\chapter{Mesure et incertitudes}

\section{Introduction}
\label{sec:introduction}
\begin{exointro}{\null}
  La résistance $R$ d'un conducteur ohmique est mesurée successivement par
  10~élèves, chacun étant équipé de son propre multimètre.  
  
  Ils
  obtiennent les mesures suivantes: 
  
  \Par
  
\begin{center}  
  $155{,}1$~k$\Omega$, $153{,}1$~k$\Omega$, $155{,}7$~k$\Omega$, $155{,}8$~k$\Omega$, $156{,}1$~k$\Omega$, 
  
  $154{,}3$~k$\Omega$, $156{,}8$~k$\Omega$,
  $157{,}2$~k$\Omega$, $155{,}8$~k$\Omega$ et $154{,}9$~k$\Omega$.
  \end{center}
  
  
  \begin{questions}
    \item Représenter l'histogramme de ces mesures. On prendra des
      intervalles de largeur $1$~k$\Omega$ entre $152$~et $159$~k$\Omega$.
    \item En utilisant un logiciel tableur, calculer la moyenne et
      l'écart-type de l'échantillon de ces valeurs.
    \item Quelle est l'incertitude type ?
    \item Les fabricants utilisent un code couleur pour spécifier la valeur
     de la résistance et sa précision.  Leur signification est donnée
     par la figure suivante:

     \begin{center}
     \includegraphics{319_ohmique1}
     \end{center}

\BreakWithoutItem
      
     
     \begin{minipage}{35mm}
       Pour les deux premiers anneaux (chiffres): 
       
       \Par
       
       \begin{tabular}{|Zc|Zc|}
         \hline 
         \tabulartitle 
         \bfseries  Couleur &\bfseries Chiffre\\ \hline 
         Noir & 0\\ \hline 
         Marron & 1\\ \hline 
         Rouge & 2\\ \hline 
         Orange & 3\\ \hline 
         Jaune & 4\\ \hline 
         Vert & 5\\ \hline 
         Bleu & 6\\ \hline 
         Violet & 7\\ \hline 
         Gris & 8\\ \hline 
         Blanc & 9\\ \hline 
       \end{tabular}
     \end{minipage}
 \hspace{1cm}
     \begin{minipage}{35mm}
       Pour le multiplicateur: 
       
       \Par
       
       \begin{tabular}{|Zc|Zc|}
         \hline 
         \tabulartitle 
         \bfseries  Couleur &\bfseries Multiplicateur\\ \hline 
         Noir &  $\times  1\;\Omega$\\ \hline 
         Marron &  $\times  10\;\Omega$\\ \hline 
         Rouge &  $\times  100\;\Omega$\\ \hline 
         Orange &  $\times  1\;\mathrm{k}\Omega$\\ \hline 
         Jaune &  $\times  10\;\mathrm{k}\Omega$\\ \hline 
         Vert &  $\times  100\;\mathrm{k}\Omega$\\ \hline 
         Bleu &  $\times  1\;\mathrm{M}\Omega$\\ \hline 
         Violet &  $\times  10\;\mathrm{M}\Omega$\\ \hline 
         Gris &  $\times  100\;\mathrm{M}\Omega$\\ \hline 
         Blanc &  $\times  1\;\mathrm{G}\Omega$\\ \hline 
         Or & $\times  0{,}1\;\Omega$\\\hline 
       \end{tabular}
     \end{minipage}

\Par

     Enfin, pour la précision, nous avons les codes suivants:
     
     \Par
     
     \begin{center}
       \begin{tabular}{|Zc|Zc|}
         \hline 
         \tabulartitle 
         \bfseries  Couleur &\bfseries Tolérance\\ \hline 
         Marron & $\pm 1$\%\\ \hline 
         Rouge & $\pm 2$\%\\ \hline 
         Vert & $\pm 0{,}5$\%\\ \hline 
         Bleu & $\pm 0{,}25$\%\\ \hline 
         Violet & $\pm 0{,}1$\%\\ \hline 
         Gris & $\pm 0{,}05$\%\\ \hline 
         Or & $\pm 5$\%\\ \hline 
         Argent & $\pm 10$\%\\ \hline 
       \end{tabular}
     \end{center}
     
