\errorcontextlines=10
\documentclass[utf8,crop,realfonts,rabat]{prepamath}
\usepackage{rabat}
\usepackage{multirow,mathtools}
\title{Rabats pour le livre 1M}
\author{Stéphane Pasquet}
\definecolor{tabularcolorline}{cmyk}{0,0.2,0.5,0}
\graphicspath{{figures/}}
\begin{document}


% ===================================== Dénombrement, proba.

\begin{colonne} 
\begin{cadre}{Combinatoire et dénombrement}
\vspace*{-2em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zl|Zc|>{\centering\arraybackslash}Z{m{28mm}}|Z{m{3.7cm}}|}
\rowcolor{tabularcolorline}
\multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{white}~} & 
Ordre & Modèle & \hspace*{10mm} Exemples\\
 \hline
 Permutation & \psline(-0.39,1.17)(8.3,1.17) Oui & Tirage sans remise & Anagramme $^*$ \\
 \hline
 $p$-liste & Oui & Tirage avec remise  & Digicode\\
 \hline
 Arrangement $A_n^p$ & Oui & Tirage sans remise &Podium d'une course\\
 \hline
 Combinaison $\dbinom{n}{p}$  & Non & Tirage sans remise & \mbox{Main dans un jeu de cartes}\\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\Par
$^*$ Permutation des lettres d'un mot formant un mot de sens différent.
\vspace*{-0.5em}
\end{cadre}

\Par

\begin{cadre}{Probabilités}
\novspace
\point{\'Epreuve de Bernoulli}
\vspace*{-1em}
Expérience aléatoire à deux issues : \og succès \fg{} (S) et \og échec \fg{} ($\overline{\text{S}}$).
\begin{center}
\includegraphics{bernoulli}
\end{center}

\vspace*{-1em}
\point{Schéma de Bernoulli}
\vspace*{-1em}
Succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes.

$X$ (nombre de succès à l'issue de cette succession) suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$.
\[
\boxed{P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}}
\]
\begin{center}
$\boxed{E(X)=np\strut}$
\qquad\qquad
$\boxed{V(X)=np(1-p)\strut}$
\qquad\qquad
$\boxed{\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\strut}$
\end{center}

\vspace*{-0.7em}
\point{Somme de variables aléatoires indépendantes}
\vspace*{-0.7em}
\begin{center}
$\boxed{E(aX+Y)=aE(X)+E(Y)\strut}$
\qquad
$\boxed{V(aX+Y)=a^2V(X)+V(Y)\strut}$
\end{center}

\vspace*{-0.7em}
\point{Concentration et loi des grands nombres}
\vspace*{-0.7em}

$a$ et $\delta$ sont deux réels strictement positifs.

$X_1$, ..., $X_n$ $n$ variables aléatoires indépendantes d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.
\Par
{\fontsize{9.5}{9.5}\selectfont
\begin{tabular}{@{}|>{\columncolor{tabularcolorline}}l|Z{>{\centering\arraybackslash}m{62mm}}|}
\hline
Inégalité de Markov& $P(X\geqslant a)\leqslant\dfrac{E(X)}{a}$\\
\hline
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev& $P\big( |X-E(X)| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$\\
\hline
Inégalité de concentration& $P\left( \left| \frac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu\right| \geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}$\\
\hline
Loi faible des grands nombres& $\lim\limits_{n\to+\infty}P\left( \left| \dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu \right| \geqslant \delta \right)=0$\\
\hline
\end{tabular}}
\vspace*{-1em}
\end{cadre}
\end{colonne}


% ================================ suites

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Suites}
\novspace
Pour $r\in\R$, $q\in\R$ (avec $q\neq1$), on a:
\Par
{\fontsize{9.5}{9.5}\selectfont
\begin{tabular}{@{}|*2{Z{m{54mm}}|}|@{}}
\rowcolor{tabularcolorline}
\begin{center}
Suite arithmétique de raison $r$
\end{center} & 
\begin{center}Suite géométrique de raison $q$
\end{center}\\
\hline
\psline(-0.22,1.05)(11.5,1.05)
$u_{n+1}=u_n+r$
\raisebox{-2mm}{\vrule width 0mm height 5mm} 
& 
$u_{n+1}=q u_n$ 
\raisebox{-2mm}{\vrule width 0mm height 5mm}
\\
\hline
$u_n=u_0+nr$\raisebox{-2mm}{\vrule width 0mm height 5mm} & $u_n=u_0\times q^n$\raisebox{-2mm}{\vrule width 0mm height 5mm}\\
\hline
$u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}$ & $u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$\\
\hline
$1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ & $1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$\\
\hline
\end{tabular}}
\Par
\point{Principe de récurrence}
\vspace*{-1em}

$(\mathcal{P}_n)$ est une propriété dépendant d'un entier $n$ et $n_0$ un entier quelconque.

