\chapter{Calcul littéral,\\ équations et inéquations}

\section{Développement et factorisation}

\begin{exointro}{Lycée Alain Fournier, Bourges}
Développer et factoriser:
\[
A=18x^2-24x+8-(x+1)(6x-4)-3x+2.
\]
\end{exointro}

\subsection{Développement}

Développer, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence).


Dans les énoncés ci-dessous, le membre de gauche
contient une expression factorisée, et le 
membre de droite l'expression équivalente développée.

\begin{prop}[distributivité]

Pour tous nombres $a$, $b$, $c$ et $d$, on a : 
\begin{itemize}
\item $a(b+c)=ab + ac$
\item $(a+b)(c+d) =ac + ad + bc + bd$. 
\end{itemize}
\end{prop}

\newpage

\begin{prop}[identités remarquables]
Pour tous nombres $a$ et $b$, on a : 
\[
\begin{array}{r@{~=~}l}
(a+b)^2 & a^2+2ab+b^2\\
(a-b)^2 & a^2 - 2ab + b^2\\
(a+b)(a-b) & a^2 - b^2
\end{array}
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
\begin{align*}
B & =(x-2)^2-(x-3)(2x+5)\\
 & =x^2-4x+4-(2x^2+5x-6x-15)\\
 & =x^2-4x+4-2x^2-5x+6x+15.
\end{align*}

Après avoir développé, on effectue toutes les additions possibles : on \textit{réduit} l'expression:
\[
B=-x^2-3x+19.
\]
\end{Exemple}

En général, les énoncés portent la mention « développer et réduire », mais il est conseillé dans tous les cas de réduire. On peut effectuer des réductions partielles au cours du calcul, \textit{dans la mesure où l'on respecte les règles de priorité}. 

\begin{Exemple}
\begin{align*}
B&= x^2-4x+4-(2x^2+5x-6x-15)\\
&= x^2-4x+4-(2x^2-x-15)\\
&= x^2-4x+4-2x^2+x+15\\
&= -x^2-3x+19.
\end{align*}
\end{Exemple}

\subsection{Factorisation}

Factoriser, c'est effectuer le procédé inverse de développer : on transforme une somme en un produit.

\subsubsection{Avec un facteur commun}

Dans un premier temps, on essaie de repérer un facteur commun.
\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{Exemple}
dans l'expression $(x+2)(x-5)-4(x+2$), $(x+2)$ est un facteur commun à $(x-5)$ et à $(-4)$. On choisit : 
\[
k=(x+2),\quad a=(x-5),\quad b=-4
\]

pour appliquer la propriété :
\[
ka+kb=k(a+b).
\]
\Break
Cela donne :
\[
(x+2)(x-5)-4(x+2)= (x+2)\big[(x-5)-4\big].
\]
L'expression du membre de droite est factorisée.

En général, même quand ce n'est pas demandé, on préfère développer et réduire le second facteur. On obtient :
\[
(x+2)(x-5)-4(x+2)=(x+2)(x-9).
\]
\end{Exemple}

Il arrive parfois qu'un facteur commun soit « caché » parce qu'il est multiplié par une constante, comme dans l'exemple suivant.

\begin{Exemple}
soit l'expression $(x+2)(x-5)-4x-8$.

On a le facteur commun $(x+2)$ qui n'est pas apparent.

En effet : 
\[
-4x-8 = -4(x+2).
\]
Et on retrouve l'expression de l'exemple précédent.
\end{Exemple}

\subsubsection{Avec une identité remarquable}

Si aucun facteur commun n'est visible, on peut essayer d'utiliser une identité remarquable.

\begin{itemize}
\item $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
\item $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
\item $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
\end{itemize}

Remarquez que dans ces égalités, le membre de gauche est une somme, et le membre
de droite un produit (ne perdez pas de vue qu'un carré est un produit). 
Ce sont donc, écrites sous cette forme, des
factorisations. 

\begin{Exemple}
factorisons l'expression $B=x^2-16+(x-3)(x-4)$.

Il n'y a pas de facteur commun évident. En revanche, la première partie de l'expression fait intervenir l'identité remarquable
\[x^2-16=(x+4)(x-4).\]
On peut donc terminer la factorisation :
\begin{align*}
B&=(x+4)(x-4)+(x-3)(x-4)\\
&=(x-4)\big[(x+4)+(x-3)\big]\\
&=(x-4)(x+4+x-3)\\
&=(x-4)(2x+1).
\end{align*}
\end{Exemple}

\subsubsection{Développer pour factoriser}

Si aucune des méthodes précédentes n'aboutit, on peut éventuellement  \textit{développer} l'expression, dans l'espoir de faire apparaître quelque chose d'intéressant. 

\begin{Exemple}
$C=2x^2-6x+29+2(x+2)(x-5).$

Il n'y a pas de facteur commun évident, et \mbox{$2x^2-6x+29$} n'est pas le développement d'un produit remarquable. On développe :
\begin{align*}
C&=2x^2-6x+29+2(x^2-5x+2x-10)\\
&=2x^2-6x+29+2x^2-10x+4x-20\\
&=4x^2-12x+9\\
&=(2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2\\
&=(2x-3)^2.
\end{align*}
\end{Exemple}

\begin{Remarque}
ce genre de situations est extrêmement rare.
\end{Remarque}


\begin{solintro}
\begin{itemize}
\item Développons $A$:
\begin{align*}
A & = 18x^2-24x+8-(x+1)(6x-4)-3x+2\\
  & = 18x^2-24x+8-(6x^2-4x+6x-4)-3x+2\\
  & = 18x^2-6x^2 - 24x+4x-6x-3x + 8+4+2\\
  & = 12x^2 - 29x + 14.
\end{align*}

\item Factorisons $A$:
\begin{align*}
A &= 18x^2-24x+8-(x+1)(6x-4)-3x+2 \\
  &= 2(9x^2-12x+4)-2(x+1)(3x-2)-(3x-2)\\
  &= 2(3x-2)^2-2(x+1)(3x-2)-(3x-2)\\
  &= (3x-2)[2(3x-2)-2(x+1)-1]\\
  &= (3x-2)(6x-4-2x-2-1)\\
  &= (3x-2)(4x-7).
\end{align*}
\end{itemize}
\end{solintro}




\section{Résoudre une équation}

\begin{exointro}{Lycée Alain Fournier, Bourges}
Résoudre l'équation:
\[
A=18x^2-24x+8-(x+1)(6x-4)-3x+2 = 0.
\]
\end{exointro}

\subsection{Qu'est-ce qu'une équation?}

\begin{defin}
On appelle \textit{équation à une inconnue} toute égalité entre deux expressions littérales où l'on cherche la valeur d'une lettre. Cette lettre est appelée \textit{inconnue} de l'équation.
\end{defin}

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour que l'égalité soit vraie.

\begin{Exemple}
l'égalité $3x+7=8x-3$ est une équation d'inconnue $x$ si on cherche la valeur de $x$ pour laquelle l'égalité est vraie.
\end{Exemple}


\subsection{Comment résoudre une équation?}

\subsubsection{Équations du premier degré}

Soit une équation de la forme $A = B$, où $A$ et $B$ sont deux expressions développées, d'inconnue $x$.

C'est une équation du premier degré si $x$ est uniquement élevé à l'exposant 1.

\begin{Exemple}
l'équation $3x+7=8x-3$ est du premier degré.
\end{Exemple}

On résout ce type d'équations en faisant en sorte qu'il n'y ait que des $x$ d'un côté et que des nombres de l'autre, comme vous l'avez vu au collège.

\begin{Exemple}
$\begin{aligned}[t]
3x+7=8x-3 & \iff 3x+7{\color{DR}-8x}{\color{DB}-7}=8x-3{\color{DR}-8x}{\color{DB}-7}\\
          & \iff -5x = -10\\
          & \iff x = \frac{-10}{-5}=2.
\end{aligned}$
\end{Exemple}

\subsubsection{Équations de degré strictement supérieur à 1}

Soit une équation de la forme $A = B$, où $A$ et $B$ sont deux expressions développées, d'inconnue $x$.

Si $x$ est élevé à un exposant strictement supérieur à 1, pour résoudre l'équation,  on se ramène à une équation produit nul et on tente de factoriser l'expression littérale. Ainsi, on peut appliquer le théorème du produit nul:

\begin{thm}[du produit nul]
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
\end{thm}

\begin{Exemple}
on souhaite résoudre l'équation $(3x+1)(2x+1) = (3x+1)(8x-7)$.
\begin{align*}
 & (3x+1)(2x+1) = (3x+1)(8x-7)\\
 \iff & (3x+1)(2x+1) - (3x+1)(8x-7) = 0\\
\iff & (3x+1)\big[ (2x+1) - (8x-7) \big] = 0\\
\iff & (3x+1)(-6x+8)=0\\
\iff & 3x+1=0\quad\text{ou}\quad -6x+8=0\\
\iff & x=-\frac{1}{3}\quad\text{ou}\quad x=\frac{-8}{-6}=\frac{4}{3}.              
\end{align*}
\end{Exemple}