     Le conducteur ohmique dont les élèves ont mesuré la résistance a
     l'aspect suivant:


    \begin{center}
      \includegraphics{320_ohmique2}
      \end{center}

     Ceci est-il compatible avec les résultats de
     leurs mesures ?
   \item À votre avis, quelle est la raison de la dispersion des
     résultats des mesures des élèves~?
\end{questions}
\end{exointro}

\newpage

Ce chapitre n'est pas spécifiquement relié à l'un des thèmes du
programme. Nous y abordons les notions de dispersion de mesures et
d'incertitude. Celles-ci sont susceptibles de s'appliquer à la mesure
de toutes les grandeurs que l'on rencontre dans les autres parties du
programme.

\section{Étude d'une série de mesures}
\label{sec:etude-dune-serie}
Lors d'une séance de travaux pratiques, des groupes d'élèves mesurent
la vitesse du son dans l'air, avec trois chiffres significatifs. Ils
obtiennent les valeurs suivantes: 

\Par

\begin{center}
$380$~m.s$^{-1}$, $340$~m.s$^{-1}$,
$350$~m.s$^{-1}$, $320$~m.s$^{-1}$, 

$330$~m.s$^{-1}$,
$340$~m.s$^{-1}$, $360$~m.s$^{-1}$, $350$~m.s$^{-1}$.
\end{center}

\Par

Tous ces
résultats ne sont pas égaux car la précision du dispositif
expérimental utilisé par les élèves est limitée.

On dit que les mesures d'une grandeur physique (ici la vitesse du son)
ont une \emph{dispersion}.

Cette dispersion dépend du protocole expérimental.

Dans le cas de l'expérience des élèves, on voit bien que la vitesse du
son dans les conditions de la mesure est très probablement comprise
entre $330$~m.s$^{-1}$ et $380$~m.s$^{-1}$, et vraisemblablement vers
le milieu de cet intervalle. Nous pouvons utiliser divers indicateurs
statistiques pour extraire toute l'information possible de cette série
de mesures et en cerner les limites.

\subsection{Indicateurs numériques}
\label{sec:indic-numer}
Le premier indicateur qui vient à l'esprit est la \emph{moyenne}. La \index{moyenne}moyenne
des mesures est ici:

\[\Moy{c_s}=\frac{380+340+350+320+330+340+360+350}{8}=346{,}25~\mbox{m.s}^{-1}.\]

\Par

\rput(-0.5,0){\PictoNathanLive[Prog]}
\vspace*{-6mm}
\begin{listing}{En Python}{cs.py}\end{listing}
\Par
Ce programme affiche alors: \og 346.25 \fg.

\newpage
 
Est-ce à dire que l'on peut déduire de ces expériences, en effectuant
une moyenne, la vitesse du son avec cinq chiffres significatifs~? Une
telle précision paraît exagérée, lorsque chacune des mesures n'est
réalisée qu'avec trois chiffres significatifs, et qu'il n'y a au total
que huit mesures. Pour mieux comprendre les limites de ces mesures et
trouver l'intervalle sur lequel se trouve probablement la vitesse du
son dans les conditions de l'expérience, il nous faut des indicateurs
statistiques qui caractérisent la dispersion des mesures.

Le premier de ces indicateurs statistiques est l'\index{écart-type}écart-type. Nous
pouvons l'obtenir par divers moyens. L'un d'entre eux consiste à
saisir les valeurs des résultats dans un logiciel tableur (Apache
OpenOffice Calc, Excel, Google Spreadsheet, Numbers, etc.). On saisit
ensuite dans une nouvelle case:

\begin{listing}{Avec un tableur}{stdev.rien}\end{listing}


\begin{Remarques}
  \begin{itemize}
  \item  Ici la notation \texttt{A1:A8} indique les cellules dans lesquelles les 
    données ont été rentrées. On suppose dans cet exemple qu'elles se 
    trouvent sur la colonne~A, de la ligne~1 à la ligne~8. 
  \item Selon la version de votre logiciel tableur (et la langue
    d'installation), la syntaxe de la commande peut varier. Au lieu de
    \og ECARTYPE.STANDARD \fg, on peut avoir à saisir \og STDEV \fg
    (de l'anglais \textit{standard deviation}) ou \og STDEVA \fg.
  \item Votre tableur vous propose deux versions de l'écart-type. L'une est
    celle de l'échantillon (\textit{sample} en anglais), l'autre est
    celle dite de Pearson ou de la population. Il convient d'utiliser
    ici celle de l'échantillon.
  \end{itemize}
\end{Remarques}

Lorsque l'on valide cette commande, le contenu de la cellule se
retrouve remplacé par la valeur numérique de l'écart-type. Il vaut ici:
\[\sigma \approx 18{,}5 \mbox{~m.s}^{-1}.\]
\begin{Remarques}
  \begin{itemize}
  \item   On utilise fréquemment la lettre de l'alphabet grec $\sigma$
  (\emph{sigma}) pour représenter un écart-type. 
\item L'écart-type a la même unité que les valeurs qu'il caractérise,
  donc ici il s'exprime en mètre par seconde.
  \end{itemize}
\end{Remarques}

On peut également évaluer l'écart-type avec Python, de la manière suivante: \enlargethispage*{\baselineskip}

\rput(-0.5,0){\PictoNathanLive[Prog]}
\vspace*{-6mm}
\begin{listing}{En Python}{stdev.py}\end{listing}
Ce programme affiche alors : \og 18.4681192484 \fg.

\newpage

La valeur de l'écart-type donne une idée de la  dispersion des données
de part et d'autre de la moyenne. Ainsi, les mesures allaient de
$330$~m.s$^{-1}$ à $380$~m.s$^{-1}$, c.-à-d. de $16$~m.s$^{-1}$
au-dessous de la moyenne à $34$~m.s$^{-1}$ au-dessus de celle-ci,
l'essentiel des mesures étant plus proche de la valeur
moyenne. Ceci est compatible avec la valeur de l'écart-type.

\begin{Remarques}
  \begin{itemize}
  \item Plus la dispersion des mesures est petite, plus l'écart-type
    est petit.
  \item L'écart-type ne peut pas être négatif. Dans le cas
    hypothétique où toutes les mesures seraient identiques,
    l'écart-type serait nul.
  \item Plus l'instrument de mesure est précis, plus l'écart-type de
    la série de mesures est petit.
  \end{itemize}
\end{Remarques}


\subsection{Un indicateur graphique: l'histogramme}
\label{sec:un-indic-graph}
Une autre manière de jauger la dispersion des données est d'utiliser
un \emph{histogramme}. Celui-ci est une représentation graphique du
nombre de mesures se trouvant dans un intervalle de valeurs. Pour
construire l'\index{histogramme}histogramme des résultats de mesure des élèves pour des
intervalles de $10$~m.s$^{-1}$, on procède de la manière suivante.  Il
y a:
\begin{itemize}
\item une mesure qui tombe dans l'intervalle
  $[320\mbox{~m.s}^{-1}, 330\mbox{~m.s}^{-1}[$,
\item une mesure dans l'intervalle
$[330\mbox{~m.s}^{-1}, 340\mbox{~m.s}^{-1}[$,
\item deux mesures dans l'intervalle
$[340\mbox{~m.s}^{-1}, 350\mbox{~m.s}^{-1}[$, etc.
\end{itemize}
Nous reportons
chacune de ces valeurs sous forme d'un graphe comprenant des
rectangles pleins. La base de chacun de ces rectangles correspond à
l'un des intervalles, et sa hauteur au nombre de mesures tombant dans
l'intervalle:

\Par

\begin{center}
\includegraphics{323_histogram1}
\end{center}

\newpage

Cet histogramme peut être élaboré à l'aide d'un tableur, ou en
Python. Ainsi, le code suivant:

\rput(-0.5,0){\PictoNathanLive[Prog]}
\vspace*{-6mm}
\begin{listing}{En Python}{histo1real.py}\end{listing}

\Par

permet de tracer l'histogramme de la figure ci-dessus. Notons qu'un
histogramme dépend des intervalles choisis. Si nous avions décidé de
prendre des intervalles de largeur différente, l'histogramme serait
différent, comme on peut le voir sur la figure ci-après.

\Par

\begin{figure}
  \begin{center}
    \includegraphics{324_histogram2}
    \end{center}
  \textit{Un histogramme dépend de la largeur des
    intervalles. Ici, nous représentons l'histogramme des valeurs
    mesurées par les élèves en choisissant cette fois des intervalles
    de largeur $20$~m.s$^{-1}$.}
\end{figure}

\Par

En règle générale, il convient que la largeur des intervalles soit
comparable à ou légèrement plus petite que l'écart-type. Ici, une largeur de
$10$~m.s$^{-1}$ est un bon choix (on rappelle que l'écart-type vaut
$\sigma\approx 18{,}5$~m.s$^{-1}$).

Un histogramme permet d'évaluer rapidement, de manière graphique, la
dispersion de données expérimentales.

\newpage

\subsection{Incertitude-type}
\label{sec:incertitude-type}
Nous voyons ainsi que la dispersion typique d'une mesure de la vitesse
du son par les élèves, compte-tenu de la précision, relativement
basse, du protocole expérimental, est de l'ordre de
$18{,}5$~m.s$^{-1}$. Pourtant, ne pourrait-on pas déduire, de
toutes les mesures effectuées par les différents groupes, une valeur
plus précise~? Nous avons vu plus haut qu'il était vraisemblablement
illusoire de donner la moyenne avec cinq chiffres
significatifs. Toutefois, il est assez intuitif que la moyenne des
mesures ait une précision supérieure à celle des mesures
individuelles. Cela nous conduit au concept d'\index{incertitude-type}incertitude-type.

L'écart-type $\sigma$ que nous avons évalué pour les mesures
effectuées par les élève nous donne une idée de la dispersion de ces
mesures. Chacune des mesures va être entachée d'une erreur dont
l'ordre de grandeur est $\sigma$. En revanche, la moyenne de plusieurs
de ces mesures est plus précise. L'incertitude-type nous donne une
indication de l'erreur que l'on peut attendre sur la moyenne.
\begin{aretenir}
  L'incertitude-type sur la moyenne de $n$ mesures d'écart-type
  $\sigma$ est donnée par:
  \[u=\frac{\sigma}{\sqrt n}.\]
\end{aretenir}
Dans notre exemple, nous avons $n=8$ mesures de la vitesse du son dans
l'air, donc l'incertitude-type est donnée par:
\[u=\frac{18{,}5}{\sqrt 8}\approx 6{,}5\mbox{~m.s}^{-1}.\]
Cette valeur représente l'incertitude avec laquelle la moyenne des
valeurs représente la vitesse du son. Nous avons vu que cette moyenne
est:
\[\Moy{c_s}=346\mbox{~m.s}^{-1}.\]
Nous n'écrivons plus ici les deux chiffres après la virgule, puisque
l'on sait désormais que l'erreur typique sur cette valeur moyenne est
bien supérieure à $1$~m.s$^{-1}$~!

