\devoirsynthese{Baccalauréat Blanc}{Baccalauréat blanc}

La durée de l'épreuve est de 4 heures. Elle est composée de quatre exercices.

\begin{exobb}{Exercice 1 -- 5 points}{\null}{2}{60}

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par:
\[
\begin{cases}
v_0 = 1\\
(n+1)v_{n+1} = (n+2)v_n + 1
\end{cases}
\qquad\text{et}\qquad
\begin{cases}
u_0 = 7\\
u_{n+1} = 2u_n + v_n
\end{cases}
\]

\begin{questions}
\item\'Etude de la suite $(v_n)$.

\begin{questions}
\item Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
\[
v_n = 2n+1.
\]
\end{questions}

\item \'Etude de $(u_n)$.

On admet dans cette question que pour tout entier naturel $n$,
\[
u_{n+1}=2u_n + 2n+1.
\]
Pour tout entier naturel $n$, on pose:
\[
w_n = u_n + 2n+3.
\]
\begin{questions}
\item Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,
\[
u_n =  10\times2^n - 2n-3.
\]
\item Montrer que $\lim\limits_{n\to+\infty}{u_n}=+\infty$.
\end{questions}

\item On cherche à connaître la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \geqslant10^5$.

Pour cela, compléter le programme suivant, écrit en Python.
\enlargethispage*{3\baselineskip}
\begin{listing}{}{bac-blanc.py}\end{listing}
\Par
On rappelle qu'en Python, $x^n$ s'écrit : \texttt{x**n}.

\end{questions}

\end{exobb}


\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item \'Etude de la suite $(v_n)$.

\begin{questions}
\item Pour $n=0$, la relation de récurrence de $(v_n)$ donne:
\[
(0+1)v_1 = (0+2)v_0 + 1\qquad\text{soit}\qquad v_1=2v_0+1=3.
\]
De même,
\[
2v_2 = 3v_1 + 1 \qquad\text{soit}\qquad v_2=5
\]
et
\[
3v_3=4v_2+1\qquad\text{soit}\qquad v_3=7.
\]

\item Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
\[
v_n = 2n+1.
\]
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation:} $v_0 = 1 = 2\times0+1$ donc l'égalité est vraie pour $n=0$.

\item \textit{Hérédité:} supposons que pour un entier $k$ fixé, $v_k=2k+1$.

Montrons alors que $v_{k+1}=2(k+1)+1=2k+3$.

\begin{align*}
& (k+1)v_{k+1} = (k+2)v_k + 1\\
\iff\ & (k+1)v_{k+1} = (k+2)(2k+1) + 1\\
 & \text{ (par hypothèse de récurrence)}\\
\iff\ & (k+1)v_{k+1}  = 2k^2 + 5k + 3\\
\iff\ & (k+1)v_{k+1} = (k+1)(2k+3)\\
\iff\ & v_{k+1} = 2k+3.
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}

L'égalité est donc vraie: pour tout entier naturel $n$, $v_{n} = 2n+1$.
\end{questions}


\item \'Etude de $(u_n)$.


\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
w_{n+1} & = u_{n+1} + 2(n+1) + 3\\
& = 2u_n + 2n+1 + 2n + 5\\
& = 2(u_n + 2n + 3)\\
& = 2w_n.
\end{align*}
Ainsi, $(w_n)$ est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme:
\[
w_0 = u_0 + 2\times0+3 = 10.
\]

\item De la question précédente, on déduit que:
\begin{align*}
w_n & = w_0 \times 2^n\\
w_n & = 10 \times 2^n
\end{align*}
et donc:
\begin{align*}
w_n = u_n + 2n+3 & \iff u_n = w_n - 2n-3\\
& \iff u_n = 10\times2^n - 2n-3.
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
u_n & = 10\nep^{n\ln2} - 2n - 3\\
& = \nep^{n\ln2}\left( 10 - 2\times\dfrac{n}{\nep^{n\ln2}} - \dfrac{3}{\nep^{n\ln2}} \right)
\end{aligned}$

Or, 
\begin{itemize}
\item par croissance comparée,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n}{\nep^{n\ln2}}=0
\]
\item et, par quotient,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3}{\nep^{n\ln2}}=0\qquad\text{car }\lim\limits_{n\to+\infty}\nep^{n\ln2}=+\infty.
\]
\end{itemize}
car $\ln2>0$.

