\thumb

%

\begin{vf}{Connaissances du cours}{10} % titre , temps
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?

\begin{questions}
\item Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance $E(X)=9$ à valeurs positives. Alors, selon l'inégalité de Markov, $P(X \geqslant 10) \leqslant \dfrac{1}{10}$.

\item Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance $E(X)=7$ et de variance $\sigma^2 = 9$. Alors, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $P\big( | X-7| \geqslant 18\big) <  0,028$.

\item On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Si la carte est un roi, on gagne 1 point, sinon on ne gagne rien. On répète cette expérience \numprint{1000} fois.

La probabilité que, à l'issue des \numprint{1000} expériences, la différence (en valeur absolue) entre le gain moyen de points et 125 soit plus grande que 15 est inférieure ou égale à 0,5.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Faux}. Selon l'inégalité de Markov, $P(X \geqslant a) \leqslant \dfrac{E(X)}{a}$, ce qui donne dans notre cas:
\[
P(X \geqslant 10) \leqslant \dfrac{9}{10}.
\]

\item \textit{Vrai}. En effet, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, 
\[
P\big( | X-E(X)| \geqslant \delta \big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}
\]
ce qui donne dans notre cas:
\[
P\big( | X - 7| \geqslant 18 \big) \leqslant \dfrac{9}{18^2}
\]
soit:
\[
P\big( | X - 7| \geqslant 18 \big) \leqslant \dfrac{1}{36} < 0,028.
\]

\item \textit{Vrai}. Notons $X_k$ le nombre de points lors du $k$-ième tirage ($X_k = 0$ ou $X_k = 1$). 

C'est une variable de Bernoulli d'espérance $\mu=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}=\dfrac{125}{\numprint{1000}}$ et de variance $\sigma^2=\dfrac{1}{8}\left(1-\dfrac{1}{8}\right)=\dfrac{7}{64}$. D'après l'inégalité de concentration (les $X_k$ étant implicitement indépendantes),
\begin{align*}
& P\left(\left|X_1+\cdots+X_{\numprint{1000}}-125\right| \geqslant 15\right) \\
=\ & P\left(\left|\dfrac{X_1+\cdots+X_{\numprint{1000}}}{\numprint{1000}}-\dfrac{125}{\numprint{1000}}\right|\geqslant\dfrac{15}{\numprint{1000}}\right)\\
\leqslant\ & \dfrac{\frac{7}{64}}{\numprint{1000}\times \left( \frac{15}{\numprint{1000}}\right)^2}\\
<\ & 0,49\\
<\ & 0,5.
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}

%

\begin{exo}{Lancer de dé}{Nouveau programme}{1}{10} 
On jette \numprint{3600} fois un dé équilibré. Minorer la probabilité que le nombre d'apparitions du numéro 1 soit strictement compris entre 480 et 720 à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
\end{exo}

\begin{corrige}
Soit $S$ la variable aléatoire comptant le nombre d'apparitions du chiffre 1 au cours de ces lancers. $S$ suit une loi binomiale de paramètres \numprint{3600} et $\dfrac{1}{6}$. On sait donc que:
\[
E(S)=\dfrac{1}{6}\times\numprint{3600}=600\qquad\text{et}\qquad V(S)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{5}{6}\times\numprint{3600}=500.
\]
De plus,
\[
480<S<720 \iff -120<S-600<120\iff|S-600|<120.
\]
Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on obtient:
\[
P(|S-600|\geqslant120)\leqslant \dfrac{500}{120^2} \leqslant 0,035.
\]
On en déduit que:
\[
P(480<S<720)\geqslant1-0,035
\]
soit:
\[
P(480<S<720)\geqslant 0,965.
\]
En particulier, la probabilité que le numéro 1 apparaisse strictement entre 480 et 720 fois au cours de ces \numprint{3600} lancers est supérieure à 0,96.
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Usine de pièces}{Nouveau programme}{1}{10} 
Le nombre de pièces sortant d'une usine en une journée est une variable aléatoire d'espérance 50. On veut estimer la probabilité que la production de demain dépasse 75 pièces.

