\thumb
\begin{qcm}{Testez vos connaissances}{5}
  \begin{questions}
    \item En quelle unité s'exprime la résistance d'un conducteur
ohmique dans le Système International ?

\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix En ampères &\choix En volts &\choix En ohms
\end{tabularx}

\item Lequel des deux conducteurs ohmiques suivants 
  a la plus grande résistance ?\resetchoix
  
  \Par
  
  \hspace*{-2em}
  \begin{tabular}{@{}|*2{>{\centering\arraybackslash}Z{m{0.48\linewidth}}|}@{}}
  \hline
  \choix  & \choix \\
  \includegraphics{035_ohm2_ex1} &
  \includegraphics{035_ohm2_ex2}\\\hline
  \end{tabular}

\item Répondre par vrai ou faux:
  \begin{questions}
  \item  Lorsque la tension aux bornes d'un conducteur ohmique est
    nulle, l'intensité du courant qui le traverse est nulle.
  \item À tension $U$ constante, plus la conductance d'un conducteur ohmique est grande, plus l'intensité du courant que le traverse est petite.
  \end{questions}

\item Sachant que sur l'ampèremètre on mesure une intensité
$I=200$~mA, quelle valeur lit-on sur le voltmètre ?
\begin{center}
\includegraphics{035_ohm5_ex1}
\end{center}

\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $200$~mV & \choix $1$~V & \choix $10$~V
\end{tabularx}

\choix On ne mesure rien car il n'est pas correctement branché.
\end{questions}
\end{qcm}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[c] : c'est le ohm (symbole : $\Omega$).
\item Réponse \choix[b] : $R=\dfrac{U}{I}=\dfrac{3}{0,1}=30~\Omega$, contre $6~\Omega$ pour la réponse \choix[a].
\item 
\begin{questions}
\item \textit{Vrai}. $U=RI$ donc si $U=0$ alors $I=0$ (pour une résistance non nulle du conducteur ohmique).
\item \textit{Vrai}. $U=\dfrac{I}{G}$. Comme la conductance est au dénominateur, plus elle augmente, plus $I$ doit diminuer pour garder le rapport constant.
\end{questions}
\item Réponse \choix[b] : $U=R\times I = 50 \times 0,2 = 10$~V.
\end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%
\begin{exo}{Étude d'un dipôle}{Lycée Gabriel Fauré, Paris}{1}{10}
La caractéristique intensité-tension d'un dipôle est une droite passant par l'origine des coordonnées et par le point M ($12{,}5$~mA; $5,0$~V).
\enlargethispage*{3em}
\begin{questions}
\item Quelle est la nature de ce dipôle ?
\item Calculer sa résistance et sa conductance. Préciser les unités.
\item Quelle tension faut-il imposer à ses bornes pour qu'il soit parcouru
  par un courant d'intensité $50,0$~mA ?
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item La caractéristique de ce dipôle étant une droite passant par l'origine, il s'agit par définition d'un conducteur ohmique.
  \item Sa résistance est donnée par la loi d'Ohm :
    \[R = \frac{U}{I} = \frac{5}{12,\!5\times 10^{-3}} = 400 \;\Omega.\]
    Sa conductance est $G = \dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{400} = 2,5\cdot10^{-3}\mbox{ S } =2,55$ mS (millisiemens).
\item Nous utilisons à nouveau la loi d'Ohm:
  \[U = R\times I = 400 \times 50.10^{-3} = 20\;\mbox{V}.\]
\end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Identifier les dipôles}{\null}{2}{10}
  On représente ci-après les caractéristiques tension-intensité de cinq dipôles différents.

