\chapter{Les lentilles minces convergentes}


\section{Introduction}
\label{sec:introduction}
\begin{exointro}{Lycée Janson de Sailly, Paris}
  On considère le montage optique suivant, représenté à l'échelle
  1:1. La lentille mince convergente, de centre optique~O, donne de
  l'objet AB l'image A'B'.

  \begin{center}
    \includegraphics[width=10cm]{113_exotypelent}
  \end{center}

\Break
  
\begin{questions}
\item Déterminer graphiquement la position des points foyer objet et
  image.
\item Quelle est la distance focale de la lentille?
\item Quel est le grandissement donné par ce montage?
\end{questions}
\vspace*{-0.75em}
\end{exointro}


Dans ce chapitre nous étudions un système optique très répandu, la
lentille convergente. Nous y voyons la notion de rayon lumineux,
de foyer, et apprenons à construire la marche d'un rayon quelconque
traversant une lentille mince.

\section{Définition et convention}
\label{sec:defin-et-exempl}

\subsection{Qu'est-ce qu'une lentille?}

\begin{defin}
Une \index{lentille}lentille est un système constitué d'un matériau transparent,
limité par deux surfaces sphériques.
\end{defin}

Une lentille est \index{lentille!convergente}convergente si elle est plus mince sur ses bords
qu'en son centre.

\Par

\begin{figure}\begin{center}
  \includegraphics{114_exlentilles}
  \figcaption{Lentilles convergentes}
\end{center}\end{figure}

\Par

Sur l'exemple ci-dessus, on représente, vues en coupe, un certain
nombre de lentilles minces. Elles sont plus épaisses en leur centre qu'au bord: ce sont des lentilles \textit{convergentes}. En revanche, la lentille ci-dessous n'est pas convergente.

\Par

\begin{figure}\begin{center}
  \includegraphics{114_exlentillesnonconv}
  \figcaption{Lentille non convergente}
\end{center}\end{figure}

\newpage

\subsection{Représentation d'une lentille mince convergente}
\label{sec:repr-dune-lent}

On représente schématiquement une lentille mince convergente par une
double flèche comme sur la figure page ci-après:

\begin{center}
  \includegraphics[width=6cm]{115_symblm}
\end{center}
L'axe pointillé est appelé l'axe optique. C'est l'axe de symétrie de
la lentille mince.

\section{Propriétés des lentilles minces convergentes}
\label{sec:source-ponctuelle-et}
Il est très utile lorsqu'on étudie les lentilles minces de considérer
l'image de quelques points d'un objet. Chacun de ces points peut être
vu comme une \emph{source ponctuelle}.

\subsection{Notion de source ponctuelle}

\enlargethispage*{5em}

Une source ponctuelle est une source de lumière de très petite
dimension. Ainsi, un trou d'épingle dans une feuille cartonnée,
\emph{un} pixel d'un écran de téléphone ou moniteur, etc. peuvent être
considérés comme des sources ponctuelles. On représente ci-après
quelques rayons lumineux (représentés en rouge) émis par une source
ponctuelle.

\begin{center}
  \includegraphics[width=3cm]{115_sceponct}
\end{center}

Nous allons à présent nous intéresser à la trajectoire des rayons
lumineux issus d'une source ponctuelle lorsqu'ils traversent une
lentille mince. On considère une source ponctuelle sur l'axe optique
d'une lentille mince:

\begin{center}
  \includegraphics[width=5cm]{115_source1}
\end{center}

\newpage

Au voisinage de la lentille, on voit que les rayons ne sont pas
parallèles, mais divergents: ils s'éloignent les uns des autres. À
présent nous éloignons la source de la lentille, comme ci-après:

\begin{center}
  \includegraphics[width=7cm]{116_source2}
\end{center}

Nous voyons que les rayons, au voisinage de la lentille, sont moins
inclinés que dans le cas précédent. Ceci est d'autant plus vrai que la
source est loin sur l'axe, à gauche:

\begin{center}
  \includegraphics[width=11cm]{116_source3}
\end{center}
 
Dans le cas limite où la source est très loin à gauche sur l'axe, les
rayons sont quasi-parallèles à l'axe optique. On parle de \og faisceau
parallèle \fg pour une source située \og à l'infini \fg.