\begin{questions}
\item En utilisant l'inégalité de Markov, quelle estimation obtient-on sur cette probabilité ?
\item Que peut-on dire de plus sur cette probabilité si on sait que l'écart-type de la production quotidienne est 5 ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Notons $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de pièces. En utilisant l'inégalité de Markov, on obtient:
\[
P(X \geqslant 75) \leqslant \dfrac{E(X)}{75}
\]
soit:
\[
P(X \geqslant 75) \leqslant \dfrac{2}{3}.
\]

\item L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne:
\[
P( |X-50| \geqslant 25) \leqslant \dfrac{V(X)}{25^2}
\]
soit:
\[
P( |X-50| \geqslant 25) \leqslant \dfrac{5^2}{25^2}
\]
et donc:
\[
P( |X-50| \geqslant 25) \leqslant 0,04.
\]
Ainsi, $P( X \geqslant 75) \leqslant 0,04$.
\end{questions}
\end{corrige}


%
\newpage

\begin{exo}{Particules émises}{Nouveau programme}{1}{15} 
Pour étudier les particules émises par une substance radioactive, on dispose d'un détecteur. On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de particules qui atteignent le détecteur pendant un intervalle de temps $\Delta t$. Le nombre maximal de particules que le détecteur
peut compter pendant un intervalle de temps $\Delta t$ est de $10^3$. On suppose que $X$ suit une loi d'espérance et de variance égales à $10^2$.

Donner une majoration de la probabilité que $X$ dépasse $10^3$.
\end{exo}

\begin{corrige}
On utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev:
\[
P( |X - 10^2| \geqslant 10^3 - 10^2) \leqslant \dfrac{V(X)}{\big(10^3-10^2\big)^2}
\]
pour trouver finalement:
\[
P( |X - 10^2| \geqslant 10^3-10^2) \leqslant \numprint{0,000123456790123}.
\]
Ainsi, $\begin{aligned}[t]
P(X \geqslant 10^3) & = P(X-10^2 \geqslant 10^7-10^2)\\
& P(|X-10^2|\geqslant10^3-10^2) \leqslant \numprint{0,000124}.\end{aligned}$
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Pièces défectueuses}{Nouveau programme}{1}{15} 
Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue $p$ est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de $p$. On effectue un prélèvement de $n$ pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur un échantillon très grand et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de $n$ tirages indépendants avec remise. 

On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que $\dfrac{X_n}{n}$ approche $p$.

\begin{questions}
\item Quelle est la loi de $X_n$ ? Sa moyenne? Sa variance?
\item Démontrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, $P\left( 
\left|
\dfrac{X_n}{n} - p 
\right| 
\geqslant 
\varepsilon 
\right) 
\leqslant 
\dfrac{1}{4n\varepsilon^2}$.
\item En déduire une condition sur $n$ pour que $\dfrac{X_n}{n}$ soit une valeur approchée de $p$ à $10^{-2}$ près avec une probabilité supérieure ou égale à 95\%.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $X_n$  est la somme de $n$ variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$. Ainsi, $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$. On en déduit alors que:
\[
E(X_n)=np\qquad\text{et}\qquad V(X_n)=np(1-p).
\]
\item D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
\[
\forall\delta>0,\quad P\big(|X_n-np| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{np(1-p)}{\delta^2}.
\]
Or,
\[
|X_n-np| \geqslant \delta  \iff \left|\dfrac{X_n}{n}-p\right| \geqslant \dfrac{\delta}{n}
\]
En posant $\varepsilon = \dfrac{\delta}{n}$, on obtient alors:
\[
\forall\varepsilon>0,\quad P\left( \left|\dfrac{X_n}{n}-p\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \dfrac{np(1-p)}{n^2\varepsilon^2}
\]
que l'on peut aussi écrire, en simplifiant par $n$ le dernier membre, sous la forme:
\[
\forall\varepsilon>0,\quad P\left( \left|\dfrac{X_n}{n}-p\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \dfrac{1}{n\varepsilon^2}p(1-p).
\]
De plus, la fonction $p \mapsto p(1-p)$ définie sur $[0;1]$ est une fonction de degré 2 admettant un maximum pour $p=\dfrac{1}{2}$ qui vaut $\dfrac{1}{4}$, donc :
\[
p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}.
\]
L'inégalité devient alors:
\[
\forall\varepsilon>0,\quad P\left( \left|\dfrac{X_n}{n}-p\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \dfrac{1}{4n\varepsilon^2}.
\]