\resetchoix

\Par

  \begin{tabular}{@{}|*2{Z{m{0.46\linewidth}}|}@{}}
  \hline
  \choix  & \choix \\[-2em]
  \includegraphics[width=4.8cm]{036_diposup3} &
  \includegraphics[width=4.8cm]{036_diposup2}\\\hline
  \choix  & \choix \\[-2em]
  \includegraphics[width=4.8cm]{036_diposup1} & 
  \includegraphics[width=4.8cm]{036_diposup5}\\\hline
  \multicolumn{2}{|Zl|}{\choix}\\[-2em] 
  \multicolumn{2}{|Zc|}{\includegraphics{036_diposup4}}\\\hline
  \end{tabular}

\Par

\enlargethispage*{5em}
  Ces cinq dipôles sont, dans le désordre:
  \begin{multicols}{2}
  \begin{questions}
  \item Une diode
  \item Un conducteur ohmique
  \item Un interrupteur ouvert
  \item Une diode Zener
  \item Un interrupteur fermé
  \end{questions}
  \end{multicols}

  Identifier à quel dipôle correspond chaque caractéristique.

 {\small\emph{Indications:} une diode est un dipôle qui ne laisse passer le courant que dans un seul sens (sens direct). Une diode Zener se comporte comme une diode classique dans le sens direct, mais laisse aussi passer le courant dans l'autre sens à condition que la tension à ses bornes, en valeur absolue, soit supérieure à un certain seuil.}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{methode}
    Nous commençons par les identifications les plus faciles pour réduire l'éventail des choix possibles pour les dipôles moins évidents, la diode et la diode Zener, que nous n'avons pas encore rencontrés.
  \end{methode}

  À l'évidence, le dipôle numéro~2 (conducteur ohmique) correspond à la caractéristique \choix[a], puisqu'il s'agit d'une droite passant par l'origine.

  Un interrupteur ouvert (dipôle numéro~3) se comporte comme un isolant: il ne laisse pas passer le courant, quelle que soit la tension à ses bornes. On s'attend donc à ce que sa caractéristique soit la droite d'équation $I=0$. Ceci correspond à la caractéristique~\choix[c].

  À l'inverse, un interrupteur fermé (dipôle numéro~5) se comporte comme un conducteur parfait, ou conducteur ohmique de résistance nulle: la tension à ses bornes est nulle quel que soit l'intensité du courant qui le parcourt. On s'attend donc à ce que sa caractéristique soit la droite d'équation $U=0$. Ceci correspond à la caractéristique~\choix[b].

  Il nous reste donc le cas de la diode normale et de la diode Zener (dipôles numéro~1 et~4, respectivement) qui peuvent correspondre aux caractéristiques~\choix[d] et~\choix[e].

  La diode normale ne laisse pas le courant que dans un sens: on s'attend donc à ce que sa caractéristique corresponde à des valeurs de $I$ qui ont toutes le même signe (sans quoi cela signifierait que le courant peut traverser ce dipôle dans les deux sens).  C'est le cas de la caractéristique~\choix[e], pour laquelle on a $I\leqslant 0$ quelle que soit la valeur de $U$.

  Par élimination il nous reste que la caractéristique de la diode Zener doit être la caractéristique~\choix[d]. Vérifions toutefois que cette caractéristique est compatible avec les indications de l'énoncé. Les caractéristiques de ces deux diodes sont très similaires sauf sur la partie gauche: on voit que lorsque la tension est négative est suffisamment grande en valeur absolue, on a une branche verticale, qui correspond au fait que l'intensité $I$ est non nulle: la diode laisse alors passer le courant, comme indiqué dans l'énoncé. 
\end{corrige}
%
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%
% RETROUVEZ LA VIDEO DE LA CORRECTION DE CET EXO...
%
%
\begin{exo}{Conducteur ohmique}{Lycée Marie Curie, Sceaux}{2}{15}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo avec \PictoNathanLive]{conducteur ohmique}{}

La caractéristique d'un conducteur ohmique passe par un point de coordonnées $I = 62{,}5$~mA et $U = 3,0$~V.

  \begin{questions}    
  \item Quelle est la valeur de sa résistance ?
  \item Sachant que la puissance électrique qu'il consomme s'écrit $P = U\times I$,
    et que le fabricant précise $P_{max} = 0{,}25$~W, on demande :
    \begin{questions}
    \item  Quelle est l'intensité maximale du courant qui peut le traverser
sans le détériorer ?
\item  Quelle est alors la tension à ses bornes ?
    \end{questions}
  \end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\rput(-0.5,0){\PictoNathanLive}
    On représente ci-après la caractéristique du conducteur ohmique.
    \begin{center}
      \includegraphics{042_p35a}
    \end{center}
 \begin{questions}    
  \item Pour connaître la valeur de la résistance, il suffit d'appliquer
    la loi d'Ohm au point particulier donné par l'énoncé.
    