Si $(\mathcal{P}_{n_0})$ est vraie et si, pour un entier $k \geqslant n_0$, $(\mathcal{P}_k) \Rightarrow (\mathcal{P}_{k+1})$,\\alors  $(\mathcal{P}_n)$ est vraie pour tout $n\geqslant n_0$.

\vspace*{-1.5em}
\point{Théorèmes de comparaison}
\vspace*{-1em}
Si, pour tout entier $n \geqslant n_0$, $u_n \leqslant v_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=-\infty$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=-\infty$.

Si, pour tout entier $n \geqslant n_0$, $u_n \leqslant v_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=+\infty$.

\vspace*{-1.5em}
\point{Théorème des gendarmes}
\vspace*{-1em}
Si, pour tout entier $n \geqslant n_0$, $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=\lim\limits_{n\to+\infty} w_n=\ell$,\\ alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\ell$, où $\ell$ est un réel.

\vspace*{-1em}
\point{\boldmath Limites de $q^n$}
\vspace*{-1em}

\begin{center}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|Zc|Zc|}
\rowcolor{tabularcolorline}
$q<-1$ & $|q| < 1$ & $q=1$ & $q>1$\\
\hline
\psline(-0.22,0.9)(11.1,0.9)
$\lim\limits_{n\to+\infty} q^n$ n'existe pas
&
$\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=0$
&
$\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=1$
&
$\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=+\infty$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace*{-1em}
\point{Théorème de convergence}
\vspace*{-1em}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{70mm}
Toute suite croissante et majorée converge.

Toute suite décroissante et minorée converge.

Toute suite monotone et bornée converge.
\end{minipage}}
\end{center}
\vspace*{-5mm}
\end{cadre}
\Par	
\begin{cadre}{Limites de fonctions}
\novspace
\point{Formes indéterminées}
\vspace*{-1em}
\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{Zc|}}
\hline
\og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg
&
\og $\infty-\infty$ \fg
&
\og $0\times\infty$ \fg
&
\og $\dfrac{0}{0}$ \fg\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}

\vspace*{-1em}
\point{Asymptotes}
\vspace*{-1em}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{center}
\includegraphics{asymptote-1}

$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)= b$
\end{center}
\end{minipage}
\hspace*{5mm}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{center}
\includegraphics{asymptote-2}

$\lim\limits_{x\to a} f(x)= +\infty$
\end{center}
\end{minipage}
\vspace*{-2mm}
\end{cadre}
\end{colonne}

% ================================ espace

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Géométrie dans l'espace}
\novspace
\point{Combinaison linéaire de vecteurs}
\vspace*{-0.7em}
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non colinéaires.

$\vec{w}$ est une \textit{combinaison linéaire} de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s'il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que :
\[
\boxed{\vec{w}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}}
\]

\vspace*{-0.7em}
\point{Représentation paramétrique d'un plan}
\vspace*{-0.7em}
$\mathcal{P}$ est un plan défini par un point $A(x_A;y_A;z_A)$ et deux vecteurs $\vec{u}(a;b;c)$ et $\vec{v}(a';b';c')$ non colinéaires et non nuls.

\[
M(x;y;z)\in\mathcal{P} \iff \gvec{AM}=k\vec{u}+t\vec{v} \iff \begin{cases}
x = x_A + ka+ta'\\
y = y_A + kb + tb'\\
z = z_A + kc + tc'
\end{cases}\hspace*{-2mm},\; k\in\R,\ t\in\R
\]
\vspace*{-0.7em}
\point{Représentation paramétrique d'une droite}
\vspace*{-0.7em}
$\mathcal{D}$ est une droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ de vecteur directeur $\vec{u}(a;b;c)$ non nul.