\item On cherche ici un entier $n$ tel que :
\[
P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|<10^{-2}\right)\geqslant0,95
\]
que l'on peut aussi écrire, en considérant l'événement contraire:
\[
P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|\geqslant10^{-2}\right)\leqslant0,05.
\]
D'après l'inégalité obtenue à la question précédente, il suffit donc de trouver un entier $n$ tel que:
\[
\dfrac{1}{4n\big(10^{-2}\big)^2} \leqslant 0,05.
\]
ce qui revient à prendre $n$ tel que $n\geqslant\dfrac{1}{4\times0,05\times(10^{-2})^2}$,\linebreak soit $n\geqslant500$.
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Inégalité de Markov}{Nouveau programme}{2}{15} 
\label{inegalite-markov-exo}
On souhaite démontrer l'inégalité de Markov stipulant que pour une variable aléatoire discrète d'espérance finie $X$ à $n$ valeurs positives,
\[
\forall a > 0,\quad P(X \geqslant a) \leqslant \dfrac{E(X)}{a}.
\]
On note:
\[
E(X)=\sum_{k=1}^n x_kP(X = x_k).
\]

\begin{questions}
\item Compléter l'égalité suivante: $E(X) = \displaystyle\sum_{x_k \geqslant a} \ldots \quad + \quad \sum_{x_k < a} \ldots$

\item Par quel nombre est minorée la deuxième somme ?
\item Montrer alors que:
\[
E(X) \geqslant aP(X \geqslant a).
\]
Conclure.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On peut \og couper \fg{} la somme désignant l'espérance de $X$ en deux sommes : la première comportant toutes les valeurs de $X$ inférieures strictement à $a$ et la seconde comportant les valeurs de $X$ supérieures ou égales à $a$, ce qui donne:
\[
E(X) = \sum_{x_k \geqslant a} x_kP(X=x_k) \quad + \quad \sum_{x_k < a} x_kP(X=x_k).
\]

\item On sait que $X \geqslant 0$ donc, pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n$, $x_k \geqslant 0$. De plus, une probabilité est toujours supérieure ou égale à 0.

Ainsi, pour tout entier $k\in[1;n]$, $x_kP(X=x_k)\geqslant0$, ce qui implique que:
\[
\sum_{x_k < a} x_kP(X=x_k) \geqslant 0.
\]

\item De la question précédente, on déduit que:
\[
E(X) \geqslant \sum_{x_k \geqslant a} x_kP(X=x_k).
\]
Or, dans cette somme, $x_k \geqslant a$, ce qui implique:
\[
E(X) \geqslant \sum_{x_k \geqslant a} aP(X=x_k)
\]
soit:
\[
E(X) \geqslant a\sum_{x_k \geqslant a} P(X=x_k).
\]
De plus, par définition:
\[
\sum_{x_k \geqslant a} P(X=x_k) = P(X \geqslant a)
\]
ce qui implique alors:
\[
E(X) \geqslant aP(X \geqslant a).
\]
On en déduit alors, en divisant par $a\neq0$:
\[
\dfrac{E(X)}{a} \geqslant P(X \geqslant a).
\]
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}{Nouveau programme}{2}{15} 
\label{inegalite-tchebychev-exo}
On se propose dans cet exercice de démontrer l'inégalité de Bienaymé-\linebreak Tchebychev, stipulant que si $X$ est une variable aléatoire discrète d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$ alors, quel que soit le réel $\delta > 0$, 
\[
P\big(|X-\mu| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}.
\]
Pour cela, on considère la variable $Y = \big[X-E(X)\big]^2$.