    On a :
    \[R = \frac{U}{I} =  {3 \over 0{,}0625} = 48 \;\Omega. \]
    \newpage
  \item
    \begin{questions}
    \item  On a $P = U \times I = (R\times I) \times I = RI^2$. 
      Ceci nous donne l'intensité en fonction de la puissance consommée dans le 
      conducteur ohmique : 
      \[I = \sqrt{\frac{P}{R}}.\]
      En particulier pour les valeurs maximales on a : 
      \[I_{max} = \sqrt{\frac{P_{max}}{R}} = 72 \;\mbox{mA}.\]
    \item La valeur de la tension aux bornes du conducteur ohmique est alors : 
      $U = R \times I_{max} = 3{,}4$~V. 
      
      \begin{methode}
        Puisqu'il s'agit de valeurs maximales tolérables, les résultats 
        sont arrondis systématiquement à la valeur inférieure, pour éviter 
        la destruction du composant.
      \end{methode}    
    \end{questions}
  \end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Puissance maximale}{Lycée Notre-Dame, Bourg-la-Reine}{2}{15}
La puissance maximale d'un conducteur ohmique de $4,7.10^2$~$\Omega$ est $2,5.10^2$~mW.  Quelles est l'intensité maximale du courant qui peut le traverser, et la tension maximale que l'on peut imposer à ses bornes ? 

\emph{Indication:} on rappelle que la puissance ${\cal P}$ dissipée dans un dipôle parcouru par un courant d'intensité $I$ et soumis à une tension $U$ est ${\cal P}=U\times I$. 
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
Pour un conducteur ohmique, la relation donnée dans l'énoncé devient:
\[{\cal P} = U \times I = (RI)\times I = RI^2.\]
Donc 
\[I^2 = \frac{\cal{P}}{R}\]
soit
\[I = \sqrt{\frac{\cal{P}}{R}}.\] 
On en déduit
\[I_{max} = \sqrt{\frac{0{,}250}{470}} = 23.10^{-3} \;\mbox{A} = 23 \;\mbox{mA}.\]
De la loi d'Ohm on déduit $U_{max}$:
\[U_{max} = RI_{max} = 10{,}8\;\mbox{V}.\]
\begin{methode}
  Si l'on veut arrondir ce dernier résultat pour ne garder que deux chiffres significatifs, il faut prendre 10 et non 11 puisqu'il s'agit de donner la valeur jusqu'à laquelle on peut soumettre le conducteur ohmique sans l'endommager. Annoncer $11$ comme valeur maximale peut présenter un risque si l'utilisateur applique par exemple une tension de $10{,}9$V.
\end{methode}
\newpage
\end{corrige}

%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Nuage de points}{\null}{2}{20}
  Pour évaluer la valeur de la résistance d'un conducteur ohmique le plus précisément possible, on réalise plusieurs mesures de la tension $U$ à ses bornes lorsqu'il est parcouru par un courant d'intensité $I$. On reporte les mesures dans le tableau suivant.

