\thumb
\begin{qcm}{Testez vos connaissances}{5}
\begin{questions}
\item  Une planète~A et une planète~B ont exactement la même masse.
	Un même astronaute se sent \og plus léger \fg sur la planète~A. Laquelle
	des deux planètes (supposées à symétrie sphérique) a le plus grand
	diamètre ?
	

\resetchoix

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix La planète~A & \choix La planète~B 
\end{tabularx}

\item Un astronaute a le même poids sur deux planètes~A et~B. La masse
  de la planète~A est quatre fois plus importante que celle de la
  planète~B.
  Le rayon de la planète~A est:

  \resetchoix

  \choix quatre fois plus petit que celle de la planète~B 

  \choix quatre fois plus grand que celle de la planète~B 

  \choix seize fois plus grand que celle de la planète~B 

  \choix deux fois plus grand que celle de la planète~B 

  \choix quatre fois plus petit que celle de la planète~B

\item Lorsqu'il se pèse sur la planète~A, l'astronaute de la question
  précédente exerce sur celle-ci une force $F_A$. Lorsqu'il se pèse
  sur la planète~B, la force qu'il exerce sur cette planète est:

  
\resetchoix

\choix supérieure à $F_A$.

\choix égale à $F_A$.

\choix inférieure à $F_A$.

\end{questions}
\end{qcm}
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%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
	\item  \choix[a]. Dans l'expression de l'interaction gravitationnelle,
	le numérateur est le même pour les deux planètes, donc le dénominateur 
	doit être plus grand pour la planète~A.

	\item  \choix[d]. Le rapport du carré des rayons doit être
          égal au rapport des masses, de manière à ce que le poids
          reste le même.

          
        \item \choix[b]. La force exercée par l'astronaute sur la
          planète a pour norme son propre poids (en vertu du principe
          des actions réciproques). Comme il a le même poids sur les
          deux planètes, il exerce une force de même norme sur la planète~B.

\end{questions}
\end{corrige}

%
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\begin{exo}{Orbite basse}{Lycée d'Arsonval, Brive}{1}{5}
Un satellite artificiel de la Terre décrit une orbite circulaire à l'altitude\linebreak $h=800$~km, en $1$~h et $44{,}7$~min. 
\begin{questions}
\item Quelle est la vitesse de ce satellite~? 
\item La durée de vie utile de ce satellite est de $15$~ans. Combien 
  d'orbites décrit-il pendant la totalité de sa mission~? 
\end{questions}
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item Le rayon de la Terre vaut $R=6378$~km. 
\item Le périmètre d'un cercle de rayon $R$ vaut $2\pi R$. 
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}
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%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Ce satellite décrit un cercle de rayon $R+h$, donc de 
    périmètre $2\pi(R+h)$, en un temps $t=\numprint{3600}+44{,}7\times 
    60=6282$~s. Sa vitesse est donc donnée par: 
\[v=\frac{2\pi(R+h)}{t}=\frac{2\pi\times (\numprint{6378}+800)\times 
  10^3}{\numprint{6282}}=7{,}18\times 10^{3}\mbox{~m.s}^{-1}.\]
\item On note $T=15\mbox{~ans}$ la vie utile du satellite. Le nombre 
  total d'orbites qu'il décrit est donné par: 
\[N=\frac{T}{t}.\]
Il faut bien entendu exprimer $T$ et $t$ dans les mêmes unités. Nous 
convertissons donc $T$ en secondes. Nous obtenons: 
\[T=15\times 365\times 24\times \numprint{3600}=4{,}7\times 10^8\mbox{~s}.\]
Le satellite effectue donc: 
\[
N=\frac{4,7\times 10^8}{\numprint{6282}}\approx7,5.10^4\mbox{~orbites}.\]
Nous gardons deux chiffres significatifs puisque c'est la précision 
avec laquelle est donnée la durée de la mission. 
  \end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Force gravitationnelle}{Lycée Pasteur, Neuilly}{1}{10}
Dans cet exercice, on considérera que le rocher et le promeneur sont tous deux équivalents à des masses ponctuelles égales à leurs masses respectives et situées en leurs centres de gravité respectifs.

Calculer l'intensité de la force d'\index{interaction gravitationnelle}interaction gravitationnelle entre un rocher de masse $M=20$~tonnes et un promeneur de masse~$m=60$~kg
qui passe à $d=30$~mètres du rocher.\enlargethispage*{\baselineskip}

{\em Donnée :}
${\cal G}=6{,}67\times 10^{-11}$~N.kg$^{-2}$.m$^2$.
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
On représente la situation sur la figure page suivante. 

On appelle $\gvec F_{R/P}$ la force gravitationnelle exercée par le rocher sur le promeneur, et $\gvec F_{P/R}=-\gvec F_{R/P}$ la force exercée par le promeneur sur le rocher.

\newpage

L'intensité de ces forces est donnée par :

\[F=F_{R/P}=F_{P/R}=\frac{{\cal G}\times M\times m}{d^2}.\]

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{198_202_08e_nepromeneur}
\figcaption{La force exercée par le rocher sur le promeneur a même intensité, et sens contraire, à la force
exercée par le promeneur sur le rocher.}
\end{center}
}

{\em Application numérique :}

On convertit la masse du rocher dans l'unité de masse du Système
International (puisque c'est dans ce système d'unités que la 
valeur de ${\cal G}$ nous est donnée), soit : $M=2{,}0\times 10^4$~kg.
\[F=\frac{6{,}67\times 10^{-11}\times 2{,}0\times 10^4\times 60}{30^2}
\approx 8{,}9\times 10^{-8}\mbox{~N}.\]
Cette force est parfaitement négligeable devant le poids du promeneur \linebreak
($P\approx 60\times 10=600$~N). Le promeneur ne ressent donc pas cette attraction.
\end{corrige}
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\begin{exo}{Poids sur différents astres}{Lycée du Canada}{2}{10}
Un homme \og pèse \fg $70{,}0$~kg sur Terre. 
\begin{questions}
        \item  Pourquoi le mot \og pèse \fg est-il entre guillemets dans
        la phrase ci-dessus ? Quelle serait une formulation correcte ?

        \item  Quel serait son poids sur Mars ? Sur la Lune ? On donnera
        également les masses correspondant sur Terre à ces poids.
\end{questions}
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item Masse de la planète Mars : $M_{\rm Mars}=6{,}45\times 10^{23}$~kg.
\item Rayon de la planète Mars : $R_{\rm Mars}=3\,388$~km.
\item Masse de la Lune : $M_{\rm Lune}=7{,}37\times 10^{22}$~kg.
\item Rayon de la Lune : $R_{\rm Lune}=1\,738$~km.
\item Intensité de la pesanteur sur Terre : $g=9{,}80$~N.kg$^{-1}$.
\item Constante universelle de la gravitation : 

\hfill ${\cal G}=6{,}67\times 10^{-11}$~N.kg$^{-2}$.m$^2$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}
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%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  Le mot \og pèse \fg signifie 
        \og a un poids de \fg, et un poids est une force, qui s'exprime en
        newtons, et non une masse, qui s'exprime en kilogrammes. Une
        formulation correcte serait :
        \og Un homme a une masse de $70{,}0$~kg \fg ou \og Un homme a sur Terre le poids
        qui est celui d'une masse de $70{,}0$~kg \fg.

        \item  Son poids est l'intensité de l'interaction gravitationnelle
        entre l'homme et la planète, qui est donnée par :
\[P=F=\frac{{\cal G}\times M\times m}{R^2}\;,\]
        où $m=70{,}0$~kg est la masse de l'homme, $M$ est la masse de la
        planète, ${\cal G}$ est la constante de la gravitation, et $R$ est
        le rayon de la planète.\\       
        Dans le cas de Mars, l'application numérique donne :
\[P_1=\frac{6{,}67\times 10^{-11}\times 6{,}45\times 10^{23}\times 70{,}0}{(3388\times 10^3)^2}=262\text{~N}.\]
        Ceci est sur Terre le poids d'une masse $m_1=\dfrac{P_1}{g}\approx 27$~kg.\\     
        Dans le cas de la Lune, l'application numérique donne :
\[P_2=\frac{6{,}67\times 10^{-11}\times 7{,}37\times 10^{22}\times 70{,}0}{(1\,738\times 10^3)^2}=114\text{~N}.\]
        Ceci est sur Terre le poids d'une masse $m_1=\dfrac{P_2}{g}\approx 12$~kg.\\     
        Le poids de cet homme sur Terre est $P=mg=686$~N. On voit donc
        que l'on est $2{,}6$ fois plus léger sur Mars et $6$ fois plus
        léger sur la Lune (Attention ! On dit bien \og plus léger \fg, pas
        \og moins massif \fg ; la masse reste la même).
\end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Boules de pétanque}{Lycée Colbert, Lorient}{2}{10}
On considère deux boules de pétanque de masse $m=715$~g, posées sur le sol, leurs centres 
respectifs se trouvant à une distance $d=25$~cm. 
\begin{questions}
\item Quel est le poids de chaque boule~?
\item Calculer la valeur de la force d'\index{interaction gravitationnelle}interaction gravitationnelle 
  $F$ entre les deux boules. 
\item Comparer cette force à leur poids. 
\end{questions}
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item $g=9{,}81$~N.kg$^{-1}$.
\item ${\cal G}=6{,}67\times 10^{-11}$~N.kg$^{-2}$.m$^2$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}
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%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Le poids de chaque boule est donné par:
\[P=m\times g=0{,}715\times 9{,}81=7{,}01\mbox{~N}.\]
On garde trois chiffres significatifs compte-tenu de la précision des 
données de l'énoncé. 
\item La valeur de la force d'interaction gravitationnelle entre les 
  deux boules est donnée par:
\[F=\frac{{\cal G}\times m\times m}{d^2}=\frac{{\cal G}\times m^2}{d^2}.\]
L'application numérique donne (on veille à tout convertir au préalable 
dans les unités du Système International):
\[F=\frac{6{,}67\times 10^{-11}\times 0{,}715^2}{0{,}25^2}=5{,}5\times10^{-10}\mbox{~N}.\]
On garde cette fois-ci deux chiffres significatifs, étant donnée la 
précision avec laquelle est donnée la distance entre le centre des 
deux boules. 
\item Cette force est considérablement plus petite que leur 
  poids. Plus précisément, nous avons:
\[\frac FP=7{,}8\times 10^{-11}\mbox{~~~ou encore~~~}\frac 
PF=1{,}3\times 10^{10}.\]
Le poids est treize milliards de fois plus grand que la force 
d'interaction gravitationnelle entre les boules. 
  \end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Poids sur une autre planète}{Lycée Rabelais, Meudon}{2}{15}
On considère un objet de masse $m$ à la surface d'une planète sphérique, de rayon $R$ et de
masse~$M$. L'\index{intensité de la pesanteur}intensité de la pesanteur à la surface de cette planète est $g$.

\begin{questions}
\item Exprimer le poids $P$ de cet objet en fonction de $m$ et $g$.
\item Exprimer l'intensité de la force gravitationnelle $F$ que la planète exerce
sur cet objet, en fonction de $m$, $M$, $R$ et ${\cal G}$.
\item Quelle relation y a-t-il entre le poids et la force gravitationnelle ?
\item En déduire l'expression de $g$ en fonction de ${\cal G}$, $M$ et $R$.
\item Effectuer l'application numérique pour la Terre, puis pour Saturne.
\end{questions}
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item $M_{\rm Terre}=6{,}0\times 10^{24}$~kg.
\item $R_{\rm Terre}=6\,400$~km.
\item $M_{\rm Saturne}=5{,}68\times 10^{26}$~kg.
\item $R_{\rm Saturne}=\numprint{60268}$~km.
\item ${\cal G}=6{,}67\times 10^{-11}$~N.kg$^{-2}$.m$^2$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
Le poids $P$ de l'objet est simplement donné par : $P=mg$.
\item 
La force gravitationnelle que la planète exerce sur l'objet est donnée,
d'après le cours, par :
\[F = \frac{{\cal G}\times M\times m}{R^2}.\]
\item 
Le poids de l'objet correspond précisément à la force gravitationnelle
exercée sur lui par la planète. Donc $F=P$.
\item 
On peut donc écrire :
\begin{eqnarray}
P&=&m\times g\nonumber\\
\mbox{et~~}P&=&m \times \frac{{\cal G}\times M}{R^2}\;,\nonumber
\end{eqnarray}
d'où l'on déduit que l'on a : 
\[g=\frac{{\cal G}\times M}{R^2}.\]
\item
Pour la Terre, nous avons :
\[g=\frac{6{,}67\times 10^{-11}\times 6{,}0\times
10^{24}}{(6{,}4\times 10^6)^2}\approx  9{,}8\mbox{~N. kg}^{-1}.\]  
Nous gardons deux chiffres significatifs compte-tenu des précisions de
l'énoncé.

Pour Saturne, nous avons :
\[g=\frac{6{,}67\times 10^{-11}\times 5{,}68\times 10^{26}}{(6{,}027\times 10^7)^2}\approx 10{,}4\mbox{~N.kg}^{-1}.\]
Ici nous pouvons garder trois chiffres significatifs.