\begin{solintro}
Nous avons vu dans l'exercice précédent de ce cours que:
\[
A = (3x-2)(4x-7).
\]
On utilise alors le théorème du produit nul pour résoudre l'équation:
\begin{align*}
A = 0 & \iff (3x-2)(4x-7) = 0\\
      & \iff 3x-2 = 0 \quad \text{ou}\quad 4x-7=0\\
      & \iff 3x=2  \quad \text{ou}\quad 4x=7\\
      & \iff x=\frac{2}{3}  \quad \text{ou}\quad x = \frac{7}{4}.
\end{align*}
L'ensemble solution de l'équation $A=0$ est donc:
\[
\mathcal{S} = \left\{ \frac{2}{3}~;~\frac{7}{4} \right\}.
\]
\end{solintro}


\section{Résoudre une inéquation}

% 2024

\begin{exointro}{Lycée Alain Fournier, Bourges}
Résoudre l'inéquation:
\[
18x^2-24x+8-(x+1)(6x-4)-3x+2 \leqslant 0.
\]
\end{exointro}

\subsection{Opérations permises sur les inégalités}

Dans ce paragraphe, $a$, $b$, $c$, $d$ et $k$ représentent des nombres réels.
\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{itemize}
\item \textit{On peut ajouter un même réel à une inégalité.}
\[
 a \leqslant b \iff a + k \leqslant b + k.
 \]

\newpage

\item \textit{On peut ajouter deux inégalités de même sens membre à membre.}
\[
\begin{cases}
a \leqslant b\\
c \leqslant d
\end{cases}
\Longrightarrow a+c \leqslant b+d
\]
\begin{attention}
La réciproque n'est pas toujours vraie, d'où le symbole d'implication \og $\Rightarrow$ \fg.

Ce n'est pas parce que $a+c \leqslant b+d$ que l'on a nécessairement $a \leqslant b$ et $c \leqslant d$.
\end{attention} 

\item \textit{On peut multiplier les deux membres de l'inégalité par un réel}.

Mais il faut faire attention au signe du réel par lequel on multiplie:
\[
\begin{cases}
k > 0\\
a \leqslant b
\end{cases}\hspace*{-10pt}
\iff k\times a \leqslant k\times b
\quad\text{et}\quad
\begin{cases}
k < 0\\
a \leqslant b
\end{cases}\hspace*{-10pt}
\iff k\times a \geqslant k\times b.
\]

Si ce réel est positif, on garde le sens de l'inégalité; \\
s'il est négatif, on change le sens de l'inégalité.

\item \textit{On peut élever les deux membres de l'inégalité au carré ou prendre leur racine carrée si les deux membres sont positifs}.
\[
\begin{cases}
a > 0,\ b> 0\\
a \leqslant b
\end{cases} \Longrightarrow a^2 \leqslant b^2.
\]

\item \textit{On peut inverser les deux membres en changeant le sens de l'inégalité si les deux membres sont de même signe.}
\[
\begin{cases}
a\text{ et }b\text{ de même signe et non nuls}\\
a \leqslant b
\end{cases} \iff \frac{1}{a} \geqslant \frac{1}{b},\ \text{$a$ et $b$ de même signe}.
\]
\end{itemize}


\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item Si $x+7\geqslant 5$, on peut ajouter $-7$ aux deux membres et obtenir $x\geqslant -2$.

\item Si $7x\leq -3$, on peut diviser par 7 les deux membres pour obtenir $x\leq -\dfrac{3}{7}$. Le sens ne change pas car 7 est positif.

\item Si $x>5$, on peut écrire $x^2>25$ et $\sqrt{x}>\sqrt5$.
 
\textit{Attention:} si $-2<x<5$, on ne peut pas écrire $(-2)^2 < x^2 < 5^2$ car cela serait faux pour $x = 0$ ou $x = 1$ par exemple.

Dans ce cas, le meilleur encadrement possible est : $0 \leqslant x^2 < 5^2$ (voir chapitre~\ref{cours:fonctions-reference} page \pageref{cours:fonction-carre}, \og La fonction carré \fg).  

\item Si $0<x\leqslant5$, alors $\dfrac{1}{x}\geqslant\dfrac{1}{5}$.
\end{itemize}
\end{Exemples}


\begin{attention}
Si $x \geqslant 5$, on ne peut pas en déduire que $\dfrac{1}{x}\leqslant\dfrac{1}{5}$, mais que : $0 < \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{5}$, car l'inverse d'un nombre positif est forcément positif.

De même, si $x<-2$, alors : $0 > \dfrac{1}{x} > -\dfrac{1}{2}$, et non $\dfrac{1}{x} > -\dfrac{1}{2}$.
\end{attention}





\subsection{Tableaux de signes}


\begin{itemize}
\item Pour résoudre une inéquation produit, on détermine le signe de chaque facteur que l'on résume dans un \textit{tableau de signes}. La règle des signes permet de conclure.

\begin{Exemple}
résoudre l'inéquation $(x-2)(6-2x)(x+4)\geqslant 0$.

\[
\begin{array}{ccc}
x-2\geqslant 0 & \iff &  x\geqslant2\\
6-2x\geqslant0 & \iff &  x\leqslant3\\
x+4\geqslant0 & \iff &  x\geqslant-4
\end{array}
\]

On en déduit le tableau de signes :

\[\begin{array}{|C|lcccccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -4 & & 2 &  & 3 & &+\infty\\\hline
x-2 & & - &  & - & 0 & +  &   & + & \\\hline
6-2x & & + &  & + &  & + & 0 & - & \\\hline
x+4 & & - & 0 & + &  & + &  & + & \\\hline
\text{Produit} & & + &0 & - & 0 & + & 0 & - & \\\hline
\end{array}\]

\Par

D'où $\mathcal{S}=\left]~-\infty~;~-4~\right]\cup[~2~;~3~]$
\end{Exemple}

\item La méthode est la même pour une inéquation quotient mais il faut être vigilant avec les valeurs interdites qui sont les nombres qui annulent le dénominateur. 

\begin{Exemple} résoudre l'inéquation $x\geqslant \dfrac{9}{x}$. \end{Exemple}

Valeur interdite: $x=0$.

Résolution : 
\begin{align*}
x\geqslant \dfrac{9}{x} & \iff \dfrac{x^2}{x}-\dfrac{9}{x}\geqslant 0\\
& \iff \dfrac{(x-3)(x+3)}{x}\geqslant 0
\end{align*}


On en déduit le tableau de signes page ci-contre.

\[\begin{array}{|C|lcccccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -3 & & 0 &  & 3 & &+\infty\\\hline
x-3 & & - &  & - &  & -  & 0  & + & \\\hline
x+3 & & - & 0 & + &  & + &  & + & \\\hline
x& & - &  & - &  0 & + &  & + & \\\hline
\text{Quotient} & & - &0 & + & \dvline & - & 0 & + & \\\hline
\end{array}\]

D'où $\mathcal{S}=\left[~-3~;~0~\right[\cup[~3~;~+\infty~[$

Attention à exclure de l'ensemble des solutions les valeurs interdites. 
\end{itemize}



\subsection{Utiliser le signe de la différence}

Pour comparer deux nombres $x$ et $y$, on peut étudier le signe de leur différence $x-y$ :
\[\begin{cases}
\text{Si $x-y>0$, alors $x>y$}\\
\text{Si $x-y<0$, alors $x<y$}
\end{cases}\]

\begin{Exemple}
on veut résoudre l'inéquation : $\dfrac{1}{x}<2$. Il faut pour cela:
\begin{questions}
\item \'Ecrire la différence : $\dfrac{1}{x}-2$ ;
\item Réduire au même dénominateur : $\dfrac{1-2x}{x}$ ;
\item Utiliser un tableau de signes:
\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\tabulartitle\hline
x & -\infty &   &0 &   &\tfrac{1\strut}{2\strut}&  & +\infty \\\hline
x &  & -  &0 & +  &  & + &  \\\hline
1-2x &  & + & & + & 0 & - & \\\hline
\dfrac{1-2x\strut}{x\strut} & & -& \dvline& + & 0 & -& \\\hline
\end{array}\]
Il suffit de lire dans le tableau où sont situés les réels tels que $\dfrac{1-2x}{x}<0$ :
\[S=\left]-\infty,0\right[\cup\left]\frac{1}{2},+\infty\right[\]
\end{questions}
\end{Exemple}


\subsection{Résolution graphique d'une inéquation}

Pour résoudre \emph{graphiquement} une inéquation du type $f(x)\leq g(x)$, 
on trace la courbe des deux fonctions (soit \og à la main \fg, soit à l'aide
de la calculatrice). Il suffit de lire sur l'axe des abscisses les valeurs
de $x$ pour lesquelles la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$. Habituellement,
l'ensemble de ces valeurs est un intervalle ou une réunion d'intervalles de $\R$.

Par exemple, la figure ci-dessous montre que~: 
\begin{itemize}
\item Si $0<x<1$, alors $x^3<x^2<x$.
\item Si $x>1$, alors $x<x^2<x^3$.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics{070_01_Cours_fig1}
\end{center}

\begin{solintro}
Nous avons vu dans le premier exercice type de ce cours que:
\[
18x^2-24x+8-(x+1)(6x-4)-3x+2 = (3x-2)(4x-7).
\]
De plus,
\[
\begin{array}{ll}
3x-2 \geqslant 0 & \iff x \geqslant \frac{2}{3}\\[10pt]
4x-7 \geqslant 0 & \iff x \geqslant \frac{7}{4}
\end{array}
\]
On peut alors construire le tableau de signes suivant:
\[
\begin{array}{|C|lcccccr|}
\tabulartitle\hline
x    & -\infty &   & \tfrac{2\strut}{3\strut} &   & \tfrac{7\strut}{4\strut}&  & +\infty \\ \hline
3x-2 &         & - &       0      & +  &  & + &  \\\hline
4x-7 &         & - &               & - & 0 & + & \\\hline
(3x-2)(4x-7) & & + & 0 & - & 0 & + & \\\hline
\end{array}
\]
On peut alors conclure que l'ensemble solution de l'inéquation $18x^2-24x+8-(x+1)(6x-4)-3x+2 \leqslant 0$ est:
\[
\mathcal{S} = \left[ \frac{2}{3} ; \frac{7}{4} \right].
\]
\end{solintro}

\section{Équations et inéquations avec valeur absolue}

% 2024

\begin{exointro}{Lycée Loquidy, Nantes}
Traduire avec des valeurs absolues les affirmations suivantes (complétez les pointillés).
\begin{questions}
\item La distance de $x$ à $0,5$ est inférieure ou égale à 2 $\iff |x \ldots| \ldots$
\item $x \in [-9;1] \iff |x \ldots | \ldots$
\item $|x + 8| > \pi$
\end{questions}
\end{exointro}


\subsection{Définition d'une valeur absolue d'un nombre}

\begin{defin}
Soit $x$ un nombre réel. On définit la \textit{valeur absolue} du nombre $x$ comme étant la distance qui le sépare du nombre 0 sur l'axe des réels, et on la note $|x|$.

Autrement dit, 
\[
\begin{cases}
|x| = x \text{ si }x \geqslant 0\\
|x| = -x \text{ si }x < 0
\end{cases}
\]
\end{defin}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item $|5| = 5$
\item $|-3| = 3$
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{defin}[distance entre deux nombres]
Pour tous nombres réels $a$ et $b$,  on définit la \textit{distance} entre $a$ et $b$ par le nombre:
\[
d(a;b) = |b-a| = |a-b|.
\]
\end{defin}

\begin{Exemple}
la distance entre $-3$ et 5 est $d(-3;5)=8$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{071_crs03-distance}
\end{center}
\end{Exemple}

\subsection{\boldmath Équations du type $|x-a|=r$}

\begin{prop}
Soit $r$ un réel positif ou nul, et soit $a$ un réel quelconque.
\[
|x-a|=r \iff x = a-r \text{ ou } x = a+r.
\]
\end{prop}

En effet, $|x-a|$ représente la distance entre $x$ et $a$. Si cette distance est égale à $r$, alors $x=a-r$ ou $x=a+r$
\begin{center}
\includegraphics{072_crs03-equation}
\end{center}

\subsection{Inéquations}

\begin{prop}
Soit $r$ un réel positif ou nul, et soit $a$ un réel quelconque.
\begin{itemize}
\item $|x-a| \leqslant r \iff x \in [ a-r ; a+r ]$.
\begin{center}
\includegraphics{072_crs03-inequation1}
\end{center}
\item $|x-a| \geqslant r \iff x \in ]-\infty; a-r] \cup [a+r;+\infty[$.
\begin{center}
\includegraphics{072_crs03-inequation2}
\end{center}
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{Remarque}
l'orientation des crochets des intervalles dépend de l'inégalité (large ou stricte).
\end{Remarque}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item La distance de $x$ à $0,5$ est inférieure ou égale à 2 $\iff |x - 0,5| \leqslant 2$.

\item $x \in [-9;1] \iff |x + 4 | \leqslant 5$.

Pour compléter ici, nous avons avant tout trouvé le milieu de l'intervalle $[-9;1]$ en effectuant le calcul: $\frac{-9+1}{2}=-4$, puis nous avons calculé la distance entre $-4$ et $1$ (par exemple) en effectuant l'opération:\linebreak $1-(-4)=5$.

\item $\begin{aligned}[t]
|x + 8| > \pi & \iff |x - (-8)| > \pi\\
              & \iff x \in]-\infty;-8-\pi[ \cup ]-8+\pi;+\infty[.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{solintro}