\thumb

\begin{qcm}{Décimaux}{1}
Quels sont les décimaux ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $1,27$ & \choix $-\dfrac{17}{3}$ \\
\choix $\sqrt{64}$ & \choix $\sqrt{8}-\sqrt{2}$
\end{tabularx}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\choix $1,27=\dfrac{127}{100}$ est décimal.\\[1mm]
\choix $3$ ne divise ni 10, ni 17, donc $-\dfrac{17}{3}$ est rationnel, mais il n'est pas décimal.\\[1mm]
\choix $\sqrt{64}=8$ est entier, donc décimal.\\[1mm]
\choix $\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$ n'est pas rationnel, donc pas décimal.
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{qcm}{Rationnels}{1}
Quels sont les rationnels ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $-15$ & \choix $\sqrt{5}$ \\
\choix $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$ & \choix $2,34$
\end{tabularx}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\choix $-15$ est entier, donc rationnel.\\[1mm]
\choix $\sqrt{5}$ est irrationnel.\\[1mm]
\choix $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{9}=3$ est entier, donc rationnel. \\[1mm]
\choix $2,34$ est décimal, donc rationnel.
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{vf}{Radicaux}{2}
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses?

\begin{tabular}{ll}
\choix  $\sqrt{2}-1$ est l'opposé de $\sqrt{2}+1$
&\choix $\sqrt{2}-1$ est l'inverse de $\sqrt{2}+1$\\[3mm]
\choix $\sqrt{8}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ 
&\choix $\sqrt{8}+\sqrt{2}=\sqrt{10}$ \\[3mm]
\choix $\sqrt{-4}=-2$ & 
\end{tabular}
\end{vf}


\begin{corrige}
\choix  \textit{Faux}. L'opposé de $\sqrt{2}+1$ est $-(\sqrt2+1)$, soit $-\sqrt{2}-1$.\\[1mm]
\choix \textit{Vrai} car $(\sqrt{2}-1)\times (\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}^2-1^2=2-1=1$.\\[1mm]
\choix \textit{Vrai} car $\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt4\times\sqrt2=2\sqrt2$. \\[1mm]
\choix \textit{Faux} car $\sqrt{8}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$, donc $(\sqrt{8}+\sqrt{2})^2=9\times 2=18$, et non $10$. \\[1mm]
\choix \textit{Faux} car la racine carrée de $-4$ n'est pas définie (ne pas confondre avec $-\sqrt{4}=-2$).  
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{vf}{Fractions}{3}
Les égalités suivantes sont-elles vraies ou fausses?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix $\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}$ & \choix $\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}$\\[3mm]
  \choix $\dfrac{3}{5}\times \dfrac{20}{9}=\dfrac{4}{3}$ & \choix $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}$
\end{tabularx}
\end{vf}

\begin{corrige}
\choix \textit{Faux} mais $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{9}{25}$.\\[1mm]
\choix \textit{Faux} : $\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=3$.\\[1mm]
\choix \textit{Vrai}: $\dfrac{3}{5}\times \dfrac{20}{9}=\dfrac{3\times 4\times 5}{5\times 3\times 3}=\dfrac{4}{3}$.\\[1mm]
\choix \textit{Faux} car $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}\neq\frac{2}{3}$.
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{vf}{Intervalles}{5}
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses?
\Par
\begin{tabular}{l}
\choix Si $0\leq x\leq 3$, alors $x\in]0;3[$.\\[1mm]
\choix  Si $x>4$, alors $x\in[4;+\infty[$.\\[1mm]
\choix Si $x\in]-\infty;2]\cap[0;4]$ alors $x\geq 0$ et $x\leq 2$.\\[1mm]
 \choix Si $x\in]-\infty;4]\cap[0;2]$ alors $x\leq 4$ et $x>2$.\\[1mm]
\choix Si $x\in[0;1]\cup[2;3]$ alors $x\in[0;1]$ et $x\in[2;3]$.
\end{tabular}
\end{vf}


\begin{corrige}
\choix \textit{Faux}. L'intervalle est : $[0;3]$ (inégalités larges).\\[1mm]
\choix \textit{Faux}. Si $x>4$, alors $x\in]4;+\infty[$.\\[1mm]
\choix \textit{Vrai}. $x$ doit appartenir aux deux intervalles. On a donc, d'une part : $x\leq 2$ et $x\leq 4$, donc $x\leq 2$, et de l'autre :
$x\geq0$. \\[1mm]
\choix \textit{Faux}. On doit avoir $x\in[0;2]$ donc $0\leq x\leq 2$.\\[1mm]
\choix \textit{Faux}. Les deux conditions sont d'ailleurs incompatibles. Il faudrait dire : \og Si $x\in[0;1]\cup[2;3]$ alors $x\in[0;1]$ ou $x\in[2;3]$.\fg
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\begin{qcm}{Nombres premiers}{5}
On considère deux entiers premiers $p$ et $q$, 
strictement supérieurs à $2$. Parmi 
les entiers suivants, quels sont ceux qui 
pourraient être premiers~? 


\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $p+q$
& \choix $p+q+1$ \\[3mm]
\choix $p+q+2$
& \choix $pq$
\end{tabularx}
\end{qcm}

\begin{corrige}
Il faut observer que comme $p$ et $q$ sont des entiers premiers, 
différents de $2$, ils sont nécessairement impairs. 

\choix \textit{Non} car $p+q$ est pair et $p+q\neq 2$. \\[1mm]
\choix \textit{Oui}. $p+q+1$ n'est pas toujours premier, mais peut 
l'être. Par exemple $3+7+1=11$ est premier (mais $3+11+1=15$ ne
l'est pas).\\[1mm]
\choix \textit{Non}, pour la même raison qu'à la réponse 1. \\[1mm]
\choix \textit{Non} car $pq$ admet quatre diviseurs distincts~: 
$pq$, $p$, $q$ et $1$. 
\end{corrige}

% 2024

\begin{vf}{Test de connaissances}{5}
Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
\begin{questions}
\item Il existe des nombres décimaux non entiers $a$ et $b$ tels que $a+b$ soit un entier relatif.