On remarque que l'intensité de la pesanteur est comparable sur la Terre et sur Saturne.
\end{questions}
\end{corrige}
%
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%
\begin{exo}{Force entre deux étoiles}{Lycée Buffon, Paris}{2}{15}
On considère une étoile double. Les deux
étoiles composant cette étoile double ont respectivement les masses
$M_1=2{,}5$~$M_\odot$ et $M_2=0{,}80$~$M_\odot$, où $M_\odot$ est la masse du Soleil.
Elles sont séparées par une distance $d=0{,}12$~U.A. (unités astronomiques).

\begin{questions}
\item Quelle force, exprimée en newton, exerce l'étoile la plus massive
sur la moins massive ?
\item Même question pour la force exercée par l'étoile la moins massive sur
la plus massive.
\end{questions}
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item $1$~U.A.$=1{,}50\times 10^8$~km.
\item $M_\odot=2{,}0\times 10^{30}$~kg.
\item ${\cal G}=6{,}67\times 10^{-11}$~N.kg$^{-2}$.m$^2$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
La force exercée par l'étoile la plus massive sur la moins massive est égale à :

\[F_{1\rightarrow 2} =\frac{{\cal G}\times M_1\times M_2}{d^2}.\]

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{201_203_08e_neetoiledouble}
\figcaption{Forces exercées par chaque étoile sur sa compagne.}
\end{center}
}

Avant d'effectuer l'application   numérique, convertissons toutes  les
grandeurs du problème aux unités du Système International. Nous obtenons :

\begin{eqnarray}
M_1&=&2{,}5\times 2{,}0\times 10^{30}=5{,}0\times 10^{30}\mbox{~kg}\nonumber\\
M_2&=&0{,}80\times 2{,}0\times 10^{30}=1{,}6\times 10^{30}\mbox{~kg}\nonumber\\
d&=&0{,}12\times 1{,}5\times 10^8\times 10^3=1{,}8\times 10^{10}\mbox{~m}\nonumber
\end{eqnarray}

Nous avons donc :
\[F_{1\rightarrow 2}=\frac{6{,}67\times 10^{-11}\times 5{,}0\times 10^{30}\times 
1{,}6\times 10^{30}}{(1{,}8\times 10^{10})^2}\approx 1{,}6\times 10^{30}\mbox{~N}.\]
\item 
La force exercée par l'étoile la moins massive sur la plus massive a même
intensité : $F_{1\rightarrow 2}=F_{2\rightarrow 1}\approx 1{,}6\times 10^{30}$~N.
\end{questions}
\end{corrige}

%
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%
\begin{exo}{Force entre le Soleil et la Terre}{Lycée Les Fauvettes, Cannes}{2}{15}
On considère le système Terre-Soleil.

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{193_08e_systterreSoleil}
\figcaption{Le système Terre-Soleil (l'échelle n'est pas respectée).}
\end{center}
}

On suppose que la répartition de masse du Soleil et de la Terre est
à symétrie sphérique.
\begin{questions}
        \item  Caractériser la force gravitationnelle $\vec F_1$ exercée par
        le Soleil sur la Terre.

        \item  Caractériser la \index{force!gravitationnelle}force gravitationnelle $\vec F_2$ exercée par
        la Terre sur le Soleil.

        \item  Les représenter sur la figure de l'énoncé. On adoptera pour
        échelle $1$~cm pour ${2\times 10^{22}}$~N.
\end{questions}
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item Masse de la Terre : $M_{\rm T}=6{,}0\times 10^{24}$~kg.
\item Masse du Soleil : $M_{\rm S}=2{,}0\times 10^{30}$~kg.
\item Constante universelle de la gravitation : 

\hfill ${\cal G}=6{,}67\times 10^{-11}$~N.kg$^{-2}$.m$^2$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\enlargethispage*{4em}
L'interaction gravitationnelle entre
le Soleil et la Terre a pour valeur :\\
\[F=\frac{{\cal G}\times M_S\times M_T}{d^2}\]
où $d$ est la distance Terre-Soleil.\\
L'application numérique donne :
\[F=\frac{6{,}67\times 10^{-11}\times 2\times 10^{30}
\times 6\times 10^{24}}{(150\times 10^9)^2}\approx3{,}6\times 10^{22}
\text{~N}.\]
\begin{questions}
        \item  La force gravitationnelle $\vec F_1$ exercée par le Soleil
        sur la Terre a pour valeur $F$ (déterminée ci-dessus), et est
        dirigée de la Terre vers le Soleil.

        \item  La force gravitationnelle $\vec F_2$ exercée par la Terre
        sur le Soleil a pour valeur $F$ (déterminée ci-dessus), et est
        dirigée du Soleil vers la Terre.

