\thumb
\begin{qcm}{Testez vos connaissances}{5}
\begin{questions}
\item  On considère une roue de voiture roulant (sans \og déraper \fg)
	sur une route plate. Quel point de la roue a la plus grande
	vitesse par rapport à la chaussée ?
	

\resetchoix\choix La partie inférieure du pneu (en contact avec la
chaussée) 

\choix La partie supérieure du pneu 

\item Un TGV circule sur une ligne à très grande vitesse. Il croise un
  escargot se trouvant juste à côté des rails. Quelle est l'ordre de
  grandeur de la vitesse de l'escargot par rapport au TGV ?
	

\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $300$~km.h$^{-1}$ & \choix presque $0$~km.h$^{-1}$ 
\end{tabularx}


\item  Chercher l'intrus :
	
\resetchoix\choix Un train sur une voie rectiligne 

\choix Une marche d'escalator du métro 

\choix Une nacelle de grande roue 

\item  Deux trains se croisent. La vitesse du premier est $250$~km.h$^{-1}$,
	la vitesse du second est $163$~km.h$^{-1}$. Dans la phrase
	précédente, l'expression vitesse signifie :
	

\resetchoix\choix Vitesse d'un train par rapport à l'autre.

\choix Vitesse par rapport à la voie ferrée .

\item  Autre question de vocabulaire en rapport avec la question
	précédente : l'expression \og vitesse d'un train par rapport à
	l'autre \fg et l'expression \og vitesse relative des deux trains \fg
	sont-elles équivalentes ?
	

\resetchoix


\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix oui & \choix non 
\end{tabularx}


\item  Identifier la ou les expression(s) équivalente(s) à
	l'affirmation : \og la moto~M est animée d'une vitesse~$V$ par
	rapport à la route \fg.
	

\resetchoix\choix M a une vitesse~$V$ dans le référentiel terrestre. 

\choix La route a une vitesse~$V$ dans le référentiel attaché à~M. 

\choix M est immobile. 

\choix M n'est pas immobile par rapport à la route. 

\item Sans utiliser la calculatrice ni poser les calculs, trier les
  véhicules suivants par ordre de vitesse moyenne croissante.

\resetchoix\choix Une voiture qui parcourt une distance de $35$~km en
une heure.

\choix Un camion qui parcourt une distance de $40$~km en une heure et
demie.

\choix Une voiture qui parcourt une distance de $20$~km en une
demi-heure.

\choix Un cycliste qui parcourt une distance de $1$~km en deux minutes.
\end{questions}
\end{qcm}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
	\item  La partie supérieure du pneu (la partie du pneu en contact
	avec la chaussée est {\em immobile} par rapport à la route si
	la voiture ne dérape pas !).

	\item  L'escargot voyage à $300$~km.h$^{-1}$\/ par rapport au TGV.

	\item  La nacelle de grande roue est le seul objet n'ayant pas une
	trajectoire rectiligne.

	\item  Il s'agit de la vitesse \og au compteur \fg de chacun de ces
	trains, c'est-à-dire de leur vitesse par rapport à la voie ferrée
	(dans le référentiel de la voie ferrée).

	\item  Oui, ces deux expressions sont équivalentes.

	\item  Les assertions \choix[a] et \choix[b] sont équivalentes à la
	phrase de l'énoncé. Il est à noter que l'assertion \choix[c]
	n'a pas de sens (immobile {\em par rapport à quoi} ?) et
	que l'assertion \choix[d] est vraie mais pas {\em
	équivalente} à la phrase de l'énoncé, puisqu'elle ne mentionne
	pas la vitesse de~M.
      \item Par ordre de vitesse croissante: \choix[b], \choix[d], \choix[a] et \choix[c]. 
\end{questions}
\end{corrige}
%
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%
\begin{qcm}{Référentiels}{5}
  \begin{questions}
    \item Le Soleil décrit une trajectoire circulaire:\resetchoix

    \choix dans le référentiel terrestre;\\
    \choix dans le référentiel héliocentrique.

    \item Un satellite géostationnaire est un satellite qui reste
      toujours au-dessus du même point de la surface terrestre (d'où
      son nom). Un satellite géostationnaire décrit une trajectoire
      circulaire:\resetchoix

      \choix dans le référentiel terrestre;\\
      \choix dans le référentiel géocentrique.\\

    \item Dans le référentiel géocentrique, le Soleil:\resetchoix
      
      \choix décrit une trajectoire circulaire en 24 heures;\\
      \choix est au repos;\\
      \choix décrit une trajectoire circulaire en 365 jours.\\

    \end{questions}
\end{qcm}
%%
%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
    \item \choix[a]. Cela correspond au mouvement diurne du Soleil par
      rapport au sol.
    \item \choix[b]. Par définition il est au repos dans le
      référentiel terrestre.
    \item \choix[c]. Un observateur au centre de la Terre et ne
      participant pas à son mouvement de rotation verrait le Soleil
      décrire une trajectoire circulaire de même rayon que celle de
      l'orbite de la Terre autour du Soleil dans le référentiel
      héliocentrique.
  \end{questions}
\end{corrige}
%
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%
\begin{exo}{Référentiels}{Lycée Lavoisier, Paris}{1}{5}
  \begin{questions}
  \item Rappeler la définition d'un référentiel.
  \item \'Eva, au volant de sa voiture, démarre. Romain, qui conduit 
    une autre voiture, la dépasse. Dans quel référentiel chacune des 
    affirmations suivantes d'Eva sont-elles correctes~?
    \begin{questions}
    \item \og Je suis immobile\fg 
    \item \og J'avance\fg 
    \item \og Je recule\fg 
    \end{questions}
  \end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Un référentiel est un objet pris comme référence pour étudier 
    le mouvement d'un système. 
  \item 
    \begin{questions}
    \item Eva peut affirmer \og Je suis immobile\fg dans le 
      référentiel de sa voiture. 
    \item L'affirmation \og j'avance\fg est correcte dans le 
      référentiel de la route. 
    \item Puisque la voiture de Romain la dépasse, elle peut affirmer 
      \og je recule\fg dans le référentiel lié à la voiture de Romain. 
    \end{questions}
  \end{questions}
\end{corrige}
%
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\begin{exo}{Vitesse d'un nageur}{Lycée Watteau, Valenciennes}{1}{5}
%%%%
\begin{questions}
\item Un champion de natation effectue un $100$~mètres nage libre en
  $48$~secondes.
  \begin{questions}
  \item Quelle est sa vitesse moyenne en mètres par seconde~?
  \item Quelle est sa vitesse moyenne en kilomètres par heure~?
  \end{questions}
\item Une caméra montée sur des rails suit le nageur de manière à ce
  qu'il apparaisse en permanence au centre de l'image.
  \begin{questions}
  \item Quelle est la vitesse du nageur dans le référentiel de la caméra~?
  \item Quelle est la vitesse des spectateurs dans le référentiel de
    la caméra~?
  \end{questions}
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item
    \begin{questions}
    \item La distance parcourue est $d=100$~m, pendant la durée
      $t=48$~s. La vitesse moyenne du nageur est donc:
\[v=\frac dt=\frac{100}{48}=2{,}1\mbox{~m.s}^{-1}.\]
\item Nous convertissons à présent cette vitesse en kilomètres par
  heure:
\[v = 2{,}1\times 3{,}6=7{,}5\mbox{~km.h}^{-1}.\]
\begin{methode}
  Pour convertir des mètres par seconde en kilomètres par heure, on
  multiplie par $3{,}6$.
\end{methode}
    \end{questions}
  \item \begin{questions}
    \item Le mouvement de la caméra dans le référentiel de la piscine
      est conçu précisément pour que le nageur apparaisse fixe. Le nageur
      a donc une vitesse nulle dans le référentiel de la caméra.
    \item La vitesse de la caméra par rapport à la piscine (ou par
      rapport aux spectateurs) est $7{,}5$~km.h$^{-1}$, donc la
      vitesse des spectateurs dans le référentiel de la caméra est
      aussi $7{,}5$~km.h$^{-1}$.
    \end{questions}
  \end{questions}
\end{corrige}
%
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%
\begin{exo}{Composition des mouvements}{Lycée Balzac, Tours}{1}{5}
On considère la situation représentée sur la figure ci-dessous.
Les bars ambulants sont tous les deux animés, par rapport à leurs
wagons respectifs, d'une vitesse $v=1$~km.h$^{-1}$. Les deux voies
sont parallèles.

Justifier ou réfuter les affirmations suivantes :

\begin{questions}
        \item  $V_2$ est immobile par rapport à $T_2$.
       \item  $V$ est en mouvement par rapport à $T_2$.
       \item  $V_1$ est en mouvement par rapport à $T_1$.
       \item  $B_1$ est en mouvement par rapport à $B_2$.
\end{questions}

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{141_06e_trainsvaches01}
\figcaption{Les différents systèmes représentés sont en mouvement de translation les uns par rapport aux autres.}
\end{center}
}

\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
\enlargethispage*{4em}
        \item  Vrai. Dans {\em le référentiel
        du train}, la vitesse du voyageur~$V_2$ est nulle.

        \item  Vrai. En effet, le train $T_2$ est en mouvement dans le
        référentiel lié à la Terre (c'est-à-dire est en mouvement dans
        le référentiel lié au paysage), donc le train $T_2$ est en mouvement
        par rapport à la vache~$V$. Réciproquement, la vache~$V$ est en
        mouvement par rapport au train~$T_2$.

        \item  Faux. De la même manière que $V_2$ est immobile par rapport
        à $T_2$, $V_1$ est immobile par rapport à $T_1$.

        \item  Faux. Pour s'en convaincre, calculons les vitesses respectives
        des bars ambulants~$B_1$ et $B_2$ {\em dans le référentiel lié
        à la Terre}. \\ 
        Le bar ambulant~$B_1$ va vers la gauche, alors que le train dans
        lequel il se trouve va vers la droite, donc sa vitesse par
        rapport au paysage est :
        \[v_1'=v_1-v=160-1=159\mbox{~km.h$^{-1}$}.\]
        En revanche, le bar ambulant~$B_2$ va vers la droite, 
        alors que le train dans
        lequel il se trouve va vers la droite, donc sa vitesse par
        rapport au paysage est :
        \[v_2'=v_2+v=158+1=159\mbox{~km.h$^{-1}$}.\]
        Les vitesses $v_1'$ et $v_2'$ sont égales. Comme les voies sont
        parallèles, les vecteurs-vitesse sont égaux, d'où l'on déduit que
        les deux bars ambulants sont immobiles l'un par rapport à l'autre.
\end{questions}
\end{corrige}
%
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%
\begin{exo}{Course à pied}{Lycée Paul Sabatier, Carcassonne}{2}{15}
On réalise la chronophotographie d'un coureur à pied, en prenant une image toutes les $50$~ms. Des repères lumineux A et B situés
respectivement sur le col du
coureur et sur sa chaussure droite donnent lieu à l'image ci-dessous,
réalisée à l'échelle 1/30\ieme{} (un millimètre sur la figure correspond
à $30$~mm sur le système étudié).
\begin{center}
\includegraphics[width=60mm,height=50mm]{142_06e_2013_coureur}
\end{center}
\begin{questions}
\item Lequel des deux repères lumineux  A ou B atteint la plus grande
  vitesse instantanée dans le référentiel terrestre~?
\item Quelle est la vitesse instantanée du point~B à la date $t_5$~?
  On exprimera celle-ci en kilomètres par heure.
\item À quel(s) instant(s) la chaussure droite du coureur est-elle en
  contact avec le sol~?
\item De la question précédente déduire la vitesse moyenne du coureur
  sur une foulée.
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item On constate que la plus grande distance d'un point au suivant
    est atteinte sur l'enregistrement du point~B, entre les dates
    $t_4$ et $t_5$, ainsi que $t_5$ et $t_6$. Par conséquent, c'est le
    point~B qui atteint la plus grande vitesse instantanée dans le
    référentiel terrestre.
  \item On mesure sur la figure la distance de l'image du point B à la
    date $t_4$ à l'image du point B à la date $t_6$. On trouve
    $d=1{,}5$~cm. On en déduit une estimation de la vitesse
    instantanée $v_5$ à la date intermédiaire $t_5$:
\[
v_5\approx\frac{d}{t_6-t_4}\approx\frac{1{,}5\times 30\times 0{,}01}{0{,}1}=4{,}6\mbox{~m.s}^{-1}.\]
Le facteur $30$ dans le numérateur ci-dessus correspond au changement
d'échelle, et le facteur $0{,}01$ convertit les centimètres en
mètres. Les instants $t_4$ et $t_6$ sont séparés par deux périodes de
la chronophotographie, soit $0{,}2$~s, que l'on reporte au
dénominateur.
L'estimation obtenue est à présent convertie en kilomètres par heure:
\[v_5\approx 4{,}6\times 3{,}6\approx 16{,}2\mbox{~km.h}^{-1}.\]
Compte-tenu de la précision de lecture de la figure, garder deux
chiffres significatifs est un maximum.
\item Lorsque la chaussure est en contact avec le sol, sa vitesse
  instantanée dans le référentiel du sol (référentiel terrestre) est
  pratiquement nulle. La chaussure est donc en contact avec le sol aux
  instants où la distance entre deux points successifs de la
  chronophotographie est minimale. Ceci a lieu aux instants $t_2$ et
  $t_8$.
  \begin{methode}
    Bien entendu, ces dates de contact correspondent également aux
    instants où l'altitude du point~B est minimale.
  \end{methode}
\item La distance séparant les images du point B aux dates $t_2$ et
  $t_8$, que l'on peut mesurer sur la figure, est $D\approx 25$~mm. 
On en déduit, comme précédemment, la vitesse moyenne du coureur entre
les dates $t_8$ et $t_2$:
\[v=\frac{D}{t_8-t_2}\approx\frac{25\times 30\times 10^{-3}}{0{,}3}=2{,}5\mbox{~m.s}^{-1}.\]
Comme précédemment, le facteur $30$ correspond au changement
d'échelle, et le facteur $10^{-3}$ à la conversion des millimètres en
mètres.
On convertit cette vitesse en kilomètres par heure:
\[v\approx 2,5\times 3{,}6\approx 9\mbox{~km.h}^{-1}.\]
  \end{questions}
  \newpage
\end{corrige}

%
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%
\begin{exo}{Fête foraine}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{15}
\enlargethispage*{4em}
Dans une fête foraine, deux enfants, Valentine et Florian,
sont sur un manège, et se trouvent dans deux nacelles différentes.
On se place dans le référentiel terrestre.
Valentine décrit un cercle de rayon $R=5,0$~m, alors que Florian
décrit un cercle de rayon $R=3,0$~m. Le manège effectue au total
20~tours, qui durent 5~minutes.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{142_06e_manegevf}
\figcaption{Vue du dessus des trajectoires des deux enfants.}\label{figmanege}
\end{center}
}

\begin{questions}
        \item  Calculer les vitesses moyennes respectives de Valentine et Florian.

        \item  Sur la figure \ref{figmanege}, représenter les vecteurs-vitesse
        de Valentine aux positions~$V$ et~$V'$, et de Florian aux 
        positions~$F$ et~$F'$. 

On adoptera pour échelle $1$~cm pour $1$~m.s$^{-1}$.
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le périmètre d'un cercle de rayon $R$ est égal à $2\pi R$, donc
  par tour chaque enfant parcourt la distance $2\pi R$, soit au total
  la distance\linebreak $20\times 2\pi R=40\pi R$, puisque le manège
  effectue vingt tours. Ces vingt tours durent au total un
  temps~${T=5\text{ min}=5\times60=300}$~s. La vitesse d'un enfant
  s'obtient simplement en utilisant la relation :
  
\[\mbox{vitesse }=\frac{\mbox{distance}}{\mbox{temps}}\;,\]

soit :
\[v
        =\frac{40\pi R}{T}.\]
        
        L'application numérique pour Valentine donne :
        
\[v=\frac{40\pi\times5}{300}\approx2{,}1\mbox{~m.s}^{-1}\]

        et l'application numérique pour Florian donne :
        
\[v=\frac{40\pi\times3}{300}\approx1{,}3\mbox{~m.s}^{-1}.\]

\item Le vecteur-vitesse est tangent à la trajectoire.  Les vecteurs
  représentatifs des vecteurs-vitesse de Valentine, d'après l'échelle
  donnée dans l'énoncé, ont pour longueur $2{,}1$~cm, et ceux
  représentatifs des vecteurs-vitesse de Florian ont pour longueur
  $1{,}3$~cm.

