\thumb
\begin{qcm}{Testez vos connaissances}{5}
\begin{questions}
\item  Sur un miroir, les rayons lumineux se :\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix réfractent & \choix réfléchissent 
\end{tabularx}


\item   Vrai ou faux ?

\begin{questions}
\item Dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne
droite. 

\item Un \index{dioptre}dioptre est une surface de séparation entre deux milieux d'indices égaux. 

\item Un rayon est toujours renvoyé dans la direction d'où il vient par un miroir.

\item Le rayon réfléchi par le miroir de la figure ci-dessous est perpendiculaire au rayon incident :	

  \begin{center}
    \includegraphics{079_04e_ref3_ex1}
  \end{center}


\end{questions}

  \item Dans un milieu dispersif, la vitesse de la lumière 

    \resetchoix

    \choix dépend de la longueur d'onde

    \choix dépend de l'angle d'incidence

    \choix est égale à la vitesse de la lumière dans le vide
    



\end{questions}
\end{qcm}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
	\item  Ils se réfléchissent (c'est toujours le cas sur un miroir).

	\item  
	\begin{questions}
		\item \textit{Vrai}.

		\item \textit{Faux}. Les indices des milieux doivent être différents.

		\item \textit{Faux}. Il est renvoyé dans la direction symétrique par rapport
		à la normale au plan d'incidence.

		\item  \textit{Vrai}. L'angle $\alpha$ que fait le rayon réfléchi avec l'incident est
		donné par ${\alpha = 180-45\times 2= 90^\circ}$.
	\end{questions}

\item \choix[a]. Un milieu dispersif est un milieu où l'indice de
  réfraction dépend de la longueur d'onde. La vitesse de la lumière
  dans le milieu peut s'écrire $v=c/n$, donc, $c$ étant constante et
  $n$ dépendant de la longueur d'onde, $v$ dépend également de la
  longueur d'onde.
        
\end{questions}
\end{corrige}
%%%
%%%
\begin{exo}{Marche d'un rayon}{Lycée Janson de Sailly, Paris}{1}{5}
Tracer la marche des rayons transmis et réfléchi. 

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{079_04e_suplum06}
\figcaption{Le rayon arrive sur le \index{dioptre}dioptre diamant/air avec une incidence de $23^\circ$.}
\end{center}
}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
Pour connaître l'angle d'émergence $i'$ du rayon transmis, on utilise la loi de Snell-Descartes relative à la réfraction : 
\[1{,}00\times \sin (i') = 2{,}42\times\sin 23^\circ\;,\] 
ce qui donne : 
\[i' = 71^\circ.\]

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{087_04e_corlum06}
\figcaption{Marche des rayons réfléchi et transmis.}
\end{center}
}

Quant au rayon réfléchi, il fait un angle de~$23^\circ$ avec la 
normale au dioptre, d'après la loi de Snell-Descartes relative à la 
réflexion. 
\end{corrige}
%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Compléter les phrases}{Lycée Jacques Decour, Paris}{1}{5}
  \begin{questions}
%  \item Une lumière \raisebox{-.5ex}{\parbox{2.5cm}{\dotfill}} est un ensemble de 
%    plusieurs radiations. 
%  \item Une lumière \raisebox{-.5ex}{\parbox{2.5cm}{\dotfill}} ne peut pas être 
%    décomposée par un \index{prisme}prisme. 
%  \item À chaque radiation, on associe une grandeur appelée 
%    \raisebox{-.5ex}{\parbox{2.5cm}{\dotfill}}. 
%  \item Les radiations infrarouges \raisebox{-.5ex}{\parbox{2cm}{\dotfill}} visibles par 
%    l'\oe il humain. 
  \item Le changement de direction que subit la lumière lorsqu'elle 
    change de milieu de propagation est appelé \raisebox{-.5ex}{\parbox{1.5cm}{\dotfill}}. 
  \item Pour une radiation donnée, un milieu transparent est 
    caractérisé par un nombre appelé \raisebox{-.5ex}{\parbox{2.5cm}{\dotfill}}. 
  \item L'angle d'incidence est l'angle entre le rayon incident et la 
    \raisebox{-.5ex}{\parbox{1.5cm}{\dotfill}} au dioptre. 
  \end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
%  \item Une lumière {\em polychromatique} est un ensemble de 
%    plusieurs radiations. 
%  \item Une lumière {\em monochromatique} ne peut pas être 
%    décomposée par un prisme. 
%  \item À chaque radiation, on associe une grandeur appelée 
%    {\em longueur d'onde}. 
%  \item Les radiations infrarouges {\em ne sont pas} visibles par 
%    l'\oe il humain. 
  \item Le changement de direction que subit la lumière lorsqu'elle 
    change de milieu de propagation est appelé {\em réfraction}. 
  \item Pour une radiation donnée, un milieu transparent est 
    caractérisé par un nombre appelé {\em indice de réfraction}. 
  \item L'angle d'incidence est l'angle entre le rayon incident et la 
    {\em normale} au dioptre. 
  \end{questions}
\end{corrige}
%
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%
%
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%
\begin{exo}{Dioptre air-eau}{Lycée Pierre de Fermat, Toulouse}{1}{5}
Un rayon lumineux se propage dans le verre d'indice $n_1=1{,}5$ et passe dans l'eau d'indice $n_2=1{,}33$.

