\chapter{Décrire un mouvement}

\section{Introduction}

\begin{exointro}{Lycée Faidherbe, Lille}
Un avion à deux hélices (une au milieu de chaque aile) s'élance sur une piste de décollage. 
Représenter la trajectoire de l'extrémité d'une pale de l'hélice~1 dans :
\begin{questions}
\item le référentiel de l'avion,
\item le référentiel terrestre,
\item le référentiel de l'hélice~1.
\item le référentiel de l'hélice~2.
\end{questions} 
On admettra que les deux hélices tournent dans le même sens, à la même vitesse, et sont parallèles à tout instant.
\vspace*{-1em}
 \end{exointro}

 Cet exercice introduit à la notion de
 \index{referentiel@référentiel}référentiel et de changement de référentiel et va nous permettre de montrer que la valeur d'une vitesse n'a de sens que dans un référentiel donné.

\section{Définitions}

\begin{defin}
On appelle \index{trajectoire}trajectoire d'un corps l'ensemble des points 
par lesquels il passe au cours de son mouvement. 
\end{defin}

Ainsi la trajectoire d'un enfant sur un manège, par
rapport au sol, est un cercle, la trajectoire d'un ascenseur est une droite, etc.

\begin{defin}
  On appelle \index{referentiel@référentiel}référentiel un ensemble de points tous immobiles les uns par rapport aux autres. Il est constitué d’un objet fixe de référence par rapport auquel on repère les positions
du système et d’une horloge permettant un repérage des dates.
\end{defin}

\begin{Exemple}
le référentiel \og lié au sol \fg est l'ensemble de 
tous les points immobiles par rapport au sol, le référentiel 
\og lié à un train \fg est l'ensemble de tous les points immobiles 
par rapport au train, etc. 
\end{Exemple}

\begin{defin}
  Le référentiel lié au sol est appelé \index{referentiel@référentiel!terrestre}référentiel terrestre ou
  parfois référentiel du laboratoire.
\end{defin}

La plupart des observations de la vie quotidienne se font dans le
référentiel terrestre. C'est dans ce référentiel que l'on donne
usuellement les vitesses des véhicules terrestres.

\begin{defin}
  Le \index{referentiel@référentiel!géocentrique}référentiel géocentrique est un référentiel comprenant le centre
  de la Terre, et ne participant pas au mouvement de rotation
  terrestre, au contraire du référentiel terrestre.
\end{defin}

Un observateur immobile par rapport au sol décrit une trajectoire
circulaire dans le référentiel géocentrique (sauf un observateur situé à un pôle, qui est immobile dans le référentiel géocentrique). Si l'on imagine un repère ayant pour origine le centre de la Terre, et dont les axes pointent en direction d'étoiles lointaines, le référentiel géocentrique est l'ensemble des points immobiles par rapport à ce repère.


\begin{defin}
  Le \index{referentiel@référentiel!héliocentrique}référentiel
  héliocentrique est un référentiel comprenant le centre du Soleil, et
  ne participant pas au mouvement de rotation du Soleil sur lui-même.
\end{defin}

Si l'on imagine un repère ayant pour origine le centre du Soleil, et
dont les axes pointent en direction d'étoiles lointaines, le
référentiel héliocentrique est l'ensemble des points immobiles par
rapport à ce repère.


Le référentiel géocentrique est utile pour décrire les mouvements des
satellites, tandis que le référentiel héliocentrique est utile pour
décrire les mouvements des planètes et autres corps (astéroïdes,
comètes) du Système Solaire.

\newpage

\section{Vitesse dans un référentiel}
\subsection{Exemple}
Montrons que la trajectoire d'un corps dépend de l'observateur.
Imaginons qu'une personne laisse tomber une pomme du haut du
mât d'un bateau en mouvement. Un observateur~A situé sur le
pont verra la pomme décrire simplement une droite verticale.
En revanche, un observateur~B immobile sur une barque à la
surface de l'océan verra la pomme décrire une toute autre
trajectoire.

La trajectoire que voit l'observateur~B est appelée une parabole.\par
On voit dès lors l'importance de spécifier {\em par rapport à
quoi} on étudie un mouvement.
C'est la raison pour laquelle, dans les exemples de la
section précédente, nous avons bien précisé \og par rapport
au sol \fg.

\Par

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{135_06c_pommebateau}
\figcaption{Selon l'observateur, la trajectoire est soit une droite,
  soit une parabole. Le bateau de gauche est immobile dans le
  référentiel de l'observateur, tandis que celui de droite se dirige
  vers la gauche dans le référentiel de l'observateur.}
\end{center}
}

\begin{Remarque}
  au niveau de la classe de Seconde, on simplifie l'étude d'un corps
  en mouvement en étudiant un point particulier de ce corps. Ainsi,
  dans le cas de la pomme ci-dessus, ce point particulier serait au
  centre de la pomme. Ceci conduit inévitablement à une perte
  d'information: on ne connaît pas le mouvement de tous les points de
  la pomme, mais seulement de l'un d'entre eux. Ainsi, si la pomme
  tourne sur elle-même durant sa chute, cela échappe à notre
  description simplifiée. Réduire le système d'étude à un point a un
  sens quand la taille de la trajectoire est largement plus grande que
  celle du système.
\end{Remarque}

\subsection{Vitesse d'un corps}
\enlargethispage*{4em}

La \index{vitesse}vitesse d'un corps dans un référentiel donné
est la distance parcourue par unité de temps dans ce
référentiel.

