\chapter{Loi des mailles}

\section{Introduction}
\label{sec:introduction}
\begin{exointro}{Lycée Stanislas, Paris}
  On considère le circuit suivant:
  
  \Par
  
  \begin{center}
    \includegraphics{015_exotypelm}
  \end{center}
  
  \Par
  
  Le générateur délivre une tension constante $u=6{,}0$~V. 
  
  On mesure
  par ailleurs $u_1=3{,}0$~V et $u_3=1{,}4$~V.
\begin{questions}
\item Indiquer, en faisant un schéma, comment il faut connecter le voltmètre pour mesurer
  la tension $u_3$.
\item En utilisant la loi des mailles, déterminer les tensions $u_2$
  et $u_4$.
\end{questions}
\end{exointro}


Ce chapitre introduit la loi des mailles, qui s'applique aux tensions
que l'on peut mesurer entre les bornes des divers composants de la
maille d'un circuit.

\newpage

\section{Qu'est-ce qu'une maille?}
\label{sec:quest-ce-quune}

\begin{defin}
  Une \index{maille}maille d'un circuit électrique est un chemin fermé de ce
  circuit.
\end{defin}
Parcourir une maille, c'est décrire une fois ce chemin de manière à
revenir au point de départ.

\begin{Exemple}
considérons le circuit suivant:
\end{Exemple}

  \begin{center}
    \includegraphics[width=35mm]{016_exmaille1}
  \end{center}

  Il comporte trois mailles, qui sont représentées de couleur rouge ci-dessous:
  \begin{center}
    \includegraphics[width=35mm]{016_exmaille2}\hspace*{1cm}
    \includegraphics[width=35mm]{016_exmaille3}\hspace*{1cm}    
    \includegraphics[width=35mm]{016_exmaille4}
  \end{center}

\section{Loi d'additivité des tensions}
\label{sec:rapp-loi-dadd}
Considérons la portion de circuit suivante:

\Par

\begin{center}
  \includegraphics{016_loitens1}
\end{center}

Nous avons:
\begin{center}
\includegraphics{017_dominos}
\end{center}

Il s'agit de l'équivalent d'une relation de Chasles sur les \index{tension}tensions. Les lettres aux extrémités se conservent (ici A, en rouge, et C, en bleu) tandis que les lettres intermédiaires doivent coïncider, comme des dominos (ici la lettre B).

Nous pouvons étendre cette relation à un plus grand nombre de
tensions. Ainsi, avec cette portion de circuit:

\begin{center}
\includegraphics{017_loitens2}
\end{center}

nous avons la relation:
\begin{center}
\includegraphics{017_dominos2}
\end{center}

Ici, les lettres extrêmes sont conservées (A et D) et les lettres
intermédiaires \mbox{(B et C)} coïncident comme des dominos.

\begin{Remarque}
  Cette relation est due au fait qu'une tension peut s'écrire comme
  une différence de potentiel: en tout point M d'un circuit on peut
  définir un potentiel $V_M$. La tension entre deux points A et B
  est alors, par définition:
  \[U_{AB}=V_A-V_B.\]
  Nous avons donc:
  \[U_{AB}+U_{BC}=(V_A-V_B)+(V_B-V_C)=V_A-V_C=U_{AC}.\]
\end{Remarque}

\section{Énoncé de la loi des mailles}
\label{sec:enonce-de-la}
\begin{aretenir}
  Dans toute maille d'un circuit, la somme des tensions orientées dans un sens
  est égale à la somme des tensions orientées dans l'autre sens.
\end{aretenir}

Qu'entendons-nous par \og les tensions orientées dans un sens \fg ?
Lorsqu'on parcourt une maille (dans un sens donné, arbitraire, cela
peut être au choix le sens des aiguilles d'une montre ou le sens
trigonométrique), on rencontre des tensions qui ont même sens que
celui du parcours, et d'autres qui ont le sens opposé. Considérons par
exemple le circuit page suivante.

\begin{center}
  \includegraphics{018_sensparcours}
\end{center}

Nous avons indiqué un sens de parcours (ici dans le sens des aiguilles
d'une montre) par une boucle rouge fléchée dans la partie
centrale. Lorsque l'on parcourt cette maille, on rencontre des flèches
de tension qui ont le sens du parcours: ce sont les flèches $u_2$,
$u_3$ et $u_6$, que l'on a représentées aussi en rouge. Les autres
flèches ($u_1$, $u_4$ et $u_5$) ont un sens opposé à celui du
parcours. On les a représentées en vert.

La \index{maille!loi des mailles}loi des mailles nous indique que la somme des tensions \og du
groupe rouge \fg est égale à la somme des tensions \og du groupe vert
\fg:

\[u_2+u_3+u_6=u_1+u_4+u_5.\]

\begin{Remarque}
  si toutes les flèches de tension ont même sens, alors leur somme est
  nulle (puisqu'il n'y a pas de tension dans l'autre sens).
\end{Remarque}

\begin{attention}
  Il est important qu'il y ait des flèches de tension pour \emph{tous}
  les composants de la maille.
\end{attention}
Considérons les deux circuits ci-dessous:

\begin{center}
  \includegraphics{018_imok}\hfill
\includegraphics{018_imnok}
\end{center}

\newpage

Sur le circuit de gauche, tous les composants ont une flèche de
tension. La flèche qui a le sens des aiguilles d'une montre est $u_1$,
et toutes les autres flèches ont le sens contraire, donc nous pouvons
écrire:
\[u_2+u+u_3+u_4=u_1.\]
En revanche, même si le circuit de droite lui ressemble beaucoup, on
ne peut pas écrire la même égalité: il manque une flèche de tension au
composant en bas à gauche!

\begin{Remarque}
  le fait qu'il n'y ait pas de flèche de tension le long des parties du
  circuit où l'on a seulement des fils conducteurs (comme dans la
  partie en bas à gauche du circuit de gauche, ou sur la branche de
  gauche) n'a pas d'importance, car la tension est nulle aux bornes
  d'un conducteur parfait. On peut, si on le veut, écrire ces tensions,
  mais elles valent zéro et ne changent rien aux sommes des tensions.
\end{Remarque}

\section{Rappel: mesure d'une tension}
\label{sec:rappel:-mesure-dune}
On mesure les tensions à l'aide d'un \index{voltmetre@voltmètre}voltmètre (ou d'un multimètre utilisé en voltmètre).  Il doit toujours être branché en
\emph{dérivation} entre les deux points du circuit entre lesquels on
souhaite mesurer la tension.

Pour mesurer à l'aide d'un \index{multimetre@multimètre}multimètre numérique une tension $U_{AB}$,
on relie sa borne~V au point~A du circuit et sa borne~COM au point~B
du circuit, comme représenté ci-dessous:

\Par 

\begin{center}
  \includegraphics{019_multivolt}
\end{center}

\Par

\begin{solintro}
  \begin{questions}
    \item Il faut brancher le voltmètre en dérivation, avec sa borne
      COM à l'origine de la flèche et la borne V du côté de la pointe
      de la flèche, comme indiqué sur le schéma page suivante.
      \BreakWithoutItem
      \begin{center}
        \includegraphics[width=6cm]{020_soltypelm}
      \end{center}
    \item Dans la maille de gauche, il n'y a qu'une tension qui va dans
      le sens des aiguilles d'une montre ($u$) et deux tensions qui
      vont dans le sens contraire ($u_1$ et $u_2$) donc nous avons:
      \[u=u_1+u_2\]
      d'où l'on déduit:
      \[u_2=u-u_1=3{,}0\mbox{ V}.\]
      Dans la maille de droite, il n'y a que la tension $u_1$ qui va
      dans le sens des aiguilles d'une montre, alors que $u_3$ et
      $u_4$ vont dans le sens contraire.
      \begin{attention}
        Notons que le sens d'une tension dépend de la maille. Ainsi,
        $u_1$ a le sens des aiguilles d'une montre dans la maille de
        droite, mais le sens contraire dans la maille de gauche.
      \end{attention}
      Nous pouvons donc écrire:
      \[u_1=u_3+u_4\]
      donc
      \[u_4=u_1-u_3=3{,}0-1{,}4=1{,}6\mbox{~V}.\]
  \end{questions}
\end{solintro}
