\chapter{Nombres et calculs}

\section{Ensembles de nombres}

\begin{exointro}{Lycée Edgar Quinet, Bourg-en-Bresse}
\begin{questions}
\item Trouver le plus petit ensemble des nombres suivants.
\begin{center}
$-11$ ; $2{,}4$ ; $\sqrt{7}$ ; $\sqrt{36}$ ; $-\dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{21}{3}$.
\end{center}

\item Compléter par $\in$ ou $\not\in$ :
\begin{center}
$\sqrt{2}\ldots\R$ ; $\sqrt{64}\ldots\Z$ ; $\dfrac{3}{7}\ldots \N$ ;
$\pi\ldots\Q$.
\end{center}
\end{questions}
\end{exointro}


\subsection{Inclusion des ensembles}

\begin{itemize}
\item On note $\N$ l'ensemble des nombres entiers naturels : 
\[ \N=\{0~;1~;2~;3~;\ldots\}. \]

\item On note $\Z$ l'ensemble des nombres entiers relatifs : 
\[ \Z=\{\ldots~;-3~;-2~;-1~;0~;1~;2~;3~;\ldots\}.\]

\item On note $\mathbb{D}$ l'ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire qui s'écrivent sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$, où $n\in\N$ ($n$ \emph{appartient} à l'ensemble $\N$) et $a\in\Z$.

\item On note $\Q$ l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire qui s'écrivent sous\\[0.7em]la forme $\dfrac{p}{q}$, où $p\in\Z$ et $q\in\N^*$ (ensemble des entiers naturels non nuls).

\Par

\item On note $\R$ l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire de tous les nombres.
\end{itemize}

\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{aretenir}
Si un ensemble est suivi d'une étoile en exposant, il a pour éléments tous les nombres de cet ensemble sauf 0.

Par exemple, $\N^*=\{1~;2~;3~;\ldots\}$.
\end{aretenir}

\begin{defin}[inclusion de deux ensembles]
Soient $A$ et $B$ deux ensembles.

On dit que $A$ est \textit{inclus} dans $B$, et on note $A \subset B$, si tous les éléments de $A$ sont dans $B$.
\end{defin}

\begin{prop}[inclusion des ensembles de nombres]
$\N$ est inclus dans $\Z$, qui lui-même est inclus dans $\mathbb{D}$, etc. jusqu'à $\R$. On écrira alors :
\[
\N \subset \Z \subset \mathbb{D} \subset \Q \subset \R.
\]
\end{prop}

Si on souhaite enlever un ou plusieurs nombres à un ensemble, on le fera suivre de : $\setminus\{\ldots\}$.


\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $\Q\setminus\left\{\dfrac{1}{3}\right\}$ désigne l'ensemble de tous les rationnels sauf $\dfrac{1}{3}$.
\item $\R\setminus\Q$ est l'ensemble des nombres réels auquel on a enlevé tous les nombres rationnels; on appelle cet ensemble l'ensemble des \textit{irrationnels}. 
\end{itemize}
\end{Exemples}


Il existe un ensemble sans élément, appelé 
l'\emph{ensemble vide}, et on le note : $\varnothing$.


\subsection{Plusieurs écritures pour un même nombre}

Un nombre réel peut être \emph{représenté} de plusieurs façons. Par exemple :
\[\frac{51}{5}=\frac{5,\!1}{0,\!5}=10{,}2=1{,}02.10^{1}\]
ou encore :
\[\frac{4}{3}=1,3\underline{3}\ldots\]

Quelle que soit l'écriture adoptée, il s'agit toujours du \emph{même} nombre. 

Par exemple,
\begin{itemize}
\item $\dfrac{51}{5}$ n'est pas uniquement rationnel; c'est aussi un nombre décimal.
\item $\sqrt{9}$ n'est pas uniquement réel; c'est aussi un entier naturel car $\sqrt9=3$.
\end{itemize}

Ces caractéristiques (décimal, entier, etc.) sont celles du nombre lui-même et non de son écriture. 

\subsubsectionnn{Plus petit ensemble}

\begin{defin}[symbole d'appartenance]
Si un nombre $x$ appartient à un ensemble $A$, on écrira : $x \in A$.

Si un nombre $x$ n'appartient pas à un ensemble $A$, on écrira : $x \notin A$.
\end{defin}

On désignera par \og plus petit ensemble \fg{} du nombre $\frac{51}{5}$ l'ensemble $\D$ car c'est\linebreak\textit{a minima} un décimal (il n'est pas entier). On écrira alors: $\frac{51}{5}\in\D$.

Ainsi, le plus petit ensemble de $\sqrt9$ est $\N$. On écrira alors: $\sqrt9\in\N$.


\begin{prop}
$\frac{1}{3}$ n'est pas décimal.
\end{prop}

\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez la démonstration de cette propriété en vidéo.]{1/3 n'est pas décimal}{https://media.prepamath.fr/IL2Mch02crs01}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.6){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch02crs01}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{prop}
$\sqrt2$ n'est pas rationnel.
\end{prop}


\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez en vidéo la démonstration de l'irrationalité de $\sqrt2$.]{démonstration de l'irrationalité de $\sqrt2$}{https://media.prepamath.fr/IL2Mch02crs02}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.6){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch02crs02}}}
\vspace*{-10pt}

\Par

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\begin{multicols}{3}
\item $-11\in\Z$
\item $2,4\in\D$ 
\item $\dfrac{21}{3}=7\in\N$
\item $\sqrt7\in\R$ 
\item $\sqrt{36}=6\in\N$ 
\item $-\dfrac{2}{3}\in\Q$ 
\end{multicols}
\end{itemize}


\item 
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $\sqrt{2}\in\R$ 
\item $\sqrt{64}\in\Z$ 
\item $\dfrac{3}{7}\notin \N$ 
\item $\pi\notin\Q$
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{questions}
\end{solintro}

\newpage

\section{Calculer avec les entiers}

\begin{exointro}{\null}
\begin{questions}
\item Décomposer $60$ en produit de facteurs premiers. 
\item Un terrain rectangulaire de longueur $a$, 
de largeur $b$ (exprimées en mètres), 
a une aire de $60$ m\fup{2}. 
Sachant que $a$ et $b$ sont des entiers naturels et
que l'écart $a-b$ est le plus petit possible, 
déterminer $a$ et $b$. 
\end{questions}
\end{exointro}



\subsection{Savoir utiliser les multiples et les diviseurs}

\begin{defins}
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. 
S'il existe un entier $q$ tel que $a=bq$,
alors on dit que : 
\begin{itemize}
\item $a$ est un multiple de $b$
\item $b$ est un diviseur de $a$ (ou \og $b$ divise $a$ \fg).
\end{itemize}
\end{defins}

Par exemple, $21$ est un multiple de $7$ (car $21=7\times 3$), 
$5$ est un diviseur de $15$ (car $15=5\times 3$). 

Tous les entiers sont multiples de $1$ (et de $-1$). $0$
est le seul multiple de $0$. Tout entier est multiple
de lui-même (car $n=n\times 1$). 

Inversement, $1$ n'est 
multiple que de $1$ (et $-1$), et $0$ est multiple
de tous les entiers (car $0=n\times 0$). 

\begin{props}
\begin{itemize}
\item L'opposé d'un multiple de $b$ est multiple de $b$.
\item La somme (ou la différence) 
de deux multiples de $b$ est un multiple de $b$.
\end{itemize}
\end{props}

En effet, cette somme s'écrit~: $bq + br=b(q+r)$, 
avec $q$ et $r$ (et donc $q+r$) entiers.

\begin{Exemple}
si $7$ divise $n+21$, alors 7 divise $n$. 
En effet, $n=(n+21)+(-21)$ et $21$ est multiple de $7$.
\end{Exemple}