\begin{center}
\includegraphics{080_04e_p147}
\figcaption{Le rayon est réfracté au franchissement du dioptre verre/eau.}
\end{center}

\Par

Pour quelle valeur $i_1$ de l'angle d'incidence l'angle de
réfraction $i_2$ vaut-il $60$ degrés ?
        
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
        Pour cet exercice, il suffit d'appliquer la loi de Snell-Descartes
        relative à la réfraction :
\[n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2.\]
        Cela donne :
\[1{,}5 \sin i_1= 1{,}33 \sin 60\text{\degres}.\]
\begin{center}
\includegraphics{088_04e_p154}
\figcaption{Marche du rayon réfracté au passage du dioptre verre/eau.}
\end{center}

        L'application numérique donne :
\[i_1 = 50^\circ.\]
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Cuve à réfraction}{Lycée Bergson, Paris}{1}{10}
On remplit une cuve à réfraction d'un liquide transparent d'indice de réfraction~$n$. Un faisceau lumineux 
faisant un angle d'incidence $i=60\textup{\textdegree}$ avec la face est réfracté dans le liquide. L'angle de réfraction 
mesuré est $i'=42\textup{\textdegree}$. 
\begin{questions}
\item Faire un schéma clair du dispositif expérimental, et faire apparaître les angles $i$ et $i'$. 
\item Calculer l'\index{indice de réfraction}indice de réfraction du liquide. 
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
Le dispositif expérimental a l'allure suivante : 

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics[height=44mm]{088_cuverefraction}
\figcaption{Marche du rayon incident dans la cuve à réfraction.}
\end{center}
}

\item On écrit la loi de Snell-Descartes relative à la réfraction du faisceau lorsqu'il 
franchit le dioptre air/liquide. Nous avons~: 
\[n_\textup{air}\sin 60^\circ = n\sin 42^\circ\;,\]
d'où l'on déduit : 
\[n=\underbrace{n_\textup{air}}_{=1}\frac{\sin 60^\circ}{\sin 42^\circ}=1{,}3.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Projecteur dans un bassin}{Lycée Pasteur, Neuilly}{1}{10}
Sur le fond horizontal d'un bassin, est mis en place un projecteur 
lumineux $P$. On suppose cette source lumineuse ponctuelle. 

Ce projecteur envoie un faisceau lumineux vers la surface de l'eau 
située à $h=0{,}80$ m.  L'indice de réfraction de l'eau est égal à 
$n=1{,}33$. 

Pour les rayons lumineux issus du projecteur dont les angles 
d'incidence valent 0, 20 et 40 degrés, calculer les angles de 
réfraction dans l'air.  Tracer ces rayons. 

