\thumb
\begin{qcm}{Testez vos connaissances}{5}
  \begin{questions}
  \item La dispersion d'une série de mesures est caractérisée par:

    \resetchoix 
    
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lXX@{}}
    \choix La valeur moyenne &
     \choix L'écart-type &
      \choix L'incertitude-type 
    \end{tabularx}

    
\item Plus une mesure est précise, plus la dispersion des valeurs
  mesurées est:
    \resetchoix 
    
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
      \choix petite & \choix grande
      \end{tabularx}

  \item Quatre groupes d'élèves mesurent la température ambiante
    $\vartheta$ dans la salle de classe lors d'une séance de travaux
    pratiques. La moyenne des valeurs est $21{,}39\;^\circ$C et
    leur écart-type est de $0{,}6\;^\circ$C. Laquelle des écritures
    suivantes est correcte~?

\resetchoix \Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix \(\vartheta=(21{,}39\pm 0{,}6)\;^\circ\mathrm{C}\) &
\choix \(\vartheta=(0{,}6\pm 21{,}4)\;^\circ\mathrm{C}\)\\[5pt]
\choix \(\vartheta=(21{,}4\pm 0{,}3)$ &
\choix \(\vartheta=(21{,}39\pm 0{,}3)\;^\circ\mathrm{C}\)\\[5pt]
\choix \(\vartheta=(21{,}4\pm 0{,}3)\;^\circ\mathrm{C}\) &
\end{tabularx}
    
\item On considère les quatre histogrammes suivants, correspondant
  chacun à une série de mesures de la fréquence du son émis par un
  instrument de musique.

\hspace*{-5em}
\begin{tabular}{ZcZc}
\includegraphics{328_qcm_hist1a} &
  \includegraphics{328_qcm_hist2a}\\[6pt]
\includegraphics{328_qcm_hist3a} &
  \includegraphics{328_qcm_hist4a}  
\end{tabular}
  

\enlargethispage*{\baselineskip}
  \begin{questions}
  \item Sans faire de calcul, indiquer quelle série de mesures a la
    moyenne la plus petite.\resetchoix 
    
    \Par
    
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
     \choix La série~1 & \choix la série~2 &
      \choix la série~3  & \choix la série~4
    \end{tabularx}
   

  
  \item Sans faire de calcul, indiquer quelle série de mesures a l'écart-type le plus élevé.
    \resetchoix 
    
    \Par
    
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXXX@{}}
     \choix La série~1 & \choix la série~2 &
      \choix la série~3  & \choix la série~4
    \end{tabularx}

  \item Deux séries ont été effectuées en jouant la même note. Il s'agit des séries:  \resetchoix
  
  \Par
    
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
     \choix 1 et 2 & \choix 2 et 3 & \choix 3 et 4
     \end{tabularx}
    

  \item Les deux séries de la question précédente présentent une
    dispersion similaire des résultats de mesure.
    \resetchoix 
    
    \Par
    
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
    \choix Vrai & \choix Faux
    \end{tabularx}

  \item   La série pour laquelle on a effectué le plus de mesures est la série~2.\resetchoix 
  
  \Par
    
    \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
    \choix Vrai & \choix Faux
    \end{tabularx}
\end{questions}
\end{questions}
\end{qcm}
%%%%
%%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b] : c'est l'écart-type.
\item Réponse \choix[a] : plus la dispersion est petite.
\item Réponse \choix[e]. On a $n=4$ donc l'incertitude-type est
  $\dfrac{0,6}{\sqrt{4}}=0{,}3\;^\circ$C. On doit donc garder l'expression de
  la valeur moyenne jusqu'au premier chiffre après la virgule. La
  réponse \choix[c] est incorrecte car il manque l'unité.
\item
  \begin{questions}
  \item Réponse \choix[a]. Un ordre de grandeur de la valeur moyenne
    de cette série, pour laquelle les mesures sont toutes comprises
    entre $219{,}7$~Hz et $220{,}3$~Hz, est de $220$~Hz. En répétant
    le même raisonnement pour les autre séries, on voit qu'elles ont
    une valeur moyenne plus grande que celle de la série~A.
  \item Réponse \choix[d]. L'ordre de grandeur de la dispersion des
    mesures de cette série est manifestement supérieure à $1$~Hz,
    alors que la dispersion des autres séries est inférieure à $1$~Hz
    (la différence entre la valeur maximale et valeur minimale dans
    les séries~1 à~3 est au plus égale à $1$~Hz).
  \item Réponse \choix[c] : il s'agit des séries~3 et~4, qui ont
    toutes les deux une valeur moyenne de l'ordre de $440$~Hz.
  \item Réponse \choix[b] : faux. Comme on l'a vu précédemment la
    dispersion des résultats de la série~4 est largement supérieure à
    celle des autres séries.
  \item Réponse \choix[b] : faux. En sommant toutes les valeurs des
    barres de l'histogramme de cette série, on obtient
    $1+1+4+2+2=10$~mesures. Dans chacun des autres histogrammes, il
    existe au moins une barre correspondant à plus de mesures. Ceci
    prouve que non seulement l'affirmation de l'énoncé est fausse,
    mais \emph{a fortiori} que la série~2 est celle pour laquelle on a
    effectué le plus petit nombre de mesures.
  \end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Indice de réfraction d'un verre}{\null}{2}{15}
  On souhaite identifier un type de verre en mesurant son indice de 
  réfraction. On fait effectuer sept mesures indépendantes, qui 
  donnent pour l'indice de réfraction $n$ les résultats suivants: 

  \[1{,}67; 1{,}61; 1{,}61; 1{,}59; 1{,}65; 
    1{,}56; 1{,}68\]