Appliquer l'inégalité de Markov à $Y$ en prenant une valeur de $a$ convenablement choisie afin de démontrer l'inégalité souhaitée.
\end{exo}

\begin{corrige}
Par définition, $Y$ est une variable aléatoire à valeurs positives et:
\[
E(Y) = E\big[ (X-E(X))^2 \big] = V(X).
\]
L'inégalité de Markov appliquée à $Y$ donne alors pour tout $a>0$:
\begin{align*}
&  P(Y \geqslant a) \leqslant \dfrac{E(Y)}{a}\\
\text{donc }& P\Big( \big(X-E(X)\big)^2 \geqslant a\Big) \leqslant \dfrac{V(X)}{a}.
\end{align*}
Posons alors $a=\delta^2$ avec $\delta>0$. On obtient alors:
\[
P\Big( \big(X-E(X)\big)^2 \geqslant \delta^2\Big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}.
\]
Or, \hfil $\big(X-E(X)\big)^2 \geqslant \delta^2 \iff \big| X-E(X)\big| \geqslant \delta$\\
car $\delta > 0$. Cela donne alors, pour tout $\delta>0$:
\[
P\Big( \big| X-E(X)\big| \geqslant \delta \Big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}.
\]
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Combien de lancers de dé ?}{Nouveau programme}{3}{15}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{combien de lancers de dés ?}{https://media.prepamath.fr/ILTMch12exo08}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTMch12exo08}}}
\vspace*{-5mm}

\Par

On lance de manière indépendante $n$ fois un dé équilibré à six faces. 


À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur minimale de $n$ pour laquelle la probabilité d'obtenir entre 0 et $\dfrac{n}{3}$ fois le nombre \og 1 \fg{} est supérieure ou égale à $\dfrac{1}{2}$.

Calculer cette probabilité pour $n=3$. Que peut-on conclure ?
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTMch12exo08}}}
\rput(-0.5,-1.1){\PictoNathanLive[Video]}
\vspace*{-5mm}

Commençons par poser $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de \og 1 \fg{} obtenus.

$X$ suit alors la loi $\mathcal{B}\left(n;\frac{1}{6}\right)$ et a donc une espérance égale à $\dfrac{n}{6}$ et une variance égale à $np(1-p)=\dfrac{5n}{36}$. On nous demande ici de trouver un entier $n$ tel que:
\[
P\left(0 \leqslant X \leqslant \dfrac{n}{3}\right) \geqslant \dfrac{1}{2}.
\]
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev nous dit que:
\begin{align*}
\forall\delta>0,\ & P\left(\left|X-\dfrac{n}{6}\right| \geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{5n}{36\delta^2}
\\
& \iff P\left[ \left( X-\dfrac{n}{6} \leqslant -\delta\right) \cup  \left( X-\dfrac{n}{6} \geqslant \delta\right) \right] \leqslant \dfrac{5n}{36\delta^2}\\
& \iff 1 - P\left(-\delta \leqslant X-\dfrac{n}{6} \leqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{5n}{36\delta^2}\\
& \iff P\left(-\delta \leqslant X-\dfrac{n}{6} \leqslant \delta\right) \geqslant 1-\dfrac{5n}{36\delta^2}.
\end{align*}
On aimerait arriver à une inégalité avec $P\left(0 \leqslant X \leqslant \dfrac{n}{3}\right)$; cela nous pousse à prendre $\delta=\dfrac{n}{6}$ pour obtenir:
\[
P\left(0\leqslant X \leqslant \dfrac{n}{3}\right) \geqslant 1-\dfrac{5}{n}.
\]
Ainsi, il suffit de choisir un $n$ tel que:
\enlargethispage*{4em}
\[
1-\dfrac{5}{n} \geqslant \dfrac{1}{2} \iff n \geqslant 10.
\]
Nous sommes donc assurés que pour $n\geqslant10$, notre probabilité  est supérieure à $\dfrac{1}{2}$.

Pour $n=3$, on trouve que $P(X \leqslant 1) = \displaystyle\sum_{i=0}^1 \dbinom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}\approx0.926$, et on constate que la probabilité est supérieure à $\dfrac{1}{2}$. Cela pourrait nous faire croire que le résultat précédent est faux, mais il n'en est rien. En effet, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev nous permet uniquement d'affirmer que la probabilité est bien supérieure à $\dfrac{1}{2}$ pour $n\geqslant10$ sans nous assurer que $n=10$ est la valeur minimale...
\end{corrige}



%

\begin{exo}{Une variante}{Nouveau programme}{3}{30} 
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On suppose que $X$ admet une espérance $E(X)=\mu$ et une variance $V(X)=\sigma^2$. Soit $a>0$.
\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{questions}
\item Soit $\lambda \geqslant 0$. Démontrer que $P(X-\mu \geqslant a) = P(X-\mu +\lambda \geqslant a+\lambda)$.
\item Vérifier que $E\big( (X-\mu+\lambda)^2\big) =\sigma^2 + \lambda^2$.
\item Montrer que pour tout $\lambda > 0$, $P(X-\mu \geqslant a) \leqslant \dfrac{\sigma^2+\lambda^2}{(a+\lambda)^2}$.\\
\textit{Aide :} on pourra utiliser le fait que $P( Z \geqslant \alpha) \leqslant P(Z^2 \geqslant \alpha^2)$ pour toute variable aléatoire $Z$.