Ainsi
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\left( 10 - 2\times\dfrac{n}{\nep^{n\ln2}} - \dfrac{3}{\nep^{n\ln2}} \right) = 10
\]
et, par produit,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}{u_n}=+\infty.
\]
\end{questions}

\item Si on utilise la formule explicite de $u_n$, le programme complet est le suivant:

\begin{listing}{}{bac-blanc-sol1.py}\end{listing}

\Par

ou, avec la formule de récurrence de $(u_n)$, celui-ci:

\begin{listing}{}{bac-blanc-sol2.py}\end{listing}
\end{questions}
\end{corrigebb}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exobb}{Exercice 2 -- 5 points}{\null}{2}{60}
Une entreprise locale emploie deux personnes, Cécile et Barnabé, pour fabriquer des objets artisanaux en bois.

La probabilité que Cécile fabrique un objet est égale à 0,7; dans ce cas, la probabilité que l'objet représente un animal est égale à 0,45. 

Si l'objet est fabriqué par Barnabé, la probabilité qu'il représente un animal est égale à 0,35.

On note:
\begin{itemize}
\item C l'événement: \og l'objet est fabriqué par Cécile \fg;
\item B l'événement: \og l'objet est fabriqué par Barnabé \fg;
\item A l'événement: \og l'objet fabriqué représente un animal \fg.
\end{itemize} 

\begin{questions}
\item Montrer que $P(A)=0,42$.
\item On choisit au hasard un objet. Sachant que ce n'est pas un animal, quelle est la probabilité qu'il soit fabriqué par Cécile? On donnera une valeur approchée au centième.

%%%%%%%%%%% v.a

\item Les objets fabriqués par Cécile sont vendus 20\% plus chers que ceux fabriqués par Barnabé.

Un objet conçu par Barnabé est vendu 15 \euro s'il représente un animal, et 20 \euro dans le cas contraire.

\Par

On note $G$ la variable aléatoire représentant le prix d'un objet vendu.
\begin{questions}
\item \'Etablir la loi de probabilité de $G$.
\item Calculer l'espérance mathématique de $G$.

Interpréter ce résultat.
\end{questions}

%%%%%%%%%%% loi binomiale

\item On choisit dix objets parmi ceux fabriqués par Cécile et Barnabé. On peut assimiler cette expérience à un tirage successif et indépendant avec remise de dix objets dans le lot constitué de tous les objets en bois.

\textit{Les résultats des questions suivantes seront donnés au millième près.}

\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité d'avoir exactement deux objets représentant un animal ?
\item Quelle est la probabilité d'avoir au moins sept objets représentant un animal ?
\item Quelle est la probabilité d'avoir au plus cinq objets ne représentant pas un animal ?
\end{questions}  

\item Quel est le nombre minimal d'objets à choisir parmi ceux fabriqués par Cécile et Barnabé pour que la probabilité qu'au moins un objet représente un animal soit supérieure ou égale à 0,999?
\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
Avant de répondre aux questions, et même si cela n'est pas demandé, on peut construire un arbre des probabilités représentant l'expérience:
\Par
\begin{center}
\includegraphics{461_bac-blanc-proba}
\end{center}
\begin{questions}
\item D'après la formule des probabilités totales, 
\begin{align*}
P(A) & = P(A \cap C) + P(A \cap B)\\
& = P(C)\times P_C(A) + P(B)\times P_B(A)\\
& = 0,7\times0,45 + 0,3\times0,35\\
& = 0,42.
\end{align*}

\item On cherche à déterminer $P_{\overline{A}}(C)$. D'après le cours,
\begin{align*}
P_{\overline{A}}(C) & = \dfrac{P(\overline{A} \cap C)}{P(\overline{A})}\\
& = \dfrac{0,7\times0,55}{1-0,42}\\
& \approx0,66.
\end{align*}

%%%%%%%%%% question 2: v.a

\item
\begin{questions}
\item Nous pouvons nous aider de l'arbre des probabilités construit précédemment pour déterminer la loi de probabilité de $G$. 