\item Rachel affirme: \og $\pi=\frac{\numprint{1980127}}{630294}$ \fg. 

Pour cela, elle montre son écran de calculatrice:
\begin{center}
\begin{Ecran}[15x5]
$\pi$

\hspace*{10mm}3.141592654

1980127$\div$630294

\hspace*{10mm}3.141592654
\end{Ecran}
\end{center}

\item Le produit d'un nombre décimal par 100 est un entier.

\item Le quotient de deux nombres rationnels non nuls est un rationnel.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Vrai}. Par exemple, si $a=-3,8$ et $b = -1,2$ (nombres non entiers) alors $a+b = -5$ (entier relatif).

\item \textit{Faux}. Si la calculatrice affiche un nombre avec les mêmes décimales, c'est que sa capacité d'affichage n'est pas suffisante pour afficher les décimales qui ne coïncident pas. En effet, en utilisant par exemple la console Python, on voit:

\begin{algorithme}{}
> > > from math import pi
> > > print(pi)
3.141592653589793
> > > print(1980127/630294)
3.141592653587056
\end{algorithme}

Les résultats diffèrent.

\item \textit{Faux}. En effet, si $a=0,0001$ (nombre décimal) alors $100 \times a = 0,01$ (qui n'est pas un entier).

\item \textit{Faux}. En effet, si $a=\frac{1}{3}$ et $b=a$ alors $\frac{a}{b}=1$, qui  est plus qu'un nombre rationnel... c'est un entier naturel!
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Ensembles de nombres}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Plus petit ensemble}{Lycée Jacques Prévert, Taverny}{1}{10}
Pour chaque nombre, donner le plus petit ensemble, parmi $\N$, $\Bbb{D}$,
$\Q$, $\R$ auxquels ils appartiennent :
\[
5\times 10^{-4}
\quad,\quad
\frac{3{,}6\times\sqrt{4}}{3}
\quad,\quad
\frac{64}{3}
\quad,\quad
\sqrt{\frac{25}{16}} 
\quad,\quad
\sqrt{\frac{49}{9}}.
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $5\times 10^{-4}=\text{\numprint{0{,}0005}}$ est un nombre décimal.
\item $\dfrac{3{,}6\times\sqrt{4}}{3}=1{,}2\times2=2{,}4$ est un nombre décimal.
\item $\dfrac{64}{3}$ est rationnel (mais non décimal).
\item $\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}=1{,}25$ est décimal.
\item $\sqrt{\dfrac{49}{9}}=\dfrac{7}{3}$ est rationnel, non décimal.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Les différents ensembles}{Lycée Montchapet, Dijon}{1}{10}
On considère les nombres suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $4,567$
\item $10^{-3}$ 
\item $-10^3$
\item $\numprint{6545}$
\item $4\times10^{-3}$
\item $\sqrt{\pi}$
\item $-\dfrac{3}{100}$
\item $\dfrac{1}{3}$
\item $-\dfrac{22}{9}$
\item $\sqrt{3}$
\item $\sqrt{144}$
\item $0$
\item $\dfrac{2}{\pi}$
\item $-\dfrac{23}{6}$
\item $\sqrt{\sqrt{81}}$
\end{itemize}
\end{multicols}
\begin{questions}
\item Quels sont ceux qui sont décimaux ?
\item Quels sont ceux qui sont rationnels mais non décimaux ?
\item Quels sont ceux qui ne sont pas rationnels ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
Rappel : un nombre est \emph{décimal} s'il s'écrit sous la forme :
\[\frac{n}{10^k}\qquad,\qquad n\in\Z,\ k\in\Z.\]
En particulier, les nombres entiers sont des décimaux, puisqu'ils s'écrivent :
\[n=\frac{n}{10^0}.\]

Parmi ceux proposés, sont décimaux :
\begin{itemize}
\item $4,567$ car $4{,}567=\dfrac{\text{\numprint{4567}}}{\text{\numprint{1000}}}$ ;
\item $10^{-3}$ car $10^{-3}=\dfrac{1}{\text{\numprint{1000}}}$;
\item $-10^3=-\text{\numprint{1000}}$ est entier, donc décimal; 
\item $\numprint{6545}$ est entier, donc décimal; 
\item $4\times 10^{-3}$ car $4\times 10^{-3}=\dfrac{4}{\text{\numprint{1000}}}$;
\item $-\dfrac{3}{100}$;
\item $\sqrt{144}=12$ est entier, donc décimal; 
\item $0$ est entier, donc décimal; 
\item $\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt{9}=3$ est entier, donc décimal.
\end{itemize}

\item Sont rationnels mais non décimaux :
$\dfrac{1}{3}$, $-\dfrac{22}{9}$, $-\dfrac{23}{6}$.

\item Sont irrationnels :
$\sqrt{\pi}$, $\sqrt{3}$, $\dfrac{2}{\pi}$.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}{Ensembles inclus}{Lycée Victor Louis, Talence}{1}{15}
On donne les nombres:
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item[] $a = 3,507$
\item[] $b = \numprint{5998}$
\item[] $c = \sqrt{121}$
\item[] $d = 3,14$
\item[] $e = \dfrac{21}{6}$
\item[] $f = \pi$
\item[] $g = 4\times10^{-3}$
\item[] $h = \frac{1}{3}$
\item[] $i = 5^{-2}$
\item[] $j = \frac{1}{3}-\frac{3}{5}+\frac{8}{5}\times\frac{17}{12}$
\item[] $k = -\frac{22}{7}$
\item[] $l = \sqrt{2}$
\item[] $m = \big(3^2\big)^3\times\frac{1}{9}\times 5^{-4}$
\end{itemize}
\end{multicols}
\begin{itemize}
\item Quels sont les nombres décimaux ?
\item Quels sont les nombres rationnels non décimaux ?
\item Quels sont les nombres non rationnels ?
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item $a$ est décimal.
\item $b$ est entier, donc décimal.
\item $c=\sqrt{121}=11$ est entier, donc décimal.
\item $d=3,14$  est décimal.
\item $e=\dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}=3,5$  est décimal.
\item $f=\pi$  est irrationnel.
\item $g=\dfrac{4}{\text{\numprint{1000}}}=0,004$ est décimal.
\item $h=\dfrac{1}{3}$  est rationnel mais non décimal.
\item $i=5^{-2}=\frac{1}{25}=0,04$  est décimal.
\item $j=\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{8}{5}\times \dfrac{17}{12} = \dfrac{5}{15}-\dfrac{9}{15}+\dfrac{34}{15}=\dfrac{30}{15}=2$, qui est entier.
\item $k=\dfrac{-22}{7}$  est rationnel, non décimal.
\item $l=\sqrt{2}$  est irrationnel.
\item $m=\big(3^2\big)^3\times\dfrac{1}{9}\times 5^{-4}=\dfrac{9^2}{5^4}=0{,}1296$  est décimal.
\end{itemize}
\end{corrige}

