\chapter{Signaux périodiques\\et sons}
\section{Introduction}

\begin{exointro}{Lycée Franco-Mexicain, Mexico}
  Un générateur basse fréquence (GBF) délivre une
  \index{tension}tension sinusoïdale de fréquence $f = 250$~Hz,
  d'amplitude $U_{\text{max}} = 1$~V. La tension est visualisée à
  l'oscilloscope électronique utilisé en mode balayage.

La sensibilité verticale de l'oscilloscope est de $0{,}5$~V.div$^{-1}$.

La base de temps de l'oscilloscope est de $1$~ms.div$^{-1}$.
\begin{questions}
\item  Calculer les déviations extrêmes du spot.
\item  Calculer la période de la tension analysée. 
\item  Calculer le nombre de divisions correspondant à une période.
\item  En déduire l'allure de la courbe observée sur l'écran de l'oscilloscope,
  sachant qu'il comporte 10~divisions horizontalement et 8~verticalement.
\end{questions}\end{exointro}

\Par

Ce chapitre introduit la notion de signaux périodiques. Il présente
l'un des outils d'étude de tels signaux : l'oscilloscope. Nous
abordons ensuite la notion d'onde sonore et présentons quelques
notions d'acoustique.
\enlargethispage*{\baselineskip}

\section{Définitions} 

\begin{defin}
  Un phénomène est dit périodique quand il se reproduit identiquement à
lui-même à des intervalles de temps réguliers.
\end{defin}

\begin{Exemple}
le balancier d'une pendule, qui revient à la même place toutes les
  deux secondes, le mouvement de la Terre autour du Soleil, qui
  revient à la même place après avoir fait un tour tous les ans, ou
  la vibration de la membrane d'un haut-parleur produisant une note
  donnée.
\end{Exemple}


\begin{defin}
On appelle
\index{periode@période}période, notée $T$, l'intervalle de temps nécessaire pour que le phéno\-mène se reproduise identiquement à lui-même. L'unité du Système International pour la mesure de la période est la seconde, de symbole~s.
\end{defin}

Ainsi, dans l'exemple précédent, la période du balancier est de 2
secondes.  Un \index{signal periodique@signal périodique}signal
périodique peut également être caractérisé par sa
\index{frequence@fréquence}fréquence, notée $f$, qui représente le
nombre de répétitions du phénomène par unité de temps.  Dans le
Système International, les fréquences s'expriment en
\index{hertz}hertz (Hz).  Ainsi, une fréquence de $5$~Hz signifie que
le phénomène décrit $5$~cycles par seconde.

\begin{aretenir}
Entre la fréquence $f$ et la période $T$ d'un phénomène périodique, on a la relation :
\[f=\frac{1}{T}.\] 
La fréquence correspond au nombre de périodes par
seconde.
\end{aretenir}

\begin{Exemple}
un signal de fréquence~50~Hz est un signal qui se reproduit~50~fois
identique à lui-même par seconde.
\end{Exemple}

On utilise aussi fréquemment le kilohertz (symbole~kHz ;
$1$~kHz~=~$10^3$~Hz),  le mégahertz (symbole~MHz ;
$1$~MHz~=~$10^6$~Hz),
et le gigahertz (symbole~GHz ; $1$~GHz~=~$10^9$~Hz).

\begin{Exemple}
un signal périodique a pour période~$T=0{,}2$~{\rm ms}. Cherchons sa fréquence.
Il faut veiller ici à convertir tout d'abord cette période en secondes.
On a : $T=2\times 10^{-4}$~{\rm s}, donc la fréquence~$f$ est donnée par :
\[ f = \frac{1}{T}=\frac{1}{2\times 10^{-4}}=5\times 10^3\mbox{ {\rm Hz} }
=5\mbox{ {\rm kHz}}.\]
\end{Exemple}


Nous aurions pu prendre l'inverse directement mais il aurait alors fallu
prendre garde au fait que l'on aurait obtenu des kilohertz :
l'inverse d'une période en milliseconde est une fréquence en
kilohertz, l'inverse d'une période en microseconde
est une fréquence en mégahertz, et réciproquement.

\newpage

\section{L'oscilloscope}

\index{oscilloscope}L'oscilloscope est un dispositif qui permet
de visualiser une \index{tension!variable}\index{tension!périodique}tension électrique variable et périodique. Les
premiers oscilloscopes
comprenaient un canon à électrons, qui donnait lieu à un \textit{spot}
lumineux à l'endroit où il venait frapper l'écran. Le faisceau
d'électrons pouvait être dévié horizontalement et verticalement
par l'application de tensions électriques sur des paires d'électrodes.

Notons que les oscilloscopes modernes sont numériques et fonctionnent
sur un principe différent. Tous les réglages et techniques de lecture
des signaux restent néanmoins les mêmes.

Pour visualiser un signal périodique, on utilise l'oscilloscope en
mode balayage : le spot balaie alors horizontalement l'écran au
cours du temps, et la tension périodique à visualiser est utilisée
pour le dévier verticalement.%\enlargethispage*{5em}

\begin{center}
\includegraphics{053_oscillo_new}
\figcaption{La trace de l'oscilloscope donne une représentation\newline de la tension en fonction du temps.}
\end{center}

Le spot balaie l'écran de gauche à droite à une
vitesse que l'on peut régler sur l'oscilloscope.
Celle-ci s'exprime en unité de temps par division, et  est appelée base de temps. \enlargethispage*{3em}

La figure ci-dessus donne l'exemple de l'analyse d'un signal périodique de
forme sinusoïdale. On peut mesurer la période, qui est égale au
nombre de divisions que met le signal à redevenir
identique à lui-même (ici environ $3{,}1$), multiplié par la base de
temps.

\newpage

La tension maximale $U_\mathrm{max}$ (resp. minimale $U_\mathrm{min}$)
est la plus grande (resp. petite) valeur atteinte par la tension
variable au cours d'une période.

L'oscilloscope, associé à un microphone, peut permettre
d'étudier le comportement temporel d'un signal sonore. En effet, le
microphone convertit le signal sonore en une tension
variable, que l'on peut ensuite analyser avec l'oscilloscope, comme le
montre la figure ci-dessous.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{054_03c_oscillo_micro}
\figcaption{Allure de la tension variable aux bornes du \index{microphone}microphone.}
\end{center}

\section{Les ondes sonores}

Les \index{son|see{onde sonore}}sons correspondent à des vibrations des tranches du milieu dans
lequel ils se propagent. La propagation a lieu parce que ces vibrations
occasionnent des petites variations locales de pression
(compressions et détentes alternatives), qui à leur tour engendrent le mouvement des couches voisines, etc. Ainsi, une
onde sonore se propage de proche en proche.\enlargethispage*{2em}
\Par
\begin{center}
\includegraphics{054_03c_crpros01}
\end{center}
Ainsi, on voit que :
\begin{itemize}
        \item{l'\index{onde!sonore}onde sonore, pour se propager, a besoin d'un support matériel :
        le son ne se propage pas dans le vide;}
        
        \item{la propagation de l'onde fait intervenir des petits mouvements de la
        matière autour d'une position moyenne, mais pas de déplacement global :
        il n'y a pas de déplacement de matière lors du passage de l'onde;}
        
        \item{en revanche, la propagation de l'onde s'accompagne d'un
        transfert d'énergie, puisque les vibrations de la matière
        nécessitent de l'énergie, et que ces vibrations se transmettent
        de proche en proche.}
\end{itemize}
La \index{vitesse!du son}vitesse du son dans l'air dans les conditions normales de température et de
pression est $c_s=340$~m.s$^{-1}$.

\subsection{Technique de l'écho}

Pour mesurer la distance $d$ d'un objet, on peut envoyer une
onde dans sa direction. Si cette onde est réfléchie, la mesure de l'intervalle
de temps $\Delta t$ séparant l'émission de la réception est
égale au temps d'aller-retour entre l'expérimentateur et
l'objet, à la vitesse~$v$ de l'onde :
\[\Delta t=\frac{2d}{v}\]
donc, si on connaît $v$, on peut estimer $d$ par :
\[d=\frac{v\Delta t}{2}.\]

Cette méthode de l'écho est utilisée pour mesurer la profondeur
d'un sous-marin (\index{echo@écho}écho d'ultrasons, qui sont des ondes sonores),
ou pour localiser une proie (technique utilisée par la chauve-souris
ou le dauphin).

\section{Notions d'acoustique}

\subsection{Intensité d'une onde sonore}
\begin{defin}
  On appelle \index{intensite@intensité}intensité d'une onde sonore la puissance
  transportée par l'onde par unité de surface.
\end{defin}


Si on note $I$ l'intensité de l'onde, $P$ la puissance qu'elle transporte
à travers une surface $S$, alors:

$$I=\frac{P}{S}$$

{\em Unités:} dans le Système International, $P$ est en watt, $S$ en
mètre carré (m$^2$) et $I$ en watt par mètre carré
($\mbox{W.m}^{-2}$).

La plus petite intensité sonore que peut capter l'oreille humaine est:

\[I_{\scriptsize \rm min}=10^{-12}\mbox{ W.m}^{-2},\] et la plus grande
intensité acceptable (correspondant au seuil de la douleur) est:
\[I_{\scriptsize \rm max}=0{,}1\mbox{ W.m}^{-2}.\]
On remarque la grande
sensibilité du tympan, ainsi que son extraordinaire
dynamique (qui est le rapport
$\dfrac{I_{\scriptsize \rm max}}{I_{\scriptsize \rm min}}=10^{11}$). Il
y a onze ordres de grandeur entre la plus grande intensité sonore
acceptable et la plus petite que peut détecter l'oreille!



\subsection{Niveau sonore et décibels}
Pour manipuler des nombres qui ne soient pas trop petits ou trop
grands, on introduit la notion de niveau sonore. Celui-ci correspond à
une autre manière d'exprimer l'intensité sonore reçue.

\begin{aretenir}
  On ajoute $10$~dB au \index{niveau sonore}niveau sonore quand l'intensité
sonore est multipliée par $10$. 
\end{aretenir}

\Par

L'unité de niveau sonore est le \index{decibel@décibel}décibel, de symbole~dB.

\Par

On adopte comme niveau sonore
$0$~dB le niveau correspondant à une intensité acoustique de $10^{-12}\mbox{ W.m}^{-2}$. 

\Par


Ainsi, à une intensité acoustique de $10^{-11}=10\times
10^{-12}\mbox{ W.m}^{-2}$ correspond un niveau sonore de $10$~dB, à une intensité acoustique de :
\Par
\[
10^{-10}=10\times 10\times 10^{-12}\,
\mathrm{W.m}^{-2}
\]
\Par
correspond un niveau sonore de $10+10=20$~dB, etc.

\begin{Remarques}
  \begin{itemize}
  \item Lorsqu'on double l'intensité sonore, on ajoute $3$~dB au niveau
    sonore.
  \item Une échelle où on \emph{ajoute} une certaine quantité
    lorsqu'on \emph{multiplie} par un certain facteur le paramètre
    original (ici l'intensité sonore) est appelée échelle
    logarithmique. Son usage est particulièrement adapté pour les
    phénomènes physiques susceptibles de stimuler l'un des cinq sens,
    en vertu d'une loi physiologique approximative appelée loi de
    Fechner. Ainsi, en ce qui concerne la vision, on utilise en
    astronomie l'échelle des magnitudes, qui est également une loi
    logarithmique: on ajoute $-5$ magnitudes lorsque l'éclat d'une
    étoile est multiplié par $100$.
  \end{itemize}
\end{Remarques}
\Par
Sur l'échelle représentée page ci-contre, nous reportons des niveaux sonores typiques associés à diverses situations.

\newpage

\begin{center}
  \includegraphics{057_dbscale}
\end{center}

Au-delà de 80 dB, il existe un risque pour l'audition en cas d'exposition prolongée. En discothèque et au festival, le niveau sonore moyen mesuré sur 15 minutes ne doit pas dépasser 102 db.

\subsection{Hauteur et timbre d'un son}

\begin{aretenir}
  Plus la fréquence d'un son est élevée, plus il est \index{son!aigu}aigu. Plus sa
  fréquence est basse, plus il est \index{son!grave}grave.
\end{aretenir}

\begin{center}
  \includegraphics{057_timbre-son}
\end{center}

\newpage

Les ondes sonores audibles ont des fréquences comprises entre $20$~Hz (pour les sons les plus graves) et $20$~kHz (pour les sons les plus  aigus). Les ondes sonores de plus basse fréquence sont appelées les \index{infrasons}infrasons (perçus par exemple par de grands mammifères comme les éléphants), et les ondes sonores de plus haute fréquence sont appelées les \index{ultrasons}ultrasons (perçus par exemple par certains insectes, ou des mammifères marins).