Considérons un corps animé d'un mouvement de translation rectiligne.
Entre deux instants $t_1$ et $t_2$ il a parcouru une distance $d$.

\begin{defin}
  La \index{vitesse!moyenne}vitesse moyenne $V$ du corps entre les instants $t_1$ et $t_2$ est
  donnée par :
\[V=\frac{d}{t_2-t_1}.\]
\end{defin}

Si l'instant $t_2$ est \og très proche \fg de l'instant $t_1$, ces
deux instants sont presque confondus, et l'on parle alors de vitesse
instantanée.

\begin{aretenir}
  La \index{vitesse!instantanée}vitesse instantanée est la vitesse à un instant donné.
\end{aretenir}


\begin{Exemple}
la vitesse du passager se déplaçant dans le train 
de la figure ci-dessous est $2$~km.h$^{-1}$\/ dans le référentiel 
du train ; la vitesse du train est de $160$~km.h$^{-1}$\/ dans le 
référentiel terrestre. Dans ce référentiel, le passager a une vitesse 
de $162$~km.h$^{-1}$. 
\end{Exemple}

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{136_06c_traincours}
\figcaption{La vitesse d'un corps dépend du référentiel d'étude.}
\end{center}
}

\subsection{Vecteur-vitesse}

Si un système se trouve au temps $t$ au point $M$, et au temps $t'$ au
point $M'$, il a subi un déplacement que l'on peut décrire par le
vecteur $\overrightarrow{MM'}$.

Si l'on divise ce vecteur par l'intervalle de temps $\Delta t=t'-t$,
on obtient un vecteur colinéaire, par construction, au vecteur $\overrightarrow{MM'}$,
et dont la norme est, également par construction, égale à la vitesse
moyenne du système entre $t$ et $t'$.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{136_trajectoire1}
\end{center}

Ce vecteur est appelé vecteur-vitesse. Son expression est donc:
\[\vec V=\frac{\overrightarrow{MM'}}{t'-t}.\]

\newpage

Lorsque l'instant $t'$ est très proche de l'instant $t$, le point $M'$
se rapproche du point $M$. Le vecteur $\vec V$ est alors appelé le
vecteur-vitesse instantanée.

On voit sur la figure précédente, qui représente un cas où $M'$ est
proche de $M$, que le vecteur-vitesse instantanée est orienté \og le
long de la trajectoire \fg (en termes mathématiques on dit qu'il est
tangent à la trajectoire).




\subsection{Mouvement rectiligne uniforme et non uniforme}

Le mouvement d'un corps dans un référentiel donné est dit \og
rectiligne \fg si sa trajectoire est une droite.

\begin{defin}
  Lorsque la vitesse instantanée ne varie pas au cours du temps, on 
  parle de mouvement \index{uniforme}uniforme. 
\end{defin}

\begin{Exemples}
  \begin{itemize}
  \item Le mouvement du train de l'exemple précédent est rectiligne 
et uniforme dans le référentiel terrestre si la voie ferrée 
est droite et s'il n'accélère pas et ne freine pas.
\item Le mouvement de la pomme dans le référentiel du bateau est un
  mouvement rectiligne, mais non uniforme: la pomme est initialement
  immobile et sa vitesse augmente au cours de la chute.
  \end{itemize}

\end{Exemples}

\begin{Remarque}
un mouvement peut être uniforme mais non rectiligne.

Par exemple, le bout d'une hélice tournant à vitesse constante a un mouvement circulaire uniforme.
\end{Remarque}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item
Dans  le  référentiel de l'avion, l'extrémité  de  la pale de l'hélice décrit un cercle.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics[height=20mm,width=80mm]{137_06c_nehelicesolun}
\figcaption{Trajectoire de l'extrémité de la pale dans le référentiel lié
à l'avion.}
\end{center}
}
\vspace*{-3em}
\Break
\item 
Dans le  référentiel terrestre  (celui de la   piste de décollage), la
trajectoire  de l'extrémité de la  pale décrit un mouvement combiné de
rotation et de  translation. C'est un  mouvement dit hélicoïdal, ou en
tire-bouchon.  Celui-ci est de plus en plus ouvert vers l'extrémité de
la piste où  l'avion décolle,  puisque l'avion est   de  plus en  plus
rapide.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{138_06c_nehelicesoldeux}
\figcaption{Trajectoire de l'extrémité de la pale dans le référentiel
lié à la piste.}
\end{center}
}

\item 
Dans le référentiel de l'hélice~1, l'extrémité de la pale est bien sûr
immobile, à tout instant. Sa trajectoire y est donc un point~$P$.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{138_06c_nehelicesoltrois}
\figcaption{La trajectoire de l'extrémité de la pale dans son propre référentiel
est un point.}
\end{center}
}

\item \raisebox{-0.5\totalheight}{%
\begin{minipage}{45mm}
\includegraphics{138_06c_nehelicequatresol}%[width=40mm]
% ici, le texte pourra être mis en bas de l'illus. afin de gagner en largeur
\figcaption{Le cercle d'en bas est la trajectoire du centre de l'hélice,
et celui d'en haut la trajectoire de l'extrémité de la pale de l'hélice.}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-45mm}
On commence par déterminer la trajectoire du centre de l'hélice~1 dans
le référentiel lié à l'hélice~2. C'est un cercle dont  le rayon est la
distance séparant  les axes des deux hélices.    On utilise ensuite le
fait   que les  deux   hélices tournent à   la   même vitesse  et sont
parallèles pour déduire que la trajectoire d'une  extrémité de la pale
de   l'hélice~1 est  le  cercle  précédemment  obtenu translaté  de la
longueur d'une pale.

Notons   qu'il n'était pas   indispensable de  spécifier que les  pales
étaient parallèles. Il  suffit de savoir  qu'elles tournent à la  même
vitesse  pour  pouvoir  conclure  qu'elles gardent  toujours  la  même
orientation l'une par rapport à l'autre. Dans ce  cas plus général, la
même conclusion s'applique.
\end{minipage}}
\end{questions}
\end{solintro}