\item En déduire que $P\big( |X-\mu| \geqslant a \big) \leqslant \dfrac{2\sigma^2}{a^2+\sigma^2}$.

\item Pour quelles valeurs de $a$ obtient-on une meilleure inégalité que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On a:
\[
X-\mu \geqslant a \iff X-\mu+\lambda \geqslant a + \lambda
\]
donc la probabilité des deux événements $(X-\mu \geqslant a)$ et\linebreak $(X-\mu+\lambda \geqslant a+\lambda)$ sont égales.

\item Par linéarité de l'espérance, on a:
\begin{align*}
E\big( (\textcolor{DR}{X-\mu}+\lambda)^2\big) & = E\big( (\textcolor{DR}{X-\mu})^2+2(\textcolor{DR}{X-\mu})\lambda + \lambda^2\big)\\
& = \underbrace{E\big((X-\mu)^2\big)}_{=V(X)} + 2\lambda\underbrace{E(X-\mu)}_{=\,0} + \lambda^2\\
& = \sigma^2 + \lambda^2.
\end{align*}

\item Dans un premier temps, on a:
\[
P(X - \mu \geqslant a) = P(X - \mu + \lambda \geqslant a + \lambda ).
\]
Or, 
\[
P(X - \mu + \lambda \geqslant a + \lambda ) \leqslant P\big( (X - \mu + \lambda)^2 \geqslant (a + \lambda)^2 \big).
\]
Ainsi,
\[
P(X - \mu \geqslant a) \leqslant P\big( (X - \mu + \lambda)^2 \geqslant (a + \lambda)^2 \big).
\]
En appliquant l'inégalité de Markov à la variable aléatoire $(X - \mu + \lambda)^2$,  on obtient:
\[
P\big( (X - \mu + \lambda)^2 \geqslant (a + \lambda)^2 \big) \leqslant \dfrac{E\big[ (X - \mu + \lambda)^2 \big]}{(a + \lambda)^2}.
\]
Ainsi, 
\[
P(X-\mu \geqslant a) \leqslant \dfrac{E\big[ (X - \mu + \lambda)^2 \big]}{(a + \lambda)^2}
\]
d'où:
\[
P(X-\mu \geqslant a) \leqslant \dfrac{\sigma^2 + \lambda^2}{(a + \lambda)^2}.
\]

\item Posons $f(\lambda)=\dfrac{\sigma^2+\lambda^2}{(a+\lambda)^2}$, avec $\lambda \geqslant 0$.

Sa dérivée vaut :
\[
f'(\lambda) = 2\dfrac{a\lambda-\sigma^2}{(a+\lambda)^3}.
\]
On en déduit que $f'(\lambda)>0 \iff \lambda > \dfrac{\sigma^2}{a}$. Notamment, $f$ admet un minimum en $\lambda = \dfrac{\sigma^2}{a}$, et ce minimum vaut $\dfrac{\sigma^2}{\sigma^2+ a^2}$.

Ainsi, 
\[
P(X-\mu \geqslant a) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\sigma^2+ a^2}.
\]

On peut écrire:
\[
\big( |X-\mu|\geqslant a \big) = \big( X-\mu \geqslant a \big) \cup \big( \mu- X \geqslant a \big).
\]
Les deux événements $\big( X-\mu \geqslant a \big)$ et $\big( \mu - X \geqslant a \big)$ étant disjoints, 
\[
P\big( |X-\mu|\geqslant a \big) = P\big( X-\mu \geqslant a \big) + P\big( \mu - X \geqslant a \big).
\]
À l'aide de la question précédente, appliquée à $X$ et à $-X$, d'espérances respectives $\mu$ et $-\mu$, on obtient:
\[
P\big( |X-\mu|\geqslant a \big) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{\sigma^2+ a^2} + \dfrac{\sigma^2}{\sigma^2+ a^2}
\]
soit :
\[
P\big( |X-\mu|\geqslant a \big) \leqslant \dfrac{2\sigma^2}{\sigma^2+ a^2}.
\]