     
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  Nous avons à calculer 
  $i'$ dans les trois cas $i=0^\circ$, $i=20^\circ$ et $i=40^\circ$.\\  
  La loi de Snell-Descartes relative à la réfraction donne : 
  \[n_{\textup{eau}} \sin i= n_{\textup{air}} \sin i'.\]
  
  
  Pour $i=0^\circ$, on obtient $i'=0^\circ$. Le rayon qui frappe 
  perpendiculairement la surface n'est pas dévié.  Pour $i=20^\circ$, 
  on trouve : $i'=27^\circ$, et pour $i=40^\circ$, on trouve 
  $i'=59^\circ$. 
  
  
  Les rayons correspondants sont tracés sur la figure ci-dessous.
  
  \includegraphics{089_04e_SL1_2}
  \figcaption{Marche des rayons d'incidence 20 et 40 degrés.}
  
\end{corrige}
%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Marche d'un rayon}{Lycée Hector Berlioz, Vincennes}{2}{10}
\begin{center}
\includegraphics{081_04e_lum2}%[scale=0.8]
\figcaption{Rayon lumineux incident sur un lame à faces parallèles.}
\end{center}

\Par

Un rayon lumineux arrive sur une lame de verre à faces parallèles,
d'indice $n$,
sous une incidence quelconque.
\par
Montrer que le rayon émergent est parallèle au rayon incident.

\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
On nomme les différents angles conformément à la figure représentée page suivante.

On constate que l'angle $i'$, qui est l'angle du rayon réfracté
au dioptre~1, est aussi l'angle du rayon incident au dioptre~2.\\
Écrivons la loi de Snell-Descartes au dioptre~1 :
\[\sin i=n\sin i'.\]
Écrivons-la à présent au dioptre~2 :
\[n\sin i'=\sin i''.\]
Des deux égalités précédentes on déduit :
\[\sin i = \sin i''.\]
Puisque les angles $i$ et $i''$ sont tous deux aigus et positifs, on
conclut que :
\[i=i''\;,\]
donc le rayon émergent est parallèle au rayon incident.

\begin{center}
\includegraphics{090_04e_lum3}
\figcaption{Notation des angles.}
\end{center}



\end{corrige}
%
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%
\begin{exo}{Réfraction}{Lycée Saint-Martin, Pontoise}{2}{10}

\Par

\begin{minipage}{38mm}
\includegraphics{081_04e_suplum02}%[scale=0.75]
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-38mm}
Au fond d'un récipient, on place une pièce de monnaie.  L'observateur se place juste de manière à ne plus la voir quand le récipient est vide.  On remplit d'eau le récipient à ras-bord. 

L'observateur voit-il la pièce ?
\end{minipage}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{center}
\includegraphics{090_04e_corlum02}
\end{center}
Oui, l'observateur voit la pièce. En effet, un rayon lumineux, au
franchissement du dioptre eau/air, {\em s'écarte} de l'axe normal au
dioptre, puisque l'indice de réfraction de l'air est plus petit que
celui de l'eau. Cela permet au rayon de \og contourner \fg le bord du
récipient, et donc à l'observateur de voir la pièce.
\end{corrige}
%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Aquarium}{Lycée du Parc des Loges, Évry}{3}{10}
Une source lumineuse étanche se trouve au fond d'un aquarium. Elle émet un rayon lumineux
en direction de la surface, avec un angle d'incidence $i=30^\circ$. La vitesse de la lumière dans l'eau
est $v=2{,}25\times 10^5$~km.s$^{-1}$.
\begin{questions}
\item Quel est l'indice de réfraction de l'eau ?
\item Représenter la situation sur un schéma. Quel est l'angle de réfraction du pinceau ?
Tracer la marche du rayon incident et réfracté.
\end{questions}
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item $\textup{c}=3{,}00\times 10^8\mbox{~m.s}^{-1}$.
\item $n_\textup{air}=1{,}00$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'indice de réfraction d'un milieu est donné par : $n=\dfrac{\rm c}v$.

Ici, nous avons :
\[n=\frac{3{,}00\times 10^8}{2{,}25\times 10^8}\approx 1{,}33.\]
\item La situation est représentée sur la figure ci-après.