  On donne en outre une liste de différents types de verre, et la 
  valeur de leur indice de réfraction. 

\Par

\begin{center}
        \begin{tabular}{|Zc|Zc|}
         \hline 
         \tabulartitle 
         \bfseries  Dénomination du verre &\bfseries Indice de réfraction\\ \hline 
         BK7 &  $1{,}5168$\\ \hline 
         K5 &  $1{,}5225$\\ \hline 
         BaK50 &  $1{,}5677$\\ \hline 
         SK2 &  $1{,}6074$\\ \hline 
         SSK4 &  $1{,}6177$\\ \hline 
         LaK10 &  $1{,}7200$\\ \hline 
       \end{tabular}
\end{center}

       \begin{questions}
       \item Quelle est la valeur moyenne des mesures ? 
       \item Quel est l'écart-type des mesures ? 
       \item Quelle est l'incertitude-type résultant de cette série de 
         mesures ? 
       \item Ces mesures sont-elles compatibles avec un ou plusieurs des verres 
         de la table ci-dessus ? Si oui, lequel ou lesquels ? 
       \end{questions}
\end{exo}
%%%% 
%%%%
\begin{corrige} 
  \begin{questions}
    \begin{methode}
    Pour résoudre cet exercice, vous pouvez utiliser un logiciel tableur ou 
    le langage Python, comme expliqué dans le cours. 
    \end{methode}
  \item La valeur moyenne des mesures est 
    \[\Moy{n}\approx 1{,}624.\]
  \item L'écart-type des mesures est 
    \[\sigma\approx 0{,}044.\]
  \item L'incertitude-type résultant de cette série est par 
    conséquent: 
    \[u=\frac{\sigma}{\sqrt 7}\approx 0{,}017\]
  \item Nous arrondissons l'incertitude-type de manière à n'avoir 
    qu'un chiffre significatif: 
    \[u\approx 0{,}02\]
    et nous gardons donc l'expression de $\Moy{n}$ avec deux chiffres 
    après la virgule: 
    \[\Moy{n}\approx 1{,}62.\]
    Nous pouvons en définitive écrire: 
    \[n=1{,}62\pm 0{,}02.\]
    Cette valeur est compatible avec les verres SK2 et SSK4. 
  \end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{exo}{Précision d'un GPS}{\null}{3}{20}
  On considère deux capteurs GPS, que nous désignons par la suite par
  A et B. Chacun de ces capteurs mesure sa propre position $(x,y)$
  dans un plan horizontal. Pour simplifier le problème, nous nous
  intéressons uniquement à la statistique des mesures de $x$.  Chacun
  des capteurs effectue une mesure toutes les $\Delta t=0{,}5$~seconde. Le
  capteur~A est immobile, tandis que le capteur~B est animé d'un
  mouvement rectiligne uniforme le long de l'axe des $x$ à la vitesse
  de $10$~m.s$^{-1}$, et se trouve en $x=0$ en $t=0$.

  \smallskip
  
     \begin{minipage}{50mm}
     \begin{center}
       Mesures du capteur~A:
       
       \Par
       
       \begin{tabular}{|Zc|Zc|}
         \hline 
         \tabulartitle 
         \bfseries  temps (s) &\bfseries $x$ (m)\\ \hline 
         $0$ & $9{,}1$ \\ \hline 
         $0{,}5$ & $30{,}0$\\ \hline 
         $1$ &  $22{,}8$\\ \hline 
         $1{,}5$ & $4{,}9$\\ \hline 
         $2$ & $14{,}2$\\ \hline 
         $2{,}5$ & $36{,}5$\\ \hline 
       \end{tabular} 
       \end{center}
     \end{minipage}
 \hspace{5mm}
     \begin{minipage}{50mm}
     \begin{center}
       Mesures du capteur~B: 
       