\item Cette dernière inégalité est meilleure que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev si:
\begin{align*}
\dfrac{2\sigma^2}{\sigma^2+ a^2} < \dfrac{\sigma^2}{a^2} & \iff \dfrac{2}{\sigma^2+ a^2} < \dfrac{1}{a^2}\\& \iff \dfrac{\sigma^2+a^2}{2} > a^2\\
& \iff \dfrac{\sigma^2+a^2}{2} > \dfrac{2a^2}{2}\\
& \iff \sigma^2 > a^2\\
& \iff a < \sigma\text{ car $a$ et $\sigma$ sont positifs.}
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Inégalité de concentration}

%

\begin{exo}{Lancer de dé}{Nouveau programme}{1}{5} 
On lance n fois un dé à 6 faces et on regarde la fréquence d'obtention de la face \og 6 \fg.

Que peut-on dire de cette fréquence quand $n$ devient grand ?
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{5em}
D'après le théorème de Khintchine (loi faible des grands nombres), si on note pour $1 \leqslant k \leqslant n$:
\[
\begin{cases}
X_k = 1 &  \text{ si on obtient un \og 6 \fg{} }\\
X_k = 0 & \text{ si on n'obtient pas un \og 6 \fg{} }
\end{cases}
\]
où les $X_k$ sont indépendantes et suivent la même loi de Bernoulli de probabilité $\dfrac{1}{6}$ et donc d'espérance $\mu=\dfrac{1}{6}$, on peut écrire pour tout $\delta>0$:
\[
\lim_{n\to+\infty}
P\left(\left|
\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu\right|\geqslant\delta\right)=0
\]
ce qui signifie que la fréquence $\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ se rapprochera de $\mu=\dfrac{1}{6}$ quand $n$ deviendra de plus en plus grand.
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Nombre de tirages}{Nouveau programme}{1}{10} 
Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules noires. On tire successivement avec remise des boules de cette urne. À partir de combien de tirages est-on sûrs à 95\% que la proportion de boules rouges tirées n'est pas dans l'intervalle $]0,35 ; 0,45[$ ?
\end{exo}

\begin{corrige}
Pour $1 \leqslant k \leqslant n$,  considérons l'événement : « une boule rouge est tirée lors du $k$-ième tirage ». 

Notons alors $X_k$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges obtenues lors du $k$-ième tirage. $X_k$ suit la loi de Bernoulli de probabilité $\dfrac{2}{5}$, a pour espérance $\mu = \dfrac{2}{5} =  0,4$ et pour variance $\sigma^2 = \dfrac{2}{5}\times
\dfrac{3}{5}= 0,24$.

La proportion de boules rouges obtenues après $n$ tirages  est $M_n=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$.

On cherche donc la première valeur de $n$ à partir de laquelle :
\[
P(|M_n-0,4| \geqslant 0,05) \leqslant 0,95.
\]
L'inégalité de concentration nous dit que, pour $\delta=0,05$:
\[
P(|M_n-0,4| \geqslant 0,05) \leqslant \dfrac{0,24}{0,0025n}.
\]
Une valeur de $n$ satisfaisante est donc la plus petite valeur de $n$ telle que:
\begin{align*}
\dfrac{0,24}{0,0025n} \leqslant 0,05 & \iff \dfrac{0,0025n}{0,24} \geqslant \dfrac{1}{0,05}\\
& \iff 0,0025n \geqslant \dfrac{0,24}{0,05}\\
& \iff n \geqslant \dfrac{0,24}{0,05 \times 0,0025}\\
& \iff n \geqslant \numprint{1920}.
\end{align*}

Ce dernier résultat nous assure à 95\% que la proportion de boules rouges tirées se trouve dans l'intervalle $]0,35 ; 0,45[$.

