\thumb


\begin{qcm}{Testez vos connaissances}{10}
  \begin{questions}    
  \item Lequel parmi ces schémas est-il correct~? Justifier.
    \resetchoix

\Par

\hspace*{-2em}
\begin{tabular}{@{}|*2{Z{m{0.48\linewidth}}|}@{}}
  \hline
  \choix  & \choix \\[-0.5em]
\includegraphics[width=4.5cm]{123_qcm_lm1} &
\includegraphics[width=4.5cm]{123_qcm_lm2}\\\hline
    \choix & \choix\\[-0.5em]
    \includegraphics[width=4.5cm]{123_qcm_lm3} &
     \includegraphics[width=4.5cm]{123_qcm_lm4}\\
     \hline
     \end{tabular}
  
\item Trouver l'intrus:
  
  \includegraphics{123_qcm_lmintrus}
  
\item Laquelle de ces constructions est correcte~? Justifier.
  
  \resetchoix
  
  \Par\enlargethispage*{2em}

\hspace*{-2em}
\begin{tabular}{@{}|*2{Z{m{0.48\linewidth}}|}@{}}
  \hline
  \choix  & \choix \\[-2em]
    \includegraphics[width=5cm]{123_qcm2_lm1} &
   \includegraphics[width=5cm]{123_qcm2_lm2}\\\hline
   \choix & \choix\\[-2em]
 \includegraphics[width=5cm]{123_qcm2_lm3} &
 \includegraphics[width=5cm]{123_qcm2_lm4}\\\hline
 \end{tabular}
  \end{questions}
\end{qcm}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[d] : on peut vérifier, en traçant les trois
  rayons particuliers (ceux qui passent respectivement par F, par F'
  et par O) que B' est bien l'image de B. Le cas \choix[a] est
  manifestement faux: on a vu en cours que l'image est inversée. Le
  cas \choix[b] aussi: le rayon issu de B parallèle à l'axe optique,
  qui passe par F' au sortir de la lentille, ne peut passer par
  B'. Pour le cas \choix[c], on voit que la droite $(\mathrm{BO})$ ne
  passe pas par B', donc les choix \choix[a] à \choix[c] sont invalides.
\item L'intrus est la lentille \choix[c]: c'est la seule qui est plus
  épaisse sur ses bords qu'au centre. Ce n'est donc pas une lentille convergente.
\item Il s'agit de la construction \choix[c]: les rayons passant par le
  point foyer objet, ils émergent de la lentille mince parallèlement à
  l'axe optique. Pour cette raison les choix \choix[a] et \choix[d]
  sont invalides. La construction \choix[b] est incorrecte car les
  foyers ne sont pas à la même distance de la lentille.
\end{questions}
\end{corrige}
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
\begin{exo}{Construire une image}{Nouveau programme}{1}{10}
On considère le système suivant, représenté à l'échelle 1{:\;}1. La 
lentille mince a pour distance focale $f=2$~cm. 

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{124_exolm2}
\end{center}

\begin{questions}
  \item Au moyen d'une construction graphique, représenter l'image 
    A'B' de l'objet AB. 
  \item Donner une estimation du grandissement. 
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item 
    Nous commençons par indiquer le point foyer objet F, à $2$~cm à
    gauche de la lentille, et le point foyer image F', à $2$~cm à
    droite de la lentille. Nous traçons ensuite, comme cela a été vu
    en cours, un rayon issu de~B parallèle à l'axe optique (représenté
    ici en rouge). Il passe par le point foyer image~F'. Nous traçons
    ensuite un rayon issu de~B passant par le centre optique~O
    (représenté ici en bleu). Il n'est pas dévié. Les deux rayons
    s'intersectent en B', comme représenté sur la figure ci-après.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{126_sollm2}
\end{center}

\Par

On en déduit la position de A' en utilisant le fait que A' et B' se
trouvent dans le même plan perpendiculaire à l'axe optique (autrement
dit ici dans un plan vertical).