\subsection{Point foyer image}
\label{sec:point-foyer-image}

Considérons un faisceau parallèle comme on l'a vu précédemment, avec
une source \og à l'infini \fg sur l'axe optique. Tous les rayons de
cette source, lorsqu'ils émergent de la lentille, passent par un point
unique~F', situé sur l'axe optique. Ce point est appelé le point \index{foyer!image}foyer
image. Il est caractéristique de la lentille.

\begin{center}
  \includegraphics[width=7cm]{116_foyerimage}
\end{center}

\begin{aretenir}
  Tout rayon incident parallèle à l'axe optique passe par le point
  \index{foyer}foyer image F' lorsqu'il émerge de la lentille.
\end{aretenir}

\subsection{Point foyer objet}
\label{sec:point-foyer-objet}

Réciproquement, il existe un point F situé en amont de la lentille,
appelé point foyer objet, qui a la propriété suivante:
\begin{aretenir}
Tout rayon 
passant par le point \index{foyer!objet}foyer objet émerge parallèlement à l'axe optique.
\end{aretenir}

Nous illustrons cette propriété sur la figure ci-dessous. 
\begin{center}
  \includegraphics[width=7cm]{117_foyerobjet}
\end{center}

\begin{Remarque}
  les points foyer image F' et objet F sont toujours situés à la même
  distance de la lentille.
\end{Remarque}


\subsection{Centre optique}
\label{sec:centre-optique}
Le point d'intersection de la lentille avec l'axe optique,
généralement noté~O, est appelé le \index{centre optique}centre optique.

\begin{aretenir}
  Tout rayon passant par le centre optique n'est pas dévié à la
  traversée de la lentille.
\end{aretenir}

Nous voyons sur la figure ci-dessous que le rayon, qui passe par~O,
n'est pas dévié et continue en ligne droite.
\begin{center}
  \includegraphics[width=7cm]{117_centreoptique}
\end{center}

\begin{aretenir}
  On appelle distance \index{focale}focale $f$ d'une lentille mince convergente la
  distance $\mathrm{OF}$ ou $\mathrm{OF'}$:
  \[f = \mathrm{OF}=\mathrm{OF'}.\]
\end{aretenir}

\section{Construire l'image d'un objet}
\label{sec:constr-limage-dun}

Nous considérons une source ponctuelle~B située quelque part
en amont du point foyer objet. Comment se comportent les rayons issus de
cette source lorsqu'ils traversent la lentille? Nous savons déjà
construire trois rayons issus de cette source, en utilisant les
propriétés vues ci-dessus. 

Commençons par le rayon parallèle à l'axe
optique. Nous savons qu'il passe par le point foyer image~F', donc il a
nécessairement l'allure suivante:

\Par

\begin{center}
  \includegraphics[width=11cm]{118_constrimage1}
\end{center}

 
Continuons avec le rayon issu de cette source qui passe par le point
foyer objet~F. Nous savons qu'il doit émerger de la lentille
parallèlement à l'axe optique, donc il a nécessairement l'allure
suivante:

\Par

\begin{center}
  \includegraphics[width=11cm]{118_constrimage2}
\end{center}


Enfin, utilisons le fait qu'un rayon qui passe par le centre optique~O n'est pas dévié. Traçons le rayon issu de la source qui passe par~O (voir page ci-contre).

\Par

\begin{center}
  \includegraphics[width=11cm]{119_constrimage3}
\end{center}


Nous voyons que ces trois rayons s'intersectent en un même point~B' à
droite de la lentille.

Qu'en est-il des autres rayons~? Il se trouve \emph{qu'ils convergent
  tous en ce même point~B'}. Ceci nous permet de tracer la marche
d'autres rayons sans propriété particulière (c.-à-d. qui ne passent
ni par F, ni par F', ni par O). Nous en représentons quelques uns sur
la figure ci-après.

\Par

\begin{center}
  \includegraphics[width=11cm]{119_constrimage4}
\end{center}

\Par

Nous pouvons en conclure que des rayons qui proviennent d'un même
point en amont du foyer objet convergent en un même point après leur
traversée de la lentille.

\begin{Remarque}
  Naturellement, il n'est pas nécessaire d'utiliser les trois rayons
  ci-dessus pour déterminer le point d'intersection à droite de la
  lentille. Deux rayons suffisent.
\end{Remarque}

Si on place un écran à la position du point~B', on y verra donc un point
lumineux, image de la source en~B. Le point B' est, en quelque sorte, l'image à
un \og pixel \fg d'un objet d'un seul \og pixel \fg (la source
ponctuelle en B). Qu'en est-il pour un objet plus compliqué ?

\begin{aretenir}
  L'image d'un objet plan perpendiculaire à l'axe optique se trouve
  également dans un plan perpendiculaire à l'axe optique.
\end{aretenir}

Nous énonçons cette propriété sans démonstration. Nous l'illustrons
sur la figure ci-dessous:

\begin{center}
  \includegraphics[width=10cm]{120_planplan}
\end{center}

Nous voyons un objet formé du segment $[\mathrm{BC}]$, perpendiculaire
à l'axe optique. L'image de B est B' (on l'a construite ici en
utilisant le rayon passant par le centre optique, en pointillés bleus,
et celui passant par le foyer image, en pointillés rouges), tandis que
l'image de C est C'. On voit que le segment $[\mathrm{B'C'}]$ est
perpendiculaire à l'axe optique.