On  écrit   la  loi  de  Snell-Descartes    relative à   la  réfraction   au franchissement du dioptre air/eau :
$n_\textup{eau}\sin i=n_\textup{air}\sin i'$.

\vspace*{-0.5em}
\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{091_04e_neaquarium}
\figcaption{Marche du rayon issu du projecteur.}
\end{center}
}


Donc : $\sin i'=\dfrac{1{,}33}{1{,}00}\times \sin 30^\circ\approx 0,66$.

On en déduit la valeur de $i'$ en degrés en appuyant sur la
touche \T{sin\up{-1}} ou les touches \T{inv}\T{sin} ou encore \T{arcsin}
de la calculatrice, selon le modèle.
On trouve :
%\[i'\approx 40^\circ.\] % ERVOL 
\[i'\approx 41^\circ.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%
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%
\begin{exo}{Profondeur apparente d'une piscine}{Lycée Emmanuel Mounier, Châtenay-Malabry}{3}{15}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo avec \PictoNathanLive]{profondeur apparente d'une piscine}{}


\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{082_04e_piscine}
\figcaption{Les deux rayons 1 et 2 sont issus d'un même point du fond de la piscine.}
\end{center}
}

On se propose d'expliquer pourquoi une piscine remplie d'eau paraît
moins profonde qu'à vide.
\begin{questions}
        \item  Tracer la marche 1' et 2' dans l'air des rayons réfractés issus des
        rayons 1 et 2.

        \item  Quelle est la distance entre les points~$A$ et~$B$ ?

        \item  À quelle profondeur sous la surface les rayons 1' et 2' s'intersectent-ils ?
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \rput(-0.5,-0.5){\PictoNathanLive} L'angle d'émergence $\alpha$ des rayons~1' et~2' est donné par la
loi de Snell-Descartes relative à la réfraction. On a :
\[1{,}33\times \sin 30^\circ=1{,}00\times \sin\alpha,\]
 d'où l'on tire: $\alpha = 41{,}7^\circ$.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{091_04e_corpisci}
\figcaption{Marche des rayons 1 et 2, qui semblent, pour un observateur situé au-dessus de la
surface, provenir du point~P.}
\end{center}
}

\item La distance entre les points~$O$ et~$A$ est donnée par 
\[d = h\times \tan 30^\circ=1{,}73\mbox{~m},\]
 donc la distance~$AB$ vaut le double, soit : $AB=3{,}46$~m.
 
 \item La profondeur $P$ à laquelle les rayons~1' et~2' s'intersectent est donnée,
comme on peut le lire sur la figure, par :
\[d = P\times \tan\alpha\;,\] 
ce qui conduit à :
\[P=\frac{d}{\tan\alpha}=1{,}94\mbox{~m.}\]
La piscine a donc une profondeur
apparente d'environ~$2$~m au lieu de~$3$~m.
\end{questions}

\begin{methode}
  À travers un dioptre air/eau (qu'il s'agisse de la surface d'une  piscine ou du dioptre existant au niveau d'un masque de plongée),
  les objets apparaissent donc environ $33$~\% plus près qu'ils ne sont en réalité.
\end{methode}

\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Spectre de la lumière blanche}{Lycée Saint-Exupéry, Lyon}{3}{15}
On fait arriver un pinceau de \index{lumiere blanche@lumière blanche}lumière blanche sur la face plate
d'un demi-cylindre de verre, avec l'incidence $i$ non nulle.
De l'autre côté
du demi-cylindre, on dispose un écran blanc, comme représenté sur
la figure page ci-contre.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{083_04e_lum4}
\figcaption{Le faisceau arrive sur le demi-cylindre avec une incidence non nulle.}
\end{center}
}

Sachant que l'indice de réfraction du verre varie légèrement du
rouge au violet, selon une loi du type $n=a+b\nu$, où $\nu$
est la fréquence de la radiation électromagnétique considérée
et où $a$ et $b$ sont des constantes positives, indiquer ce que l'on
voit sur l'écran. De quel côté est le rouge ?
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{092_04e_lum5}
\figcaption{Dispersion des couleurs dans le demi-cylindre.}
\end{center}
}

Au 
franchissement du dioptre air/verre, les différents rayons
constituant le pinceau de lumière blanche sont réfractés. Comme
la lumière blanche contient  un mélange de toutes
les couleurs, du rouge au violet, et puisque les indices de
réfraction du verre sont différents pour chaque fréquence
(c'est-à-dire pour chaque couleur), les rayons de différentes couleurs
constituant le pinceau sont séparés et projetés en  différents
points de l'écran, sur lequel on observe donc le {\em spectre}
de la lumière blanche.

Pour savoir de quel côté se trouve le rouge, qui est à l'une
des extrémités du spectre, il faut savoir quelle est la couleur
la plus (resp. la moins) réfractée. Le rouge est la couleur
qui a la plus basse fréquence, donc, puisque les
constantes $a$ et $b$ de l'énoncé sont positives, c'est dans le rouge que le verre a l'indice de réfraction le plus bas. Les rayons rouges sont donc les moins réfractés, donc le rouge est observé le plus loin de l'axe normal au plan d'incidence. Réciproquement, le violet, qui est le plus fortement réfracté, est observé au plus près de cet axe.
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Étude d'un prisme simplifié}{Lycée Montaigne, Bordeaux}{3}{20}
  Un faisceau de lumière blanche arrive sur un prisme comme indiqué
  sur la figure ci-après. Ce \index{prisme}prisme est fait dans
  un matériau transparent~M, tel que son indice de réfraction dépende
  légèrement de la longueur d'onde :
  
\[n(\lambda) = 1{,}200+\frac{70,00}{\lambda}\]

où $\lambda$ est la longueur d'onde, exprimée en nanomètres.

\Par

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{083_04e_sprisme}
\figcaption{Le faisceau arrive sur le prisme sous incidence normale.}
\end{center}
}

\Par

\begin{questions}
        \item  Que contient la \index{lumiere blanche@lumière blanche}lumière blanche ?

        \item  On considère, parmi toutes les ondes que véhicule la
        lumière blanche, une onde de longueur d'onde $\lambda_a=650,0$~nm.
        Quelle est sa couleur ?
        Quel est l'indice $n_a$ du matériau pour cette onde ? Avec
        quel angle émerge-t-elle du prisme ? La tracer.

        \item  On considère à présent, parmi toutes les ondes
        que véhicule la lumière blanche,
        une onde de longueur d'onde $\lambda_b=400,0$~nm. Quelle est
        sa couleur ?
        Quel est l'indice $n_b$ du matériau pour cette onde ? Avec
        quel angle émerge-t-elle du prisme ? La tracer.

        \item  Que voit-on si on projette le faisceau émergent sur
        un écran ?
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  La lumière blanche est un mélange équilibré
        de l'ensemble des radiations du spectre visible. Toutes les longueurs
        d'onde du spectre visible sont représentées dans la lumière blanche.

        \item  La longueur d'onde de cette onde la situe dans la partie
        rouge du spectre visible. Il s'agit donc d'une radiation de couleur
        rouge. Pour cette longueur d'onde l'indice du matériau est, en
        utilisant la formule donnée dans l'énoncé :
\[n_a=1{,}200+\frac{70}{650}=1{,}308.\]
        L'angle d'incidence du rayon sur la face oblique vaut~$45^\circ$. En
        écrivant la loi de Snell-Descartes relative à la réfraction,
        on obtient :
\[1{,}308\times\sin 45^\circ=1{,}00\times\sin i'_a\;,\]
        où $i'_a$ est l'angle d'émergence. 
        
        Tous calculs faits, on obtient
        $\sin i'_a=0{,}924\,9$ soit $i'_a=67{,}7^\circ$. 
        
        Le rayon émergent est
        représenté sur la figure qui suit.

        \item  Il s'agit d'une radiation de couleur violette, située à
        l'extrémité des hautes fréquences du spectre visible. L'indice
        $n_b$ du matériau pour cette onde est :
\[n_b=1{,}200+\frac{70}{400}=1{,}375.\]
        En écrivant comme précédemment la loi de Snell-Descartes
        relative à la réfraction, et en développant le calcul de manière
        analogue, on obtient que l'angle d'émergence vaut $i'_b=76{,}5^\circ$.
        Le rayon émergent est représenté ci-après, sur la même figure.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{094_04e_prisol01}
\figcaption{Marche des rayons rouge et violet.}
\end{center}
}

        \item  Si on projette le faisceau émergent sur un écran, on voit que
        toutes les radiations ne vont pas arriver au même endroit et
        sont étalées en fonction de leur longueur d'onde. On voit donc
        sur l'écran un spectre de la lumière blanche, c'est-à-dire
        l'ensemble des couleurs de l'arc-en-ciel. Cet exercice montre
        qu'un milieu dispersif (c'est-à-dire où l'indice dépend de la
        longueur d'onde) permet de \og trier en sortie \fg les radiations
        selon leur longueur d'onde et donc d'obtenir des spectres. C'est
        le principe d'un prisme de verre ordinaire.
\end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Réfraction atmosphérique}{Lycée Notre-Dame du Grandchamp, Versailles}{3}{20}
On observe une étoile dont la direction fait avec la verticale du lieu
un angle $\alpha=70^\circ$.
On considère un rayon lumineux issu de cette étoile.
\begin{questions}
\item  On considère dans
un premier temps que l'atmosphère est une couche d'air homogène
d'indice $n_1=1{,}0003$. 

\Par

\begin{center}
\includegraphics{084_05e_2013-refratm1}
\end{center}

\Par

\begin{questions}
\item Quel est l'indice de réfraction du vide~?
\item On appelle $\alpha'$ l'angle d'émergence du rayon dans
  l'atmosphère. Donner la relation entre $\alpha'$, $\alpha$ et $n_1$.
\item En déduire la valeur numérique de angle d'émergence du rayon dans l'atmosphère.
\item Quelle est la différence entre cet angle et l'angle d'incidence~?
\item L'étoile observée paraît-elle plus haute ou plus basse qu'elle
  ne l'est en réalité~?
\end{questions}
\item On considère à présent que l'atmosphère est composée de trois
  couches d'air de densité différente, et d'indice respectifs $n_1$,  $n_2$ et $n_3$ (voir figure page ci-contre).

\Par

Montrer que la relation précédente entre $\alpha'$,
  $\alpha$ et $n_1$ est toujours valable.
  
\begin{center}
\includegraphics{085_05e_2013-refratm2}
\end{center}

\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item
    \begin{questions}
    \item L'indice de réfraction du vide vaut $n_0=1$.
    \item On écrit la relation de Snell-Descartes à la traversée du
      dioptre vide-atmosphère:
      \[
      n_0\times\sin\alpha=n_1\times\sin\alpha'\mbox{~~~c.-à-d.~~~}\sin\alpha=n_1\times\sin\alpha'.
      \]
    \item L'application numérique donne:
      \[\sin\alpha'=\frac{\sin 70^\circ}{1{,}0003}=0{,}9394108\;,\]
      d'où l'on déduit:
      \[\alpha'=69{,}953^\circ.\]
    \item La différence entre cet angle et l'angle d'incidence
      (c.-à-d. l'angle dont est dévié le rayon) est:
      \[\Delta \alpha=\alpha'-\alpha=-0{,}047^\circ.\]
      Le rayon incident est dévié, en direction du zénith, d'un angle de $0,047^\circ$.
    \item Puisque le rayon incident est dévié en direction du zénith,
      il devient \og plus vertical \fg{} lors de son entrée dans
      l'atmosphère. L'étoile apparaît donc plus haute qu'elle ne l'est
      en réalité.
    \end{questions}
  \item En utilisant les notations de la figure de l'énoncé, on écrit
    les trois relations de Snell-Descartes aux trois différents
    dioptres qui apparaissent sur la figure:
    \begin{align*}
    \sin \alpha & =n_3\times\sin\alpha_3\\
    n_3\times\sin\alpha_3 & = n_2\times\sin\alpha_2\\
    n_2\times\sin\alpha_2 & =n_1\times\sin\alpha'
    \end{align*}
    Des deux premières égalités on déduit:
    \[\sin\alpha=n_2\times\sin\alpha_2.\]
    En remplaçant le membre de droite par le membre de droite de la
    dernière égalité, on obtient:
    \[\sin\alpha=n_1\times\sin\alpha'.\]
    On retrouve l'égalité vue précédemment. Ceci nous indique que seul
    importe l'indice de réfraction de l'atmosphère au niveau du sol
    pour déterminer la déviation finale d'un rayon lumineux issu d'un
    objet astronomique.
  \end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Angle de Brewster}{Lycée Montaigne, Bordeaux}{3}{20}
Un 
rayon lumineux se propage dans l'air et arrive sur un bloc de verre
d'indice de réfraction $n=1{,}5$. Calculer l'angle d'incidence pour
que le \index{rayon!réfléchi}rayon réfléchi soit perpendiculaire au \index{rayon!réfracté}rayon réfracté (cet
angle est appelé {\em angle de Brewster}).
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
La 
situation est représentée sur la figure page ci-contre