%%%%%%%

\begin{exo}{Appartenance, inclusion}{Lycée Gérard de Nerval, Soissons}{1}{15}
Compléter par $\in$, $\not\in$, $\subset$, $\not\subset$.
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $\dfrac{-15}{3}\ \ldots \ \Z$
\item $\sqrt{9}\ \ldots \ \N$
\item $\Z\ \ldots \ \Q$
\item $\pi\ \ldots \ \Q$
\item $\N\ \ldots \ \Q^*$
\item $10^{-3}\ \ldots \ \R_+$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\dfrac{-15}{3}\in\Z$. En effet, $\dfrac{-15}{3}=-5$.
\item $\sqrt{9}\in\N$ car $\sqrt{9}=3$.
\item $\Z\subset\Q$. En effet, tous les entiers sont en particulier rationnels, car ils peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction d'entiers; par exemple, $5=\dfrac{5}{1}$.

\item $\pi\not\in\Q$, car $\pi$ n'est pas rationnel. C'est pour cela que le développement décimal de $\pi$, non seulement est infini, mais de plus ne se « répète » jamais. « Pire », on ne peut même pas écrire $\pi$ comme la racine d'un nombre rationnel (on dit que $\pi$ est « transcendant »).
\item $\N \not\subset \Q^*$ car $0 \in \N$ mais $0 \notin \Q^*$.
\item $10^{-3} \in \R_{+}$, car $10^{-3}$ est positif.
\end{questions}      
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Calculs sur les fractions et puissances}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Décompositions}{Lycée Henri IV, Paris}{1}{5}
\'Ecrire sous la forme $2^n\times 3^p \times 5^q$ avec $n\in \Z$,
$p\in\Z$, $q\in\Z$ :
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $A=\dfrac{5^3\times 8^3\times 9^2}{15^2\times 12^4}$
\item $B=\dfrac{12^3\times 15^{-3}}{5^{-2}\times 2^3}$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
~\par\vspace{-3em}
\begin{multicols}{2}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
A & = \frac{5^3\times 8^3\times 9^2}{15^2\times 12^4}\\
&= \frac{5^3\times 2^9 \times 3^4}{3^2\times 5^2\times 3^4 \times 2^8}\\
&= \frac{5\times 2}{3^2}\\
&= 5\times 3^{-2}\times 2.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
B&=\frac{12^3\times 15^{-3}}{5^{-2}\times 2^3}\\
& =\frac{12^3\times5^2}{15^3\times 2^3}\\                                                            &= \frac{2^6\times 3^3\times 5^2}{5^3\times 3^3\times 2^3}\\
&= \frac{2^3}{5} \\
&= 2^3\times 5^{-1}.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{multicols}

\end{corrige}


%%%%%%%%%

\begin{exo}{Simplification}{Lycée Hoche, Versailles}{1}{5}
Simplifier l'écriture de $A=\dfrac{(0,2)^3\times 10^4}{2^3\times 81} \div \dfrac{-8^3\times 15}{(-12)^5}$.
\end{exo}


\begin{corrige}
On applique les règles de calculs avec les fractions :
\begin{align*}
A&= \frac{(0,2)^3\times 10^4}{2^3\times 81}\div
\frac{-8^3\times 15}{(-12)^5}\\
&= \left(\frac{2}{10}\right)^3\times \frac{5^4\times 2^4}{2^3\times 3^4}
\times\frac{-12^5}{-8^3\times 15}\\
&= \frac{2^3\times 5^4\times 2^4\times 3^5\times 2^{10}}%
{2^3\times 5^3\times 2^3\times 3^4\times 2^9\times 3\times 5}\\
&= 2^2\text{ (après simplifications)}\\
&= 4.
\end{align*}   
\end{corrige}



%%%%%

\begin{exo}{Calculs et simplifications}{Lycée Louis le Grand, Paris}{1}{10}
Calculer :
\begin{questions}
\item $A=\dfrac{-1^5(2^3)(-7)^4}{21^2(-6)^3}$
\item $B=\dfrac{3-\frac{1}{4}}{2+\frac{1}{4}}\times
\dfrac{\frac{4}{15}-\frac{1}{10}}{\frac{2}{3}-\frac{1}{6}}\div\dfrac{1+\frac{2}{5}}{2-\frac{1}{5}}$
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On obtient :
\begin{align*}
A&= \frac{2^3\times 7^4}{3^2\times 7^2\times 2^3\times 3^3}\\
&= \frac{7^2}{3^5}.
\end{align*}
Il n'est pas nécessaire d'aller plus loin, mais on peut aussi écrire: 
\[ 
A=\dfrac{49}{243}. 
\]
                      
\item Il faut réduire petit à petit au même dénominateur :
\begin{align*}
B&= \dfrac{3-\dfrac{1}{4}}{2+\dfrac{1}{4}}\times
\dfrac{\dfrac{4}{15}-\dfrac{1}{10}}{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}}\div
\dfrac{1+\dfrac{2}{5}}{2-\dfrac{1}{5}}\\
&= \dfrac{\dfrac{12}{4}-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{8}{4}+\dfrac{1}{4}}\times
\dfrac{\dfrac{8}{30}-\dfrac{3}{30}}{\dfrac{4}{6}-\dfrac{1}{6}}\div
\dfrac{\dfrac{5}{5}+\dfrac{2}{5}}{\dfrac{10}{5}-\dfrac{1}{5}}\\
&= \dfrac{\dfrac{11}{4}}{\dfrac{9}{4}}\times
\dfrac{\dfrac{5}{30}}{\dfrac{3}{6}}\div
\dfrac{\dfrac{7}{5}}{\dfrac{9}{5}}\\
&= \frac{11}{9}\times \dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{3}{6}}\div\frac{7}{9}
= \frac{11}{9}\times \frac{1}{3} \times \frac{9}{7}\\
&= \frac{11\times 9}{9\times 3\times 7}\\
& = \frac{11}{21}.
\end{align*}
\end{questions} 
\end{corrige}


%%%%%%%%

\begin{exo}{Calculs et simplifications}{Lycée Blaise Pascal, Orsay}{2}{20}
\begin{questions}
\item Calculer $A=\dfrac{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+
\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{5}-\dfrac{5}{6}}$.
	
\item Simplifier $B=\dfrac{(5^2\times 10^{-5})^3}{(5\times 10^{-3})^5}\times\left(\dfrac{10^2}{5}\right)^2$.
	
\item \'Ecrire plus simplement :
\begin{questions}
\item $C=2^{23}\times (0,5)^{24}$
\item $D=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{108}\times(1,5)^{107}$	
\end{questions}
	
\item Donner l'écriture scientifique des nombres:
\begin{align*}
	a&=\text{\numprint{0,000073654}}\\
	b&=\text{\numprint{9325000}}\\
	c&=0,023\times 10^{-5}\\
	d&=19,402\times 10^2
\end{align*}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{multicols}{2}
\text{}

\vspace{-\baselineskip}
$\begin{aligned}
A&= \frac{ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{2}{5}+\frac{1}{6}}{
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{2}{5}-\frac{5}{6}}  \\
A&= \frac{\frac{15}{30}-\frac{10}{30}+\frac{12}{30}+\frac{5}{30}}{
\frac{15}{30}+\frac{10}{30}-\frac{12}{30}-\frac{25}{30}} \\
A&= \dfrac{\frac{22}{30}}{\frac{-12}{30}} \\
A&= -\frac{22}{12} \\
A&= -\frac{11}{6}.
\end{aligned}$  
\columnbreak
\text{}

% \vspace*{-1mm}
\hspace{2mm} $\begin{aligned}
 B&= \frac{(5^2\times 10^{-5})^3}{(5\times
10^{-3})^5}\times\left(\frac{10^2}{5}\right)^2 \\
B &= \frac{5^6\times 10^{-15}}{5^5\times
10^{-15}}\times \frac{10^4}{5^2} \\
B &= 5\times \frac{(5\times 2)^4}{5^2} \\
B  &= \frac{5\times 5^4 \times 2^4 }{5^2} \\
B  &= 5^3 \times 2^4.
\end{aligned}$
\vfill
\text{}
\end{multicols}

$\displaystyle C=2^{23}\times \left (\frac{1}{2}\right 
)^{24}=\frac{2^{23}}{2^{24}}=\frac{1}{2}.$

$\displaystyle D=\left (\frac{2}{3}\right )^{108}\times \left 
(\frac{3}{2}\right)^{107}
=\left (\frac{2}{3}\right )^{108}\div\left (\frac{2}{3}\right )^{107}
=\frac{2}{3}.$

$\displaystyle a=0,000\,073\,654=\numprint{7,3654}\times10^{-5}.$

$\displaystyle b=9\,325\,000=9,325\times10^6.$

$\displaystyle c=0,023\times 10^{-5}=2,3\times10^{-2}\times 10^{-5}=2,3.10^{-7}.$

$\displaystyle d=19,402\times 10^2=\numprint{1,9402}\times10^3.$
                           
\end{corrige}

%%%%%%%

\begin{exo}{Produit de puissances}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{5}
\'Ecrire sous la forme d'un produit de puissances de
$a$, $b$ et $c$ $(\not=0)$ :
\[B=\left(\frac{a^3}{c}\right)^2 \div
\frac{[(a^7)^5b^{-2}(c^{-3})^{-2}]^{-1}}{[ab^2(c^{-2})^{-3}]^2}\]
\end{exo}

\begin{corrige}
On simplifie les puissances, puis les fractions :
\begin{align*}
B&= \left(\frac{a^3}{c}\right)^2 \div
\frac{[(a^7)^5b^{-2}(c^{-3})^{-2}]^{-1}}{[ab^2(c^{-2})^{-3}]^2}\\
&= \frac{a^6}{c^2}\div\frac{(a^{35}b^{-2}c^6)^{-1}}{(ab^2c^6)^2}\\
&= \frac{a^6}{c^2}\div\frac{a^{-35}b^2c^{-6}}{a^2b^4c^{12}}\\
&= \frac{a^6}{c^2}\times\frac{a^2b^4c^{12}}{a^{-35}b^2c^{-6}}\\
&= a^{43}b^2c^{16}.
\end{align*}
\end{corrige}


%%%%%%%%%

\begin{exo}{Calculs d'une somme avec fractions}{Lycée Louis le Grand, Paris}{2}{15}
\'Ecrire sous la forme d'une fraction :
\[A=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}.\]
En déduire :
\[B=\frac{1}{10\times 11\times 12\times 13}
+\frac{1}{11\times 12\times 13\times 14}
+ \cdots +\frac{1}{19\times 20\times 21\times 22}.\]
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il faut réduire les deux fractions au même dénominateur :
{\allowdisplaybreaks\begin{align*}
A&= \frac{1}{n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&= \frac{n+3}{n(n+1)(n+2)(n+3)}-\frac{n}{n(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&= \frac{n+3-n}{n(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&= \frac{3}{n(n+1)(n+2)(n+3)}.
\end{align*}
}

\item Du résultat précédent, il vient :
\[\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{1}{3}\left(
\frac{1}{n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\right).\]

Si on applique cette formule à $n=10$, on obtient :
\[\frac{1}{10\times 11\times 12\times 13}=\frac{1}{3}\left(
\frac{1}{10\times 11\times 12}-\frac{1}{11\times 12\times 13}\right).\]

En l'appliquant à $n=11$ :
\[\frac{1}{11\times 12\times 13\times 14}=\frac{1}{3}\left(
\frac{1}{11\times 12\times 13}-\frac{1}{12\times 13\times 14}\right).\]

Si on additionne ces deux formules membre à membre, on voit que
les termes \[\dfrac{1}{11\times 12\times 13}\] vont s'annuler.
Appliquons de nouveau la formule à $n=12$ :
\[\frac{1}{12\times 13\times 14\times 15}=\frac{1}{3}\left(
\frac{1}{12\times 13\times 14}-\frac{1}{13\times 14\times 15}\right).\]

Nous constatons que si nous ajoutons cette expression aux deux autres, le
terme $\dfrac{1}{12\times 13\times 14}$ disparaît.