\newpage

\begin{methode}
  Bien que sa construction ne soit pas nécessaire, on peut aussi
  rajouter un troisième rayon particulier, celui qui passe par le
  point foyer objet~F (représenté ici en vert). Il émerge de la
  lentille parallèlement à l'axe optique, et doit intersecter les deux
  autres rayons en B' (ceci permet de s'assurer que la construction
  est correcte). Dans la pratique seuls deux rayons parmi les trois
  représenté sont requis pour construire l'image.
\end{methode}

\item Nous mesurons les valeurs suivantes:
  \[
  \mathrm{AB}\approx 10\;\mathrm{mm}
  \]
  et
  \[
  \mathrm{A'B'}\approx 7\;\mathrm{mm}
  \]
  ce qui nous permet de déduire la valeur approchée du grandissement:
  \[
  |\gamma|=\frac{\mathrm{A'B'}}{\mathrm{AB}}\approx 0{,}7.\]
  L'image est renversée donc $\gamma=-0,7$.
  \end{questions}
\end{corrige}
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
\begin{exo}{Construire une image}{Nouveau programme}{1}{10}
Une lentille mince donne d'un objet AB l'image A'B' représentée
ci-dessous.

\begin{center}
\includegraphics[width=7.5cm]{124_exolm3}
\end{center}
  
À l'aide d'une construction graphique, trouver la position
de l'objet AB.
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  On trace le rayon passant par F' et arrivant en B' (représenté en
  rouge sur la figure ci-après). Puisque ce rayon passe par F', il
  doit avoir été parallèle à l'axe optique avant d'atteindre la
  lentille. Nous traçons également (en bleu sur la figure) le rayon
  passant par le centre optique~O et le point B', dont on sait qu'il
  n'a pas été dévié au travers de la lentille.
  %\enlargethispage*{2em}

  \begin{center}
    \includegraphics[width=7.5cm]{127_sollm3}
\end{center}

Le rayon représenté en rouge et celui en bleu s'intersectent en B,
objet dont l'image est B'. On en déduit la position de A, qui est à
l'intersection de l'axe optique avec le plan perpendiculaire à ce
dernier passant par B.

\newpage

\begin{methode}
  La construction graphique de l'objet, pour une image donnée, est
  très similaire, dans son principe, à la construction de l'image
  quand on donne l'objet. Notons que l'on peut là-encore construire un
  troisième rayon particulier (celui qui passe par le point foyer
  objet, en vert sur la figure) pour s'assurer qu'il passe bien par le
  point B.
\end{methode}


\end{corrige}
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
\begin{exo}{Grandissement}{Nouveau programme}{2}{10}
Une lentille mince donne d'un objet AB de taille $l=15$~cm une image renversée A'B' de taille $l'=30$~cm.
\begin{questions}
\item Quelle est la valeur du grandissement?
\item Sachant que l'objet AB se trouve $50$~cm devant la lentille, à
  quelle distance de celle-ci se trouve l'image A'B' ?
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
    \item Nous avons $\mathrm{AB}=l=15$~cm, et, puisque
      l'image est inversée:
      \[
      \mathrm{A'B'}=l'=30\;\mathrm{cm}.
      \]
      Nous en déduisons la valeur du grandissement:
      \[
      |\gamma|=\frac{\mathrm{A'B'}}{\mathrm{AB}}\approx
        2.\]
        L'image est renversée donc $\gamma\approx-2$.
        