\begin{Remarque}
si l'on effectue des simulations de cette expérience, on peut se rendre compte que l'on obtient une proportion dans l'intervalle pour des valeurs de $n$ plus petites. Il est donc important de se souvenir que l'inégalité de concentration nous assure une valeur de $n$ adéquate mais qu'elle n'est pas toujours minimale.
\end{Remarque}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Marche aléatoire}{Nouveau programme}{1}{15} 
On considère une marche aléatoire sur $\Z$ définie de la façon suivante : on part de $0$ et, à chaque étape,
\begin{itemize}
\item  on a une probabilité $p$ de faire un pas vers la droite;
\item on a une probabilité $1-p$ de faire un pas vers la gauche.
\end{itemize}
Autrement dit, on considère une suite de variables aléatoires $(X_n)_{n\geqslant1}$ indépendantes et de même loi donnée par:
\[
\forall n\in\N^*, \quad P(X_n=1)=p\qquad\text{et}\qquad P(X_n=-1)=1-p.
\]
On note $S_n=X_1+\cdots+X_n$.
\begin{questions}
\item Que représente $S_n$ dans le contexte de cet exercice ?
\item Exprimer, en fonction de $p$, $E(X_k)$.
\item Que vaut $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{S_n}{n}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Regardons les premières valeurs de $S_n$:
\begin{itemize}
\item $S_1 \in \{-1;1\}$ car $X_1$ ne peut prendre pour valeurs que $-1$ ou $1$;
\item $S_2 \in \{-1-1;-1+1;1-1;1+1\}$ soit $S_2 \in \{-2;0;2\}$;
\item $S_3\in\{-3;-1;1;3\}$.
\end{itemize}
On s'aperçoit que $S_n$ est la position à laquelle nous nous trouvons dans $\Z$ à la fin de l'étape $n$.

\item $\begin{aligned}[t]
\mu = E(X_k) & = 1\times P(X_k=1) + (-1)\times P(X_k=-1)\\
             & = 1 \times p + (-1)\times(1-p)\\
             & = 2p-1.
     \end{aligned}$

\item $\dfrac{S_n}{n}=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ et d'après le théorème de Khintchine (loi faible des grands nombres),
\[
\forall\delta>0,\ 
\lim_{n\to+\infty} P\left( \left| \dfrac{S_n}{n} - \mu \right| \geqslant \delta\right) = 0
\]


Cela signifie donc que $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{S_n}{n}=2p-1$.
\end{questions}
\end{corrige}

%

\begin{exo}{Inégalité de concentration}{Nouveau programme}{2}{15} 
\label{inegalite-concentration-exo}
On se propose dans cet exercice de démontrer l'inégalité de concentration qui stipule que si $X_1,\ X_2,\ \ldots,\ X_n$ sont $n$ variables aléatoires discrètes réelles indépendantes ayant
toutes la même loi d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ alors,
\[
P\left( \left| \dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu \right| \geqslant \delta \right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}.
\]
On pose $M_n = \dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$.

\begin{questions}
\item Exprimer $E(M_n)$ et $V(M_n)$ en fonction de $\mu$, $n$ et $\sigma^2$.
\item Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable $M_n$, puis conclure.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Par linéarité de l'espérance, on a:
\begin{align*}
E(M_n) & = E\left(\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}\right)\\
& = \dfrac{1}{n}E(X_1+\cdots+X_n)\\
& = \dfrac{1}{n}\big[ E(X_1) + \cdots + E(X_n) \big]\\
& = \dfrac{1}{n}(\mu + \cdots + \mu)\\
& = \dfrac{1}{n} \times n\mu \\
E(M_n) & = \mu.
\end{align*}

De plus, comme les $X_k$ sont indépendantes, on a:
\begin{align*}
V(M_n) & = V\left(\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}\right)\\
& = \dfrac{1}{n^2}V(X_1+\cdots+X_n)\\
& = \dfrac{1}{n^2}\big[ V(X_1) + \cdots + V(X_n) \big]\\
& = \dfrac{1}{n^2}(\sigma^2 + \cdots + \sigma^2)\\
V(M_n) & = \dfrac{\sigma^2}{n}.
\end{align*}

\item D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$, pour tout $\delta > 0$, on a:
\[
P\big( |M_n - \mu| \geqslant \delta \big) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}.
\]
On retrouve l'inégalité de concentration.
\end{questions}
\end{corrige}


%

\begin{exo}{Le problème du chevalier de Méré}{Nouveau programme}{3}{20} 
\begin{questions}
\item A-t-on plus ou moins d'une chance sur deux d'obtenir au moins un \og 6 \fg{} en lançant quatre dés équilibrés ?

\item On considère l'expérience $\mathcal{E}_n$ consistant à effectuer $n$ simulations de lancers de quatre dés. On note alors $f_n$ la fréquence d'apparition d'au moins un \og 6 \fg{} à l'issue de $\mathcal{E}_n$.

\'Ecrire une fonction Python nommée \texttt{simulation(n)} permettant de renvoyer $f_n$.

\item En utilisant l'inégalité de concentration, déterminer une valeur de $n$ pour avoir $P(f_n > 0,5) \geqslant 0,95$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Avant tout, on peut considérer que lancer 4 dés est équivalent à tirer successivement un dé 4 fois de façon indépendante. La probabilité d'obtenir un \og 6 \fg{} lors d'un lancer est $\dfrac{1}{6}$.

Ainsi, le nombre de \og 6 \fg{} obtenus à l'issue des 4 lancers de dés peut être représenté par une variable aléatoire $X$ suivant la loi $\mathcal{B}\left(4;\dfrac{1}{6}\right)$.

Ainsi, $P(X=0)=\left(1-\dfrac{1}{6}\right)^4=\left(\dfrac{5}{6}\right)^4$.

Par conséquent, la probabilité d'obtenir au moins un \og 6 \fg{} à l'issue des 4 lancers de dés est:
\[
P(X\geqslant1)=1-P(X=0)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^4\approx0,518.
\]
Ainsi, on a plus d'une chance sur deux d'obtenir au moins un \og 6 \fg{} en lançant quatre dés équilibrés.

\enlargethispage*{5em}
\item Voici une proposition de programme écrit en Python:

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/ILTM/loinombres-mere.py}}}
\rput(-0.5,-1.7){\PictoNathanLive[Prog]}
\vspace*{-3mm}

%loinombres-mere.py
\begin{listing}{}{loinombres-mere-1.txt}\end{listing}
\begin{center}
\textit{(suite du programme page suivante)}
\end{center}
\newpage
\begin{listing}{}{loinombres-mere-2.txt}\end{listing}

\item Pour cette question, on peut considérer l'épreuve constituée d'un lancer de 4 dés . C'est une épreuve de Bernoulli de probabilité $p=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^4$ d'après la question 1.

Ainsi, $\mathcal{E}_n$ est un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

Notons alors $Y_k=1$ si au moins un \og 6 \fg{} a été obtenu lors du $k$-ième lancer, $Y_k=0$ sinon. Ainsi, 
\[
f_n = \dfrac{Y_1+\cdots+Y_n}{n}.
\]
De plus,
\begin{align*}
f_n < 0,5 & \iff -f_n > -0,5\\
& \iff p-f_n > p-0,5\\
& \Rightarrow \left|\dfrac{Y_1+\cdots+Y_n}{n}-p\right|\geqslant p-0,5\text{ (car }p>0,5).
\end{align*}
On a alors:
\begin{align*}
P(f_n\leqslant0,5) & 
 \leqslant P\left(\left|\dfrac{Y_1+\cdots+Y_n}{n}-p\right| \geqslant p-0,5\right)\\
 & \leqslant \dfrac{p(1-p)}{(p-0,5)^2\times n}\text{ (d'après l'inégalité de concentration)}.
\end{align*}
D'où:
\[
P(f_n > 0,5) \geqslant 1-\dfrac{p(1-p)}{(p-0,5)^2\times n}.
\]
Il suffit de prendre $n$ tel que :
\begin{align*}
1-\dfrac{p(1-p)}{(p-0,5)^2\times n} \leqslant 0,05 & \iff n \geqslant \dfrac{p(1-p)}{(o-0,5)^2\times0,05} \\
& \iff n\geqslant \numprint{15856}.
\end{align*}
Ainsi, en effectuant au moins \numprint{15856} simulations de lancers de 4 dés, on aura plus d'une chance sur deux  d'obtenir au moins un \og 6 \fg{} avec une probabilité d'au moins 95\%.
\end{questions}
\end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige
