\chapter{L'interaction gravitationnelle}
\section{Introduction}
\begin{exointro}{Lycée Jean Prévost, Montevilliers}
Une masse de $1{,}0$~kg pèse $20$~N à la surface d'un 
astre à symétrie sphérique de rayon $R=10\,000$~km. Quelle est
la masse de cet astre ?

\Par

{\em Donnée } -- constante de la gravitation : ${\cal G}=6{,}67\times 10^{-11}$~N.kg$^{-2}$.m$^2$.
\end{exointro}

Ce chapitre aborde l'une des quatre interactions fondamentales de la
physique : l'\index{interaction gravitationnelle}interaction
gravitationnelle. Nous allons voir entre autres que le
\index{poids}poids des objets sur Terre n'est autre que le résultat de
leur interaction gravitationnelle avec la Terre.


\section{Interaction gravitationnelle entre deux masses ponctuelles}

On considère deux corps~A et~B, suffisamment petits pour que
l'on puisse les considérer comme ponctuels. Les \index{masse}masses de ces
corps sont respectivement $m_A$ et $m_B$, et ils sont
séparés par une distance~$d$.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{187_08c_gravcours01}
\figcaption{Force exercée par la masse ponctuelle~A sur la masse ponctuelle~B.}
\end{center}
}

\newpage

Alors le corps~A
exerce sur le corps~B une force
$\vec F_{A/B}$, appelée force gravitationnelle, colinéaire au
vecteur $\gvec{AB}$, 
dirigée de~B vers~A, et de valeur :
\[F_{A/B}=\frac{{\cal G}\times m_A\times m_B}{d^2}.\] 

Il s'agit d'une force exercée sans contact entre les masses~A et~B.

Dans cette expression,
${\cal G}$ est une constante, appelée constante de la
\index{gravitation universelle}gravitation universelle. Dans les
unités du Système International, elle vaut :
\[{\cal G}=6{,}67\times 10^{-11}\mbox{~S.I.}\]
On en déduit immédiatement que la force exercée par~B sur~A est,
en intervertissant les indices~A et~B.

\begin{aretenir}
\[F_{B/A}=\frac{{\cal G}\times m_B \times m_A}{d^2}=F_{A/B}\]
\end{aretenir}

Nous retrouvons ainsi le \index{principe!de l'action-réaction}principe de l'action-réaction, sur une force qui
s'exerce à distance.

En outre, cette force est dirigée de A vers B, comme représenté
sur la figure ci-dessous.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{188_08c_gravcours02}
\figcaption{Les deux forces sont de valeurs égales et de sens opposés.}
\end{center}
}

\Par

L'expression de l'\index{interaction gravitationnelle}interaction
gravitationnelle peut se résumer ainsi : \og Entre deux corps massifs
ponctuels, il existe une action à distance appelée force gravitationnelle,
attractive et parallèle à la droite joignant les deux corps, dont la
valeur est proportionnelle au produit des masses des deux corps et
inversement proportionnelle au carré de leur distance. \fg
\begin{Exemple}
il existe une interaction gravitationnelle entre la Terre
et la Lune, entre la Terre et le Soleil, mais aussi entre la
Lune et le Soleil, entre votre main droite et votre main gauche
ou entre ce livre et vous. L'interaction gravitationnelle est
universelle, en ce sens qu'elle intervient dans toute paire
de corps de masse non nulle. Toutefois, elle est généralement
beaucoup trop faible pour être détectable, et il faut des
masses considérables pour qu'elle joue un rôle non négligeable.
Ainsi, dans la vie quotidienne, la seule masse avec laquelle nous
interagissons de manière notable est la Terre ; nous allons
voir comment à la section suivante.
\end{Exemple}

\newpage

\section{Poids d'un corps}

\subsection{Le poids est une manifestation de l'interaction
gravitationnelle}

Laissons tomber une bille sur Terre, que nous lâchons sans vitesse
initiale. Le principe d'inertie nous dit que si la bille n'était
soumise à aucune force, elle persévérerait dans son état de
repos, puisqu'elle est initialement au repos. Ce n'est pas le
cas : elle tombe. Elle est donc soumise à une force. Cette force
est son poids, dont la direction est donnée par la trajectoire
de la bille : il est vertical et dirigé vers le bas. En outre,
nous savons que :
\begin{itemize}
\item Une fois lâchée, la bille n'est plus soumise qu'à son poids.
\item La bille et la Terre sont en interaction gravitationnelle.
\end{itemize}
Par identification, nous pouvons en déduire que le \index{poids}poids est 
précisément la manifestation de l'interaction gravitationnelle
entre un corps et la Terre, ou plus généralement entre un corps
et l'astre sur lequel il se trouve.

\subsection{Interaction gravitationnelle entre deux astres
à symétrie\\sphérique}

Entre deux astres à symétrie sphérique, l'interaction 
gravitationnelle
a la même valeur que si les deux astres étaient ponctuels et
toute leur masse était concentrée en leurs centres respectifs.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{189_08c_gravcours03}
\figcaption{Interaction gravitationnelle entre deux astres à symétrie sphérique.}
\end{center}
}

{\em Note : par \index{symetrie spherique@symétrie sphérique}symétrie
  sphérique, on entend que la densité dans l'astre étudié ne doit
  dépendre que de la distance au centre. L'astre peut ainsi être vu
  comme une structure en \og pelures d'oignon \fg, où chaque couche a
  une densité donnée.}


\subsection{Poids d'un corps à la surface d'un astre à symétrie sphérique}

\enlargethispage*{3em}

Lorsqu'on évalue la \index{force!gravitationnelle}force
gravitationnelle exercée par une répartition de masse à symétrie
sphérique, tout se passe comme si la \index{masse}masse du corps était concentrée
en son centre. Ainsi, la force que la Terre exerce sur une masse $m$
située à sa surface a pour valeur :
\[P=\frac{{\cal G}\times M\times m}{R^2}\;,\]
où $M$ et $R$ sont respectivement la masse  et le rayon de la Terre.
On voit que cette formule est strictement identique à la formule
de l'interaction entre deux masses ponctuelles, l'une étant
à la distance $R$ de la masse~$m$, et ayant la masse de la Terre.\\
La force dans la formule ci-dessus est notée~$P$ puisqu'il s'agit
précisément du poids de la masse~$m$. Cette formule permet 
ainsi de calculer le poids d'un objet à la surface de n'importe
quel astre à symétrie sphérique.\\

Par souci de simplification, on note $g$ la constante ${\cal G}\times M/R^2$, où $M$ est la masse de la Terre et $R$ son rayon. Cette constante a pour valeur $g\approx9{,}8$~N.kg$^{-1}$. Elle est appelée \index{intensité de la pesanteur}intensité de la pesanteur. En vertu de la formule
ci-dessus, on a, à la surface terrestre, la relation suivante entre la
masse $m$ d'un corps et son poids $P$:
\[P=m\times g.\]

\begin{solintro}
  D'après le cours, l'interaction gravitationnelle entre cette masse
  et l'astre à symétrie sphérique est donnée par :
  \[F=\frac{{\cal G}\times M\times m}{R^2}\;,\]
  où $M$ est la masse de l'astre. On en déduit :
  \[M=\frac{F\times R^2}{{\cal G}\times m}=\frac{20\times (10^4\times 
      10^3)^2}{6{,}67\times 10^{-11}\times 1{,}0}=3{,}0\times 10^{25}
    \mbox{~kg}.\]
  Cette masse représente cinq fois la masse de la Terre.
\end{solintro}