Puisque l'incertitude-type est de $6{,}5$~m.s$^{-1}$, pouvons-nous
tout de même conclure \emph{avec certitude} que la valeur exacte de la
vitesse du son est comprise entre\linebreak
$\Moy{c_s}-u=346-6{,}5\approx 339$~m.s$^{-1}$ et
$\Moy{c_s}+u=346+6{,}5\approx 353$~m.s$^{-1}$~?\\
Malheureusement
non. Cet intervalle représente juste l'étendue des valeurs où il est
raisonnable d'imaginer que se trouve la valeur exacte de la vitesse du
son, mais on ne peut pas en être certain à $100$~\%. On peut
d'ailleurs démontrer que, lorsque l'erreur de mesure obéit à certaines
propriétés statistiques, alors il y a une probabilité de $68$~\% que
la valeur exacte soit contenue dans l'intervalle
$[\Moy{c_s}-u, \Moy{c_s}+u]$. Si nous voulons plus de certitude, alors
il faut renoncer à être aussi précis: on peut démontrer qu'il y a
$95$~\% de chances que la valeur exacte se trouve dans l'intervalle
$[\Moy{c_s}-2u, \Moy{c_s}+2u]$, et $99$~\% de chances qu'elle se
trouve dans l'intervalle $[\Moy{c_s}-3u, \Moy{c_s}+3u]$. Ce type
d'intervalle est appelé \emph{intervalle de confiance} et le
pourcentage associé est le \emph{niveau de confiance}.

On peut écrire les résultats de la mesure et de l'incertitude-type
associée de la manière suivante:
\[c_s=(346\pm 7)\mbox{~m.s}^{-1}.\] Le symbole $\pm$ signifie \og plus
ou moins\fg.  On écrit toujours l'incertitude-type avec un seul
chiffre significatif (on a $6{,}54\approx 7$~m.s$^{-1}$). Comme il
s'agit ici du chiffre des unités, le dernier chiffre significatif de
la moyenne doit aussi être celui des unités.
\begin{Remarque}
  On arrondit toujours l'incertitude-type au nombre supérieur,
  contrairement à la pratique pour d'autres types de résultats. En
  effet, si l'on arrondissait à la valeur inférieure, on diminuerait
  l'intervalle de confiance, et donc le niveau de confiance associé.
\end{Remarque}

%\enlargethispage*{4em}

\begin{solintro}
  \begin{questions}
  \item L'histogramme demandé a l'allure suivante:
  
  \Par
  
  \begin{center}
    \includegraphics{326_histogram4}
    \end{center}
  \item La moyenne des valeurs est:
    \[\Moy{R}=155{,}48\;\mathrm{k}\Omega.\]
    Nous écrivons pour l'instant tous les chiffres. Il est possible
    que certains ne soient pas significatifs: l'étude de
    l'incertitude-type nous le dira ultérieurement.

    L'écart-type des valeurs est:
    \[\sigma=1{,}20\;\Omega.\]
\Break
  \item On en déduit l'incertitude-type en utilisant la formule:
    \[u=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
    avec $n=10$ (le nombre de mesures).

 On obtient:
    \[u=\frac{1{,}20}{\sqrt{10}}= 0{,}38\ldots\approx 0{,}4\;\Omega.\]
    On ne garde qu'un chiffre significatif pour l'incertitude-type
    (c'est le chiffre des dixièmes) et on écrit alors:
    \[R=(155,5\pm 0,4)\;\Omega.\]
  \item Intéressons-nous dans un premier temps à la valeur numérique
    supposée de la résistance. Le premier anneau correspond à un $1$,
    le second à un $5$ et le troisième à une multiplication par
    $10$~k$\Omega$, ce qui nous donne:
    \[R=15\times 10=150\;\mathrm{k}\Omega.\]    
    La tolérance est (anneau doré) de $\pm 5$\%. Or $5$\% de
    $150\;\mathrm{k}\Omega$ vaut $7{,}5\;\mathrm{k}\Omega$, donc la
    valeur réelle de la résistance doit être comprise entre:
    \[150-7{,}5=142{,}5\;\mathrm{k}\Omega\]
    et
    \[150+7{,}5=157{,}5\;\mathrm{k}\Omega.\]
    La valeur reportée à la réponse précédente est compatible avec ces
    limites.
  \item La dispersion des valeurs mesurées par les élèves est due aux
    erreurs de mesure de leurs multimètres. Notons qu'il serait
    absurde de répondre ici que cela est lié à la tolérance sur la
    valeur de la résistance indiquée par le fabricant. Ici, les élèves
    ne mesurent \emph{qu'une seule} résistance, qui a une valeur bien
    précise.
  \end{questions}
    \end{solintro}