La variation périodique de pression associée à un son possède une
certaine forme. Le timbre du son dépend de cette forme. Deux sons
peuvent avoir la même hauteur mais des timbres différents: ainsi, on
peut parfaitement distinguer la même note \og La \fg jouée par une
flûte, une trompette ou un piano. Les sons correspondant ont même fréquence,
mais des \index{timbre}timbres différents.

\begin{center}
  \includegraphics{058_instruments}
\end{center}

\subsection{Production d'un son}

Émettre un son, c'est mettre en mouvement des tranches d'air qui vont
propager l'information de proche en proche par une onde sonore.  Cette
mise en mouvement des tranches d'air s'effectue toujours par la
vibration d'un système mobile immergé dans l'air (ou dans le fluide
dans lequel on émet l'onde). Les détentes et compressions successives
des tranches d'air correspondent à des petites variations d'une
grandeur appelée pression. La variation de cette grandeur due au
passage d'une onde sonore est appelée la pression acoustique.


Nous donnons ci-après quelques exemples
d'émetteurs sonores.

\begin{description}
\item[La voix humaine~:] elle correspond à l'émission de sons dans le
  larynx. Les parties mobiles, que l'on fait vibrer, sont les cordes
  vocales, qui sont deux <<rubans>> situés à la base du larynx. Un
  ensemble de muscles permet de contrôler les cordes vocales et de
  moduler ainsi le son qu'elles émettent. Les ondes sonores émises
  passent ensuite dans une succession de cavités (conduit nasal,
  bouche).  Par un contrôle de la forme de ces cavités, on peut
  moduler (notamment en timbre et hauteur) le son finalement émis.
\item[Une cloche d'église] est une surface relativement complexe mise
  en vibration par le choc du battant. La déformation de la cloche
  entraînée par ce choc donne lieu à la vibration de la surface à
  certaines fréquences bien déterminées, qui donnent au son de la
  cloche son timbre et sa hauteur.
\item[Un haut-parleur] est un dispositif qui convertit une tension
  électrique variable en mouvement d'une membrane, assurant ainsi
  l'émission d'ondes sonores par la mise en vibration des tranches
  d'air avoisinantes.
\item[Une corde tendue entre deux points fixes,] lorsqu'on la pince ou
  frappe, se met à vibrer à certaines fréquences
  caractéristiques. Cette vibration en elle-même est généralement
  insuffisante pour produire un son important. Mais, communiquée à une
  caisse de résonance (comme sur une guitare), elle entraîne la mise
  en vibration des tranches d'air, qui se propage de proche en proche,
  avec là-encore un timbre et une hauteur qui dépendent de la forme de
  la caisse de résonance, de la tension de la corde, de l'endroit où
  elle a été pincée, etc.
\end{description}

La caisse de résonance est un dispositif qui permet d'amplifier les
vibrations des tranches d'air au voisinage de la source sonore (cordes
de guitare, membrane de haut-parleur, etc.)




\begin{solintro}
\begin{questions}
\item  Au maximum, la tension d'entrée vaut $1$~V en valeur absolue, ce
  qui correspond à $\dfrac{1}{0{,}5}=2$~divisions.
 Le spot dévie donc au
  plus de deux divisions vers le haut ou vers le bas.

  
\item  La période de la tension analysée est :
  \[T=\frac{1}{f}=\frac{1}{250}
  =0{,}004\mbox{~s}=4,00\mbox{~ms}.\]


\item  Il y a donc $\frac{4}{1}=4$~divisions par période du signal.

\Break

\item  Les indications données ci-dessus permettent de tracer la courbe
  suivante :
  
  \parbox{\linewidth}{%
   \begin{center}
     \includegraphics{060_solintrooscillo}
     \figcaption{Allure de la tension en fonction du temps.}
   \end{center}
 }
\end{questions}
\end{solintro}