\begin{Remarque}
quelle est l'image d'un point sur l'axe ? Pour le point~A situé sur
l'axe sur la figure ci-dessous, on ne peut pas déterminer directement
l'image: les trois rayons particuliers (celui qui passe par le centre
optique et les deux qui passent par les foyers) sont confondus avec
l'axe optique, et leur intersection n'est donc pas un point
unique. Tout au plus peut-on dire que le point image A' se trouve sur
l'axe optique. On va donc utiliser la propriété précédente: on prend
un point~B quelconque dans le plan passant par~A et perpendiculaire à
l'axe optique, on en construit l'image~B', et on utilise le fait que
l'image A' de A se trouve à l'intersection de l'axe optique avec le
plan perpendiculaire passant par B'.
\end{Remarque}


\begin{center}
  \includegraphics[width=10cm]{120_imageA}
\end{center}

\enlargethispage*{\baselineskip}
Notons que le point~B est au-dessus de l'axe optique, alors que le point~B' est
au-dessous.


\begin{aretenir}
  L'image par une lentille mince convergente d'un objet placé avant le
  foyer objet est inversée.
\end{aretenir}


\section{Grandissement}
\label{sec:grandissement}

Selon la position de l'objet et la distance focale de la lentille,
l'image peut être plus ou moins grande. Pour quantifier cet effet,
nous introduisons la notion de \index{grandissement}grandissement.

\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{defin}
  On appelle grandissement, et on note $\gamma$ (lettre grecque \og
  gamma \fg) la quantité telle que:
  \[
  |\gamma|=\frac{\mathrm{A'B'}}{\mathrm{AB}}.
  \]
\end{defin}

La valeur absolue du grandissement apparaît ainsi comme le quotient de la taille de l'image et de la taille de l'objet. 
\begin{itemize}
\item Si $\gamma <0$, l'image est renversée (elle est, par rapport à
  l'objet, \og la tête en bas \fg)
\item Si $|\gamma| > 1$, l'image est plus grande que l'objet.
\item Si $|\gamma| < 1$, l'image est plus petite que l'objet.
\end{itemize}

\section{Modèle de l'\oe il}
\label{sec:modele-de-loe}

L'\index{oeil@\oe il}\oe il est un organe extrêmement perfectionné. Il comprend de
nombreux éléments. La vue en coupe suivante % ERVOL
 montre les principaux.

\Par

\begin{center}
  \includegraphics{121_modoeil}
\end{center}

\Par

Le \index{cristallin}cristallin joue le rôle d'une lentille mince convergente. Les rayons
qui en émergent arrivent à la \index{retine@rétine}rétine où se forme les images des objets
situés devant l'oeil. La rétine joue en quelque sorte le rôle d'un
écran. Un modèle très simplifié de l'\oe il est donc:\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{center}
  \includegraphics{121_modoeil2}
\end{center}

Par convention, $\gamma$ est positif si l'image est dans le même sens que l'objet (on dit alors que l'image est  droite) et négatif si l'image est dans le sens opposé à l'objet (on dit que l'image est renversée).\enlargethispage*{5em}

\begin{solintro}
  \begin{questions}
  \item On sait que tout rayon issu de~B va converger en~B' au sortir
    de la lentille, puisque~B' est l'image de~B. On choisit donc un
    rayon horizontal issu de~B (représenté en rouge). On sait que ce
    rayon passe par le point foyer image~F'. Ce point est donc à
    l'intersection du rayon représenté en rouge et de l'axe optique.

    De manière similaire, on trace le rayon qui arrive en B'
    parallèlement à l'axe optique. Ce rayon, représenté en vert,
    provient également de B. On sait qu'il passe par le point foyer
    objet~F, qui est donc l'intersection du rayon représenté en vert
    et de l'axe optique. On résume cette construction sur la figure
    ci-après.

    \begin{center}
      \includegraphics{122_exotypelentsol}
    \end{center}
  \item La distance focale est $f=OF=OF'$. On mesure sur la
    construction de la question précédente que l'on a $f=2$~cm.
    %\Break
  \item Le grandissement est donné par:\hfil  $|\gamma|=\frac{\mathrm{A'B'}}{\mathrm{AB}}$.
  
    Ici nous avons $\mathrm{A'B'}=15$~mm et
    $\mathrm{AB}=30$~mm, donc le grandissement est tel que:
    \[
    |\gamma|=\frac{15}{30}=\frac 12.\]
    L'image est renversée  donc $\gamma = -\dfrac{1}{2}$.
    \begin{methode}
      Le grandissement, quotient de deux longueurs, est un nombre sans
      dimension. Il faut bien sûr évaluer les deux longueurs dans les
      mêmes unités (ici en millimètre) pour obtenir un résultat
      correct.
    \end{methode}
  \end{questions}
\end{solintro}