         \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
         \hline 
         \tabulartitle 
         \bfseries  $U$ (V) & $1{,}6$ &  $4{,}9$ &  $4{,}0$  &  $6{,}0$ &  $8{,}7$ &  $8{,}5$ & $11{,}9$\\ \hline 
         \bfseries $I$ (A)  &  $0{,}4$ &  $0{,}9$ &  $1{,}1$  &  $1{,}5$ &  $2{,}0$ &  $2{,}4$ & $2{,}8$\\ \hline 
       \end{tabular}


              \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
         \hline 
         \tabulartitle 
         \bfseries  $U$ (V) & $11{,}6$ &  $13{,}8$ &  $15{,}6$  &  $18{,}7$ &  $20{,}1$ &  $19{,}0$ & $23{,}2$\\ \hline 
         \bfseries $I$ (A)  &  $3{,}1$ &  $3{,}7$  &  $4{,}1$ &  $4{,}5$ &  $4{,}7$ & $5{,}1$ & $5{,}6$ \\ \hline 
       \end{tabular}


       \begin{questions}
         \item Faire un schéma du montage.
         \item Reporter sur un graphe avec $I$ en abscisse et $U$ en ordonnée les différents points de mesure.
         \item Tracer la droite qui passe au mieux par l'ensemble des points et en déduire la résistance du conducteur ohmique.
       \end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Pour mesurer la tension aux bornes du conducteur ohmique, on monte le voltmètre en dérivation, tandis que l'ampèremètre est à monter en série, comme indiqué sur la figure suivante.

\Par

    \begin{center}
      \includegraphics{044_montagesupp}      
    \end{center}
    
    
  \item Le graphe demandé a l'allure suivante:
    \begin{center}
      \includegraphics{044_nuagep1}
    \end{center}
    \begin{Remarque}ce graphe peut être produit en utilisant le langage Python, de la manière suivante.
    \end{Remarque}

\Par

\rput(-0.5,0){\PictoNathanLive[Prog]}
\vspace*{-0.5cm}
\begin{listing}{En Python}{conducteurohmique1.py}\end{listing}

\vfil\hfil\textit{Suite de l'exercice page suivante.}

\newpage

 %%% RETROUVER LA VIDEO... Je compte faire une video de capture
 %%% d'ecran qui montre l'utilisation de 'polyfit' sous python. Le
 %%% symbole de Nathan Live doit donc se rapporter a l'item suivant. \NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo avec \PictoNathanLive]{conducteur ohmique}{https://media.prepamath.fr/IL2PCch03exo04}
  %\item \rput(-0.5,-0.5){\PictoNathanLive}
  \item \rput(-0.5,-0.5){\NathanLiveVideo[\PictoNathanLive]{utilisation du module Python polyfit}{}}
  \vspace*{-5mm}
  
  Il est possible, en utilisant le langage Python, de tracer la droite qui \og passe au plus près \fg des points. On parle de régression linéaire par la méthode des moindres carrés. Ceci se fait en entrant, à la suite du code de la réponse précédente, les instructions suivantes:
  
  \Par
  
   \rput(-0.5,0){\PictoNathanLive[Prog]}\vspace*{-5mm}
    \begin{listing}{En Python}{conducteurohmique2.py}\end{listing}
    
     \Par
     On trouve $a=3.96131611437$ et $b=0.11577534343$.   
    Les variables \texttt{a} et \texttt{b} sont respectivement la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite.
    On obtient alors le graphe suivant, qui inclut la droite d'équation:
    
    \[U = aI+b.\]

      \begin{center}
      \includegraphics{045_nuagep2}
    \end{center}
    Puisqu'il s'agit d'un conducteur ohmique, la droite devrait passer par l'origine et on devrait avoir $b=0$. La valeur (non nulle) de $b$ nous donne une idée de la précision de la méthode. La pente de la droite, c.-à-d. $a$, nous donne directement la valeur de la résistance. D'après le cadre ci-dessus, nous avons \texttt{a=3.9613\ldots} et donc:
    \[R=4{,}0\;\Omega.\]
  \end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Pont de Wheastone}{Lycée Passy-St Nicolas, Buzenval}{3}{40} 
Pour déterminer la valeur inconnue d'une résistance, on peut utiliser la
méthode dite du {\em pont de Wheastone}, grâce au circuit ci-après.

\Par

\begin{minipage}{60mm}
  \includegraphics{038_E3_5}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-60mm}
Le générateur fournit une tension constante $U=U_{AD} = 12$~V.

À l'aide d'un voltmètre, on mesure la différence de potentiel entre les points B et C.  Les paramètres $R_1$, $R_2$, $R_3$ et $R_4$ désignent les résistances des quatre conducteurs ohmiques qui apparaissent sur la figure.

\begin{questions}
\item Montrer que si $U_{BC}=0$, il existe une relation très simple entre
$R_1$, $R_2$, $R_3$ et $R_4$.
\end{questions}
\end{minipage}

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{1}
\item  Les résistances $R_1$, $R_2$ et $R_3$ sont réglables, tandis que $R_4$ est la résistance
inconnue que l'on souhaite déterminer. On trouve expérimentalement que $U_{BC}=0$ si $R_1= 1984\;\Omega$,
$R_2=1515\;\Omega$ et $R_3 = 182{,}3\;\Omega$.
\begin{questions}
  \item Calculer $R_4$.
  \item Calculer alors l'intensité du courant $i$ dans la maille principale.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
    \item On suppose $U_{BC}=0$. On peut alors écrire:
\[U_{AC} = U_{AB}+U_{BC}=U_{AB}+0=U_{AB}.\]
Or, en utilisant la loi d'Ohm pour $R_1$ et $R_2$:
\[U_{AB}=R_1\times i_1\mbox{~~~et~~~}U_{AC}=R_2\times i_2,\]
donc:
\[R_1i_1 = R_2i_2\]
Par ailleurs nous pouvons écrire la loi d'additivité des tensions sous la forme:
\[U=U_{AD}=U_{AB}+U_{BD}\]
mais aussi sous la forme:
\[U=U_{AD}=U_{AC}+U_{CD}.\]
Nous avons donc:
\[U=U_{AB}+U_{BD}=U_{AC}+U_{CD},\]
ce qui devient, en utilisant la loi d'Ohm pour chacun des conducteurs ohmiques:
\[U=R_1\times i_1+R_3\times i_1=R_2\times i_2+R_4\times i_2,\]
ou encore, après factorisation:
\[(R_1+R_3)i_1=(R_2+R_4)i_2=U\]
donc:
\[i_1 = \frac{U}{R_1+R_3}\qquad\text{et}\qquad i_2 = \frac{U}{R_2+R_4}.\]
En remplaçant ces expressions de $i_1$ et $i_2$ dans l'égalité $R_1\times i_1=R_2\times i_2$ démontrée plus haut, nous obtenons:
\[\frac{R_1U}{R_1+R_3}=\frac{R_2U}{R_2+R_4}.\]
En simplifiant cette égalité par $U$ et en formant les produits en croix nous avons:
\[R_1(R_2+R_4) = R_2(R_1+R_3).\]
Après avoir développé les expressions du membre de gauche et du membre de droite, on peut soustraire le terme $R_1R_2$ qui apparaît des deux côtés du signe égal et nous obtenons la relation simple demandée:
\[R_1R_4=R_2R_3.\] C'est la condition d'équilibre d'un pont de Wheastone.
\begin{Remarque}
  en pratique, on connecte les points B et C par un conducteur parfait sur lequel se trouve un microampèremètre très sensible. On s'efforce, en agissant sur les résistances variables, d'obtenir un courant nul au travers du microampèremètre, ce qui assure alors que la différence de potentiel entre B et C est nulle.
\end{Remarque}
\item
  \begin{questions}
    \item  De la relation précédente, on déduit:
  \[R_4 = \frac{R_2R_3}{R_1} = \frac{1515 \times 182{,}3}{1984} = 139{,}2\;\Omega.\]
  Chacune des résistances étant donnée avec quatre chiffres significatifs, nous gardons quatre chiffres significatifs pour ce résultat.
\item Nous utilisons pour déterminer cette intensité les résultats intermédiaires trouvés à la réponse précédentes, qui nous donnent $i_1$ et $i_2$ en fonction de la tension $U$, laquelle est donnée dans l'énoncé, et des résistances, qui sont désormais toutes connues. Puis nous appliquons la loi des n\oe uds en A pour écrire:
  \[i=i_1+i_2=\frac{U}{R_1+R_3}+\frac{U}{R_2+R_4}=0{,}0128\;\mathrm{A}\approx 13\;\mathrm{mA}.\]
  \begin{methode}
  Certes les valeurs des résistances sont connues avec quatre chiffres significatifs, mais celle de $U$ n'est donnée, dans l'énoncé, qu'avec deux chiffres significatifs. Nous gardons donc deux chiffres significatifs pour ce résultat.
  \end{methode}
  \end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