\[
M(x;y;z)\in\mathcal{D} \iff \gvec{AM}=t\vec{u} \iff \begin{cases}
x = x_A + ta\\
y = y_A + tb\\
z = z_A + tc
\end{cases},\; t\in\R
\]

\vspace*{-0.7em}
\point{Produit scalaire de deux vecteurs}
\vspace*{-2em}
\[
\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'}\qquad\text{avec }\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\text{ et }\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}.
\]

\vspace*{-0.7em}
\point{Vecteurs orthogonaux}
\vspace*{-1.3em}
\[
\boxed{\vec{u}\text{ et }\vec{v}\textit{ orthogonaux }\iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0}
\]

\vspace*{-0.7em}
\point{Distance entre deux points (norme d'un vecteur)}
\vspace*{-0.7em}
$A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ sont deux points de l'espace.

\[
\boxed{
AB = \left\|\gvec{AB}\right\| = \sqrt{\big(x_B-x_A\big)^2+\big(y_B-y_A\big)^2+\big(z_B-z_A\big)^2}}
\]

\vspace*{-0.7em}
\point{Vecteur normal à un plan}
\vspace*{-1.5em}
\[
\boxed{\vec{n} \text{ est \textit{normal} au plan }\mathcal{P} \iff \text{ pour tout vecteur $\vec{u}$ de }\mathcal{P},\ \vec{u}\cdot\vec{n}=0}
\]

\vspace*{-0.7em}
\point{\'Equation cartésienne d'un plan}
\vspace*{-0.7em}

$\mathcal{P}$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$.
\[
\boxed{\text{\'Equation de }\mathcal{P}\quad:\quad ax+by+cz+d=0}
\]
\end{cadre}
\end{colonne}

% ================================ symboles et python
\begin{colonne}
\begin{cadre}{Symbolique mathématique}
\vspace*{-1.5em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|>{\centering\arraybackslash}Z{m{25mm}}|Z{m{38mm}}|}
\rowcolor{tabularcolorline}
\hline
Symbole & Signification &Syntaxe &  Exemple\\
\hline
$\in$ 
& 
\og Appartient à \fg 
& 
$x \in\R$
&
\textit{$x$ appartient à $\R$.}\\
\hline
$\forall$ & \og Pour tout \fg, \og Quel que soit \fg & $\forall\; x \in\R$ & \textit{Pour tout réel $x$.}\\
\hline
$\exists$ & \og Il existe au moins un \fg{} & $\exists\; x\in\R,\ x^2 = 7$ & \textit{Il existe au moins une\newline valeur réelle de $x$ telle \mbox{que son carré est égal à 7.}}\\
\hline
$\subset$ & \og Inclus dans \fg{} & $\N \subset \R$ &\textit{L'ensemble $\N$ est inclus dans l'ensemble $\R$.}\\
\hline
$\cup$ & \og Union \fg  & $A \cup B$& \textit{$A$ union $B$}.\\
\hline
$\cap$ &  \og Inter \fg & $A \cap B$ & \textit{$A$ inter $B$}.\\
\hline
$\setminus$ & \og Privé de \fg & $\R\setminus\{1\}$ &\textit{Ensemble des réels privé de \og 1 \fg.}\\
\hline
$\ds\sum_{\text{début}}^{\text{fin}}$ & \og Somme de \textit{début} à \textit{fin}  \fg & $\ds\sum_{k=0}^n u_k$ &  $u_0 + u_1  + \cdots + u_{n-1} + u_n$.\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-1em}
\end{cadre}