La fonction Python \texttt{diviseur(k,n)}, écrite page suivante, 
vérifie si l'entier $k$ est diviseur de l'entier naturel $n$.
Le principe de l'algorithme est de faire défiler
les multiples de $k$~: $0$, $k$, $2k$, $3k$, etc.,
tant que ces multiples sont inférieurs strictement à $n$. 
Lorsque la boucle s'arrête, le multiple de $k$ qu'on a 
atteint vérifie~: soit $m=n$, donc $n$ est multiple de $k$, 
soit $m>n$, donc $n$ est compris au sens strict entre
deux multiples consécutifs, donc $n$ n'est pas multiple
de $k$. 

\newpage

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL2M/02-crs-diviseurs.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{}{02-crs-diviseurs.py}\end{listing}



\begin{props}[critères de divisibilité]
L'entier $n$ est divisible~:
\begin{itemize}
\item par $2$ si son écriture se termine par $0$, 
$2$, $4$, $6$, ou $8$ (chiffre des unités) ; 
\item par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par 
$3$ ;
\item par $5$ si son écriture se termine par $0$ ou $5$ ; 
\item par $6$ si $n$ est divisible par $2$ et par $3$ ;
\item par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par 
$9$ ;
\item par $10^k$ si son écriture se termine par $k$ zéros, où $k\in\N^*$.
\end{itemize}
\end{props}



\begin{defin}
Soient $a\in\Z$, $b\in\N^*$. 
La fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible si $a$ 
et $b$ n'ont pas de diviseur commun (autre que $1$ ou $-1$). 
\end{defin}

\begin{Exemple}
$\dfrac{15}{8}$ est irréductible, mais pas $\dfrac{12}{8}$ car $\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}$.
\end{Exemple}

\subsection{PGCD et PPCM}

\begin{defins}
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers.
\begin{itemize}
\item On appelle PGCD le plus grand entier qui divise $a$ et $b$.
\item On appelle PPCM le plus petit entier multiple de $a$ et de $b$.
\end{itemize}
\end{defins}

\begin{anecdote}
\og PPCM \fg{} est l'abréviation de \og Plus Petit Commun Multiple\fg{} et \og PGCD \fg{} est celle de \og Plus Grand Commun Diviseur \fg. Elles viennent de l'ancien français. 
\end{anecdote}

\begin{defin}[division euclidienne]
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers, avec $a > b$. La \textit{division euclidienne} de $a$ par $b$ est l'égalité:
\[
a = bq + r \qquad , \qquad q \in\N^*,\quad 0 \leq r < b.
\]
\end{defin}

\begin{Exemple}
la division euclidienne de 234 par 126 est:
\[
234 = 1 \times 126 + 108
\]
avec $q=1$ et $r=108$.
\end{Exemple}

\begin{methode}[algorithme d'Euclide]
On souhaite trouver le PGCD de 234 et 126 en utilisant des divisions\linebreak euclidiennes. On commence par écrire:
\[
234 = 1 \times 126 + 108.
\]
Ensuite, on effectue la division euclidienne de 126 par le reste trouvé, donc par 108:
\[
126 = 1 \times 108 + 18.
\]
On effectue ensuite la division euclidienne de 108 par 18:
\[
108 = 6 \times 18 + 0.
\]
On s'arrête lorsque le reste est égal à 0.

\Par

Le PGCD de 234 et 126 est le dernier reste non nul trouvé, donc 18.
\end{methode}


\subsection{Pairs et impairs}


\begin{defin}
Les multiples de $2$ sont les entiers \emph{pairs}. Les
autres entiers sont \emph{impairs}. 
\end{defin}

Par définition, les
entiers pairs sont donc de la forme $2n$, avec $n\in\Z$. 

Les entiers impairs sont de la forme $2n+1$. 


\begin{props}
\begin{itemize}
\item Le carré d'un entier pair est pair.
\item Le carré d'un entier impair est impair
\end{itemize}
\end{props}

\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{props}
Soit $x$ un entier. 
\begin{itemize}
\item Si $x^2$ est pair, alors $x$ est pair.
\item Si $x^2$ est impair, alors $x$ est impair.
\end{itemize}
\end{props}

\subsection{Nombres premiers}

\begin{defin}
Un entier naturel est \emph{premier}
s'il admet exactement \emph{deux} diviseurs positifs~:\linebreak $1$
et lui-même. 
\end{defin}


Les 10 plus petits nombres premiers sont~: 
$2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$.  


La fonction Python suivante permet de tester si un nombre $n$ est premier ou pas.

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL2M/02-crs-premiers.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{}{02-crs-premiers.py}\end{listing}

\Par

Un ordinateur est rapide, mais pour vérifier \og à la main \fg si un entier $n$ est premier, ou si cet entier est grand, il faut améliorer l'algorithme. 

On peut s'aider de la propriété suivante:

\begin{prop}
Si un entier $n$ n'est pas premier alors il admet au moins un diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.
\end{prop}

En prenant la contraposée de cette propriété, on peut vérifier si un nombre est premier. 


\begin{Exemple}
vérifions que $97$ est premier.

$\sqrt{97} \approx 9,8$ donc si 97 n'est pas premier, il doit avoir au moins un diviseur parmi les nombres 2, 3, 5 et 7 (tous les nombres premiers inférieurs à 9,8).

On vérifie aisément que ces nombres ne divisent pas 97, donc ce dernier est un nombre premier.
\end{Exemple}

\enlargethispage*{\baselineskip}

La fonction Python précédente peut alors devenir:

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL2M/02-crs-premiers-bis.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{}{02-crs-premiers-bis.py}\end{listing}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item On essaye les nombres premiers à partir du
plus petit~: $60=2\times 30$, puis $30=2\times 15$.
Ensuite, $15=3\times 5$. 
Finalement, $60=2\times 2\times 3 \times 5$. 

\item Pour décomposer $60$ en produit de deux facteurs,
à part $60=1\times 60$, on peut considérer que le premier
facteur est premier et le second produit de trois 
diviseurs premiers, ou que les deux facteurs sont 
produits de deux diviseurs premiers.

On obtient ainsi 
$60=1\times 60=2\times 30=3\times 20=5\times 12=4\times 15
=6\times 10$. 
On a trouvé toutes les décompositions 
possibles de $60$ sous la forme $ab$. On 
veut $a-b\geq 0$ et $a-b$ le plus petit possible, 
on a donc $a=10$ et $b=6$. 
\end{questions}
\end{solintro}



\section{Règles de calculs}

\begin{exointro}{Lycée Ampère, Lyon}
Calculer et écrire sans radicaux au dénominateur :
\[A=\dfrac{7}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\]
\end{exointro}

\subsection{Règles de calculs avec les fractions}
On rappelle ici les différentes techniques vues au collège :
\begin{itemize}
\item \textit{Somme et différence}.

On réduit au même dénominateur. Dans le pire des cas, 
le produit des dénominateurs peut servir : 
\[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}.\]
Si les dénominateurs ont un diviseur commun intéressant, 
on peut trouver un dénominateur commun plus petit que le produit :
\[\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3}{12}-\frac{2}{12}=\frac{1}{12}.\]

\item \textit{Produit}.

Le numérateur du produit est le produit des numérateurs, le dénominateur du produit
est le produit des dénominateurs :
\[\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.\]
Notez qu'il peut être judicieux de décomposer les différents facteurs et simplifier
\emph{avant} de multiplier :
\[\frac{32}{35}\times \frac{25}{8}=\frac{4\times 8}{5\times 7}\times \frac{5\times 5}{8}
=\frac{4\times 8\times 5\times 5}{5\times 7\times 8}=\frac{4\times 5}{7}=\frac{20}{7}\]
est préférable (si on calcule à la main) à :
\[\frac{32}{35}\times \frac{25}{8}=\frac{800}{280}=\ldots=\frac{20}{7}.\]
Bien sûr, si vous faites le même calcul à la machine, vous pouvez préférer la deuxième méthode,
moins économique mais plus directe. 