      Nous donnons sa valeur avec le même nombre de chiffres
      significatifs que $l$ et $l'$ dans l'énoncé.
    \item Nous représentons la situation sur la figure
      ci-dessous, où nous traçons le rayon passant par le centre
      optique~O.

      \begin{center}
        \includegraphics[width=8cm]{128_sollm4}
      \end{center}
 
      Les droites $(\mathrm{AB})$ et $(\mathrm{A'B'})$ sont
      parallèles. La droite $(\mathrm{A'B'})$ étant située hors du
      triangle $\mathrm{OAB}$, nous pouvons appliquer la version du
      théorème de Thalès vue en classe de troisième, qui s'écrit ici:
      \[\frac{\mathrm{OB'}}{\mathrm{OB}}=\frac{\mathrm{OA'}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{A'B'}}{\mathrm{AB}}.\]
      Nous avons donc:
      \[\mathrm{OA'}=\mathrm{OA}\times
        \frac{\mathrm{A'B'}}{\mathrm{AB}}=\mathrm{OA}\times\frac{l'}{l}.\]
      L'application numérique donne:
      \[\mathrm{OA'}=50\times 2=100\mbox{~cm}=1{,}0\mbox{~m}.\]
      L'image se situe donc à un mètre de la lentille.
  \end{questions}
\end{corrige}
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
%
% RETROUVEZ LA VIDEO DE LA CORRECTION DE CET EXO SUR NATHAN LIVE
%
\begin{exo}{Un cas particulier}{Lycée Louis-le-Grand, Paris}{3}{15} 
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo avec \PictoNathanLive]{un cas particulier}{}


On considère une lentille mince de distance focale $f$, et un objet AB
situé à la distance $2f$ de la lentille.
\begin{questions}
  \item Montrer, par une construction
graphique, que le grandissement vaut $-1$.
\item Montrer que l'image A'B' se trouve également à la distance $2f$ de la
lentille.
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item \rput(-1.1,0.05){\PictoNathanLive}Nous construisons l'image A'B' de l'objet~AB, comme représenté
    sur la figure ci-après. Le rayon représenté en rouge est parallèle
    à l'axe optique et passe donc par le point foyer image lorsqu'il
    émerge de la lentille. Le rayon représenté en bleu passe par le
    centre optique~O et n'est pas dévié. Enfin, le rayon représenté en
    vert passe par le point foyer objet~F et émerge de la lentille
    parallèlement à l'axe optique.

    \begin{center}
      \includegraphics[width=10cm]{129_sollm5}
    \end{center}
    
    Nous appelons C le point d'entrée du rayon $(\mathrm{BF})$ dans
    la lentille, et C' le point d'entrée du rayon issu de B
    parallèle à l'axe optique. Puisque la droite $(\mathrm{CB'})$
    est parallèle à l'axe optique, nous avons:
    \[\mathrm{OC}=\mathrm{A'B'}.\]
    Par conséquent, pour déterminer la taille de l'image, il suffit
    de déterminer la distance $\mathrm{OC}$. Les droites
    $(\mathrm{AB})$ et $(\mathrm{OC})$ sont parallèles, donc nous
    pouvons appliquer au triangle ABF la version du théorème de Thalès vue en classe
    de troisième, qui s'écrit ici:
    \[\frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{FO}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OC}}.\]
    Or l'objet est situé à la distance $2f$ de la lentille mince,
    donc\linebreak $\mathrm{FA}=\mathrm{FO}=f$. Par conséquent:
    \[\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OC}}=1\]
    ou encore:
    \[\mathrm{AB}=\mathrm{OC}.\]
    Les distances $\mathrm{AB}$ et $\mathrm{A'B'}$ sont donc
    égales. L'image étant inversée, le grandissement vaut $-1$.
  \item Les droites $(\mathrm{AB})$ et $(\mathrm{A'B'})$ étant
    parallèles, nous pouvons appliquer le théorème de Thalès au
    triangle OAB. Il s'écrit:
    \[\frac{\mathrm{OA'}}{\mathrm{OA}}=\frac{A'B'}{AB}=1,\]
    où nous avons utilisé la réponse à la question précédente.
    Nous avons donc $\mathrm{OA'}$=$\mathrm{OA}=2f$. L'image se trouve
    donc elle aussi à la distance $2f$ de la lentille mince.
    
    
  \end{questions}
\end{corrige}
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
\begin{exo}{Mise au point}{Nouveau programme}{3}{25}
  On considère une lentille mince de distance focale $f=20$~cm et de
  rayon $R$. On place sur l'axe optique, à une distance $d_1=30$~cm
  de cette lentille, une source de lumière ponctuelle.
\begin{questions}
  \item À quelle distance $d_2$ de la lentille doit-on placer un écran pour
    y observer un point lumineux~? On donnera une valeur approchée de
    cette distance en réalisant sur papier millimétré une construction
    graphique à l'échelle 1{:}10.
  \item On décale à présent l'écran d'une distance $d$ en direction de
    la lentille. Expliquer pourquoi on observe une tache circulaire
    sur l'écran, et exprimer son rayon $r$ en fonction de $d$, $R$ et
    $d_2$. Effectuer l'application numérique avec $R=5$~cm et
    $d=10$~cm.
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Appelons A la source ponctuelle. Pour que l'on voit un point
    lumineux sur l'écran, il faut que celui-ci se trouve à la position
    de l'image A' de A. Ainsi que nous l'avons vu en cours, il n'est
    pas possible de déterminer directement, par une construction
    graphique, l'image d'un point situé sur l'axe optique. Pour
    résoudre ce problème, nous prenons un point B dans le plan
    perpendiculaire à l'axe optique passant par le point A, nous
    construisons l'image B' de B, puis en déduisons l'image A' de A.

    Nous représentons cette construction sur la figure ci-après. Au
    choix, nous devons construire deux rayons parmi les trois
    représentés, de manière à déterminer leur point d'intersection
    B'. Le rayon représenté en rouge est parallèle à l'axe optique, et
    passe donc par le point F' au sortir de la lentille. Le rayon
    représenté en bleu passe par le centre optique~O et n'est donc pas
    dévié. Enfin le rayon représenté en vert passe par le point foyer
    objet~F et émerge donc de la lentille parallèlement à l'axe
    optique.
    \vspace*{-13mm}
    \begin{center}
      \includegraphics{130_sollm6}
    \end{center}

    Notons que, puisque nous travaillons à l'échelle 1:10, les points
    F et F' sur la construction doivent être à $20$~mm de la lentille,
    et le point A à $30$~mm de cette dernière. Nous mesurons sur la
    construction graphique une distance d'environ $60$~mm entre O et
    A'. Cela signifie que l'écran doit être placé à $d_2\approx 60$~cm de
    la lentille pour que l'on y voit un point lumineux.
  \item Nous représentons cette situation sur la figure
    ci-après. L'écran, qui n'est plus au point A', intercepte
    l'ensemble des rayons issus de A (représenté en rouge) sur le
    segment $[\mathrm{DD'}]$.
    \Par
    \begin{center}
      \includegraphics{130_sollm7}
    \end{center}

    Il s'agit d'une figure en coupe. En réalité, l'ensemble des rayons
    issus de A, à droite de la lentille, a une forme \emph{conique},
    ce qui donne sur l'écran un tache \emph{circulaire} de rayon
    $\mathrm{O'D}$. Les droites $(\mathrm{OC})$ et $\mathrm{(O'D)}$
    étant parallèles, nous pouvons appliquer le théorème de Thalès au
    triangle $\mathrm{COA'}$. Il s'écrit ici:
    \[\frac{\mathrm{O'D}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{A'O'}}{\mathrm{A'O}}\]
    soit encore, en utilisant les notations de l'énoncé:
    \[\frac{r}{R}=\frac{d}{d_2}\]
    d'où nous déduisons:
    \[r=R\times\frac{d}{d_2}.\]
    L'application numérique donne:
    \[r=5\times \frac{10}{60}=0{,}8\mbox{~cm}.\]
    Nous gardons un chiffre significatif pour ce résultat, car c'est
    la précision avec laquelle $R$ est donné dans l'énoncé. Nous observons
    donc une tache de $0{,}8$~cm de rayon sur l'écran.
  \end{questions}
\end{corrige}
%
\thumb
\AfficheCorrige