\Par

\begin{cadre}{Python}
\novspace
\point{Les principales fonctions mathématiques}
\vspace*{-0.7em}
Elles sont contenues dans le module \texttt{math} (sauf \og \texttt{**} \fg).
\Par
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|>{\centering\arraybackslash}Z{m{20mm}}|>{\centering\arraybackslash}Z{m{45mm}}|}
\rowcolor{tabularcolorline}
\hline
En Python & Signification & \begin{center}\vspace*{-2mm}Syntaxe\end{center} & \begin{center}\vspace*{-2mm}Résultat\end{center}\\
\hline
\ttfamily sqrt & Racine carrée & \texttt{sqrt(4)} & 2 \\
\hline
\ttfamily exp & Exponentielle & \texttt{exp(1)} & 2.718281828459045\\
\hline
\ttfamily log & Logarithme népérien & \texttt{log(2)} & 0.6931471805599453\\
\hline
\ttfamily ** & Puissance & \texttt{2**8} & $2^8 = 256$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace*{-1em}
\point{Boucles}
\vspace*{-0.7em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\begin{tabular}{|Zl|>{\centering\arraybackslash}Z{m{11mm}}|Z{m{37mm}}|Z{m{42mm}}|}
\rowcolor{tabularcolorline}
\hline
Type de boucle & Mot clé & \hspace*{12mm} Syntaxe & Résultat\\
\hline
Itérative & \texttt{for} & \texttt{for i in range(10):}\newline\hspace*{5mm}\texttt{instructions} & Exécute 10 fois\newline les instructions qui suivent.\\
\hline
Conditionnelle & \texttt{while} & \texttt{while j >= 10**(-5):}\newline\hspace*{5mm} \texttt{instructions} & Exécute les instructions qui suivent tant que la valeur\newline stockée dans la variable \texttt{j} est supérieure ou égale à $10^{-5}$.\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-1em}
\end{cadre}
\end{colonne}


% ================================ Primitive, Equa.dif., intégration

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Primitives}
\novspace
\point{Définition}
\vspace*{-2em}
\[
\boxed{F\text{ primitive de }f \iff F' = f}\qquad\text{Une primitive est définie à une constante près.}
\]


\vspace*{-1.5em}
\point{Primitives usuelles}
\vspace*{-1em}
$a\in\R$, $n\in\N$.
\vspace*{-1em}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zc|*6{Zc|}}
\hline
$f(x)$ & $a$ & $x^n$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\nep^x$ & $\sin x$ & $\cos x$\\
\hline
$F(x)$ & $ax$ & $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ & $\ln |x|$ & $\nep^x$ & $-\cos x$ & $\sin x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace*{-1.5em}
\point{Primitives composées}
\vspace*{-1em}
$u$ est une fonction, $u'$ est sa dérivée, $n\in\N\setminus\{-1\}$.
\Par
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zl|*5{Zc|}}
\hline
Fonction & $\dfrac{u'}{u}$, $u\neq0$ & $u'\nep^u$ & $\dfrac{u'}{u^2}$& $u'u^n$& $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$, $u>0$\\
\hline
Primitive & $\ln |u|$ & $\nep^u$ & $-\dfrac{1}{u}$ & $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ & $\sqrt{u}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-2em}
\end{cadre}

\begin{cadre}{\'Equations différentielles}
\begin{tabular}{|Zl|Zl|}
\hline
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont : & $f(x)=C\nep^{ax},\ C\in\R$\raisebox{-1mm}{\vrule width 0mm height 5mm}.\\\hline
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont:& $f(x)=C\nep^{ax}-\dfrac{b}{a},\ C\in\R$.\\
\hline
\end{tabular}
\vspace*{-.5em}
\end{cadre}

\begin{cadre}{Intégration}
$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a;b]$.

\vspace*{-1.5em}
\point{Lien avec les primitives}
\vspace*{-1.9em}
\[
\boxed{
F\text{ primitive de }f \iff \int_a^b f(x)\dd x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b)-F(a)}
\]
\vspace*{-1.9em}
\point{Intégration par parties}
\vspace*{-1.9em}
\[
\boxed{
\int_a^b u'(x)v(x)\dd x = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\dd x
}
\]
\vspace*{-1.9em}
\point{Valeur moyenne d'une fonction sur [a;b]}
\vspace*{-1.9em}
\[
\boxed{
\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\dd x
}
\]
\vspace*{-2.5em}
\point{Propriétés}
\vspace*{-1em}
\begin{center}
\begin{tabular}{@{}|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zl|Zc|@{}}
\hline
Linéarité & $\ds\int_a^b \lambda f(x) + g(x)\dd x = \lambda\int_a^b f(x)\dd x + \int_a^b g(x)\dd x$\\\hline
Conservation de l'ordre & sur $[a;b]$, $\ds f(x) \geqslant g(x) \Longrightarrow \int_a^b f(x)\dd x \geqslant \int_a^b g(x)\dd x$\\\hline
Relation de Chasles & $\ds\int_a^b f(x)\dd x = \int_a^c f(x)\dd x + \int_c^b f(x)\dd x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-1.5em}
\end{cadre}
\end{colonne}