\Par

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{151_06e_manegevfsol}
\figcaption{Vecteurs vitesse des deux enfants à différentes positions.}
\end{center}
}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}
%
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%
\begin{exo}{Précision d'un chronométrage}{Lycée Paul 
    Claudel, Paris}{2}{15}
  \begin{questions}
  \item Un champion du $200$~mètres court cette distance en 
    $20{,}12$~secondes. Quelle est sa vitesse moyenne en mètres par seconde~?
  \item Convertir cette vitesse en kilomètres par heure. 
  \item Quelle est la distance parcourue par le coureur pendant un 
    centième de seconde (précision du chronométrage)~?
  \item L'athlète est filmé par une caméra standard, qui prend $25$
    images par seconde. On passe le film au ralenti. Quelle distance 
    parcourt l'athlète entre deux images successives~? Le film au 
    ralenti paraît-il fluide~? Comment pourrait-on remédier à ce problème~?
  \end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item La vitesse du coureur est donnée par:
\[v=\frac lt,\]
où $l=200$~mètres est la distance parcourue, et $t=20{,}12$~s est le 
temps mis pour parcourir cette distance. On notera que la notation 
pour la distance est celle du langage commun, aussi ne transcrit-elle 
pas la précision avec laquelle cette distance est connue (bien 
inférieure au mètre). 

\textit{Application numérique:}\\
\[v=\frac{200}{20{,}12}=9{,}940\mbox{~m.s}^{-1}.\]
Nous gardons quatre chiffres significatifs pour ce résultat, car c'est 
la précision avec laquelle est donné le temps du coureur. 
\item Cette vitesse, exprimée en kilomètres par heure, vaut:
\[v=9{,}940\times 3{,}6=35{,}78\mbox{~km.h}^{-1}.\]
Nous gardons là-encore quatre chiffres significatifs. 
\item Soit $\tau=0{,}01$~s la précision du chronométrage. La distance $d$
  parcourue par l'athlète pendant cette durée est:
\[d=\tau \times v=0{,}01\times 9{,}940=0{,}0994\mbox{~m}=9{,}94\mbox{~cm}.\]
\item Le laps de temps qui sépare deux images est:
\[t'=\frac{1}{25}=0{,}04\mbox{~s}.\]
Pendant ce laps de temps, l'athlète parcourt une distance $d'$ donnée 
par:
\[d'=t'\times v=0{,}04\times 9{,}940=0{,}3976\mbox{~m}\approx 40\mbox{~cm}.\]
L'athlète parcourt donc une distance considérable (environ égale à 
l'épaisseur de son corps) entre deux images successives. Le film au 
ralenti est donc loin de paraître fluide, et l'on a plus l'impression 
que l'athlète \og saute \fg{} d'une position à l'autre entre deux 
images. Pour remédier à ce problème, il est nécessaire de disposer 
d'une caméra qui prend des images à un rythme beaucoup plus élevé (au 
moins 100 images par seconde). 
  \end{questions}
\enlargethispage*{4em}
\end{corrige}
%
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%
\begin{exo}{Arrivée de coureurs}{Lycée Saint-Louis, Paris}{2}{15}
À l'arrivée d'une course de $400$~mètres, le gagnant réalise un temps 
de $44{,}12$~s. Le dernier coureur réalise, lui, un temps de 
$45{,}91$~s. 
Lorsque le gagnant franchit la ligne d'arrivée, à quelle distance le 
dernier coureur se trouve-il derrière lui~? On supposera la vitesse 
de ce dernier constante tout au long de son parcours. 
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
On appelle $t_1=44{,}12$~s le temps réalisé par le premier coureur, et \linebreak
$t_2=45{,}91$~s le temps réalisé par le dernier coureur. La vitesse de 
ce dernier, supposé constante sur son parcours, est donnée par:
\[v_2=\frac{L}{t_2},\]
où $L=400$~m est la longueur du parcours. Au bout du temps $t_1$, il a 
donc parcouru une distance:
\[D=v_2\times t_1=L\frac{t_1}{t_2}\] 
et se trouve donc à une distance $d$ de la ligne d'arrivée (et donc du 
premier coureur, donné par:
\[d=L-D=L-L\frac{t_1}{t_2}=L\left(1-\frac{t_1}{t_2}\right).\]
\textit{Application numérique:}\\
\[d=400\times\left(1-\frac{44{,}12}{45{,}91}\right)=15{,}60\mbox{~m}.\]
Le dernier coureur se trouve à une distance de $15{,}60$~m du premier 
lorsque ce dernier franchit la ligne d'arrivée. 
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%
\begin{exo}{Mobile sur coussin d'air}{Lycée Victor Duruy, Paris}{2}{20} 
Sur une table horizontale, un mobile sur coussin d'air S est relié à 
un point fixe~O par un fil inextensible. 
On lance le mobile et on enregistre, à intervalles de temps égaux 
$\tau=10$~ms, les positions successives M$_i$ du point M situé au 
centre du mobile. La première partie du mouvement s'effectue fil tendu,
puis celui-ci se casse. L'enregistrement obtenu est reproduit 
ci-dessous. 

