\chapter{Géométrie vectorielle dans l'espace}

\section{Droite dans l'espace}

\begin{exointro}{Lycée Lafayette, Clermont-Ferrand}
Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit.
\begin{center}
\includegraphics{399_vectesp-01}
\end{center}
Démontrer que les plans $(AFH)$ et $(BDG)$ sont parallèles.
\end{exointro}

\subsection{Caractérisation}

\enlargethispage*{4em}
\begin{prop}
Toute droite $\mathcal{D}$ de l'espace est définie par un point $A$ et un vecteur non nul $\vec{u}$.

On dit que $\vec{u}$ est un \textit{vecteur directeur} de la droite.

$\mathcal{D}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que:
\[
\gvec{AM} = k\vec{u},\quad k\in\R.
\]
\end{prop}

\newpage

\subsection{Droites parallèles}

\begin{defin}[vecteurs colinéaires]
Deux vecteurs de l'espace sont dits \textit{colinéaires} s'ils ont la même direction.
\end{defin}

\begin{defin}[droites parallèles]
Deux droites de l'espace sont dites \textit{parallèles} si leurs vecteurs directeurs sont\linebreak colinéaires.
\end{defin}

\begin{attention}
Dans l'espace, deux droites qui ne se coupent pas ne sont pas nécessairement parallèles.
\end{attention}



\section{Plan dans l'espace}

\subsection{Combinaison linéaire de deux vecteurs}

\begin{defin}[combinaison linéaire de vecteurs]
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace.

On dit que $\vec{w}$ est une \textit{combinaison linéaire} de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s'il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que:
\[
\vec{w} = \lambda\vec{u} + \mu\vec{v}.
\]
\end{defin}


\subsection{Caractérisation d'un plan dans l'espace}

\begin{prop}
Tout plan de l'espace est défini par un point $A$ et un couple de vecteurs non colinéaires $(\vec{u},\vec{v})$.

On dit que le plan est dirigé par le couple $(\vec{u}, \vec{v})$.
\end{prop}

\begin{Remarque}
ainsi, pour tout point $M$ du plan défini par un point $A$ et un couple de vecteurs $(\vec{u},\vec{v})$, $\gvec{AM}$ est une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
\end{Remarque}

\begin{defin}[base et repère d'un plan]
Soit un plan défini par un point $A$ et un couple de vecteurs $(\vec{u},\vec{v})$.

$(\vec{u},\vec{v})$ est appelé une \textit{base} du plan.

$(A;\vec{u},\vec{v})$ est appelé un \textit{repère} du plan.
\end{defin}

\section{Vecteurs coplanaires et repère de l'espace}


\subsection{Vecteurs coplanaires}

\begin{defin} 
Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ de l'espace non deux à deux colinéaires sont dits\linebreak \textit{coplanaires} si l'un est une combinaison linéaire des deux autres.
\end{defin}

\begin{Remarque}
si deux des trois vecteurs sont colinéaires alors les trois vecteurs sont nécessairement coplanaires.
\end{Remarque}

\subsection{Plans parallèles}

\begin{prop}
Soient deux plans de l'espace $\mathcal{P}_1$, dirigé par $(\vec{u_1},\vec{v_1})$, et $\mathcal{P}_2$, dirigé par $(\vec{u_2},\vec{v_2})$.

$\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont \textit{parallèles} si $\vec{u_1}$, $\vec{v_1}$ et $\vec{u_2}$ d'une part, $\vec{u_1}$, $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ d'autre part, sont coplanaires.
\end{prop}

\subsection{Repère de l'espace}

\begin{prop}
Si $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont trois vecteurs non coplanaires de l'espace, pour tout vecteur $\vec{t}$ de l'espace, il existe un triplet unique de réels $(a~;b~;c)$ tel que $\vec{t} = a\vec{u} +b\vec{v} + c\vec{w}$.
\end{prop}

\begin{defin}[repère de l'espace]
Un repère de l'espace est défini par un point $A$ et un triplet de 3 vecteurs non coplanaires $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$.
\end{defin}

\begin{prop}
Dans le repère $(A~; \vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$, pour tout point $M$ de l'espace il existe un triplet unique de réels $(x~;y~;z)$ tel que $\overrightarrow{AM} = x\vec{u} + y\vec{v} +z\vec{w}$.
\end{prop}

\begin{defin}[coordonnées d'un point et d'un vecteur de l'espace]
Dans le repère $(A~; \vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$, si un point $M$ est tel que $\overrightarrow{AM} = x\vec{u} + y\vec{v} +z\vec{w}$ alors $(x;y;z)$ constitue les coordonnées du point $M$, mais aussi du vecteur $\overrightarrow{AM}$ dans ce repère.
\end{defin}
\enlargethispage*{3em}

Les calculs sur les coordonnées dans l'espace se font comme les calculs sur les coordonnées dans le plan.

\begin{solintro}
Montrons que les deux plans sont dirigés par le même couple de vecteurs :

D'après la relation de Chasles : 
\[
\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EH}.
\]
$ABCDEFGH$ est un pavé droit donc:
\[
\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FG}
\]
et finalement:
\[
\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{BG}.
\]

\Par

On montre de même que $\overrightarrow{FH} = \overrightarrow{BD}$.