       \Par
       
       \begin{tabular}{|Zc|Zc|}
         \hline 
         \tabulartitle 
         \bfseries  temps (s) &\bfseries $x$ (m)\\ \hline 
         $0$ & $1{,}4$ \\ \hline 
         $0{,}5$ & $2{,}7$\\ \hline 
         $1$ &  $3{,}3$\\ \hline 
         $1{,}5$ & $26{,}6$\\ \hline 
         $2$ &  $12{,}7$\\ \hline 
         $2{,}5$ & $21{,}3$\\ \hline 
       \end{tabular}
       \end{center}
     \end{minipage}
     \begin{questions}
       \item En utilisant un outil numérique, déterminer l'écart-type des mesures du capteur~B.
       \item L'écart-type des mesures du capteur~B donne-t-il une idée
         de la précision de ce capteur~? Justifier, et proposer une
         méthode permettant d'évaluer la précision de ce capteur.
       \item Pour améliorer la précision avec laquelle est donnée leur
         position, les capteurs calculent la moyenne de plusieurs mesures
         consécutives. Au bout de $3$~secondes, quelle est
         l'incertitude-type sur la position du capteur~A ? Sur la
         position du capteur~B ?
     \end{questions}
\end{exo}
%%%% 
%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
    \item Pour répondre à cette question, nous pouvons utiliser un
      logiciel tableur ou Python. Le format de ce livre étant plus
      adapté à cette dernière option, c'est celle que nous utilisons
      pour présenter la solution.
      
      \Par
	  
	  \rput(-0.5,0){\PictoNathanLive[Prog]}
	  \vspace*{-6mm}
      \begin{listing}{En Python}{xgps.py}\end{listing}
      
      \Par
      
      Ce programme affiche: \og 10.6959182246 \fg.
      
      \Par
      
      L'écart-type des mesures du capteur B est alors:
      \[\sigma_A\approx 11\mbox{~m.s}^{-1}.\]
      
      
      
    \item Les mesures du capteur~B sont dispersées non seulement à
      cause de sa précision finie, mais aussi parce qu'il est en
      mouvement. L'écart-type des mesures du capteur~B ne permet donc
      pas de donner une idée de la précision de ce capteur. On peut
      s'en convaincre en imaginant un capteur de très grande
      précision, pour lequel l'erreur de mesure est négligeable (très
      petite), qui aurait la même trajectoire que le capteur~B. La
      liste de ses mesures successives à partir de $t=0$ serait donc:
      $0$, $5{,}0$~m, $10{,}0$~m, etc. 
      
      \newpage
      
      L'écart-type de 6 mesures
      successives (comme pour les capteurs A et B) s'obtiendrait donc
      de la manière suivante:
      
      \Par
	  
	  \rput(-0.5,0){\PictoNathanLive[Prog]}
	  \vspace*{-6mm}
      \begin{listing}{En Python}{xgpsC.py}\end{listing}
      
      \Par
      
      ce programme affiche: \og 10.8012344973 \fg. 
     
      \Par
      
      L'écart-type obtenu ($\sigma \approx 11\mbox{~m.s}^{-1}$) n'est
      clairement pas lié à l'erreur de mesure, puisque celle-ci est
      par hypothèse négligeable, mais bien au mouvement du capteur.

      Pour remédier à ce problème, on se place dans le référentiel lié
      au capteur~B. Dans ce référentiel, en mouvement par rapport au
      capteur~A, nous introduisons la coordonnée $x'$, mesurée par
      rapport à la position $x_B$ du capteur~B:
      \[x'=x-x_B.\]
      Par ailleurs, le capteur~B étant animé d'un mouvement rectiligne
      uniforme à la vitesse $v=10$~m.s$^{-1}$, nous avons:
      \[x_B=vt\]
      donc en définitive:
      \[x'=x-vt.\] 
      
      \begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-35mm}
      Nous pouvons donc écrire la table des mesures du
      capteur~B dans son propre référentiel (voir tableau ci-contre).
      
      \Par
      
      L'écart-type de ces valeurs est:
      
     \[\sigma_B\approx 7{,}0\mbox{~m}.\]
      \end{minipage}
      \hfill    
       \begin{tabular}{|Zc|Zc|}
         \hline 
         \tabulartitle 
           temps (s) & $x'$ (m)\\ \hline 
         $0$ & $1{,}4$ \\ \hline 
         $0{,}5$ & $-2{,}3$\\ \hline 
         $1$ &  $-6{,}7$\\ \hline 
         $1{,}5$ & $11{,}6$\\ \hline 
         $2$ &  $-7{,}3$\\ \hline 
         $2{,}5$ & $-3{,}7$\\ \hline 
       \end{tabular}

     \enlargethispage*{3em}
     
   \item Au bout d'un temps $\tau$, les capteurs ont effectué $n$
     mesures, où $n$ est donné par:
     \[n=\frac{\tau}{\Delta t}.\]
     Ici, nous avons $\tau=3$~s et $\Delta t=0{,}5$~s, donc
     $n=6$. L'incertitude-type sur la position du capteur~A est alors:
     \[u_A=\frac{\sigma_A}{\sqrt 6}\approx 5\mbox{~m},\]
     tandis que l'incertitude-type sur la position du capteur~B est:
     %\[u_B=\frac{\sigma_B}{\sqrt 6}\approx 6\mbox{~m}.\] % ERVOL 
	 \[u_B=\frac{\sigma_B}{\sqrt 6}\approx 3\mbox{~m}.\]
     Ce capteur est donc le plus précis des deux.
  \end{questions}
\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\thumb
\AfficheCorrige