Finalement, si nous répétons l'opération jusqu'à $n=19$ et que
nous simplifions, il ne restera que le tout premier terme
$\dfrac{1}{10\times 11\times 12}$ ainsi que le tout dernier, qui est le
$\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}$ avec $n=19$. 

Il vient (attention aux signes
et au facteur $\dfrac{1}{3}$ !) :
{\allowdisplaybreaks\begin{align*}
B&=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{10\times 11\times 12}
-\frac{1}{20\times 21\times 22}\right)\\
&=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{5\times 2\times 11\times 4\times 3}
-\frac{1}{5\times 4\times 3\times 7\times 2\times 11}\right)\\
&=\dfrac{1}{3}\dfrac{7-1}{20\times 21\times 22}\\
&=\dfrac{1}{3}\dfrac{6}{20\times 21\times 22}\\
&=\dfrac{2}{20\times 21\times 22}\\
&=\dfrac{1}{10\times 21\times 22}\\
&=\dfrac{1}{\text{\numprint{4620}}}.
\end{align*}}
\newpage
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Calculs avec les entiers (arithmétique)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{PGCD}{Lycée Parc de Vilgenis, Massy}{1}{10}
\begin{questions}
\item Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres \numprint{1040} et 640.
\item En déduire le PGCD de \numprint{1040} et 640.
\item Un jardinier désire planter une haie autour d'une parcelle rectangulaire de longueur 10,4 mètres et de largeur 6,4 mètres. Il place un plant à chaque sommet du rectangle. La distance entre deux plants doit toujours être la même et doit être égale à un nombre entier de centimètres.
\begin{questions}
\item Quelle est la distance maximale qui peut séparer deux plants successifs?
\item Calculer le nombre de plants nécessaires pour entourer la parcelle rectangulaire.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Les décompositions en produit de facteurs premiers de \numprint{1040} et 640 sont:
\begin{itemize}
\item $\numprint{1040} = 2^4\times 5 \times 13$.
\item  $640 = 2^7 \times 5$.
\end{itemize}

\item Les diviseurs premiers communs à \numprint{1040} et 640 sont 2 et 5.

La plus grande puissance qui intervient dans les deux décompositions en produit de facteurs premiers sont $2^4$ et $5^1$.

Ainsi, le PGCD de \numprint{1040} et 640 est $2^4 \times 5 = 80$.

\item La parcelle rectangulaire a pour dimensions, en centimètres, \numprint{1040} et 640.
\begin{questions}
\item La distance (nombre entier) entre deux plants est nécessairement un diviseur des deux dimensions, et doit être la plus grande possible; c'est donc le PGCD de \numprint{1040} et 640.

La distance maximale entre deux plants est donc égale à 80 cm.

\item $\numprint{1040}\div80 = 13$ et $640\div80 = 8$.

Ainsi, sur la longueur, il doit y avoir 13 intervalles entre deux plants et sur la largeur, 8 intervalles.

N'oublions pas qu'il y a un plant à chaque sommet du rectangle. Par conséquent, 
\begin{itemize}
\item sur les longueurs, il y a 14 plants;
\item sur les largeurs, il y a 9 plants auxquels on enlève le premier et le dernier (qui sont déjà comptés pour les longueurs), soit 7 plants.
\end{itemize}

Il y a donc en tout: $2\times14 + 2\times7 = 42$ plants.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%% 2024

\begin{exo}{Somme et multiples}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{2}{10}
\begin{questions}
\item \mbox{Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3}.
\item Démontrer que la somme de trois multiples consécutifs de 3 est un multiple de 9. 
\item La somme de quatre entiers consécutifs est-elle un multiple de 4?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Soit $n\in\Z$. Les nombres $n-1$, $n$ et $n+1$ sont consécutifs (ils se suivent). Leur somme est:
\[
S=(n-1)+n+(n+1) = 3n.
\]
$S$ est bien un multiple de $3$. 

\item Soit $n\in\Z$. $(n-1)$, $n$ et $(n+1)$ sont trois entiers consécutifs, donc  $3(n-1)$, $3n$ et $3(n+1)$ sont trois multiples de 3 consécutifs. Leur somme est:
\[
S=3(n-1)+3n+3(n+1)=3n-3+3n+3n+3=9n.
\]
$S$ est bien un multiple de $9$. 

\item $\forall n\in\Z$, $n-1$, $n$, $n+1$ et $n+2$ sont quatre entiers consécutifs. 
Leur somme est $S=4n+2=2(2n+1)$. On ne peut pas factoriser encore par 2, donc elle n'est pas un multiple de $4$ (juste un multiple de 2). 
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%% 2024

\begin{exo}{Implication sur la divisibilité}{Lycée Loquidy, Nantes}{2}{10}
Soit $a\in\N$ et $n\in\N$. Montrer que si $a$ divise $n+4$ et $2n-3$ alors $a$ est un diviseur de $11$. 
\end{exo}

\begin{corrige}
Si $a$ divise $n+4$ alors $a$ divise aussi $k(n+4)$, où $k\in\Z$.

Si $a$ divise $2n-3$ alors $a$ divise aussi $k'(2n-3)$, où $k'\in\Z$.

Ainsi, $a$ divise la somme, donc $a$ divise $k(n+4)+k'(2n-3)$, soit, après développement, $(k+2k')n+4k-3k'$.

On cherche alors à savoir s'il existe des valeurs de $k$ et $k'$ telles que, pour tout entier $n$,
\[
(k+2k')n+4k-3k' = 11.
\]
Il faut donc que $k+2k'=0$, soit $k = -2k'$.