\Par

Par leur position sur le pavé, les points $A$, $H$ et $F$ ne sont pas alignés, donc les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{FH}$ ne sont pas colinéaires et dirigent le plan $(AHF)$. De même, les vecteurs $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{BD}$ dirigent le plan $(BDG)$. Les deux plans étant dirigés par le même couple de vecteurs, ces plans sont parallèles.
\end{solintro}

\section{Représentations paramétriques}

\begin{exointro}{Lycée René Descartes, Cournon}
L'espace est muni d'un repère $(O~; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$. La droite $\mathcal{D}$ passe par le point $A$ de coordonnées $(2~;-1~;1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}$ de coordonnées $(2~;2~;1)$.

$\mathcal{P}$ est le plan parallèle à $\mathcal{D}$, passant par les points $B(0~;1~;2)$ et $C(-2~;3~;2)$.

\begin{questions}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.

\item Déterminer un repère du plan $\mathcal{P}$ et en déduire une représentation paramétrique du plan $\mathcal{P}$.
%\Break
\item Le plan $\mathcal{P}'$ de représentation paramétrique :
\[ \left\{
\begin{aligned}
x &= 2m+n+5 \\
y &= 2m+1 \qquad \text{ avec $m$ et $n$ dans $\R$} \\
z &= m+n-2 
\end{aligned} \right.
\]
est-il parallèle au plan $\mathcal{P}$ ?
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}

\subsection{Représentation paramétrique d'une droite}

\enlargethispage*{\baselineskip}
L'espace est muni d'un repère $(O~; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par le point $A$ de coordonnées $(x_A~;y_A~;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ de coordonnées $(a~;b~;c)$.

\begin{thm}
\[ 
M(x;y;z)\in\mathcal{D} \iff 
\left\{
\begin{aligned}
x &= x_A + at \\
y &= y_A + bt \\
z &= z_A + ct
\end{aligned}\right.,\quad t\in\R.
\] 
\end{thm}


C'est une représentation paramétrique de $\cal D$.

\begin{attention}
Cette représentation paramétrique n'est pas unique et dépend du vecteur directeur et du point choisi sur la droite !
\end{attention}

\begin{Exemple}
la droite caractérisée par la représentation paramétrique suivante:
\[
\left\{
\begin{aligned}
x &= -1 + 3t \\
y &= 2  -t \\
z &= 5 + 7t
\end{aligned}\right.,\quad t\in\R.
\]
passe par le point $A(-1;2;5)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(3;-1;7)$.
\end{Exemple}

\subsection{Représentation paramétrique d'un plan}


\begin{thm}
L'espace est muni d'un repère $(O~; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

On considère le plan $\mathcal{P}$ de repère $(A~;\vec{u},\vec{v})$. Le point $A$ a pour coordonnées $(x_A~;y_A~;z_A)$ et les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont pour coordonnées respectives $(a~;b~;c)$ et $(a'~;b'~;c')$.

Alors le système  :
\[ \left\{
\begin{aligned}
x &= ka+ta'+x_A \\
y &= kb+tb' + y_A \qquad \text{avec $k \in \R$ et $t\in \R$}. \\
z &= kc+tc' + z_A
\end{aligned}\right.
\] 
est appelé une représentation paramétrique du plan $\mathcal{P}$.
\end{thm}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ est :
\[ \left\{
\begin{aligned}
x &= 2k+2 \\
y &= 2k-1 \qquad \text{avec $k \in \R$}. \\
z &= k+1
\end{aligned}\right.
\] 
\Break
\item Le vecteur $\gvec{BC}$ a pour coordonnées $(-2-0~;3-1~;2-2)$, c'est-à-dire $(-2~;2~;0)$.

Les vecteurs $\gvec{BC}$ et $\vec{u}$ ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Le plan $\mathcal{P}$ admet donc comme repère $(B~;\vec{u},\gvec{BC})$. Une représentation paramétrique de $\mathcal{P}$ est donc :
\[ \left\{
\begin{aligned}
x &= 2t-2t' \\
y &= 2t+2t'+1 \qquad \text{avec $t \in \R$ et $t'\in \R$.} \\
z &= t+2
\end{aligned}\right.
\] 

\item Le plan $\mathcal{P}'$ est dirigé par le couple de vecteurs de coordonnées $(2~;2~;1)$ et $(1~;0~;1)$. Le premier vecteur est le vecteur $\vec{u}$. Le vecteur $\vec{v}$ de coordonnées $(1~;0~;1)$ est-il coplanaire à $\vec{u}$ et $\gvec{BC}$ ? En d'autres termes, existe-t-il deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{v} = a\vec{u}+b\gvec{BC}$ ?
%\BreakWithoutItem
Cette équation vectorielle donne un système de 3 équations dans $\R$, à deux inconnues $a$ et $b$ :
\[ \left\{
\begin{aligned}
1 &= 2a-2b \\
0 &= 2a+2b \\
1 &= a
\end{aligned}\right.
\]
Ce système n'admet pas de solution.\\
Le vecteur $\vec{v}$ ne peut pas s'exprimer en fonction de $\vec{u}$ et $\gvec{BC}$, donc le plan $\mathcal{P}'$ ne peut pas être dirigé par ces deux vecteurs. Il n'est donc pas parallèle à $\mathcal{P}$.
\end{questions}
\vspace*{-1em}
\end{solintro}