\begin{center}
\includegraphics{143_06e_2013-coussin-air-1}
\end{center}
\begin{questions}
\item On constate au vu de l'enregistrement que le mouvement du point~M 
  peut se décomposer en deux phases distinctes. 
  \begin{questions}
  \item Indiquer sous la forme M$_i$M$_j$ les deux parties 
    correspondantes à ces deux phases. 
  \item Pour chacune d'elle, donner la nature du mouvement. 
  \end{questions}
\item Évaluer les vecteur vitesses du mobile aux points M$_5$ et 
  M$_{15}$. Les représenter sur l'enregistrement. On prendra comme 
  échelle de vitesse: $1$~cm représente $0{,}4$~m.s$^{-1}$. 
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item 
    \begin{questions}
    \item La première partie du mouvement correspond aux points M$_1$
      à M$_9$, et la seconde partie du mouvement correspond aux points 
      M$_9$ à M$_{16}$. 
    \item Dans la première partie le mouvement est circulaire (de 
      centre O) et uniforme, car l'angle 
      $\widehat{\text{M}_i\text{O}\text{M}_{i+1}}$ est le même pour 
      tout $i$ de $1$ à $8$. 

      Dans la seconde partie le mouvement est rectiligne (les points 
      correspondants sont alignés sur une droite) et uniforme (car la 
      distance d'un point au suivant est constante). 
    \end{questions}
  \item Pour évaluer la vitesse au point M$_5$, on mesure la distance 
    séparant les points M$_4$ et M$_6$, puis on divise par 
    l'intervalle de temps $2\tau$ séparant les passages par ces 
    points. On trouve:
\[d(\text{M}_4,\text{M}_6) \approx 1{,}6\mbox{~cm},\]
donc on a:
\[v_{5}=\frac{d(\text{M}_4,\text{M}_6)}{2\tau}\approx\frac{1{,}6\times 
10^{-2}}{2\times 10\times 10^{-3}}\approx 0{,}80\mbox{~m.s}^{-1}.\]
La flèche représentant le vecteur vitesse en M$_5$ doit donc 
avoir une longueur de $0{,}80/0{,}4=2{,}0$~cm. 

De la même manière on a:
\[v_{15}=\frac{d(\text{M}_{14},\text{M}_{16})}{2\tau}\approx\frac{1{,}6\times 
10^{-2}}{2\times 10\times 10^{-3}}\approx 0{,}80\mbox{~m.s}^{-1}.\]
La flèche représentant le vecteur vitesse en M$_{15}$ doit donc 
avoir une longueur de $0{,}80/0{,}4=2{,}0$~cm. 
\newpage
On représente les vecteurs vitesse demandés sur la figure ci-dessous :
  \end{questions}
\begin{center}
\includegraphics[width=107mm,height=50mm]{154_06e_2013-coussin-air-sol}
\end{center}
\end{corrige}
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Trajet autoroutier}{Lycée Richelieu, Rueil-Malmaison}{2}{15}
Une voiture circule sur une autoroute pour aller
d'une ville~A à une ville~B, distante de 40~km. Sur les 20~premiers
kilomètres, elle roule à $120$~km.h$^{-1}${} ; en revanche, les 20~derniers
kilomètres sont en travaux et la voiture ne circule plus qu'à
$40$~km.h$^{-1}$.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{144_06e_autoroute01}
\figcaption{Schéma de l'itinéraire de la voiture.}
\end{center}
}

\begin{questions}
        \item  Combien de temps met-elle pour effectuer le trajet ?

        \item  Quelle a été sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet ?
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  Décomposons le trajet en deux
        parties :
        \begin{itemize}
        \item  Le tronçon sans travaux, de longueur $l_1=20$~km,
        couvert à la vitesse ${v_1=120}$~km.h$^{-1}$, effectué en un
        temps~$t_1$.
        \item  Le tronçon avec travaux, de longueur $l_2=20$~km,
        couvert à la vitesse ${v_2=40}$~km.h$^{-1}$, effectué en un temps~$t_2$.
        \end{itemize}
        On a simplement :
        $$\begin{cases}
t_1 = \dfrac{l_1}{v_1}\\[6pt]
t_2 = \dfrac{l_2}{v_2}
\end{cases}$$

        soit :
\[t_1=\frac{20}{120}=\frac16\mbox{~h}=10\mbox{~min~~~et ~~~}t_2=\frac{20}{40}=\frac12\mbox{~h}=30\mbox{~min}.\]
        Le temps total pour effectuer le trajet est donc :
\[t=t_1+t_2=10+30=40\mbox{~min}=\frac23\mbox{~h}.\]

        \item  La vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est, par définition :
        \[\mbox{ vitesse }=\frac{\mbox{ distance }}{\mbox{temps}}=\frac{l_1+l_2}{t}.\]
        L'application numérique donne :
\[v=\dfrac{40}{\dfrac23}=60\mbox{~km.h}^{-1}.\]
        La vitesse moyenne de la voiture sur le trajet a donc été
        de $60$~km.h$^{-1}$. Au vu des données de l'énoncé, on aurait
        pu naïvement s'attendre à une vitesse moyenne de
        $\dfrac12(120+40)=80$~km.h$^{-1}$. Toutefois le résultat n'est pas
        aussi simple. D'une certaine manière, les basses vitesses
        ont un \og rôle \fg beaucoup plus important lorsqu'on évalue
        une vitesse moyenne. C'est la raison pour laquelle le moindre
        ralentissement lors d'un voyage en voiture fait considérablement
        chuter la moyenne.

        \begin{Remarque}
          on pourra vérifier, à titre d'exercice, que la vitesse
          moyenne est la moyenne {\em harmonique} des vitesses du
          tronçon rapide et du tronçon lent. La moyenne harmonique est
          l'inverse de la moyenne des inverses.
        \end{Remarque}

%       Vous pouvez, à titre d'exercice, montrer
%       que la vitesse moyenne, dans le cas où la vitesse instantanée
%       est constante
%       sur des tronçons de longueurs identiques, est la {\em moyenne
%       harmonique} des vitesses instantanées, c'est-à-dire l'inverse
%       de la moyenne arithmétique des inverses.
\end{questions}
\end{corrige}
%
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%
%%% RETROUVEZ LA VIDEO DE CORR NL


\begin{exo}{Au gré du courant}{Lycée Léonard Limosin, Limoges}{3}{10}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo avec \PictoNathanLive]{au gré du vent}{}

Un explorateur descend un fleuve à l'aide d'un
canot à moteur. La vitesse du courant est $V_c=6,00$~km.h$^{-1}$, et
le
moteur communique au bateau une vitesse $V_b=15,0$~km.h$^{-1}$\/ par
rapport à l'eau.

À un moment donné, le caisson hermétique contenant les vivres
tombe à l'eau et dérive au gré du courant. L'explorateur ne s'en rend compte
que cinq minutes plus tard. 
\begin{questions}
        \item  À quelle distance se trouve-t-il alors du caisson des vivres ?

        \item  Il fait demi-tour et utilise son moteur pour remonter le
        courant. Combien de temps va-t-il mettre pour revenir au niveau
        du caisson ?
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\rput(-0.5,0){\PictoNathanLive}
Pour répondre aux questions de cet exercice,
on se place dans le référentiel lié à l'eau du fleuve. Il
serait maladroit de raisonner dans le référentiel lié aux
rives (à la terre). Cela compliquerait de beaucoup, et inutilement,
les calculs à effectuer.
\begin{questions}
        \item  Dans le référentiel lié à l'eau du fleuve, le caisson est
        immobile et le bateau s'en éloigne à la vitesse $V_b=15$~km.h$^{-1}$. Au bout de cinq minutes, 
        la distance séparant le bateau du caisson de vivres est donc :
        
\[d=\frac{5}{60}\times 15=1{,}25\mbox{~km}.\]
        
        On notera qu'il faut diviser le temps (5~minutes) 
        par~60 pour l'obtenir en heures. La vitesse étant donnée en
        kilomètres par heure, on obtient la distance parcourue en
        kilomètres.

        \item  Dans le référentiel lié à l'eau, puisque le caisson est
        immobile et que le bateau est toujours animé d'une vitesse~$V_b$,
        il va mettre exactement le même temps ($t=d/V_b$) 
        pour revenir vers le caisson qu'il a mis à s'en éloigner,
        à savoir~$5$~min.
\end{questions}
\enlargethispage*{2em}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{La mouche et le coche}{Lycée Camille Guérin, Poitiers}{3}{20}
Deux coches partent à midi, l'un d'une ville~A vers
la ville~B, l'autre de la ville~B vers la ville~A. La distance
entre les deux villes est $d(A,B)=75$~km. Les deux coches vont
à la vitesse $v=25$~km.h$^{-1}$\/ dans le référentiel terrestre.

\begin{questions}
        \item  À quelle heure les deux coches se croisent-ils ?

        \item  Une mouche posée sur l'un des chevaux s'envole lorsque le coche
        situé en~A démarre (donc à midi) et vole vers l'autre coche ; 
        lorsqu'elle l'atteint, elle fait demi-tour et revient vers le
        premier, puis refait demi-tour, et ainsi de suite \dots Elle vole
        à la vitesse $v'=5$~km.h$^{-1}$. Quelle distance a-t-elle parcourue
        lorsque les deux coches se croisent ?
\end{questions}

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{145_06e_deuxcoches}
\figcaption{La mouche vole à vitesse constante entre les deux coches.}
\end{center}
}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  La vitesse relative du coche partant
        de~B par rapport au coche partant de~A est $v_{b/a}=2v=50$~km.h$^{-1}$.
        
        Les deux coches sont initialement distants de $d(A,B)=75$~km,\\ donc ils mettent un temps :
\[t=\frac{d(A,B)}{v_{b/a}}=\frac{75}{50}=1{,}5\mbox{~h}\]
        à se rejoindre.\\       
        Les deux coches vont donc se croiser à treize heures trente.


        Une autre façon de répondre à cette question est de constater
        que les deux coches vont à la même vitesse, et vont donc se
        croiser à mi-parcours. Le voyage dure au total $75/25=3$~h,
        donc ils se croisent au bout d'une heure trente.

        \item  Il s'agit ici d'un problème célèbre vieux de plusieurs siècles.
        À première vue on est tenté de décomposer le problème en
        étudiant individuellement chacun des trajets de la mouche. Toutefois,
        il y a beaucoup plus simple, et la réponse peut pratiquement
        s'obtenir de tête. Essayer d'y réfléchir encore en vous appuyant sur
        cette indication, si vous n'avez pas encore trouvé. Sinon, lisez
        la suite.\\     
        La mouche vole {\em pendant une heure et demie} puisque c'est le
        temps que mettent les coches pour se rejoindre. Pendant tout
        ce temps, elle vole à la vitesse  $v'=50$~km.h$^{-1}$, donc la distance
        qu'elle a parcourue au total est simplement :
\[\mbox{ distance }=\mbox{ temps }\times\mbox{ vitesse }
        =1{,}5\times 50=75\mbox{~km}.\]
        \begin{methode}
          On notera que dans tout cet exercice les temps sont systématiquement 
          exprimés en heures, les distances en kilomètres, et les vitesses 
          en kilomètres par heure. On peut donc sans risque d'erreur poser 
          directement les calculs sans convertir les grandeurs aux unités 
          du Système International. 
        \end{methode}
\end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Course automobile}{Lycée Henri IV, Paris}{3}{15}
À l'arrivée d'une course de voitures, deux pilotes, A et B, sont en
tête. A est à $701$~mètres de la ligne d'arrivée, et roule à la
vitesse $v_A=272$~km.h$^{-1}$.

B est pour sa part à $50$~mètres
derrière A, et roule à la vitesse $v_B=285$~km.h$^{-1}$. On suppose
que les deux pilotes maintiennent leur vitesse constante jusqu'au
franchissement de la ligne d'arrivée.
\begin{questions}
\item Quel pilote gagne la course, et quelle durée sépare leurs
 franchissements respectifs de la ligne d'arrivée~?
\item Quelle devrait être la vitesse de A pour que les deux pilotes
  arrivent ex-\ae quo~?
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item On calcule le temps que met le pilote~A pour franchir la ligne
    d'arrivée:
\[t_A=\frac{d_A}{v_A},\]
où $d_A=701$~m est la distance le séparant de la ligne d'arrivée, et
$v_A=272$~km.h$^{-1}$ est sa vitesse, supposée constante. Pour
effectuer l'application numérique, il faut au préalable convertir la
vitesse en mètre par seconde.
\begin{methode}
  Pour convertir des kilomètres par heure en mètres par seconde, on
  divise par $3{,}6$.
\end{methode} 
Nous avons donc:
\[v_A=\frac{272}{3{,}6}=75{,}6\mbox{~m.s}^{-1}\mbox{~~~et~~~}t_A=\frac{701}{75{,}6}=9{,}27\mbox{~s}.\]

De la même manière nous avons, pour le pilote B:
\[v_B=\frac{285}{3{,}6}=79{,}2\mbox{~m.s}^{-1}\mbox{~~~et~~~}t_B=\frac{751}{79{,}2}=9{,}48\mbox{~s}.\]
Le pilote B met plus de temps pour franchir la ligne d'arrivée, c'est
donc le pilote~A qui gagne la course. La durée qui sépare leurs
franchissements respectifs de la ligne d'arrivée est:
\[\tau = t_B-t_A=0{,}21\mbox{~s}\]
soit vingt et un centièmes de seconde.
\item Pour que les deux pilotes soient ex-\ae quo, il faudrait que
  $t_A=t_B$, c'est-à-dire:
\[\frac{d_A}{v_A}=t_B\mbox{~~~soit:~~~}v_A=\frac{d_A}{t_B}=\frac{701}{9{,}48}=73{,}9\mbox{~m.s}^{-1}.\]
On exprime à présent ce résultat en kilomètres par heure.
%\begin{methode}
%  Pour convertir des mètres par seconde en kilomètres par heure, on
%  multiplie par $3{,}6$.
%\end{methode}
Nous avons: $v_A=73{,}9\times 3{,}6=266$~km.h$^{-1}$.
Il faudrait que la vitesse du pilote~A soit $266$~km.h$^{-1}$ pour que
les deux voitures arrivent ex-\ae quo.
  \end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Roue de vélo}{Lycée Ampère, Lyon}{3}{20}
Un cycliste roule en ligne droite sur une route horizontale, à vitesse constante. On étudie les trajectoires de deux points particuliers de l'une de ses roues: le centre C, et un point A situé sur le pneu. Ces trajectoires sont étudiées dans deux référentiels différents, R$_1$ et R$_2$. On
donne page suivante les enregistrements correspondants.

\Par

\fbox{
\includegraphics[width=110mm,height=35mm]{146_06e_2013-cyclo1}}

\Par


\fbox{\includegraphics[width=110mm,height=100mm]{146_06e_2013-cyclo2}}

\enlargethispage*{3em}
\begin{questions}
\item Compléter au crayon les trajectoires des différents points.
\item Comment appelle-t-on la technique d'enregistrement utilisée~?
\item Quels sont respectivement les référentiels R$_1$ et R$_2$~? On
  justifiera soigneusement.
\item Décrire et qualifier le mouvement des points A et C dans les
  deux référentiels, en justifiant.
\item Lequel des deux points A et C atteint la plus grande vitesse
  dans le référentiel terrestre~?
\item Lequel des deux points A et C atteint la plus petite vitesse
  dans le référentiel terrestre~?
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
%\enlargethispage*{2em}
  \begin{questions}
  \item Les trajectoires des deux points A et C sont reportées sur les
    figures suivantes.
\begin{center}
\includegraphics[width=95mm,height=30mm]{157_06e_2013-cyclo1-sol}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics{157_06e_2013-cyclo2-sol}
\end{center}

\item La technique utilisée est appelée la chronophotographie.
\item On voit que, dans le référentiel R$_1$, le centre de la roue est
  animé d'un mouvement rectiligne uniforme. En outre, lorsque le
  point~A passe en contact avec la route (au plus bas de sa
  trajectoire), il a une vitesse nulle. Le référentiel R$_1$ est donc
  le référentiel lié à la route (référentiel terrestre).