        \item  La longueur des flèches par lesquelles on représente les
        forces doit être : ${\dfrac{3{,}6}{2}=1{,}8}$~cm.
        On en déduit le schéma suivant :

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{201_205_08e_systtssol}
\figcaption{La force exercée par le Soleil sur la Terre et la force
exercée par la Terre sur le Soleil ont même valeur.}
\end{center}
}
\end{questions}
\end{corrige}

%
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%%% RETROUVEZ LA VIDEO DE LA CORRECTION NL

\begin{exo}{Exoplanète CoRoT-7b}{Lycée Descartes, Tours}{3}{20}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo avec \PictoNathanLive]{exoplanète CoRoT-7b}{}

En 2009, le satellite CoRoT a découvert autour d'une étoile de masse\linebreak
$0{,}93\pm0{,}03$ fois celle du Soleil, une planète, baptisée
CoRoT-7b. Cette planète a une masse estimée à $0{,}0151$ fois celle de
Jupiter, et un rayon estimé à $0{,}15$ fois celui de Jupiter.

\begin{questions}
\item Donner un encadrement de la masse de l'étoile, dans les unités
  du Système International.
\item Calculer la valeur de la force d'\index{interaction gravitationnelle}interaction gravitationnelle
  entre l'exoplanète et un objet de masse $m=1$~kg situé à sa surface.
\item En déduire la valeur du champ de pesanteur à la surface de cette planète.
\end{questions}
\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item Masse du Soleil: $M_\odot = 2{,}00\times 10^{30}$~kg.
\item Masse de Jupiter: $M_J=1{,}90\times 10^{27}$~kg.
\item Diamètre équatorial de Jupiter: $D_J=\numprint{142984}$~km.
\item Constante de la gravitation: 
${\cal G}=6{,}67\times 10^{-11}$~kg$^{-1}$.m$^3$.s$^{-2}$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}
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%%%%
\begin{corrige}
\enlargethispage*{4em}
  \begin{questions}
  \item \rput(-1.1,0.05){\PictoNathanLive[Video]}La masse maximale de l'étoile hôte de CoRoT-7b est
    \[M_*^\text{max}=(0{,}93+0{,}03)\times M_\odot=1{,}92\times    10^{30}\mbox{~kg}.\]
    De la même manière, sa masse minimale est:
    \[M_*^\text{min}=(0{,}93-0{,}03)\times M_\odot=1{,}80\times     10^{30}\mbox{~kg}.\]
    La masse $M_*$ de l'étoile obéit donc à l'encadrement suivant:
    \[1{,}80\times 10^{30}\mbox{~kg} < M_*<1{,}92\times 10^{30}\mbox{~kg}.\]
  \item La loi de la gravitation universelle indique que la force $F$
    recherchée est donnée par:
    \[F=\frac{{\cal G}\times M_p\times m}{R^2},\]
    où $M_p$ est la masse de la planète et $R$ son rayon. On peut
    appliquer cette formule dans la mesure où l'on suppose que la
    répartition de la masse dans la planète est à symétrie
    sphérique. Avant d'effectuer l'application numérique, il nous faut
    convertir la masse et le rayon de la planète dans les unités du
    système international. Nous avons:
    \[M_p = 0{,}0151\times 1{,}90\times 10^{27}=2{,}87\times    10^{25}\mbox{~kg}\]
    et
    \[R=\frac{0{,}15\times\numprint{142984}}{2}=1{,}1\times 10^4\mbox{~km}=1{,}1\times 10^7\mbox{~m}.\]
    Compte-tenu du nombre de chiffres significatifs donnés dans
    l'énoncé, on garde trois chiffres significatifs pour la masse et
    deux pour le rayon. Nous sommes à présent en mesure d'effectuer
    l'application numérique:
    \[F=\frac{6{,}67\times 10^{-11}\times 2{,}87\times 10^{25}\time
      1}{(1{,}1\times 10^7)^2}=16\mbox{~N}.\]
    Nous gardons deux chiffres significatifs, puisque c'est la
    précision avec laquelle est donné le rayon. Notons qu'ici on ne
    considère pas le nombre de chiffres significatifs avec lequel est
    donnée la masse $m$. Celle-ci est une masse arbitraire utilisée
    pour inférer, à la question suivante, la valeur du champ de
    pesanteur $F/m$. Le nombre de chiffres significatifs de $m$
    n'intervient pas dans le résultat final, et on obtiendrait un
    résultat de précision trop basse si l'on ne gardait qu'un chiffre
    significatif pour $F$. On peut considérer que cette masse est
    donnée avec une précision arbitrairement grande.
  \item La valeur du champ de pesanteur s'en déduit par:
    \[g_{\text{CoRoT-7b}}=16\mbox{~N.kg}^{-1}.\]
    On retrouve bien, sur l'expression littérale du champ:
    \[g = \frac F m=\frac{{\cal G}\times M_p}{R^2},\]
    que la valeur de la masse $m$ n'intervient pas dans le résultat.
  \end{questions}
\end{corrige}
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\begin{exo}{Chute de la Lune sur la Terre}{Lycée Stanislas, Paris}{3}{35}
On se propose dans cet exercice de montrer comment on peut 
considérer que la Lune est perpétuellement en \og chute libre \fg 
vers la Terre et de calculer de quelle distance $d_1$ elle \og tombe \fg 
vers la Terre en une seconde. On suppose que l'orbite de la Lune 
est un cercle de rayon $R$ et de centre~$O$. La Terre est placée 
au point~$O$. 

\smallskip 

\hfill\includegraphics{194_08e_orblune01}%
\hfill\includegraphics{194_08e_orblune02}%
\hfill\phantom{m}
\begin{questions}
        \item  Soit $d$ la \index{distance}distance 
        parcourue par la Lune en un intervalle de temps \linebreak$\Delta t=1$~s. 
        Exprimer la distance~$d$ en fonction de $v_L$, vitesse de la Lune 
        sur son orbite, et de $\Delta t$. 

        \item  Quelle serait la trajectoire de la Lune en l'absence 
        de la Terre ? 

        \item 
        Montrer que la 
        distance $D$ à laquelle la Lune se retrouve du point~O au bout 
        d'un temps $\Delta t$, en l'absence de la Terre, s'écrit : $D=\sqrt{R^2+v_L^2\Delta t^2}$. 
        \enlargethispage*{4em}
        
        {\it Indication} : on utilisera le théorème de Pythagore. 

        \item  En fait, la Lune est toujours à la distance~$R$ de la 
        Terre au bout d'un temps~$\Delta t$ puisqu'elle décrit une 
        orbite circulaire. La distance dont elle est \og tombée \fg vers 
        la Terre par rapport à sa trajectoire non perturbée est 
        donc : $d_1=D-R$. Montrer que l'on peut écrire : 
        
        \[d_1=\frac{v_L^2\Delta t^2}{\sqrt{R^2+v_L^2\Delta t^2}+R}.\]
        
        {\em Indication :}~
        On évaluera $(\sqrt{R^2+v_L^2\Delta t^2}+R)d_1$ et on écrira\\
        $d_1 
        =D-R$, puis on substituera $D$ par l'expression obtenue plus 
        haut. On devra utiliser l'identité remarquable : 
        \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]

        \item  Effectuer l'application numérique. 

        \item  Sur Terre, au bout d'un temps $\Delta t$, un corps initialement 
        au repos tombe vers la Terre d'une distance $d_2=4{,}9$~m. 
        Calculer le rapport $\frac{d_2}{d_1}$. Calculer également 
        $\displaystyle \left(\frac{R}{r_T}\right)^2$, où $r_T$ est le rayon de la Terre. 
        Quelle remarque pouvez-vous faire ? 
\end{questions}

\Par

\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item Rayon de l'orbite lunaire : $R=384\,400$~km. 
\item Vitesse de la Lune sur son orbite : $v_L=1\,023$~m.s$^{-1}$. 
\item Rayon de la Terre : $r_T=6\,378$~km. 
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exo}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  La distance parcourue est simplement donnée par : 
        \[\text{~distance~}=\text{~vitesse~}\times \text{~temps}\]
        donc ici : 
        \[d=v_L\Delta t.\]
        \item  En l'absence de la Terre, la Lune ne serait soumise à 
        aucune force et d'après le cours du chapitre précédent elle 
        serait animée d'un mouvement rectiligne uniforme, et sa 
        trajectoire serait une droite.  

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{203_206_08e_chutelunesol01}\\
\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\figcaption{Trajectoire de la Lune en présence et en l'absence de la Terre.}
\end{minipage}
\end{center}
}
        \item  Soit $L_1$ la position initiale de la Lune, $L_2$ sa 
        position au bout d'un temps $\Delta t$ en l'absence de la Terre. 
        