% ================================ Dérivées, continuité, ln

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Dérivées}
\novspace
\point{Dérivées usuelles}
\vspace*{-1em}
$a$ est un réel et $n$ un entier naturel non nul.
\Par
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zc|*7{Zc|}}
\hline
$f(x)$ & $a$ & $x^n$ & $\sqrt{x}$ & $\nep^x$ & $\ln x$ & $\sin x$ & $\cos x$\\
\hline
$f'(x)$ & 0 & $nx^{n-1}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $\nep^x$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\cos x$ & $-\sin x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace*{-1.5em}
\point{Opérations et dérivées}
\vspace*{-1em}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zl|*6{Zc|}}
\hline
Opération &  $u v$ & $\dfrac{u}{v}$ & $\sqrt{u}$ & $u^n$ & $\nep^u$ & $\ln(u)$\\
\hline
Dérivée &  $u'v+v'u$ & $\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ & $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ & $nu'u^{n-1}$ & $u'\nep^u$ & $\dfrac{u'}{u}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-1.8em}
\end{cadre}
\Par
\begin{cadre}{Continuité}
\novspace
\point{Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)}
\vspace*{-1em}
Si $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ et si $k$ est une valeur comprise entre\linebreak $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe \textit{au moins} une valeur de $x$ dans $[a;b]$ telle que $f(x)=k$.

\vspace*{-1em}
\point{Théorème de la bijection (corollaire du TVI)}
\vspace*{-1em}
Si $f$ est une fonction continue \textit{et strictement monotone} sur $[a;b]$\\
et si $k$ est une valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$,\\ alors il existe \textit{une unique} valeur de $x$ dans $[a;b]$ telle que $f(x)=k$.
\vspace*{-0.8em}
\end{cadre}
\Par
\begin{cadre}{Logarithme népérien}
\novspace
\point{Propriétés et limites}
\vspace*{-1em}
La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$, $n\in\N$, $p\in\Z$.
\Par
\begin{minipage}{55mm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
%\begin{tabular}{|*1{>{\centering\arraybackslash}Z{m{50mm}}|}}
%\rowcolor{tabularcolorline}
%\hline
%Propriétés algébriques \\
%$\ln1=0$
%\\\hline
%$\ln\nep=1$ \\\hline
%$\ln(xy)=\ln x+\ln y$ \\\hline
%$\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y$ \\\hline
%$\ln(x^p)=p\ln x$\\\hline
%\end{tabular}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{50mm}|}
\rowcolor{tabularcolorline}
\hline
Propriétés algébriques \\
\hline
\hspace*{-2mm}\begin{tabular}{@{}>{\raggedleft\arraybackslash}Z{m{26mm}}@{\,$=$\,}m{24mm}@{}}
$\ln1$ & 0\\\hline
$\ln\nep$ & $1$\\\hline
$\ln(xy)$ & $\ln x+\ln y$ \\\hline
$\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)$ & $\ln x-\ln y$ \\\hline
$\ln(x^p)$ & $p\ln x$\\\hline
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{minipage}
\hspace*{5mm}
\begin{minipage}{60mm}
\begin{tabular}{|*1{>{\centering\arraybackslash}Z{m{50mm}}|}}
\rowcolor{tabularcolorline}\hline
 Limites\\
\hline
$\lim\limits_{x\to0}\ln x = -\infty$\\\hline
 $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x = +\infty$\\\hline
$\lim\limits_{x\to0}x^n\ln x = 0$ \\\hline
  $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^n} = 0$\\\hline
 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$\\\hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\vspace*{-1em}
\point{Comparaison avec l'exponentielle}
\vspace*{-1em}
\begin{minipage}{65mm}
\includegraphics{ln}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
La courbe représentative du\linebreak logarithme népérien 
est \textit{symétrique} à celle de l'exponentielle 
par rapport à la droite d'équation $y = x$.

\vspace*{1.1cm}~
\end{minipage}
\vspace*{-.7em}
\end{cadre}
\end{colonne}

%
\end{document}