Il faut aussi que $4k-3k' = 11$, soit $4(-2k')-3k'=11$, d'où $-11k'=11$. On en déduit alors que $k'=-1$ et donc que $k=2$.


Il existe donc bien deux entiers $k$ et $k'$ tels que $k(n+4)+k'(2n-3)=11$.

Or, $a$ divise $k(n+4)+k'(2n-3)$, donc $a$ divise 11.
\end{corrige}

%%%% 2024

\begin{exo}{Ensemble d'entiers et divisibilité}{Lycée Louis Vincent, Metz}{2}{10}
Déterminer tous les entiers relatifs $n$ tels que $n-4$ divise $3n+24$. 
\end{exo}

\begin{corrige}
% ERREUR % Partons du fait que $(n-4)$ divise $A=(3n-24)$.
Partons du fait que $(n-4)$ divise $A=(3n+24)$.


On sait de plus que $(n-4)$ divise aussi $B=3(n-4)=3n-12$ (on a multiplié par 3 car le coefficient de $n$ dans $A$ est 3).

Ainsi, $(n-4)$ divise $A-B=36$. Les diviseurs de $36$ sont:
\[
-1;-2;-3;-4;-6;-9;-12;-18;-36;1;2;3;4;6;9;12;18;36.
\]
En ajoutant 4 à ces valeurs, on trouve l'ensemble des valeurs de $n$ possibles:
\[
\mathcal{D}(36)=\{3;2;1;0;-2;-5;-8;-14;-32;5;6;7;8;10;13;16;22;40\}.
\]
On vient de montrer que : \og $(n-4)$ divise $(3n+24)$ donc $n\in \mathcal{D}(36)$. \fg

De plus, si $n\in\mathcal{D}(36)$, on peut calculer $(n-4)$ et $(3n+24)$ et voir que $(n-4)$ divise bien $(3n+24)$. La réciproque est donc vraie.

\Par

Ainsi, $\mathcal{D}(36)$ est bien l'ensemble de toutes les valeurs de $n$ telles que $(n-4)$ divise bien $(3n+24)$.
\end{corrige}



%%%%%%%

\begin{exo}{Parité}{Lycée Pierre Caraminot, Egletons}{2}{10}
Montrer que le produit de deux entiers naturels consécutifs est toujours pair. 
\end{exo}

\begin{corrige}
\og Consécutifs \fg signifie que les deux entiers s'écrivent, par exemple, $n$ et $n+1$. On a $n(n+1)=n^2+n$. 

On procède par \textit{disjonction de cas} sur $n$ (on regarde tous les cas possibles): 
\begin{itemize}
\item Si $n$ est pair, $n(n+1)$ est multiple de $n$ donc de $2$.

\item Si $n$ est impair, $(n+1)$ est pair. $n(n+1)$ est multiple de $(n+1)$ donc de $2$.
\end{itemize}
Dans tous les cas, $n(n+1)$ est bien un multiple de 2.  
\end{corrige}



%%%%

\begin{exo}{Nombres premiers}{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux}{3}{15}
On considère un entier $n$ non nul et
des nombres premiers $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$, 
deux à deux distincts, et 
$a=p_1\times p_2\times p_n +1$. 
\begin{questions}
\item L'entier $a$ est-il multiple d'un des $p_k$~?
\item Euclide a utilisé cette propriété pour démontrer
que l'ensemble des nombres premiers est infini. Expliquez
son argument.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Soit $k$ un entier compris entre $1$ et $n$. 
$p_k$ divise le produit $p_1\times \dots\times p_n$, 
donc si $p_k$ divisait $a$, alors $p_k$
serait diviseur de $a-p_1\times\dots\times p_n=1$.

Or $1$ n'a pas de diviseur premier, à part lui-même...

Conclusion~: aucun des $p_k$ n'est diviseur de $a$.

\item Euclide raisonne par l'absurde, c'est-à-dire qu'il 
suppose que son résultat est faux, en espérant aboutir à une
contradiction. Il suppose que l'ensemble des nombres premiers
est fini, et qu'on peut énumérer tous les nombres
premiers~: $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$. 

D'après la première question, $a$ n'admet aucun diviseur premier. 

Or on voit que $a\geq 2$, donc $a$ admet nécessairement un 
diviseur premier. Nous avons une contradiction. L'ensemble des
nombres premiers est donc infini. 
\end{questions} 

\begin{plusloin}
Pourquoi un entier $a\geq 2$ admet-il toujours au moins un 
diviseur premier~? 

\Par

La démonstration est difficile. Nous empruntons une méthode
appelée par Fermat~: la \emph{descente infinie} (tout un programme !) 

\Par

Supposons, par l'absurde, que $a$ n'ait
pas de diviseur premier. Alors $a$ n'est pas premier (car
$a$ divise lui-même) donc on peut décomposer $a=bc$ avec
$2\leq b<a$, $2\leq c<a$. 
Mais alors, ni $b$ ni $c$ ne peuvent
avoir de diviseur premier (car il diviserait $a$). 

\Par

On a donc la propriété suivante~: 
Si $a\geq 2$ n'a pas de diviseur premier, on peut trouver un entier
$a>b\geq 2$ qui n'a pas de diviseur premier. 
Or, si on applique la propriété à $b$, on trouve ainsi une 
infinité d'entiers naturels, chacun strictement plus petit que 
le précédent, ce qui n'est pas possible car il n'y a que $a$ 
entiers naturels strictement inférieurs à $a$. 
\end{plusloin}

\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Radicaux}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 2024

\begin{exo}{Avec racines carrées}{Lycée Fernand Daguin, Mérignac}{1}{5}
Montrer que $\big(1-\sqrt3\big)^2 + \big(1+\sqrt3\big)^2$ est un entier naturel.
\end{exo}

\begin{corrige}
Pour montrer que $\big(1-\sqrt3\big)^2 + \big(1+\sqrt3\big)^2$ est un entier naturel, nous allons développer les deux carrés à l'aide des identités remarquables:
\begin{itemize}
\item $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (voir chapitre suivant)
\item $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (voir chapitre suivant)
\end{itemize}
Développons:
\begin{itemize}
\item $ \begin{aligned}[t]
\big(1-\sqrt3\big)^2 & = 1^2 - 2 \times 1 \times \sqrt3 + \big(\sqrt3\big)^2\\
& = 1 - 2\sqrt3 + 3\\
& = 4 - 2\sqrt3.
\end{aligned}$

