. Chaque secteur a la même probabilité d'être désigné.\\ 
Pour chaque partie, le joueur fait tourner trois fois de suite la roue, de façon indépendante, et on note les couleurs de chacun des trois secteurs obtenus.
\begin{questions}
\item Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre et indiquer sur chaque branche les probabilités correspondantes.
\item Montrer que la probabilité d'obtenir trois fois le jaune est égale à $0,343$.
\item Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois le bleu.
\item Pour jouer une partie, le joueur doit miser une somme d'argent, notée $m$. S'il obtient trois fois le jaune, il perd sa mise. S'il obtient une ou deux fois le bleu, il récupère sa mise. S'il obtient trois fois le bleu, il récupère sa mise et gagne une somme égale à 10 fois sa mise.\\
On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. 
\begin{questions}
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Exprimer l'espérance de $X$ en fonction de $m$.
\item Expliquer pourquoi, quelle que soit la valeur de $m$, la règle du jeu désavantage le joueur.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

  
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'expérience est représentée par l'arbre représenté page ci-contre.

Cette expérience est la répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. La probabilité du succès \og Obtenir le secteur jaune \fg est $0,7$. La variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre de fois où le secteur jaune est obtenu suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;0,7)$.


\begin{center}
\includegraphics{376_varind-03}
\end{center}



\item On a donc : $P(Y=3)= 0,7^3=0,343$.
\item L'événement \og Obtenir au moins une fois le bleu \fg{} est le contraire de \og Obtenir trois fois le jaune \fg, donc la probabilité de cet événement est $1-0,343=0,657$.
\item 
\begin{questions}
\item La loi de probabilité de $X$ est la suivante : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}Z{m{15mm}}|>{\centering\arraybackslash}Z{m{18mm}}|>{\centering\arraybackslash}X|}
\hline\tabulartitle
Valeurs $x_i$ & $P(X=x_i)$ & Valeur numérique\\
\hline
$-m$ & $P(Y=3)$ & $0,343$\\
\hline
0 &$P(Y=1)$\linebreak$+P(Y=2)$ & $3\times0,7\times0,3^{2\strut}+3\times0,7^2\times0,3$\linebreak$=0,63$\\
\hline
$10m$ & $P(Y=0)$ & $0,3^3=0,027$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item $E(X)=-m \times0,343+0+10m \times0,027=-0,073 m$.

\newpage

\item Quelle que soit la valeur de $m$, qui est un nombre positif, l'espérance de la variable aléatoire égale au gain du joueur est négative, ce qui signifie que, sur un grand nombre de parties, le joueur a de fortes chances de perdre en moyenne $0,073$ fois sa mise de départ. La règle du jeu désavantage donc le joueur.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Rendre un jeu équitable}{Lycée Victor Louis, Talence}{3}{30}
Un jeu consiste à lancer quatre fois une pièce de monnaie équilibrée. Le résultat de chaque lancer est indépendant des autres.
\begin{questions}
\item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où Face est apparu au cours de quatre lancers ? Dresser le tableau de cette loi de probabilité.
\item Le joueur gagne 40 points s'il n'obtient que des Piles. S'il obtient trois Faces, il perd 20 points, s'il obtient 2 Faces, il perd 10 points et dans les autres cas, il ne gagne ni ne perd aucun point. On note $Y$ la variable aléatoire qui à une partie associe le nombre de points gagnés (ou perdus).
\begin{questions}
\item Établir la loi de probabilité de $Y$.
\item Calculer, en précisant les calculs effectués, l'espérance $E$ de cette variable aléatoire.
\item Conseilleriez-vous de jouer à ce jeu ? Pourquoi ?
\item Sans rien modifier d'autre par ailleurs, combien le  joueur devrait-il gagner en n'ayant que des Piles pour que ce jeu devienne équitable ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le jeu est une répétition de 4 expériences identiques et indépendantes, qui ont deux issues, et dont le succès, \og Obtenir Face \fg{} a pour probabilité $0,5$. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de Faces obtenues suit donc la loi binomiale de paramètres 4 et $0,5$.


Le tableau de la loi de probabilité est donc:
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*5{Zc|}}
\hline
$x_i$&0&1&2&3&4\\
\hline
$P(X=x_i)$&$0,5^4$&$4\times 0,5^4$&$6\times 0,5^4$&$4 \times0,5^4$&$0,5^4$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item \begin{questions}
\item $P(Y=40)=P(X=0)$.\\
$P(Y=-20)=P(X=3)$.\\ 
$P(Y=-10)=P(X=2)$.\\
La loi de probabilité de $Y$ est donc :
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*4{Zc|}}
\hline
$y_i$&40&$-20$&$-10$&0\\
\hline
$P(Y=y_i)$&$0,0625$&$0,25$&$0,375$&$0,3125$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item $\begin{aligned}[t]
E(Y) & =40\times 0,0625-20\times0,25-10\times0,375+0\times0,3125 \\
E(Y) & =-6,25
\end{aligned}$
\item Comme l'espérance du gain du joueur est négative, ce jeu est défavorable au joueur. Il n'a donc pas intérêt à y jouer.
\item Si on veut modifier le gain pour que $E(Y)=0$, il faut gagner la somme $S$ telle que $S\times 0,0625-20\times0,25-10\times0,375=0$, c'est-à-dire $S=140$. Le joueur devrait donc gagner 140 points s'il n'obtient que des Piles.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