Dans le référentiel R$_2$, le centre de la roue est immobile. Le
référentiel R$_2$ est donc le référentiel lié au vélo.
\item Dans le référentiel R$_1$, la trajectoire de A n'est pas
  uniforme: la distance entre deux points consécutifs varie au cours
  du temps (la courbe décrite par le point~A est appelée une
  cycloïde). Dans ce même référentiel, le point~C est animé d'un
  mouvement rectiligne uniforme, ainsi qu'on l'a vu à la question
  précédente.

  Dans le référentiel R$_2$, le point~C est immobile, et le point~A
  est animé d'un mouvement circulaire. Ce mouvement circulaire est
  uniforme car la distance entre deux points consécutifs est constante.
\item Le point~A est celui qui atteint la plus grande vitesse dans le
  référentiel terrestre (R$_1$), puisque la distance séparant deux
  positions consécutives du point~A sur la chronophotographie
  correspondante peut être plus grande que la distance séparant deux
  positions consécutives du point~C.
\item De la même manière, il s'agit du point~A, puisque la distance
séparant deux positions consécutives du point~A dans le référentiel
R$_1$ peut être plus petite que la distance séparant deux positions
consécutives du point~C. Ceci a lieu, en particulier, lorsque le
point~A approche du sol. Lorsqu'il est en contact avec le sol, sa
vitesse est nulle (sans quoi cela signifierait que le pneumatique dérape).
  \end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Train Grande Vitesse}{Lycée Jeanne d'Albret, Saint Germain en Laye}{3}{20}
Un avion de tourisme (nommé A) vole au-dessus d'une ligne de TGV à la
vitesse $v_A=380$~km.h$^{-1}$. 

Le TGV (nommé T) roule dans le même
sens à la vitesse $v_T=300$~km.h$^{-1}$.
\begin{questions}
\item
  \begin{questions}
  \item Dans quel référentiel les vitesses ont-elles été mesurées~?
  \item Les convertir dans l'unité du Système International.
  \end{questions}
\item À la date $t=0$, l'avion est au-dessus du TGV.
  \begin{questions}
  \item Quelle distance $d_A$ l'avion aura-t-il parcouru à la date
    $t=1$~min, dans le référentiel terrestre~?
  \item Quelle distance $d_T$ le TGV aura-t-il parcouru à la même date~?
  \item Faire un schéma simple montrant sur un axe les positions
    respectives de l'avion et du TGV à la date $t$, ainsi que la
    position de départ.
  \item En exploitant le schéma de la question précédente, déterminer
    la vitesse $v_A'$ de l'avion dans le référentiel du TGV. On
    exprimera cette vitesse dans les unités du Système International,
    puis en km.h$^{-1}$.
  \end{questions}
\end{questions}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item
    \begin{questions}
    \item Les vitesses sont mesurées dans le référentiel terrestre.
    \item L'unité du Système International est le mètre par
      seconde. Pour convertir des kilomètres par heure en mètres par
      seconde, on divise par $3{,}6$:
      \[v_A=\frac{380}{3{,}6}=1{,}06\times 10^2\mbox{~m.s}^{-1}\mbox{~~~et~:~~~}v_T=\frac{300}{3{,}6}=83{,}3\mbox{~m.s}^{-1}.\]
    \end{questions}
  \item
    \begin{questions}
    \item Au bout de $t=1$~min$=60$~s, l'avion aura parcouru, dans le
      référentiel terrestre, la
      distance:
      \[d_A=tv_A=60\times 1{,}06\times 10^2=6{,}36\times 10^3\mbox{~m}.\]
    \item À la même date, le TGV aura parcouru la distance:
      \[d_T=tv_T=60\times 83{,}3=5{,}00\times 10^3\mbox{~m}.\]
    \item Les positions des deux véhicules à l'instant initial et   après une minute sont représentées sur la figure ci-dessous:
    
    \Par
    
      \begin{center}
        \includegraphics{159_06e_2013-TGVavion}
      \end{center}
      
      \Par
      
    \item Au bout d'une minute, l'avion a parcouru la distance
      $d_A'=d_A-d_T$ dans le référentiel du TGV. Cette distance vaut:
      \[d_A'=1{,}36\times 10^3\mbox{~m}\]
et la vitesse de l'avion dans le référentiel du TGV s'en déduit par:
\[v_A'=\frac{d_A'}{t}=\frac{1{,}36\times 10^3}{60}=22{,}7\mbox{~m.s}^{-1}.\]
On multiplie cette valeur pour l'obtenir en kilomètres par heure:
\[v_A'=22{,}7\times 3{,}6=82\mbox{~km.h}^{-1}.\]
Notons que l'on devrait trouver la différence de vitesse\linebreak
$v_A-v_T=80$~km.h$^{-1}$, ce qui n'est pas exactement le cas, à cause
des erreurs d'arrondi successives au cours de l'exercice. Si l'on
avait gardé un plus grand nombre de chiffres significatifs dans les
résultats intermédiaires, on aurait retrouvé une valeur beaucoup plus
proche des $80$~km.h$^{-1}$ attendus.
    \end{questions}
  \end{questions}
\end{corrige}
%
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\thumb
\AfficheCorrige