\item $ \begin{aligned}[t]
\big(1+\sqrt3\big)^2 & = 1^2 + 2 \times 1 \times \sqrt3 + \big(\sqrt3\big)^2\\
& = 1 + 2\sqrt3 + 3\\
& = 4 + 2\sqrt3.
\end{aligned}$
\end{itemize}

Ainsi, 
\[
\big(1-\sqrt3\big)^2 + \big(1+\sqrt3\big)^2 = 4 - 2\sqrt3 + 4 + 2\sqrt3 = 8.
\]
$\big(1-\sqrt3\big)^2 + \big(1+\sqrt3\big)^2$ est donc bien en entier naturel.
\end{corrige}



\begin{exo}{Ensembles inclus}{Lycée Victor Louis, Talence}{1}{5}
Soit $n = \frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{9-5\sqrt{3}}{10}$.

Quel est le plus petit ensemble auquel appartient $n$ ?
\end{exo}

\begin{corrige}
Transformons l'écriture de $n$:
\begin{align*}
n & =\dfrac{1}{\sqrt{3}+1}+\dfrac{9-5\sqrt{3}}{10}\\
  & =\dfrac{10+(9-5\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{10(\sqrt{3}+1)} \text{ (en réduisant au même dénominateur)}\\
  & = \dfrac{10+9\sqrt{3}+9-15-5\sqrt{3}}{10(\sqrt{3}+1)}\\
  & = \dfrac{4+4\sqrt{3}}{10(\sqrt{3}+1)}\\
  & = \dfrac{4(1+\sqrt{3})}{10(\sqrt{3}+1)}\\
  & = \dfrac{2}{5}=0,4.
\end{align*}

Donc $n$ est décimal.
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Simplification}{Lycée Henri IV, Paris}{1}{5}
Simplifier afin que le résultat contienne au plus un radical $\sqrt{b}$, 
où $b\in \N$, et $b$ est le plus petit possible.
\begin{questions}
\item $C=\sqrt{27}-2\sqrt{75}+3\sqrt{12}$
\item $D=\sqrt{\dfrac{6,3}{2,8}}\times \sqrt{\dfrac{18}{0,72}}$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
C&= \sqrt{27}-2\sqrt{75}+3\sqrt{12}\\
&= 3\sqrt{3}-2\times5\sqrt{3}+3\times2\sqrt{3}\\
&= (3-10+6)\sqrt{3}\\
&= -\sqrt{3}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
D&= \sqrt{\frac{6,3}{2,8}}\times\sqrt{\frac{18}{0,72}}\\
&= \sqrt{\frac{63}{28}}\times\sqrt{\frac{18\times 100}{72}}\\
&=\sqrt{\frac{9}{4}}\times \sqrt{\frac{100}{4}}\\
&= \sqrt{\frac{9}{4}}\times \sqrt{25}\\
&= \frac{3}{2}\times 5\\
&= \frac{15}{2}.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Simplification}{Lycée Charlemagne, Paris}{1}{10}
\'Ecrire $A$ et $B$ sous la forme $a+\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont
rationnels.
\begin{questions}
\item $A=\dfrac{3}{\sqrt{5}+2}$
\item $B=\dfrac{2\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-1}$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item On utilise la quantité\\
      conjuguée $\sqrt{5}-2$\\
      pour simplifier\\
      le dénominateur:\\ 
$\begin{aligned}[t]
 	A&= \frac{3}{\sqrt{5}+2}\\
 	&= \frac{3(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}\\
 	&= \frac{3(\sqrt{5}-2)}{5-4}\\
	 & = 3\sqrt{5}-6\\
 	& = \sqrt{45}-6.
\end{aligned}$
 
 \columnbreak
 
 \item De même que précédemment:
 \begin{align*}
 B&= \frac{2\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}-1}\\
 &= \frac{(2\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}\\
 &= \frac{10+2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+3}{5-1}\\
 &= \frac{13+5\sqrt{5}}{4}\\
 & = \frac{13}{4}+\sqrt{\frac{125}{16}}.
 \end{align*}
\end{multicols}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}{Calcul avec fractions et radicaux}{Lycée Louis-le-Grand, Paris}{1}{5}
Calculer:
\[A=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}+8\sqrt{2}.\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Il faut commencer par se « débarrasser » du radical au
dénominateur.
\begin{align*}
A&= \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}+8\sqrt{2}\\
&= \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}+8\sqrt{2}\\
&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2-1}+8\sqrt{2}\\
&= 3-2\sqrt{2}+8\sqrt{2}\\
&= 3+6\sqrt{2}.
\end{align*}
N'essayez pas d'aller plus loin, et {\em surtout} ne donnez pas
de résultat approximatif calculé à la machine !
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Avec une identité remarquable}{Lycée André Malraux, Biarritz}{2}{10}
\begin{questions}
\item \'Ecrire $(3-\sqrt{11})^2$ sous la forme $a+b\sqrt{11}$, où $a$ et $b$ sont des nombres
entiers relatifs.
\item Quel est le signe de $3-\sqrt{11}$ ?
\item En déduire une autre écriture de $\sqrt{20-6\sqrt{11}}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Cette question peut être traitée sans faire appel aux identités remarquables (chapitre suivant), mais nous allons les utiliser pour plus d'efficacité.}

En effet, il s'agit ici d'un produit remarquable de la forme:
\[
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
\]
Ainsi,
\[
(3-\sqrt{11})^2=9-6\sqrt{11}+11=20-6\sqrt{11}.
\]

\item $3^2=9$ et $(\sqrt{11})^2=11$, donc :
\[
3<\sqrt{11}.
\]
On en déduit : 
\[3-\sqrt{11}<0.\]

\item Comme:
\[
(3-\sqrt{11})^2=20-6\sqrt{11},
\]
on sait que :
\[
\sqrt{20-6\sqrt{11}}=(3-\sqrt{11})
\]
ou 
\[
\sqrt{20-6\sqrt{11}}=-(3-\sqrt{11}).
\]