\begin{exo}{Étude d'un circuit}{Lycée Louis-le-Grand, Paris}{3}{20}
\enlargethispage*{4em}
  On considère le circuit représenté page suivante.
  
On donne $R_2=100\;\Omega$, $R=50\;\Omega$ et
  $u_2=4{,}0$~V. L'ampèremètre indique une valeur de $100$~mA. % ERVOL 1000 mA

  \begin{questions}
    \item Déterminer la valeur de $i_2$.
    \item En déduire la valeur de $i$ puis celle de $u$.
    \item Quelle est la valeur de la tension $u_0$ aux bornes du générateur? 
    \end{questions}
  \begin{center}
    \includegraphics{038_dipofin2}
  \end{center}
  
  
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Les flèches de $i_2$ et $u_2$ sont de sens opposé, donc la loi
    d'Ohm pour le conducteur ohmique de la branche du bas s'écrit:
    \[u_2=R_2\times i_2\]
    soit
    \[i_2=\frac{u_2}{R_2}.\]
    L'application numérique donne:
    \[i_2=\frac{4{,}0}{100}=40\mbox{~mA}.\]
    On garde deux chiffres significatifs pour le résultat puisque
    c'est la précision avec laquelle est donnée $u_2$.
  \item Nous appliquons à présent la loi des n\oe uds au n\oe ud
    présent sur la branche gauche. À ce n\oe ud arrive un seul
    courant, d'intensité $i$, tandis que deux courants partent du n\oe
    uds, d'intensités respectives $i_1$ et $i_2$. La loi des n\oe uds
    s'écrit donc ici:
    \[i=i_1+i_2.\]
    Nous connaissons la valeur de $i_2$. Qu'en est-il de $i_1$~?
    L'ampèremètre est situé dans la branche où circule le courant
    d'intensité $i_1$. 
    
    Il mesure donc cette intensité: $i_1=100$~mA,
    et nous avons par conséquent:
    \[i=100+40=140\mbox{ mA}.\]

    Nous pouvons à présent appliquer la loi d'Ohm au conducteur
    ohmique de la branche de gauche. Les flèches du courant et de
    tension sont de sens opposé, donc la loi d'Ohm s'écrit:
    \[u=R\times i.\]
    L'application numérique donne:
    \[u=50\times 0{,}14=7{,}0\mbox{ V}.\]
   
  \item Nous écrivons la loi des mailles dans la maille correspondant
    à la partie extérieure du circuit.
    Les tensions qui vont dans le sens des aiguilles d'une montre sont
    $u$ et $u_2$, celle qui va dans le sens contraire est $u_0$. Nous
    avons donc:
    \[u_0=u+u_2.\]
    L'application numérique donne:
    \[u_0=7{,}0+4{,}0=11{,}0\mbox{~V}.\]
  \end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Détecteur de fumée}{\null}{2}{15} 
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo avec \PictoNathanLive]{détecteur de fumée}{}
\enlargethispage*{3em}

Le principe d'un détecteur de fumée est le suivant. On place une
photorésistance~P et une diode électroluminescente (LED) dans une
cavité où la lumière extérieure ne peut pas pénétrer. Une cloison~C
empêche la lumière de la LED d'arriver directement sur la
photorésistance.

\Par

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{039_detectfumee1}
\end{center}

\Par

Lorsque de la fumée atteint ce détecteur, elle rentre
par les trous et se répand à l'intérieur de la cavité. Des rayons
lumineux issus de la LED sont alors diffusés par la fumée en direction
de la photorésistance: celle-ci reçoit de la lumière, alors qu'elle
est dans l'obscurité en l'absence de fumée (on peut faire l'analogie
avec les pinceaux des phares d'une voiture la nuit: en général on ne
les voit pas, mais si la voiture passe dans une nappe de fumée ou de
brouillard --qui diffuse également la lumière-- on les voit
apparaître).

\Par

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{039_detectfumee2}
\end{center}

\Par

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-45mm}
Nous admettons qu'en première approximation la résistance de la
photorésistance peut s'écrire:
\[r=\frac{1{,}2\times 10^5}{I}\]

où $r$ est en ohm et $I$ est l'illumination, dans une unité appelé lux
(de symbole lx). Nous intégrons la photorésistance à un montage avec
pont diviseur de tension comme représenté ci-contre:
\end{minipage}
\begin{minipage}{45mm}
\hfill
\includegraphics[width=4cm]{039_detectfumee3}
\end{minipage}

\Par\enlargethispage*{\baselineskip}

Un circuit, non représenté ici, mesure en permanence la tension $u$ et
déclenche une alarme sonore quand sa valeur est compatible avec la
présence de fumée. On souhaite que l'alarme se déclenche si la
photorésistance reçoit une illumination d'au moins $0{,}10$~lx.

\begin{questions}
\item On donne $R=1{,}0$~M$\Omega$ et $E=5{,}0$~V. Pour quelle valeur
  critique $u_c$ de la tension $u$ l'alarme doit-elle se déclencher~?
  \item  L'alarme doit-elle se déclencher  pour $u > u_c$ ou pour $u < u_c$ ?
\end{questions}
\end{exo}
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\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item \rput(-1.1,0.2){\PictoNathanLive}Lorsque l'alarme se déclenche, la résistance de la
    photorésistance vaut:
    \[r=\frac{1{,}2\times 10^5}{0{,}1}=1{,}2\times 10^6\;\Omega.\]
    Évaluons la tension $u$ dans ces conditions. La loi des mailles
    nous donne:
    \[E=u+u',\]
    où $u'$ est la tension aux bornes du conducteur ohmique de
    résistance $R$. On peut écrire la loi d'Ohm aux bornes de ce
    conducteur ohmique et aux bornes de la photorésistance. Elle
    s'écrit respectivement:
    \[u=r_ci\]
    et
    \[u'=Ri\]
    où $i$ est l'intensité du courant circulant dans le circuit. On a
    donc:
    \[E=(R+r)i.\]
    En divisant cette égalité membre à membre avec l'égalité $u=ri$,
    on obtient:
    \[u=\frac{r}{R+r}E.\]
    L'application numérique donne:
    \[u=\frac{1{,}2\times 10^6}{ 1{,}2\times 10^6+10^6}\times
      5{,}0=2{,}7\mbox{~V}.\]
    La valeur de la tension critique est $u_c=2{,}7$~V.
    
  \item On a vu que $E=u+u'$. Un calcul similaire à celui ci-dessus
    permet d'obtenir:
    \[u'=\frac{R}{R+r}E.\] On voit donc que $u'$ est une fonction
    décroissante de $r$, et qu'ainsi $u$ est une fonction croissante
    de $r$, puisque leur somme est constante et vaut $E$. Lorsque
    l'illumination de la photorésistance est supérieure au seuil de
    $0{,}1$~lx, l'alarme doit sonner, puisque cela signifie qu'il y a
    de la fumée dans le détecteur.