On constate que l'angle $\alpha$ est donné par :
\[i+\alpha+i'=180^\circ\]
donc, puisqu'on veut avoir $\alpha=90^\circ$, on doit avoir
la relation :
\[i+i'=90^\circ.\]

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{095_04e_SL1_4}
\figcaption{Le rayon transmis est perpendiculaire au rayon réfléchi.}
\end{center}
}

En outre, on a la relation de Snell-Descartes relative à la réfraction :
\[n_{\textup{air}}\times \sin i =n_{\textup{verre}}\times \sin i'\]
qui s'écrit ici, compte tenu de la relation entre $i$ et $i'$ :
\[n_{\textup{air}}\times \sin i =n_{\textup{verre}}\times \sin (90^\circ-i).\]
Or $\sin (90^\circ-i) = \cos i$ et $\tan i = \dfrac{\sin i}{\cos i}$
donc on peut écrire la relation ci-dessus sous la forme :
\[\tan i = \frac{n_{\textup{verre}}}{n_{\textup{air}}}.\]
Ici, l'application numérique donne, en utilisant la touche
\Tm{\tan^{-1}} ou \T{arctan} de la calculatrice : 
\[i = 56^\circ.\]
L'angle de Brewster pour une réflexion sur du verre est donc de $56^\circ$.
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Dispersion par un demi-cylindre}{Lycée Arago, Paris}{3}{30}
    On    dispose d'un    demi-cylindre  d'un matériau
transparent.  Ce matériau est  caractérisé par la courbe représentée ci-dessous.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{085_04e_nedisper}
\figcaption{Indice de réfraction en fonction de la longueur d'onde.}
\end{center}
}
\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{questions}
\item Ce matériau est-il \index{dispersion}dispersif ? Justifier.
\item Donner une estimation de la vitesse de propagation de la lumière
  violette ($\lambda=400$~nm) dans ce milieu.
\item Donner une estimation de la vitesse de propagation de la lumière
  rouge ($\lambda=700$~nm) dans ce milieu.
\item On envoie un mince faisceau de lumière blanche avec une incidence de 30~degrés sur la face
plane de ce  demi-cylindre, en son centre, de manière à en former un spectre.
\begin{questions}
\item De quel côté se trouve la lumière rouge ?
\item Quel est l'angle d'ouverture $\alpha$ du spectre obtenu ?
\end{questions}
\end{questions}

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{086_04e_nedemicyl}
\figcaption{Angle d'ouverture du spectre.}
\end{center}
}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le matériau constituant le demi-cylindre est dispersif car son  indice de réfraction dépend de la longueur d'onde.
\item Une estimation de la vitesse de propagation $v_b$ de la lumière violette
dans ce milieu peut être donnée en utilisant l'indice de réfraction
à $400$~nm : $n_v=1{,}42$.
\par
Nous avons :\hfil $v_v=\dfrac{\rm c}{n_b}$.