Comme $3-\sqrt{11}<0$, la racine carrée de $(20-6\sqrt{11})$ (qui doit être positive) est donc : $-(3-\sqrt{11})=\sqrt{11}-3$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Radicaux}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{15}
\begin{questions}
\item Simplifier :
\begin{itemize}
\item $I=\sqrt{50}-3\sqrt{2}+\frac{\sqrt{18}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
\item $J=7\sqrt{\frac{3}{7}}\times\sqrt{\frac{30}{49}}$
\item $K=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
\item $L=\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^2$
\end{itemize}
	
	\item Calculer $(2-\sqrt{13})^2$ et en déduire une écriture plus simple de\\
	$Y=\sqrt{17-4\sqrt{13}}$
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
I&=\sqrt{50}-3\sqrt{2}+\frac{\sqrt{18}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
&=\sqrt{25\times 2}-3\sqrt{2}+\frac{\sqrt{9\times 2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
&=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{ 
2}\\
&=(5-3+\frac{3}{4}-\frac{1}{2})\sqrt{2}\\
&=\frac{9}{4}\sqrt{2}.
\end{aligned}$


\item $\begin{aligned}[t]
J&=7\sqrt{\frac{3}{7}}\times\sqrt{\frac{30}{49}}\\
&=7\sqrt{\frac{3}{7}}\times\frac{\sqrt{3\times 10}}{7}\\
&=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{3}\times \sqrt{10}}{\sqrt{7}}\\
&=\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{7}}=\dfrac{3\sqrt{70}}{7}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
K&=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\
&=\frac{\sqrt{6}\times( \sqrt{3}+\sqrt{2})+3\times (\sqrt{3}-\sqrt{2})
}{( \sqrt{3}+\sqrt{2})\times (\sqrt{3}-\sqrt{2})}\\
&=\frac{\sqrt{6\times 3}+\sqrt{6\times 2} +3\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{3-2}\\
&=\sqrt{2\times 3\times 3}+\sqrt{3\times 2\times 2}+3\sqrt{3}-3\sqrt{2}\\
&=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3\sqrt{2}\\
&=5\sqrt{3}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
L&=\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^2\\
&=\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^2+2\times \left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)\times
\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)+\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^2\\
&=3-2\sqrt{2}+2\times \sqrt{(3-2\sqrt{2}).(3+2\sqrt{2})}+3+2\sqrt{2}\\
&=3-2\sqrt{2}+2\times \sqrt{9-8}+3+2\sqrt{2}\\
&=3-2\sqrt{2}+2+3+2\sqrt{2}\\
&=8.
\end{aligned}$
\end{itemize}

\item On veut calculer $Y=\sqrt{17-4\sqrt{13}}$.
\[
\big(2-\sqrt{13}\big)^2=4-4\sqrt{13}+\big(\sqrt{13}\big)^2 =  4-4\sqrt{13}+13=17-4\sqrt{13}.
\]
\begin{attention}
Il serait tentant de répondre que la racine de $17-4\sqrt{13}$ est
$2-\sqrt{13}$. Mais attention ! $13$ est supérieur à $4$, donc
$\sqrt{13}$ est supérieur à $2$. $2-\sqrt{13}$ est donc négatif !
\end{attention}

Il faut répondre : $Y=\sqrt{13}-2$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%

\sectionnn{Intervalles}

% 2024 

\begin{exo}{Union et intersection}{Lycée Fernand Daguin, Mérignac}{1}{2}
Déterminer l'union et l'intersection des intervalles $I=\;]5;9]$ et $J=[-8;6]$.
\end{exo}

\begin{corrige}
Afin de trouver l'union et l'intersection des intervalles $I=\;]5;9]$ et\\
$J=[-8;6]$, nous pouvons les représenter graphiquement sur la droite des réels:
\Par
\begin{center}
\includegraphics{060_intervalles}
\end{center}

Les deux intervalles se chevauchent; par conséquent, leur union est un intervalle qui débute à la plus petite valeur et finit à la plus grande:
\[
I \cup J = [-8;9]
\]
et leur intersection est l'intervalle formé par leurs parties communes (où ils se chevauchent):
\[
I \cap J =\; ]5;6].
\]
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Union et intersection}{Lycée Cité internationale, Paris}{2}{10}
\enlargethispage*{4em}
Pour chacun des intervalles $I$ et $J$ suivants, décrire $I \cap J$ et $I \cup J$ de la manière la plus simple possible.

\begin{questions}
\item $I=\intervOF{-3}{7}$ et $J=\intervFO{-1}{+\infty}$
\item $I=\intervOO{-\infty}{4}$ et $J=\intervFF{4}{10}$
\item $I=\intervFF{-10}{2}$ et $J=\intervFF{-3}{7}$
\item $I=\intervOF{-\infty}{3}$ et $J=\intervFO{-6}{+\infty}$
\item $I=\intervOO{-4}{2}$ et $J=\intervOF{2}{5}$ 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $I=\intervOF{-3}{7}$ et $J=\intervFO{-1}{+\infty}$

Donc $I \cap J = \intervFF{-1}{7}$ et $I \cup J = \intervOO{-3}{+\infty}$.

\item $I=\intervOO{-\infty}{4}$ et $J=\intervFF{4}{10}$

Donc $I \cap J = \varnothing$ et $I \cup J = \intervOF{-\infty}{10}$.

\item $I=\intervFF{-10}{2}$ et $J=\intervFF{-3}{7}$


Donc $I \cap J = \intervFF{-3}{2}$ et $I \cup J = \intervFF{-10}{7}$.

\item $I=\intervOF{-\infty}{3}$ et $J=\intervFO{-6}{+\infty}$ % 4

Donc $I \cap J = \intervFF{-6}{3}$ et $I \cup J = \R$.

\item $I=\intervOO{-4}{2}$ et $J=\intervOF{2}{5}$ 

Donc $I \cap J = \varnothing$ et $I \cup J = \intervOO{-4}{2} \cup \intervOF{2}{5}$.
\end{questions}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