\item \textit{Quotient}.

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. Par exemple :
\[\frac{\dfrac{3}{16}}{\dfrac{5}{4}}=\frac{3}{16}\times\frac{4}{5}
=\frac{3\times 4}{4\times 4\times 5}=\frac{3}{20}.\]
\end{itemize}

\begin{Remarque}
le mot \emph{fraction} désigne seulement une \emph{écriture} du type : $\dfrac{a}{b}$. 
Le nombre ainsi représenté
n'est pas nécessairement rationnel. Ainsi, 
$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ est un nombre irrationnel, écrit sous la forme d'une fraction.\\
Rassurez-vous : les règles de calculs que nous venons d'énoncer s'appliquent à toutes les fractions,
qu'elles représentent ou non un nombre rationnel.
\end{Remarque}


\subsection{Règles de calcul avec les radicaux}

\begin{props}
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs.
\begin{itemize}
	\item $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.
	\item si $a>0$ et $b>0$, alors
	$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$
	(car en élevant au carré~: $a+b+2\sqrt{ab}>a+b$).
	\item $({\sqrt{a}})^2=a$. 
	\item $\sqrt{a^2}=|a|$. (Par exemple, si $x=-2$, 
	$\sqrt{x^2}=+2$ ! 
\end{itemize}
\end{props}

Le mot {\em radical} désigne une façon d'écrire certains nombres. 

Le nombre 2 est une \textit{racine carrée}, (celle de 4), mais
ce n'est un radical que si on l'écrit sous la forme : $\sqrt{4}$. 

Dans l'écriture des fractions, on évite de laisser des radicaux au dénominateur.

\newpage

\begin{itemize}
\item \textit{Cas n\degres\ 1} : le dénominateur {\em est} un radical. On simplifie en le multipliant par lui-même. Par exemple :
\[
\dfrac{1}{3\sqrt{2}}=\dfrac{1\times \sqrt{2}}{3({\sqrt{2}})^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}.
\]
	
\item \textit{Cas n\degres\ 2} : le dénominateur est une somme contenant des radicaux.
	
On utilise alors sa quantité conjuguée. La quantité conjuguée de $a+b$ est l'expression $a-b$. On fait alors apparaître $(a-b)(a+b)$ qui, une fois développé, est égal à $a^2-b^2$, ce qui permet de se débarrasser des radicaux. Par exemple :
\begin{align*}
	\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}
	&=\dfrac{2\times (\sqrt{5}+\sqrt{3})}%
	{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}\\
	&=\dfrac{2\times (\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}\\
	&=\dfrac{2\times (\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}\\
	&=\sqrt{5}+\sqrt{3}.
\end{align*}
	
	\textit{Voir le chapitre \og Calcul littéral \fg{} pour plus d'informations sur les identités remarquables. }
\end{itemize}


\subsection{Règles de calcul avec les puissances}

\begin{props}
Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls, et soient $p$, $q$ et $n$ trois entiers relatifs. 
\begin{itemize}
\item $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$ ;
\item $a^p \times a^q = a^{p+q}$ ;
\item $a^n \times b^n = (ab)^n$ (avec le même exposant $n$).
\item $a^0=1$ et $a^1=a$. 
\end{itemize}
\end{props}

\enlargethispage*{2\baselineskip}


\begin{solintro}
$
\begin{aligned}[t]
A & = \dfrac{7}{\sqrt{2}+1} + \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \dfrac{7{\color{DR} (\sqrt{2}-1)}}{(\sqrt{2}+1){\color{DR}(\sqrt{2}-1)}} + \dfrac{2\sqrt{3}{\color{DR} (\sqrt{3}+1)}}{(\sqrt{3}-1){\color{DR}(\sqrt{3}+1)}}\\[8pt]
&=\dfrac{7 (\sqrt{2}-1)}{2-1}+\dfrac{2\sqrt{3}\times (\sqrt{3}+1)}{3-1}\\
&=7\sqrt{2}-7+\dfrac{6+2\sqrt{3}}{2}\\
&=7\sqrt{2}-7+3+\sqrt{3}\\
&=7\sqrt{2}-4+\sqrt{3}.
\end{aligned}$
\end{solintro}

\section{Intervalles}

\begin{exointro}{Lycée Alain, Le Vésinet}

Exprimer par un intervalle :
\begin{questions}
\item $x>2$

\item $x\leq -3$

\item $-1<x\leq 5$

\item $x>2$ et $x<6$

\item $x<2$ ou $x\geq 4$

\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Notations et représentations}

\begin{defin}
L'ensemble des nombres réels compris entre deux réels $a$ et $b$ est un \textit{intervalle}.
\begin{itemize}
\item Si $a$ et $b$ sont dans l'intervalle, on note cet intervalle $[a;b]$.
\item Si $a$ et $b$ ne sont pas dans l'intervalle, on note cet intervalle $]a;b[$.
\item Si $a$ est compris dans l'intervalle, mais pas $b$, on note cet intervalle $[a;b[$.
\item Si $b$ est compris dans l'intervalle, mais pas $a$, on note cet intervalle $]a;b]$.
\end{itemize}
\end{defin}
\enlargethispage*{\baselineskip}

On représentera les intervalles sur l'axe des réels comme dans les exemples ci-dessous.

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item L'intervalle $[-3;5]$ peut se représenter ainsi:
\begin{center}
\includegraphics{035_crs02-interv01}
\end{center}
\[
x \in[-3;5] \iff -3 \leq x \leqslant 5.
\]

\item L'intervalle $[-3;5[$ peut se représenter ainsi:
\begin{center}
\includegraphics{035_crs02-interv02}
\end{center}
\[
x \in[-3;5[ \iff -3 \leq x < 5.
\]
\Break
\item L'intervalle $]-3;5]$ peut se représenter ainsi:
\begin{center}
\includegraphics{036_crs02-interv03}
\end{center}
\[
x \in]-3;5] \iff -3 < x \leqslant 5.
\]

\item L'intervalle $]-3;5[$ peut se représenter ainsi:
\begin{center}
\includegraphics{036_crs02-interv04}
\end{center}
\[
x \in]-3;5[ \iff -3 < x < 5.
\]
\end{itemize}
\end{Exemples}

\subsection{Union et intersection de deux intervalles}

\begin{defins}
Soient $I$ et $J$ deux intervalles.
\begin{itemize}
\item L'\textit{union} (ou la \textit{réunion}) de $I$ et $J$ est l'ensemble des nombres qui sont dans $I$ \textit{ou} dans $J$. On note l'union : $I \cup J$.

\item L'\textit{intersection} de $I$ et $I$ est l'ensemble des nombres qui sont dans $I$ \textit{et} dans $J$. On note l'intersection: $I \cap J$.
\end{itemize}
\end{defins}

\begin{Exemple}
on considère les intervalles $I=]-3;5[$ et $J=]-1;6[$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{036_crs02-interv05}
\end{center}
\begin{itemize}
\item $I \cup J = ]-3 ; 6[$: les  deux intervalles se chevauchent donc on peut aller de la plus petite valeur jusqu'à la plus grande.
\item $I \cap J = ]-1 ; 5[$: on regarde où les deux intervalles se chevauchent.
\end{itemize}
\end{Exemple}

\begin{Remarque}
si les deux intervalles ne se chevauchent pas, leur intersection est vide ($I \cap J = \varnothing$) et leur union ne peut pas s'écrire plus simplement que $I \cup J$.
\end{Remarque}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\begin{multicols}{3}
\item $]2;+\infty[$
\item $]-\infty;-3]$
\item $]-1;5]$
\item $]2;6[$
\item $]-\infty;2[\cup[4;+\infty[$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{solintro}