On arrive alors à la loi suivante:

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
$G=g_i$ & 15 & 18 & 20 & 24\\
\hline
$P(G = g_i)$ & 0,105 & 0,315 & 0,195 & 0,385 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item L'espérance mathématique de $G$ est:
\begin{align*}
E(G) & = 15\times0,105 + 18\times0,315 + 20\times0,195 + 24\times0,385\\
E(G) & = 20,385.
\end{align*}

Ce dernier résultat signifie que sur un grand nombre d'objets\linebreak vendus, l'entreprise peut espérer gagner en moyenne 20,385 \euro{} par objet.
\end{questions}

%%%%%%%% loi binomiale

\item On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre d'objets représentant un animal parmi les dix objets choisis au hasard. Les dix tirages sont indépendants et la probabilité d'obtenir un objet représentant un animal lors d'un tirage est égale à 0,42 d'après la question 1; ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,42$.
\begin{questions}
\item On cherche à calculer $P(X=2)$. À l'aide de la calculatrice, on obtient:
\[
P(X=2)\approx0,102.
\]

\item On cherche à calculer $P(X \geqslant 7)$. À la calculatrice, on trouve:
\[
P(X \geqslant 7) = 1 - P(X \leqslant 6) \approx 0,071.
\]

\item Pour cette question, notons $Y$ la variable aléatoire représentant le nombre d'objets ne représentant pas un animal. 

Elle suit la loi binomiale de paramètres \mbox{$n=10$ et $p'=1-p=0,58$}. On cherche $P(Y \leqslant 5)$. La calculatrice nous donne:
\[
P(Y \leqslant5)\approx0,418.
\]
\end{questions}

\item  La probabilité qu'au moins un objet représente un animal soit supérieure ou égale à 0,999 signifie que:
\[
P(X \geqslant1) \geqslant 0,999. 
\]
Or,
\begin{align*}
P(X \geqslant 1) & = 1 - P(X < 1)\\
                 & = 1 - P(X = 0)\\
                 & = 1 - (1-0,42)^n\\
                 & = 1 - 0,58^n.
\end{align*}
On doit alors résoudre l'inéquation:
\begin{align*}
1 - 0,58^n \geqslant 0,999 & \iff - 0,58^n \geqslant 0,999-1\\
& \iff 0,58^n \leqslant 0,001\\
& \iff \ln\big(0,58^n\big) \leqslant \ln(0,001)\\
& \iff n\ln(0,58) \leqslant \ln(0,001)\\
& \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,58)}\quad\text{(car }\ln(0,58)<0).
\end{align*}
De plus,
\[
\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,58)} \approx 12,68.
\]
Par conséquent, il est nécessaire de choisir au moins 13 objets pour que la probabilité qu'au moins un objet représente un animal soit supérieure ou égale à 0,999.
\end{questions}
\end{corrigebb}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{exobb}{Exercice 3 -- 5 points}{\null}{2}{60}
Une entreprise en création souhaite adopter un logo dont le contour est le suivant:
\begin{center}
\includegraphics{457_bac-blanc-logo}
\end{center}
Il a été obtenu par symétrie axiale à partir d'une fonction définie par\linebreak morceaux dont l'expression est:
\[
f(x)=\begin{cases}
\ln\left(\dfrac{1}{x^2+b}\right) & \qquad \beta \leqslant x < 0\\[8pt]
2(x+1)\nep^{-x}-1 & \qquad 0 \leqslant x \leqslant \alpha
\end{cases}
\]
où $\alpha\approx1,678347$, $b$ et $\beta$ étant des nombres à trouver.

La représentation de cette fonction est donnée ci-dessous:
\begin{center}
\includegraphics{457_bac-blanc-courbe}
\end{center}

La fonction $f$ doit respecter les données suivantes:
\begin{itemize}
\item $f$ est dérivable (donc continue) en 0 et la tangente à sa courbe représentative $\mathcal{C}$ en 0 doit être horizontale;
\item $f(\beta) = f(\alpha) = 0$.
\end{itemize}
\newpage
\begin{questions}
\item Montrer que $b=\nep^{-1}$.
\item On pose $h(x) = \ln\left(\dfrac{1}{x^2+\nep^{-1}}\right)$ et $k(x)=2(x+1)\nep^{-x}-1$. 

Calculer $h'(x)$ et $k'(x)$, et justifier alors que $f$ est dérivable en 0.

\item Construire le tableau de variation complet de la fonction $h$ sur $[-1;0]$, puis montrer que l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution sur cet intervalle, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-5}$ près.

\item $\mathcal{C}$ admet-elle un ou plusieurs points d'inflexion? Justifier.
\end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}
\begin{questions}
\item  $f(0)=2(0+1)\nep^{-0}-1=2-1=1$ et $f$ est continue en 0 donc:
\begin{align*}
\lim\limits_{\substack{x\to0\\x<0}}f(x)=1 & \iff \lim\limits_{\substack{x\to0}}\ln\left(\dfrac{1}{x^2+b}\right)=1\\
& \iff \ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=1\\
& \iff \dfrac{1}{b}=\nep^1\\
& \iff b = \nep^{-1}.
\end{align*}

\item 
\begin{itemize}
\item Dérivée de $h(x)=\ln\left(\dfrac{1}{x^2+\nep^{-1}}\right)$.

\Par

$h$ est de la forme $\ln(u)$ avec:
\[
u(x)=\dfrac{1}{v(x)},
\]
où $v(x)=x^2+\nep^{-1}$.

Donc:
\[
u'(x)=-\dfrac{v'(x)}{v^2(x)}=-\dfrac{2x}{\big(x^2+\nep^{-1}\big)^2}
\]
et alors:
\begin{align*}
h'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} & = \dfrac{-\dfrac{2x}{\big(x^2+\nep^{-1}\big)^2}}{\dfrac{1}{x^2+\nep^{-1}}}\\[10pt]
& = -\dfrac{2x}{\big(x^2+\nep^{-1}\big)^2}\times(x^2+\nep^{-1})\\[8pt]
& = -\dfrac{2x}{x^2+\nep^{-1}}.
\end{align*}

\Par


\item Dérivée de $k(x)=2(x+1)\nep^{-x}-1$.

\Par

$k$ est de la forme $u\times v - 1$, avec:
\[
u(x)=2(x+1)\qquad\text{donc}\qquad u'(x)=2
\]
et
\[
v(x)=\nep^{-x}\qquad\text{donc}\qquad v'(x)=-\nep^{-x}.
\]
\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{align*}
k'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) & = 2\nep^{-x} + 2(x+1)(-\nep^{-x})\\
& = [2 - 2(x+1)]\nep^{-x}\\
& = -2x\nep^{-x}.
\end{align*}

\end{itemize}

On a ainsi:
\[
\lim\limits_{\substack{x\to0\\x<0}}f'(x) = \lim\limits_{x\to0}\left(-\dfrac{2x}{x^2+\nep^{-1}}\right)=0
\]
et
\[
\lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}f'(x) = \lim\limits_{x\to0}\left(-2x\nep^{-x}\right)=0.
\]
Les deux valeurs trouvées sont égales; par conséquent, les nombres dérivés à droite et à gauche de 0 sont égaux, ce qui signifie que $f$ est dérivable en 0.

\item D'après les calculs précédents, sur $[-1;0]$, $h'(x)>0$ donc $h$ est strictement croissante sur cet intervalle.

De plus, $h(-1)=-\ln(1+\nep^{-1})<0$ et $h(0)=1$, d'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|ZlZcZr|}
\hline\tabulartitle
 $x$   & $-1$  &   &  0\\
 \hline
       &   &           & 1\\
$h(x)$ &   & $\nearrow$ & \\
    & $-\ln(1+\nep^{-1})$ &  & \\
    \hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

Sur $[-1;0]$, $h$ est continue et strictement croissante, et 0 est une valeur intermédiaire entre $h(-1)$ et $h(0)$ donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur $\beta$ sur $[-1;0]$ telle que $h(\beta)=0$.

À la calculatrice, on trouve: $\beta\approx -0,79506$.

\item $h''(x)=\dfrac{2(x^2-\nep^{-1})}{(x^2+\nep{-1})^2}$ qui s'annule en changeant de signe pour:
\[
x=-\sqrt{\nep^{-1}}\approx-0,6\in[-1;0]\qquad\text{et}\qquad x=\sqrt{\nep^{-1}}\not\in[-1;0]
\]
donc $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion d'abscisse $x_1=-\sqrt{\nep^{-1}}$.

\Par

$k''(x)=-2(1-x)\nep^{-x}$ qui s'annule en changeant de signe en $x=1$ donc $\mathcal{C}$ admet un autre point d'inflexion d'abscisse $x_2=1$.
\end{questions}
\end{corrigebb}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exobb}{Exercice 4 -- 5 points}{\null}{2}{60}
\subsectionnn{Partie A}

On considère deux points $A$ et $D$ de l'espace et on désigne par $I$ le milieu du segment $[AD]$.

\begin{questions}
\item Démontrer que, pour tout point $M$ de l'espace, $\gvec{MD}\cdot\gvec{MA}=MI^2 - IA^2$.
\item En déduire l'ensemble $(E)$ des points $M$ de l'espace tels que\linebreak $\gvec{MD}\cdot\gvec{MA}=0$.\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

Dans l'espace rapporté au repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ont pour coordonnées respectives :
\[
A(3;0;0),\quad B(0;6;0),\quad C(0;0;4)\quad\text{et}\quad D(-5;0;1).
\]

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Vérifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}
4\\2\\3
\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$,\linebreak orthogonale au plan $(ABC)$ et passant par $D$.
\item En déduire les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$.
\item Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
\item Démontrer que le point $H$ appartient à la sphère de centre $I\left(-1;0;\dfrac{1}{2}\right)$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{65}}{2}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exobb}


\begin{corrigebb}
\subsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item Pour tout point $M$ de l'espace,
\begin{align*}
\gvec{MD}\cdot\gvec{MA} & = \big(\gvec{MI} + \gvec{ID}\big)\cdot\big(\gvec{MI} + \gvec{IA}\big)\\
& = \gvec{MI}^2 + \gvec{MI}\cdot\gvec{IA} + \gvec{ID}\cdot\gvec{MI} + \gvec{ID}\cdot\gvec{IA}\\
& = MI^2 + \gvec{MI}\cdot\big(\gvec{IA} + \gvec{ID}\big) + \gvec{ID}\cdot\gvec{IA}.
\end{align*}
Or, $I$ est le milieu de $[AD]$ donc:
\[
\gvec{IA} + \gvec{ID} = \vec{0}
\]
et
\[
\gvec{ID} = -\gvec{IA}.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\gvec{MD}\cdot\gvec{MA} & = MI^2 - \gvec{IA}\cdot\gvec{IA}\\
\text{soit}\qquad\gvec{MD}\cdot\gvec{MA}& = MI^2 - IA^2.
\end{align*}

\item De l'égalité de la question précédente, on déduit:
\begin{align*}
\gvec{MD}\cdot\gvec{MA} = 0 & \iff MI^2 - IA^2\\
& \iff MI^2 = IA^2\\
& \iff MI = IA\\
& \phantom{\iff}\text{(car $MI>0$ et $IA>0$ comme ce sont deux distances)}
\end{align*}

L'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant $MI = IA$ est la sphère de centre $I$ et de rayon $IA$.

$(E)$ est donc la sphère de centre $I$ et de rayon $IA$.
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$ s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Prenons alors les vecteurs $\gvec{AB}$ et $\gvec{AC}$ par exemple:
\begin{itemize}
\item $\gvec{AB}\cdot\vec{n}=\begin{pmatrix}
-3\\6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
4\\2\\3\end{pmatrix} = -3\times4 + 6\times2 + 0\times3 = -12+12=0$.

Ainsi, $\gvec{AB}$ est orthogonal à $\vec{n}$.

\item $\gvec{AC}\cdot\vec{n}=\begin{pmatrix}
-3\\0\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
4\\2\\3\end{pmatrix} = -3\times4 + 0\times2 + 4\times3 = -12+12=0$.

Ainsi, $\gvec{AC}$ est orthogonal à $\vec{n}$.
\end{itemize}

Le vecteur $\vec{n}$ est donc normal au plan $(ABC)$.

\item On sait désormais que $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$ donc une équation cartésienne de $(ABC)$ est de la forme:
\[
4x+2y+3z+d=0,\ d\in\R.
\]
Afin de trouver la valeur de $d$, on remplace $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées d'un point du plan, par exemple celles de $A$, et on trouve:
\[
4\times3 + 2\times0 + 3\times0 + d = 0
\]
soit:
\[
d = -12.
\]
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc:
\[
4x+2y+3z-12=0.
\]
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item La droite $\Delta$, dont on cherche une représentation paramétrique, doit être orthogonale au plan $(ABC)$; ainsi, un vecteur directeur de $\Delta$ est le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}$ (puisque ce dernier est orthogonal à ce plan).

De plus, $\Delta$ doit passer par le point $D(-5;0;1)$. Ainsi, d'après le cours, une représentation paramétrique de $\Delta$ est de la forme:
\[
\begin{cases}

x = x_D + at\\
y = y_D + bt\\
z = z_D + ct
\end{cases}\quad,\quad t\in\R
\]
et où $a$, $b$ et $c$ sont les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite.

Cela donne alors:
\[
\Delta\quad:\quad
\begin{cases}
x = -5 + 4t\\
y = 2t\\
z = 1 + 3t
\end{cases}\quad t\in\R.
\]

\item Le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$ est le point d'intersection de $\Delta$ et $(ABC)$ car $\Delta$ est orthogonale à $(ABC)$ et passe par $D$.

Ainsi, 
\[
H \in (ABC) \iff 4x_H + 2y_H + 3z_H - 12 = 0\tag{1}
\]
et
\[
H \in \Delta \iff \text{il existe un réel $t$ tel que }\ \begin{cases}
x_H = -5 + 4t\\
y_H = 2t\\
z_H = 1 + 3t
\end{cases}.\tag{2}
\]
En remplaçant $x_H$, $y_H$ et $z_H$ dans (1) par les égalités (2), on obtient:
\begin{align*}
& 4(-5+4t) + 2\times2t + 3(1+3t)-12 = 0\\
\iff\quad & -20+16t+4t+3+9t-12=0\\
\iff\quad & 29t = 29\\
\iff\quad & t = 1.
\end{align*}

En remplaçant $t$ par 1 dans les égalités (2), on obtient finalement:
\[
H(-1;2;4).
\]

\item La distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est la longueur $DH$ car $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(ABC)$.

\begin{align*}
HD &= \sqrt{(x_D-x_H)^2 + (y_D-y_H)^2 + (z_D-z_H)^2}\\
& = \sqrt{ \big(-5-(-1)\big)^2 + (0-2)^2 + (1 - 4)^2}\\
& = \sqrt{16+4+9}\\
HD & = \sqrt{29}.
\end{align*}

\item Calculons:

\begin{align*}
\gvec{HD}\cdot\gvec{HA} & = \begin{pmatrix}-5+1\\-2\\1-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3+1\\-2\\-4\end{pmatrix}\\
& = -4\times4 + (-2)\times(-2) + (-3)\times(-4)\\
& = -16+4+12\\
& = 0.
\end{align*}

On en déduit que $H$ appartient à l'ensemble des points $M$ tels que $\gvec{MD}\cdot\gvec{MA}=0$, soit, d'après la partie A, à la sphère dont le centre $I$ est le milieu de $[AD]$, soit:
\[
I\left(\dfrac{x_A+x_D}{2};\dfrac{y_A+y_D}{2};\dfrac{z_A+z_D}{2}\right)=\left(-1;0;\dfrac{1}{2}\right)
\] 
et dont le rayon vaut:
\begin{align*}
IA & = \sqrt{(x_A-x_I)^2 + (y_A-y_I)^2 + (z_A-z_I)^2}\\& = \sqrt{4^2 + 0^2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}\\
& = \dfrac{\sqrt{65}}{2}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrigebb}


\onglet 
\AfficheCorrigeBB