    D'après la formule donnée dans l'énoncé, la résistance est
    inversement proportionnelle à l'illumination, donc la résistance
    $r$ est alors plus petite que la résistance critique évaluée à la
    question précédente. En vertu de ce qui précède, $u$ est donc
    inférieure à $u_c$. L'alarme doit sonner pour $u<u_c$.
  \end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Chaîne du froid}{\null}{3}{15}

\Par

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-45mm}
Des aliments sont acheminés dans un container réfrigéré. À aucun
  moment du transport leur température ne doit dépasser
  $+2\;^\circ$C. Un enregistreur électronique se trouve dans le
  container. Il contient une thermistance et un circuit avec pont
  diviseur de tension, selon le schéma ci-contre:
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{40mm}
\includegraphics[width=4cm]{040_chainefroid}
\end{minipage}

\Par

 La tension $u$ en fonction du temps, au cours du transport, a
  l'allure suivante:

\Par

\begin{center}
  \includegraphics[width=10cm]{040_chainefroid2}
  \end{center}
  
  \Par

  On admet que sur la plage de températures auxquelles est soumis
  l'enregistreur, la résistance de la thermistance a l'expression
  suivante:
  \[r = 200-4{,}00\times T\]
  où $r$ est en ohm et $T$ en degré Celsius.

  \begin{questions}
    \item Quelles sont les températures minimale et maximale
      auxquelles les aliments ont été soumis?
    \item La chaîne du froid a-t-elle été respectée?
    \end{questions}
    \emph{Données:}
    $E=5{,}00$~V et $R=200\;\Omega$.
\end{exo}
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\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item On lit sur le graphe les valeurs maximale et minimale de la
    tension $u$ au cours du temps:
    \[u_\mathrm{max}=2{,}59\;\mathrm{V}\]
    et
    \[u_\mathrm{max}=2{,}48\;\mathrm{V}.\]

    \includegraphics[width=10cm]{049_chainefroid3}

    Pour en déduire les températures extrêmales atteintes par
    l'enregistreur, il nous faut utiliser la formule donnée dans
    l'énoncé, et pour cela déterminer la résistance $r$. Il nous faut
    donc trouver $r$ en fonction de $u$.

    \begin{center}
      \includegraphics[width=4cm]{050_chainefroid4}
    \end{center}

    Nous écrivons la loi des mailles: $E=u+u'$
    
    et la loi d'Ohm aux bornes des deux conducteurs ohmiques:
    \[u=ri\mbox{~~~et~~~}u'=Ri\]
    donc: \hfil $E=(R+r)i$.
    
    On remplace $i$ par $u/r$ dans cette expression, et obtenons,
    après multiplication des deux membres de l'égalité par $r$:
    \[Er=(R+r)u\]
    soit: \hfil $r(E-u)=Ru$
    
    donc: \hfil $r=\dfrac{u}{E-u}R$.

    On en déduit les valeurs de la résistances pour $u=u_\mathrm{min}$
    et $u=u_\mathrm{max}$. Elles sont respectivement:
    \[r_\mathrm{min}=\frac{2{,}48}{5{,}00-2{,}48}\times 
      200=197\;\Omega\]
    et
    \[r_\mathrm{max}=\frac{2{,}59}{5{,}00-2{,}59}\times 
      200=215\;\Omega.\]

    De l'expression donnée dans l'énoncé, nous pouvons déduire:
    \[T=\frac{200-r}{4}.\]
    En effectuant l'application numérique, nous obtenons:
    \[T_\mathrm{max}=\frac{200-r_\mathrm{min}}{4}=0{,}750\;^\circ\mathrm{C}\quad\text{et}\quad T_\mathrm{min}=\frac{200-r_\mathrm{max}}{4}=-3{,}75\;^\circ\mathrm{C}.\]

    \begin{methode}
      Notons que puisque $T$ est une fonction décroissante de $r$, à
      $r_\mathrm{min}$ correspond $T_\mathrm{max}$ et vice-versa.
    \end{methode}
    
  \item Nous voyons que la température maximale atteinte au cours du
    transport est inférieure à la température maximale admissible. Par
    conséquent la chaîne du froid a été respectée.
  \end{questions}
\end{corrige}
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\thumb
\AfficheCorrige