        Le triangle $OL_1L_2$ est rectangle en $L_1$ donc on peut 
        appliquer le théorème de Pythagore et écrire : 
        \[OL_2^2=OL_1^2+L_1L_2^2\;,\]
        soit : 
\[D^2=R^2+d^2=R^2+(v_L\Delta t)^2.\]
        D'où l'on déduit : 
\[D=\sqrt{R^2+v_L^2\Delta t^2}.\]

\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{203_206_08e_chutelunesol02}\\
\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\figcaption{En l'absence de la force gravitationnelle de  la Terre, la Lune s'éloignerait de la Terre.}
\end{minipage}
\end{center}
}

        \item  Commençons par évaluer : 
        \begin{align*}
        \left(\sqrt{R^2+v_L^2\Delta t^2}+R\right)d_1 
                &= \left(\sqrt{R^2+v_L^2\Delta t^2}+R\right)(D-R)\\
                &= \left(\sqrt{R^2+v_L^2\Delta t^2}+R\right)\left(\sqrt{R^2+v_L^2\Delta t^2}-R\right)\\
                &= \left[\sqrt{R^2+v_L^2\Delta t^2}\right]^2-R^2\\
                &=R^2+v_L^2\Delta t^2-R^2=v_L^2\Delta t^2 
        \end{align*}
        On a donc : 
        \[\left(\sqrt{R^2+v_L^2\Delta t^2}+R\right)d_1=v_L^2\Delta t^2\;,\]
        d'où l'on déduit, en divisant chaque membre par 
        $(\sqrt{R^2+v_L^2\Delta t^2}+R)$, l'égalité demandée dans 
        l'énoncé, à savoir :    
\[d_1=\frac{v_L^2\Delta t^2}{\sqrt{R^2+v_L^2\Delta t^2}+R}.\]

        \item  Commençons par évaluer : 
\[
D=\sqrt{R^2+v_L^2\Delta t^2}=\sqrt{(\numprint{384400}\times 10^3)^2+\numprint{1023}^2\times 1^2}=3{,}844\times 10^8\text{~m}. 
\]
        On note que cette distance est égale au rayon de l'orbite lunaire 
        à la précision de la calculatrice près. C'est pourquoi il a fallu 
        effectuer la longue manipulation ci-dessus pour arriver malgré 
        tout à évaluer la {\em toute petite distance} dont la Lune 
        tombe sur la Terre en une seconde.\\    
        Nous pouvons à présent terminer l'application numérique :       
\[d_1=\frac{1\,023^2}{3{,}844\times 10^8+3{,}844\times 10^8}
        \approx 1{,}4\times 10^{-3}\text{~m}=1{,}4\text{~mm}.\]   
        La Lune tombe de $d_1=1{,}4$~mm par seconde sur Terre. 

        \item  On a : 
        
\[\frac{d_2}{d_1}=\frac{4{,}9}{1{,}4\times 10^{-3}}=3\,500.\]
        On ne précise pas d'unité car il s'agit d'un rapport de longueurs, 
        donc d'un nombre sans dimension.\\      
        De la même manière, nous avons : 
\[\left(\frac{R}{r_T}\right)^2=
        \left(\frac{384\,400}{6\,378}\right)^2\approx 60^2= 3\,600.\]     
        Les deux nombres que nous venons d'évaluer sont sensiblement égaux. 
        D'une certaine manière, un corps situé sur Terre tombe 
        vers celle-ci (vers \og le bas \fg) $3\,500$ fois \og plus vite \fg qu'un corps 
        (comme la Lune) situé au niveau de l'orbite lunaire.
        
        \newpage
        
         D'un autre 
        côté, la Lune est situé $60$ fois plus loin que la surface terrestre 
        du centre de la Terre, donc l'interaction gravitationnelle d'un 
        corps au niveau de l'orbite de 
        la Lune est $60^2=3\,600$ fois plus petite qu'à la surface de la Terre. 
        On voit ici manifestement le lien entre interaction gravitationnelle 
        et mouvement de chute (lié au poids), et de manière plus
        générale comment l'action d'une force est directement liée à
        la variation du vecteur-vitesse du système.
\end{questions}
\end{corrige}
%
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\begin{exo}{Fusée vers Mars}{Lycée Pasteur, Neuilly}{3}{20}
Dans cette première partie, on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Une fusée décolle vers le ciel en projetant des gaz vers le sol.
\begin{questions}
\item La fusée exerce-t-elle une force sur les gaz?
\item Faire le diagramme objet-interactions du système \{fusée\}.
\item On note $\gvec{F_{\text{gaz/fusée}}}$ la force exercée par les gaz sur la fusée.
\begin{questions}
\item Déterminer le sens et la direction de $\gvec{F_{\text{gaz/fusée}}}$.
\item Déterminer le sens et la direction de $\gvec{F_{\text{fusée/gaz}}}$.
\item Comparer les normes des deux forces en justifiant votre raisonnement.
\end{questions}
\end{questions}

On se place dans le référentiel lié au centre de la planète Mars, que l'on supposera galiléen, et on considère que la fusée suit une orbite circulaire autour de Mars avec une vitesse de norme constante. On suppose de plus qu'elle n'éjecte plus de gaz.

