\chapter{Orthogonalité\\\mbox{et distance dans l'espace}}


\section{Produit scalaire et orthogonalité}

\begin{exointro}{Lycée Hoche, Versailles}
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1~;-1~;0)$, $B(3~;0~;1)$, $C(1~;1~;0)$ et $D(3~;1~;-2)$. On nomme $I$ le milieu de $[AD]$.

\begin{questions}
\item Démontrer que les droites $(AC)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.
\item Démontrer, par un calcul vectoriel, que pour tout point $M$ de l'espace, 
\[ \gvec{MD}\cdot\gvec{MA}=MI^2-IA^2.\]
 
\item En déduire une équation cartésienne de l'ensemble  $\mathcal{E}$ des points $M$ tels que $\gvec{MD}\cdot\gvec{MA}=0$, et le caractériser.
\item Les points $B$ et $C$ appartiennent-ils à cet ensemble $\mathcal{E}$ ?
\end{questions}
\end{exointro}


\subsection{Produit scalaire dans l'espace}

\begin{defin}
Le produit scalaire dans l'espace de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans tout plan contenant ces vecteurs.
\end{defin}

\Par

Il en découle que le produit scalaire dans l'espace a les mêmes propriétés que le produit scalaire dans le plan. Il faudra seulement penser à introduire la troisième coordonnée lorsque l'on fait du calcul analytique.

\newpage

\begin{prop}[expression analytique du produit scalaire]
Dans un repère orthonormé de l'espace, pour tous vecteurs
$\vec{u}(x~;y~;z)$ et $\vec{v}(x'~;y'~;z')$, 
\[ 
\vec{u} \cdot \vec{v}=xx'+yy'+zz'.
\] 
\end{prop}

\begin{prop}[linéarité et symétrie du produit scalaire]
Soit $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ des vecteurs, $a$ et $b$ deux réels. Alors,
\begin{align*}
\vec{u} \cdot \vec{v}&=\vec{v} \cdot \vec{u}\qquad\text{(symétrie)}\\
\left(a\vec{u}+b\vec{v}\right) \cdot\vec{w}&=a\left(\vec{u} \cdot \vec{w}\right)+b
\left(\vec{v} \cdot \vec{w}\right) \qquad\text{(linéarité)}.
\end{align*}
\end{prop}

\subsection{Norme et distance de deux points}

\begin{prop}[norme d'un vecteur]
Pour tout vecteur $\vec{u}(x;y;z)$ de l'espace,
\[ 
\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}  = \sqrt{x^2+y^2+z^2}. 
\]
\end{prop}

\begin{prop}[distance entre deux points]
Pour tous points $A$ et $B$ de l'espace, 
\[
\gvec{AB} \cdot \gvec{AB}=\|\gvec{AB}\|^2=AB^2\quad\qquad\text{(carré scalaire).}
\]
\end{prop}

Une sphère étant un ensemble de points équidistants d'un point fixe, on obtient le théorème suivant :

\begin{thm}[équation cartésienne d'une sphère]
Soit $A(x_0~;y_0~;z_0)$ un point de l'espace et $R$ un réel positif. 
\par
La sphère de centre $A$ et de rayon $R$ admet pour équation cartésienne :
\[
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2.
\]
\end{thm}

\subsection{Orthogonalité de deux droites}

\begin{defin}[vecteurs orthogonaux]
On dit que deux vecteurs sont \textit{orthogonaux} lorsque leur produit scalaire est nul.
\end{defin}

\begin{prop}[caractérisation des droites orthogonales]
Deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si elles ont des\linebreak vecteurs directeurs orthogonaux.
\end{prop}

\subsection{Orthogonalité d'une droite et d'un plan}

\begin{prop}
Soit $\mathcal{D}$ une droite de vecteur directeur $\vec{u}$, et $\mathcal{P}$ un plan dirigé par le couple de vecteurs $(\vec{v}, \vec{v'})$. La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ et $\vec{u} \cdot \vec{v'} = 0.$
\end{prop}

\begin{prop}
$\mathcal{D}$ est une droite de vecteur directeur $\vec{u}$, orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Alors pour tous points $M$ et $N$ de $\mathcal{P}$ on a :
\[ \vec{u} \cdot \gvec{MN} =0. \]
\end{prop}

\enlargethispage*{3\baselineskip}
\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $\gvec{AC}$ a pour coordonnées $(0~;2~;0)$ et $\gvec{DC}$ a pour coordonnées $(-2~;0~;2)$. On constate donc que $\gvec{AC}\cdot\gvec{DC}=0$, ce qui signifie que les vecteurs directeurs des droites $(AC)$ et $(BC)$  sont orthogonaux. Les deux droites sont donc orthogonales. Elles sont même perpendiculaires car elles sont sécantes en $C$.

\item Comme $I$ est le milieu de $[AD]$, on a $\gvec{ID}=\gvec{AI}$.

En utilisant la relation de Chasles, on obtient :
\begin{align*}
\gvec{MD}\cdot\gvec{MA} & = \left(\gvec{MI}+\gvec{ID}\right)\cdot\left(\gvec{MI}+\gvec{IA}\right)\\
& = \gvec{MI}\cdot\gvec{MI}+\gvec{MI}\cdot\left(\gvec{ID}+\gvec{IA}\right)+\gvec{AI}\cdot\gvec{IA}\\
& = MI^2-IA^2
\end{align*}
 
\item Les coordonnées de $I$ étant $(2~;0~;-1)$, on a :
\[ AI=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3}.\]
En notant $(x~;y~;z)$ les coordonnées du point $M$, la condition\linebreak $\gvec{MD}\cdot\gvec{MA}=0$ qui équivaut à $MI^2-IA^2=0$ devient :
\[ (x-2)^2+y^2+(z+1)^2=3.\]
C'est l'équation d'une sphère de centre $I(2~;0~;-1)$  et de rayon $\sqrt{3}$.

\item Pour savoir si les points $B$ et $C$ appartiennent à cette sphère, on teste si les coordonnées de ces points vérifient l'équation.

\begin{itemize}
\item Pour $B$ : $(3-2)^2+0^2+(1+1)^2=5$, donc $B$ n'appartient pas à la sphère.
\item Pour $C$ : $(1-2)^2+1^2+(0+1)^2=3$, donc le point $C$ appartient à la sphère.
\end{itemize}
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{solintro}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{\'Equation cartésienne d'un plan}

\begin{exointro}{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles}
Dans l'espace rapporté au repère orthonormal $(O~;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points $A(3~;0~;0)$, $B(0~;6~;0)$, $C(0~;0~;4)$ et $D(-5~;0~;1)$.

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Vérifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}$  est normal au plan $(ABC)$.
\item Déterminer une équation du plan $(ABC)$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, orthogonale au plan $(ABC)$ passant par $D$.
\item En déduire les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$.
\item Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Vecteur normal à un plan}

\begin{defin}
Soit $\mathcal{P}$ un plan dans l'espace. Un vecteur non nul $\vec{n}$ est dit \emph{vecteur normal} de $\mathcal{P}$ si pour tous points $M$ et $N$ de $\mathcal{P}$ on a :
\[
\vec{n} \cdot \gvec{MN}=0. 
\]
On peut dire aussi que $\mathcal{P}$ est orthogonal à $\gvec{n}$. 
\end{defin}

\Par

\begin{center}
\includegraphics{426_orthesp-01}
\end{center}

\subsection{\'Equation cartésienne d'un plan}

Dans cette partie, $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$ et $c'$ désignent des réels non nuls, $d$ et $d'$ des réels quelconques.

\newpage

\begin{thm}
Soient $A (x_0~;y_0~;z_0)$ un point de l'espace et $\gvec{n}\begin{pmatrix}
a\\b\\c\end{pmatrix} $ un vecteur non nul. 

Il existe un unique plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et orthogonal à $\vec{n}$. On a :
\[
M\in\mathcal{P} \iff \gvec{AM} \cdot \gvec{n}=0.
\]
\end{thm}

\begin{prop}
Soit $\mathcal{P}$ un plan. On a l'équivalence suivante:
\[
\gvec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\text{ est un vecteur normal à }\mathcal{P} \iff \mathcal{P}\;:\; ax+by+cz=d.
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation: $3x-5y+z-2=0$.

Alors, un vecteur normal à $\mathcal{P}$ est $\gvec{n}\begin{pmatrix}3\\-5\\1\end{pmatrix}$.
\end{Exemple}

\subsection{Projeté orthogonal sur un plan}

\begin{defin}
Soient $\mathcal{P}$ un plan et $A$ un point de l'espace extérieur à $\mathcal{P}$.

Le \textit{projeté orthogonal} de $A$ sur $\mathcal{P}$ est le point d'intersection du plan et de la droite orthogonale à $\mathcal{P}$ passant par $A$.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{427_orthesp-02}
\end{center}
\end{defin}


\newpage


\begin{thm}[distance d'un point à un plan]
Soient $\mathcal{P}\;:\; ax+by+cz+d=0$ un plan, $A(x_A;y_A;z_A)$ un point extérieur à $\mathcal{P}$ et $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal{P}$. Alors, $H$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $A$, et:

\[
AH = \dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
\]

\Par

Cette longueur est la distance entre $A$ et $\mathcal{P}$.
\end{thm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $\gvec{AB}\begin{pmatrix}-3\\6\\0\end{pmatrix}$ et $\gvec{AC}\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}$. 

\Par

Les coordonnées de ces vecteurs n'étant pas proportionnelles, les vecteurs ne sont pas colinéaires.

\Par

Cela montre que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan et il suffit de montrer que $\vec{n}$ est orthogonal à ces deux vecteurs pour montrer qu'il est normal au plan $(ABC)$.

\[ 
\vec{n}\cdot\gvec{AB}=4\times(-3)+2\times6+3\times0=0
\]
et
\[
\vec{n}\cdot\gvec{AC}=4\times(-3)+2\times0+3\times4=0.
\]

\Par

Le vecteur $\vec{n}$ est donc bien un vecteur normal au plan $(ABC)$.

\item Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme:
\[
4x+2y+3z=d
\]
de sorte que les coordonnées de $A$ vérifient cette équation:
\[
4x_A + 2y_A + 3z_A=d \iff 12 = d.
\]
Ainsi, une équation du plan $(ABC)$ est:
\[ 
4x+2y+3z=12.
\]
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item La droite $\Delta$ orthogonale au plan $(ABC)$ a pour vecteur directeur $\vec{n}$ et passe par le point $D$, donc une représentation paramétrique de cette droite peut être :
\[
\begin{cases}
x=-5+4t\\
y=2t\\
z=1+3t\\
\end{cases}\quad,\quad t\in\R.
\]
\Break
\item Le point $H$ appartient à $\Delta$ et à $(ABC)$ si et seulement si il existe une valeur du paramètre $t$ tel que  :
\[
\begin{cases}
x=-5+4t\\
y=2t\\
z=1+3t\\
4x+2y+3z=12
\end{cases}
\]
En remplaçant $x$, $y$ et $z$ en fonction de $t$ dans la dernière équation on trouve la condition :
\[ 4(-5+4t)+2\times2t+3(1+3t)=12\;,\]
d'où $t=1$.

\Par

Les coordonnées du point $H$ sont donc:
\[
H(-1~;2~;4).
\]

\item La distance de $D$ au plan $(ABC)$ est égale à $DH$ puisque $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(ABC)$. On trouve :

\begin{align*}
DH&=\sqrt{(-1+5)^2+(2-0)^2+(4-1)^2}\\
&=\sqrt{29}\;.
\end{align*}

\begin{Remarque}
en utilisant la formule du cours donnant la distance d'un point à un plan, on a:
\begin{align*}
d\big(D;(ABC)\big) & = \dfrac{| 4\times(-5) + 2\times0 + 3\times1 - 12 |}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 3^2}}\\
& = \dfrac{29}{\sqrt{29}}\\
& = \sqrt{29}\;.
\end{align*}
\end{Remarque}
On peut ainsi trouver la distance de $D$ au plan $(ABC)$ sans\linebreak nécessairement chercher les coordonnées de $H$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}