{\em Application numérique :}
\[v_v=\frac{3{,}00\times 10^8}{1{,}42}=2{,}11\times 10^8\mbox{~m.s}^{-1}.\]
\item Le calcul est similaire pour la lumière rouge. On utilise l'indice
de réfraction de ce matériau dans le rouge, $n_r=1{,}51$.

{\em Application numérique :}
\[v_r=\frac{3{,}00\times 10^8}{1{,}51}=1{,}99\times 10^8\mbox{~m.s}^{-1}.\]
\item 
\begin{questions}
\item Commençons par déterminer la marche des rayons rouges qui pénètrent dans le demi-cylindre.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{096_04e_nediotrerouge}
\figcaption{Marche d'un rayon de lumière rouge.}
\end{center}
}

La loi de Snell-Descartes relative à la réfraction s'écrit, pour un rayon rouge
qui franchit le dioptre air/matériau :
\[n_\textup{air}\sin 30^\circ = n_r\sin i_r\;,\]
où $i_r$ est l'angle d'émergence des rayons rouges après réfraction, et
où l'indice de réfraction de l'air, $n_\textup{air}$, vaut~$1$.

{\em Application numérique :}

\[\sin i_r=\frac{1{,}00\times \sin 30^\circ}{1{,}51}=0{,}331.\]
On en déduit l'angle $i_r$ en appuyant sur la touche \T{sin\up{-1}}
ou successivement sur les touches \T{inv} puis \T{sin}, ou directement
sur la touche \T{arcsin} si elle existe, selon les
modèles de calculatrice. Notons que dans le résultat intermédiaire ci-dessus,
nous avons gardé un chiffre significatif de plus que ce que nous autorise
la précision des données de l'énoncé (l'angle d'incidence du faisceau est
donné avec deux chiffres significatifs), ceci afin d'éviter le cumul d'erreurs
d'arrondi.
Nous obtenons en définitive :
\[i_r=\sin^{-1}(0{,}331)=19{,}3^\circ\approx 19^\circ.\]
\begin{Remarque}
pour éviter une dégradation de la précision au cours du calcul
  intermédiaire, on peut calculer directement $i_r$ en prenant son
  sinus inverse à la calculatrice une fois que celle-ci affiche le
  résultat de $\sin 30^\circ/n$.
\end{Remarque}
\begin{attention}
Après la traversée de ce premier dioptre, le rayon franchit à nouveau
un dioptre matériau/air, sur la partie circulaire du demi-cylindre. Il
a alors une incidence normale, et n'est donc pas dévié.
\end{attention}

Nous pouvons effectuer un calcul similaire pour la lumière violette.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{097_04e_nediotrebleu}
\figcaption{Marche d'un rayon de lumière violette.}
\end{center}
}

{\em Application numérique :}

\[\sin i_v=\frac{1{,}00\times \sin 30^\circ}{1{,}42}=0{,}352\]
donc : \hfil $i_v=\sin^{-1} 0{,}352=20{,}6^\circ\approx 21^\circ$.

On voit que la lumière rouge est plus déviée que la lumière violette :
le rouge se trouve en haut du faisceau en sortie du demi-cylindre.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{098_04e_nedioptrespectre}%[scale=0.8]
\figcaption{Étalement des couleurs donné par le \index{prisme}prisme.}
\end{center}
}
\item L'angle $\alpha$ d'ouverture du faisceau est donné par la
différence des angles d'émergence dans le violet et dans le
rouge.
\[\alpha=i_b-i_r.\]
Comme il s'agit de la différence de nombres presque égaux, on prend
leur valeur avec trois chiffres significatifs pour effectuer l'application
numérique, et on en garde deux dans le résultat final : 
\[\alpha=20{,}6-19{,}3=1{,}3^\circ.\]
L'angle d'ouverture du faisceau est de $1{,}3^\circ$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}
\thumb
\AfficheCorrige