On notera $m_1$ la masse de Mars et $m_32$ celle de la fusée.

\begin{questions}
\setcounter{enumi}{3}
\item Les actions autres que celles de Mars sur la fusée sont négligeables. En déduire si la fusée est soumise à des forces qui se compensent.

\item En déduire, en justifiant, si le vecteur vitesse de la fusée varie. Si c'est le cas, quelle(s) caractéristique(s) du vecteur vitesse de la fusée varie(nt) ?

\item Représenter la situation par un schéma sans se soucier de l'échelle de représentation des vecteurs forces et vitesse.

\item Avant de se mettre en orbite, la fusée se rapproche de Mars. Lorsque la fusée est à une distance $d_1=\numprint{20000}$~km du centre de Mars, elle ressent une force de norme $F_1=150$~N. Lorsque la fusée est à une distance $d_2=\numprint{10000}$~km du centre de Mars, elle ressent une force de norme $F_2=600$~N.

En déduire si l'expression mathématique de la force d'interaction gravitationnelle est :
\[
F_g^a=G\times\dfrac{m_1\times m_2}{d}
\]
ou:
\[
F_g^b=G\times\dfrac{m_1\times m_2}{d^2},
\]
en expliquant bien le raisonnement.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fusée monte car les gaz éjectés exercent une force de poussée sur la fusée. Si les gaz exercent
un force sur la fusée, d’après le principe de l’action et de la réaction, il existe également un force de
même intensité qui s’exerce de la fusée sur les gaz. La fusée exerce donc une force sur les gaz.

\item Le diagramme est indiqué ci-dessous.
\begin{center}
\includegraphics{205_interaction-fusee}
\end{center}

\item
\begin{questions}
\item Cette force est verticale, de bas en haut (elle fait monter la fusée).
\item Cette force est verticale, de haut en bas (elle est opposée à la force précédente d’après le principe de l’action et de la réaction).
\item Ces deux forces sont égales en norme, d’après le principe de l’action et de la réaction.
\end{questions}

\item La fusée est uniquement soumise à l’attraction de la planète Mars. Elle est donc soumise à une
force unique et non à des forces qui se compensent. Cela est confirmé par la trajectoire de la fusée :
la trajectoire n’est pas rectiligne uniforme (elle est circulaire). D’après le principe d’inertie, elle
n’est donc pas soumise à des forces qui se compensent.

\item Comme le mouvement n’est pas rectiligne uniforme, on en déduit que le vecteur vitesse varie au
cours du temps. Il est indiqué dans l’énoncé que la norme de la vitesse est constante. Le vecteur
vitesse varie en direction et en sens (mais pas en norme).

\begin{center}
\includegraphics{206_mars-fusee}
\end{center}

\item Lorsque la fusée se rapproche de Mars, cela ne fait varier ni $m_1$ (la masse de Mars), ni $m_2$ (la masse de la fusée), ni G (la constante de gravitation universelle).

Si la première formule était la bonne, le produit $F \times d$ ne devrait donc pas varier (puisque $F \times d = G \times m_1 \times m_2$).

Or, 
\[
F_1 \times d_1 = 150 \times \numprint{20000} = \numprint{3000000}=3\times10^6~\rm{N.km^2}
\]
alors que:
\[
F_2 \times d_2 = 600 \times \numprint{10000} = \numprint{6000000}=6\times10^6~\rm{N.km^2}.
\]
Cette hypothèse n'est donc pas valide.

Si la seconde formule est la bonne, c'est le produit $F \times d^2$ qui ne varie pas.

Cette fois, on a bien:
\[
F_1 \times d_1^2 = 150 \times \numprint{20000}^2 = \numprint{60000000000}=6\times10^{10}~\rm{N.km^2}
\]
et 
\[
F_2 \times d_2^2 = 600 \times \numprint{10000}^2 = \numprint{60000000000}=6\times10^{10}~\rm{N.km^2}.
\]
La formule est donc possible.

Cette formule est juste: elle correspond à la\textit{ loi de la gravitation universelle de Newton}.
\end{questions}
\end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige
