\thumb

\begin{vf}{\'Etude graphique}{4}
On a représenté ci-dessous la fonction $f$ et la fonction affine \[g\; :\; x\mapsto \dfrac{1}{2}x+1.\]
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

\begin{tabular}{@{}l@{}}
\choix L'ensemble des solutions de $f(x)=g(x)$ est $[-2~;2]$.\\[1mm]
\choix L'ensemble des solutions de $f(x)=g(x)$ est $\{-2~;2\}$.\\[1mm]
\choix L'ensemble des solutions de $f(x)<g(x)$ est $]-2~;2[$.\\[1mm]
\choix L'ensemble des solutions de $f(x)\geq g(x)$ est $[-2~;2]$.
\end{tabular}

\begin{center}
\includegraphics{073_02-04}
\end{center}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & \textit{Faux}. Les deux courbes se coupent en deux points exactement, d'abscisses $-2$ et $2$. $[-2~;2]$ est un intervalle, qui contient \textit{tous} les réels entre $-2$ et $2$.\\[2mm]
\choix & \textit{Vrai}. En effet, $\{-2;2\}$ représente bien l'ensemble constitué des deux nombres $-2$ et $2$\\[2mm]
\choix & \textit{Faux}. Au contraire, sur cet intervalle, la courbe de $g$ est strictement au-dessous de celle de $f$, on aura donc $f(x)>g(x)$.\\[2mm]
\choix & \textit{Vrai}. L'inégalité est large, il faut donc inclure $-2$ et $+2$.
\end{tabularx}
\end{corrige}

\begin{vf}{Factorisation}{5}
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses?

\begin{tabular}{@{}l@{}}
\choix $x$ peut être mis en facteur dans $3x^2+2x+5$.\\
\choix Pour tout réel $x$, $(x+2)^2=x^2+2x+4$.\\
\choix Pour tout réel $x$, $(x-2)^2=x^2-4x+4$.\\
\choix Pour tout réel $x$, $(2x-3)(2x+3)=2x^2-9$.
\end{tabular}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & \textit{Faux}, à cause du $5$.\\[2mm]
\choix & \textit{Faux}. Attention au double produit: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.\\[2mm]
\choix & \textit{Vrai}. $(x-2)^2=x^2-2\times x\times2 + 2^2=x^2-4x+4$.\\[2mm]
\choix & \textit{Faux}. On a $(2x)^2=4x^2$, donc $(2x-3)(2x+3)=4x^2-9$.
\end{tabularx}
\end{corrige}

%%%

\begin{qcm}{\'Equations: ensemble des solutions}{5}
Dans quels cas l'ensemble des solutions est-il correct ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $3x-7=0$ & $S=\left\{\dfrac{7}{3}\right\}$\\[10pt]
\choix $3x-7=0$ & $S=\left\{2{,}33\right\}$\\[4pt]
\choix $(x-5)(2x+1)=0$& $S=\left\{-5~;-\dfrac{1}{2}\right\}$\\[15pt]
\choix $x^2-8=0$ & $S=\{2\sqrt{2}~;-2\sqrt{2}\}$
\end{tabularx}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & Oui. $3x-7=0 \iff 3x=7 \iff x=\dfrac73$.\\[2mm]
\choix &Non. On doit donner la solution exacte. $2{,}33$ est une approximation
de la solution à $0{,}01$ près.\\[2mm]
\choix & Non. Les solutions sont donc $5$ et $-\dfrac{1}{2}$.\\[2mm]
\choix &Oui. Les solutions sont $\sqrt{8}$ et $-\sqrt{8}$.\\ & On remarque : $\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt4\times\sqrt2=2\sqrt2$.
\end{tabularx}
\end{corrige}

%%%

\begin{vf}{Transformer des inégalités}{5}
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix Si $x<0$ et $x \neq 0$, alors $\dfrac{1}{x}>1$
& \choix Si $x\geq 2$, alors $\dfrac{1}{x}\leq \dfrac{1}{2}$\\[3mm]
\choix Si $x<-2$, alors $\dfrac{1}{x}<-\dfrac{1}{2}$
& \choix Si $x\geq 3$, alors $-2x\leq -6$
\end{tabularx}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & \textit{Faux}. Si $x<0$, alors $\dfrac{1}{x}<0$.\\
       & L'affirmation est vraie uniquement si $x \in\ ]0;1[$.\\[8pt]
\choix & \textit{Faux}. Si $x \geqslant2$ alors $0 < \frac{1}{x} \leqslant\frac{1}{2}$. \\[8pt]
\choix & \textit{Faux}. Si $x<-2$ alors $-\frac{1}{2}<\frac{1}{x}<0$.\\
\choix & \textit{Vrai}. La multiplication par un nombre négatif change le sens de \\
       & l'inégalité.
\end{tabularx}
\newpage
\end{corrige}

%%%

\begin{qcm}{Inéquations}{6}
Dans quels cas les inéquations proposées ont-elles les mêmes solutions dans~$\R$ ?\\

\begin{tabular}{@{}lcl@{}}
\choix $x(x-3)<x(2x+1)$ & et & $(x-3)<(2x+1)$ \\[1.5mm]
\choix $3-x<5$ & et &  $x>2$ \\
\choix $x<2$ & et & $\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{2}$\\
\choix $(x^2+2)(x-1)>0$ & et & $2(x-1)>0$\\[1.7mm]
\choix $(x-3)^2\geq (2x+1)^2$ & et & $x-3\geq 2x+1$\\
\choix $\dfrac{x}{x-2}\leq\dfrac{2x+1}{x+3}$ & et & $x(x+3)\leq (x-2)(2x+1)$
\end{tabular}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
 \choix & \textit{Faux}. Si $x$ est négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.\\%[2mm]
\choix & \textit{Faux}. En ajoutant $x-5$ aux deux membres, on obtient $x>-2$ et non $x>2$. \\%[2mm]
\choix & \textit{Faux}. Par exemple, $-3<2$ mais $\dfrac{1}{-3}<\dfrac{1}{2}$. Les inégalités changent de
sens en passant à l'inverse \emph{si les deux membres ont le même
  signe !}\\%[2mm]
\choix & \textit{Vrai}. Quelles que soient les valeurs de $x$, $(x^2+2)>0$ et $2>0$, donc
les deux inéquations ont les mêmes solutions que $x-1>0$.\\[2mm]
\choix & \textit{Faux}. En prenant la racine carrée des deux membres (positifs) d'une inégalité, on obtient une
inégalité équivalente et de même sens. Cependant, la racine carrée de $(x-3)^2$ doit être positive.
Il s'agit donc de\linebreak $|x-3|$, et non de $x-3$ en général. Par exemple, pour $x=0$, on a bien\linebreak
$(x-3)^2\geq (2x+1)^2$ (car $9\geq1$) mais $x-3=-3$ et $2x+1=1$, donc $x-3<2x+1$.\\%[2mm]
\choix & \textit{Faux}. On ne connaît pas les signes de $x-2$ et de $x+3$.
On constate par exemple que $0$ est solution
de la première inéquation mais pas de la seconde.
\end{tabularx}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Développements}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%

\begin{exo}{Calcul littéral}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{1}{5}
Montrer que la somme du produit de trois entiers consécutifs $n-1$, $n$ et $n+1$ et de l'entier $n$ est le cube d'un entier.
\end{exo}

\begin{corrige}
Le produit de trois entiers consécutifs $n-1$, $n$ et $n+1$ s'écrit : $(n-1)n(n+1)$.

La somme du produit de trois entiers consécutifs $n-1$, $n$ et $n+1$ et de l'entier $n$ est donc:
\[
(n-1)n(n+1)+n=(n^2-n)(n+1)+n=n^3+n^2-n^2-n+n=n^3.
\]
Cette somme est donc bien le cube d'un entier.
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Développements}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{1}{10}
Développer les expressions suivantes :
\begin{questions}
\item $A(x)=2x(x-2)(x+2)$
\item $B(x)=(1+3x)^2-2(x+1)(x-5)$
\item $C(x)=\left(3x-\sqrt{3}\right)^2$
\item $D(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2\quad$ 
($x\neq 0$)
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $2x(x-2)(x+2)= 2x(x^2-4)=2x^3-8x$.
\item $\begin{aligned}[t]
(1+3x)^2-2(x+1)(x-5) & =1+6x+9x^2-2(x^2-5x+x-5)\\
& =1+6x+9x^2-2x^2+8x+10\\
&=7x^2+14x+11.\end{aligned}$
\item $\left(3x-\sqrt{3}\right)^2=9x^2-6x\sqrt{3}+3$.
\item $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2\times x\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

% 2024

\begin{exo}{Arithmétique et calcul littéral}{Lycée Parc de Vilgenis, Massy}{1}{10}
Soit $n$ un entier naturel.
\begin{questions}
\item Développer $(n+1)^2-n^2$.
\item En déduire que tout entier impair est la différence de deux carrés d'entiers consécutifs.
\item \'Ecrire 17 et \numprint{2019} comme différence de deux carrés d'entiers consécutifs.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
(n+1)^2-n^2 & = n^2 + 2n + 1 - n^2\\
            & = 2n+1.
\end{aligned}$

\item Tout nombre impair peut s'écrire sous la forme $2n+1$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, de la question précédente, nous pouvons déduire que tout nombre impair peut s'écrire sous la forme $(n+1)^2 - n^2$, et donc que tout nombre impair peut être considéré comme la différence de deux carrés d'entiers consécutifs ($n$ et $n+1$).

\item 
\begin{itemize}
\item $17 = 16 + 1 = 2\times8 + 1 = 2n+1$ avec $n=8$. Ainsi,
\[
17=(n+1)^2 - n^2 = (8+1)^2 - 8^2 = 9^2 - 8^2.
\]

\item $\numprint{2019} = \numprint{2018} + 1 = 2\times\numprint{1009}+1=2n+1$ avec $n=\numprint{1009}$. Ainsi,
\[
\numprint{2019} = (\numprint{1009}+1)^2 - \numprint{1009}^2 = \numprint{1010}^2 - \numprint{1009}^2.
\]
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Factorisations}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}{Factorisations}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{1}{10}
Factoriser au maximum :
\begin{questions}
\item $A(x)=(2x-3)^2-(4x+1)(2x-3)$
\item $B(x)=(x+1)^2-(2x+3)^2$
\item $C(x)=(x-1)(2+x)+(x+5)(1-x)$
\item $D(x)=x^3+x^2+x+1$
\item $E(x)=xy – x – y +1$
\item $F(x)=(5x+3)^2-11$
\item $G(x)=(x-1)^2-2(x^2-1)$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
A(x)&=(2x-3)^2-(4x+1)(2x-3)\\
&=(2x-3)(2x-3-(4x+1))\\
&=(2x-3)(-2x-4)\\
&=-2(2x-3)(x+2).
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
B(x)&=(x+1)^2-(2x+3)^2\\
&=((x+1)-(2x+3))((x+1)+(2x+3))\\
&=(-x-2)(3x+4).
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
C(x)&=(x-1)(2+x)+(x+5)(1-x)\\
&=(x-1)(2+x)-(x+5)(x-1)\\
&=(x-1)(2+x-x-5)\\
&=-3(x-1).
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
D(x)&=x^3+x^2+x+1\\
&=x^2(x+1)+x+1\\
&=(x+1)(x^2+1).
\end{aligned}$

\item $E(x)=xy – x – y +1=x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1)$.

\item $\begin{aligned}[t]
F(x)&=(5x+3)^2-11\\
&=(5x+3)^2-\sqrt{11}^2\\
&=(5x+3-\sqrt{11})(5x+3+\sqrt{11}).
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
G(x)&=(x-1)^2-2(x^2-1)\\
&=(x-1)^2-2(x-1)(x+1)\\
&=(x-1)(x-1-2(x+1))\\
&=(x-1)(-x-3).
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2024

\begin{exo}{Développement ou factorisation ?}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{1}{10}
On considère l'algorithme suivant :

\begin{algorithme}{}
Variables x, y : nombres
Début :
  Lire x
  Affecter à y la valeur x - 2
  Affecter à y la valeur y$^\text{2}$
  Affecter à y la valeur y - 4
  Afficher y
Fin
\end{algorithme}
\begin{questions}

\item Lucien prétend que cet algorithme retourne la valeur de $(x-2)^2-4$.

A-t-il raison?

\item Expliquer pourquoi l'algorithme suivant affiche le même résultat que le premier quand on saisit la même valeur de \texttt{x} :

\begin{algorithme}{}
Variables x : nombre
Début :
  Lire x
  Affecter à x la valeur x*(x - 4)
  Afficher x
Fin
\end{algorithme}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Regardons étape par étape ce que fait l'algorithme :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Zc|>{\ttfamily}Zc|Zc|}
\hline\tabulartitle
\'Etape & Instruction & Valeur de \texttt{y}\\
\hline
1 & Affecter à y la valeur x - 2 & $y=x-2$\\
\hline
2 & Affecter à y la valeur y$^\text{2}$ & $y=(x-2)^2$\\\hline
3 & Affecter à y la valeur y - 4 & $y=(x-2)^2-4$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

La valeur de $y$ affichée par l'algorithme est donc bien $(x-2)^2-4$.

\item Si on factorise l'expression de $y$ en fonction de $x$, on obtient :
\begin{align*}
(x-2)^2-4 & = (x-2)^2-2^2\qquad\text{qui est de la forme }a^2-b^2\\
& = \big[(x-2)+2\big]\big[(x-2)-2\big]\\
& \text{~~~~ car }a^2-b^2=(a+b)(a-b)\\
& = x(x-4).
\end{align*}
Ainsi, après avoir saisi la valeur de $x$, pour afficher le même résultat que l'algorithme initial, il suffit de calculer $x(x-4)$.

Dans l'algorithme proposé ici, il n'a pas été jugé nécessaire de faire intervenir deux variables (\texttt{x} et \texttt{y}) car le fait d'affecter à \texttt{x} la valeur\linebreak $x(x-4)$ suffit.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Diverses factorisations}{Lycée Chateaubriand, Rennes}{2}{25}
Factoriser chacune des expressions suivantes.
\begin{questions}
\item $f(x)=3(x-2)(x^2+1)-(6x^2-5)(x-2)$.
\item $f(a)=16a^4-9$.
\item $f(x)=x^2-2x+1-7(x-1)+(x+2)(1-x)$.
\item $f(x)=(6x-3)^2-(2x-1)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x)&=3(x-2)(x^2+1)-(6x^2-5)(x-2)\\
&=(x-2)[3(x^2+1)-(6x^2-5)]\\
&=(x-2)[3x^2+3-6x^2+5]\\
&=(x-2)[-3x^2+8]\\
&=(x-2)(\sqrt{8}-x\sqrt{3})(\sqrt{8}+x\sqrt{3}).
\end{aligned}$

\item $16a^4-9=(4a^2-3)(4a^2+3)=(2a-\sqrt{3})(2a+\sqrt{3})(4a^2+3)$.

\item On utilise l'identité remarquable : $x^2-2x+1=(x-1)^2$. Il vient :
\begin{align*}
f(x)&=x^2-2x+1-7(x-1)+(x+2)(1-x)\\
&=(x-1)^2-7(x-1)+(x+2)(1-x)\\
&=(x-1)[(x-1)-7-(x+2)]\\
&=(x-1)[x-1-7-x-2]\\
&=-10(x-1).
\end{align*}
\begin{Remarque}
bizarrement, on obtient le même résultat en développant :
\[f(x)=x^2-2x+1-7x+7+x+2-x^2-2x=-10x+10=-10(x-1).\]
Mais c'est exceptionnel ! \c{C}a marche seulement parce que les coefficients des $x^2$
se compensent. Le simple développement échoue, par exemple, si on modifie un
peu la formule, par exemple :
\[x^2-2x+1-7(x-1)+(3x+2)(1-x)=-2x^2-8x+10.\]
Alors que la factorisation par $(x-1)$ donne :
\[x^2-2x+1-7(x-1)-(3x+2)(x-1)=-2(x-1)(5+x).\]
\end{Remarque}

\item Pour ne pas tomber dans le piège, il faut se 
souvenir de $(ab)^2=a^2b^2$. Comme $6x-3=3(2x-1)$, on aura $(6x-3)^2=9(2x-1)^2$
(et non pas $3(2x-1)^2$ !). Les calculs donnent :
\begin{align*}
f(x)&=(6x-3)^2-(2x-1)\\
&=9(2x-1)^2-(2x-1)\\
&=(2x-1)[9(2x-1)-1]\\
&=(2x-1)(18x-9-1)\\
&=(2x-1)(18x-10)\\
&=2(2x-1)(9x-5).
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{\'Equations}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{\'Equations}{Lycée Paul Lapie, Courbevoie}{1}{20}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5.5cm}
Soit $f$ la fonction qui à tout nombre réel $x$ fait correspondre $f(x)$ tel que $f(x)=(x-3)^2$. 

On donne sa courbe représentative ci-contre.

\begin{questions}
\item Lire sur le graphique les solutions des équations :
\begin{questions}
\item $(x-3)^2=4$.
\item $(x-3)^2=2$.
\item $(x-3)^2=-1$.
\end{questions}
\item Résoudre les mêmes équations en détaillant les calculs, nommer $S$ l'ensemble des solutions.
\end{questions}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{4.7cm}
\includegraphics{076_02-05}
\end{minipage}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On détermine sur la figure les points d'ordonnées $4$, $2$ ou $-1$ (\textit{voir figure à la fin de la correction}).
\begin{questions}
\item Il y a deux points d'ordonnée $4$, d'abscisses : $1$ et $5$.
\item Il y a deux points d'ordonnée $2$. L'un a une abscisse comprise entre $1$ et $2$,
l'autre a une abscisse comprise entre $4$ et $5$.
\item Aucun point de la courbe n'a une ordonnée négative.
\end{questions}
\item 
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
(x-3)^2=4&\iff (x-3)^2-4=0\\
&\iff (x-3)^2-2^2=0\\
&\iff (x-3-2)(x-3+2)=0\\
&\iff (x-5)(x-1)=0
\end{aligned}$ 

On a donc deux solutions : \[S=\{1~;5\}.\]

\item De la même façon :
\begin{align*}
(x-3)^2=2&\iff (x-3)^2-2=0\\
&\iff (x-3)^2-\sqrt{2}^2=0\\
&\iff (x-3-\sqrt{2})(x-3+\sqrt{2})=0
\end{align*}
D'où :
\[S=\{3-\sqrt{2}~;3+\sqrt{2}\}.\]
\item Un carré étant toujours positif ou nul, l'équation :
\[(x-3)^2=-1\]
n'a pas de solution et $S=\emptyset$.
\end{questions}
\end{questions} 
\begin{center}
\includegraphics{091_02-06}
\end{center}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{\'Equations}{Lycée Foch, Rodez}{2}{15}
Soit l'expression $f(x)=15x^2+11x-12$.
\begin{questions}
\item Vérifier que $f(x)=(3x+4)(5x-3)$.
\item En choisissant la plus appropriée des deux formes de $f(x)$, résoudre chacune
des équations suivantes où $x$ est l'inconnue réelle :
\begin{questions}
\item $f(x)=0$.
\item $f(x)=15x^2$.
\item $f(x)=-12$.
\item $f(x)=5x-3$.
\item $f(x)=14x^2+11x+4$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il suffit de développer l'expression :
\[(3x+4)(5x-3)=15x^2-9x+20x-12=15x^2+11x-12=f(x).\]

\item 
\begin{questions}
\item $f(x)=0\iff(3x+4)(5x-3)=0$. 
\Par
Un produit de facteurs est nul si et
  seulement si l'un des facteurs est nul, donc $3x+4=0$ ou $5x-3=0$.
  On obtient les deux solutions :
\[S=\left\{\frac{-4}{3},\frac{3}{5}\right\}.\]

\item $f(x)=15x^2\iff 15x^2+11x-12=15x^2\iff 11x-12=0$.
D'où une seule solution :
\[S=\left\{\frac{12}{11}\right\}.\]

\item 
$\begin{aligned}[t]
f(x)=-12 & \iff 15x^2+11x-12=-12\\
         & \iff 15x^2+11x=0\\
         &\iff x(15x+11)=0.
\end{aligned}$
\Par
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, d'où $x=0$ ou $15x+11=0$. 
Il vient :
\[S=\left\{0~;\frac{-11}{15}\right\}.\]

\item On reconnaît la présence de $5x-3$ des deux côtés du symbole \og $=$ \fg, il suffit donc de factoriser par $5x-3$ :
\begin{align*}
f(x)=5x-3&\iff(3x+4)(5x-3)=5x-3\\
&\iff (3x+4)(5x-3)-(5x-3)=0\\
&\iff (5x-3)[(3x+4)-1]=0\\
&\iff (5x-3)(3x+3)=0\\
&\iff 3(5x-3)(x+1)=0.
\end{align*}
Là encore, on utilise le résultat sur les produits nuls, ce qui donne
$5x-3=0$ ou $x+1=0$.  Il vient :
\[S=\left\{-1~;\frac{3}{5}\right\}.\]

\item 
$\begin{aligned}[t]
f(x)=14x^2+11x+4
&\iff 15x^2+11x-12=14x^2+11x+4\\
&\iff x^2-16=0\\
&\iff x^2-4^2=0\\
&\iff (x-4)(x+4)=0\text{ (produit remarquable)}
\end{aligned}$

L'ensemble des solutions est donc :
\[S=\{-4~;+4\}.\]
\end{questions}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{\'Equations}{Lycée Blaise Pascal, Orsay}{2}{15}
Résoudre dans $\R$ :

\begin{questions}
\item $\dfrac{5x+3}{4}-\dfrac{x-9}{3}=\dfrac{x}{2}+5$.
\item $(4x^2-3x-18)^2-(4x^2+3x)^2=0$.
\item $\dfrac{x-4}{x-5}+\dfrac{x-6}{x-4}=2-\dfrac{2}{x-4}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
	\frac{5x+3}{4}-\frac{x-9}{3} &=\frac{x}{2}+5\\
	\iff \frac{15x+9}{12}-\frac{4x-36}{12} &=\frac{6x}{12}+\frac{60}{12}\\
	15x+9-4x+36 &=6x+60\\
	5x &=15\\
	x &=3
	\end{aligned}$
	
	L'ensemble des solutions est : $S=\{3\}$.
	
	\item
	$\begin{aligned}[t]
	(4x^2-3x-18)^2-(4x^2+3x)^2 &= 0 \\
	\Bigl((4x^2-3x-18)+(4x^2+3x)\Bigr)\Bigl((4x^2-3x-18)-(4x^2+3x)\Bigr) &= 0 \\
	(4x^2-3x-18+4x^2+3x)(4x^2-3x-18-4x^2-3x) &= 0 \\
	(8x^2-18)(-6x-18) &= 0\\
	2(4x^2-9)(-6)(x+3) &= 0\\
	(-12)(2x-3)(2x+3)(x+3) &= 0
	\end{aligned}$
	
	Un produit de facteurs est nul quand l'un des facteurs est nul.
	
        On obtient l'ensemble de solutions :
        \[S=\left\{-3~;-\dfrac{3}{2}~;\dfrac{3}{2}\right\}.\]

	\item Il faut déjà remarquer que les valeurs $4$ et $5$, qui annulent 	les dénominateurs, ne sont pas autorisées... Donc, pour $x\neq5$ et $x\neq4$:
\begin{align*}
\frac{x-4}{x-5} + \frac{x-6}{x-4} & =2-\frac{2}{x-4}\\
\iff\ \frac{x-4}{x-5} & =-\frac{x-6}{x-4}+2-\frac{2}{x-4}\\
	 & =-\frac{x-6}{x-4}+\frac{2x-8}{x-4}-\frac{2}{x-4}\\
	 & =\frac{-x+6+2x-8-2}{x-4}\\
	 & =\frac{x-4}{x-4}\\
	&=1\\
\iff\ x-4 & =x-5\\
\iff\ -4 & =-5
\end{align*}
Ceci n'est visiblement pas vrai, il n'y a pas de solution : $S=\emptyset$.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Bien choisir son taxi}{Lycée Victor Duruy, Paris}{2}{20} 
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{bien choisir son taxi}{https://media.prepamath.fr/IL2Mch03exo15}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.2){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch03exo15}}}
\vspace*{-10pt}

Deux chauffeurs de taxi pratiquent des tarifs différents :
  \begin{itemize}
  \item Tarif A : $5$~\euro{} de prise en charge et $0{,}40$~\euro par
    kilomètre parcouru.
  \item Tarif B : pas de frais de prise en charge mais $0{,}60$~\euro{} du  kilomètre.
  \end{itemize}
  \begin{questions}
  \item
    \begin{questions}
    \item Un client veut parcourir $8$~km. Quel taxi doit-il prendre
      pour payer le moins cher ?
    \item Même question pour un client désirant parcourir $30$~km.
    \end{questions}
  \item Exprimer $A(x)$, prix payé au taxi A et $B(x)$, prix payé au taxi
    B, en fonction du nombre $x$ de kilomètres parcourus.
  \item 
    \begin{questions}
    \item Dans un repère orthonormal, représenter graphiquement les
      fonctions : \\ $x\mapsto A(x)$ et $x\mapsto B(x)$ pour $0\leq x\leq
      40$.  On note $\mathcal{D}_A$ et $\mathcal{D}_B$ leurs
      représentations respectives.
    \item Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection, et
      interpréter par une phrase.
    \end{questions}
  \item En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :
    \begin{questions}
    \item Pour quelles longueurs de trajets vaut-il mieux prendre le taxi
      A ?
    \item Un client a $12$~\euro en poche. Quel taxi doit-il prendre pour
      aller le plus loin possible ?  Quelle distance pourra-t-il ainsi
      parcourir ?
    \end{questions}
  \end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.5){\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch03exo15}}}
\vspace*{-10pt}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Avec le tarif A, $8$~km coûtent :
\[5+8\times 0{,}40=5+3{,}20=8{,}20\text{ \euro}.\]

Avec le tarif B, le même trajet revient à : $8\times 0{,}60=4{,}80$~\euro.

Il vaut donc mieux utiliser le taxi B. 

\item Pour $30$~km, le tarif A coûte :
\[5+30\times 0{,}40=5+12=17\text{ \euro}\;,\]
alors que le tarif B revient à : $30\times 0{,}60=18$~\euro.

Il vaut donc mieux prendre le taxi A.
\end{questions}
\item Dans le cas général, pour $x$ kilomètres, le tarif A revient à :
\[A(x)=5+0,40x\]
et le tarif B :
\[B(x)=0,60x.\]

\item
\begin{questions}
\item Il s'agit de deux fonctions affines (la seconde est même linéaire), donc 
$\mathcal{D}_A$ et $\mathcal{D}_B$ sont deux droites. 
D'après nos calculs, $\mathcal{D}_A$ passe par le point de coordonnées $(30~;17)$ 
et, par exemple $(0~;5)$ ~;
$\mathcal{D}_B$ passe par le point de coordonnées $(30~;18)$ et $(0~;0)$. 
On obtient la représentation :

\Par

\begin{center}
\includegraphics{094_02-07b}
\end{center}

\newpage

\item Les coordonnées de l'intersection sont données par le système :
\begin{align*}
\begin{cases} y=5+0{,}40.x\\ y=0{,}60.x\end{cases}
&\iff 
\begin{cases} 0{,}60x=5+0{,}40.x\\ y=0{,}60x\end{cases}\\
&\iff 
\begin{cases} 0{,}20 x=5\\ y=0{,}60.x\end{cases}\\
&\iff 
\begin{cases}x=\dfrac{5}{0{,}20}=25\\y=0{,}60\times 25=15\end{cases}
\end{align*}
Pour $25$~km, les deux tarifs sont équivalents (on paiera 15~\euro dans les deux cas).
\end{questions}
\item 
\begin{questions}
\item \`A droite du point d'intersection (c'est-à-dire pour des trajets de plus de 25~km),
la droite $\mathcal{D}_A$ est en-dessous de la droite $\mathcal{D}_B$, le taxi A est donc moins
cher.
\item On utilise la droite horizontale, d'équation $y=12$ pour lire 
sur le graphique, pour chaque tarif, les distances correspondant à 12~\euro. La droite
horizontale coupe $\mathcal{D}_A$ à gauche du point où elle coupe $\mathcal{D}_B$. 
On parcourt donc plus de kilomètres avec le tarif B. D'après le graphique, le tarif
B permet de parcourir 20 kilomètres. C'est moins de 25 : on est bien dans le domaine
où le tarif B est moins cher (plus de kilomètres pour le même prix). 
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{\'Equations}{Lycée Lambert, Mulhouse}{2}{30}
Résoudre algébriquement :
\begin{questions}
\item $7(2x+4)-5(4x-3)=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3x-5}{2}$.
\item $(3x-2)(2x-5)+2(x-5)(7-3x)=0$.
\item $(5x+3)(4x-2)=2(x-9)$.
\item $\left(3x-\dfrac{1}{2}\right)^2=9(4x-1)^2$.
\item $(2-x)(5x+3)+(x-2)(3-x)-(2-x)=0$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Si vous ne voyez pas de facteur commun, c'est normal, regardez mieux : il n'y a
pas de $x^2$, il s'agit d'une simple équation du premier degré. 

Il suffit donc d'effectuer le développement suivant:
\begin{align*}
7(2x+4)-5(4x-3)&=\frac{2}{5}-\frac{3x-5}{2}\\
&\iff 14x+28-20x+15=\frac{4}{10}-\frac{15x-25}{10}\\
&\iff -6x+43=\frac{29-15x}{10}\\
&\iff -60x+430=29-15x\\
&\iff -45x=-401\\
&\iff x=\frac{401}{45}.
\end{align*}
D'où l'ensemble des solutions : 
\[S=\left\{\frac{401}{45}\right\}.\]

\item Là non plus, pas de facteur commun évident, et pas de produit remarquable. Il faut se résoudre à développer :
\begin{align*}
(3x-2)(2x-5)&+2(x-5)(7-3x)=0\\
&\iff 6x^2-15x-4x+10+(2x-10)(7-3x)=0\\
&\iff 6x^2-19x+10+14x-6x^2-70+30x=0\\
&\iff 25x-60=0.
\end{align*}
On comprend mieux pourquoi il fallait développer. L'équation est en fait du premier degré (un peu camouflé, il est vrai). L'unique solution est :
\[\frac{60}{25}=\frac{12}{5}.\]
D'où :
\[S=\left\{\frac{12}{5}\right\}.\]

\item Décidément, pas de chance, toujours pas de facteur commun à l'horizon. 
Développons, pour voir :
\begin{align*}
(5x+3)(4x-2)=2(x-9)
&\iff 20x^2-10x+12x-6=2x-18\\
&\iff 20x^2+12=0.
\end{align*}
Comme un carré est toujours positif, l'expression $20x^2+12$ ne vaut jamais zéro, il 
n'y a donc pas de solution :
\[S=\emptyset.\]
Sur le graphique ci-dessous, nous voyons les courbes représentatives des fonctions 
$x\mapsto (5x+3)(4x-2)$ (parabole) et $x\mapsto 2(x-9)$ (droite). 
On constate en effet que ces deux courbes n'ont pas de point d'intersection.

\begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{096_02-08}
\end{center}

\item On rassemble tous les termes du même côté du symbole~\og $=$ \fg{} :
\[9(4x-1)^2-(3x-\frac{1}{2})^2=0.\]
Il faut reconnaître que $9(4x-1)^2$ est un carré. Comme $9=3^2$, on a :
\[9(4x-1)^2=[3(4x-1)]^2=(12x-3)^2.\]
L'équation se ramène donc à :
\[(12x-3)^2-\left(3x-\frac{1}{2}\right)^2=0.\]
Il s'agit de la différence de deux carrés, que l'on factorise :
\[\left(12x-3+3x-\frac{1}{2}\right)\left(12x-3-3x+\frac{1}{2}\right)=0\;,\]
ou encore :
\[\left(15x-\frac{7}{2}\right)\left(9x-\frac{5}{2}\right)=0.\]
Ce produit est nul si et seulement si $15x-\dfrac{7}{2}=0$ ou $9x-\dfrac{5}{2}=0$. 

La première équation donne la solution $\dfrac{7}{30}$, la seconde $\dfrac{5}{18}$. 

D'où les solutions :
\[S=\left\{\frac{7}{30}~;\frac{5}{18}\right\}.\]

\item Enfin une équation avec un beau facteur commun $(2-x)$ !
\begin{align*}
& (2-x)(5x+3)+(x-2)(3-x)-(2-x)=0\\
\iff\ & (2-x)[(5x+3)-(3-x)-1]=0\\
\iff\ & (2-x)(5x+3-3+x-1)=0\\
\iff\ & (2-x)(6x-1)=0.
\end{align*}
On s'est une nouvelle fois ramené au cas d'un produit nul, les deux solutions sont
$2$ et $\dfrac{1}{6}$ :
\[S=\left\{\frac{1}{6}~;2\right\}.\]
\end{questions}
\end{corrige}

% 2024

\begin{exo}{Équations}{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine}{3}{15}
Résoudre les équations suivantes:
\begin{questions}
\item $(x-1)(2x-3)^2 = 4(x-1)$
\item $x^2 + 4= 0$
\item $\frac{3x^2+4x-4}{x^2-4}=1$
\item $\frac{3}{x+1} - \frac{2}{x-2} = \frac{-6}{(x+1)(x-2)}$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
(x-1)(2x-3)^2 = 4(x-1) & \iff (x-1)(2x-3)^2 - 4(x-1) = 0\\
                       & \iff (x-1)\big[ (2x-3)^2 - 4 \big] = 0\\
                       & \iff (x-1)\big[ (2x-3)^2 - 2^2 \big] = 0\\
                       & \iff (x-1) \big[ (2x-3) - 2 \big] \big[ (2x-3) + 2\big] = 0\\
                       & \iff (x-1)(2x-5)(2x-1) = 0\\
                       & \iff x-1=0 \text{ ou } 2x-5=0 \text{ ou } 2x-1=0\\
                       & \iff x=1 \text{ ou } x=\frac{5}{2} \text{ ou } x = \frac{1}{2}.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $(x-1)(2x-3)^2 = 4(x-1)$ est donc:
\[
S = \left\{ \frac{1}{2} ; 1 ; \frac{5}{2} \right\}.
\]

\item $x^2 + 4= 0 \iff x^2 = -4$. Or, un carré est toujours positif ou nul. Par conséquent, il n'y a pas de solution à l'équation $x^2 + 4 = 0$. Son ensemble solution est alors:
\[
S = \varnothing.
\]

\item Avant de résoudre l'équation $\frac{3x^2+4x-4}{x^2-4}=1$, il faut en déterminer l'ensemble de définition (car il y a une fraction).

La fraction est définie pour tout réel $x$ tel que $x^2-4 \neq 0$, soit pour $x \neq -2$ et $x \neq 2$. L'ensemble de définition de l'équation est alors: $\R\setminus\{-2;2\}$.

\Par

Résolvons maintenant l'équation:
\begin{align*}
\frac{3x^2+4x-4}{x^2-4}=1 & \iff 3x^2+4x-4 = x^2-4\\
                          & \iff 2x^2 + 4x = 0\\
                          & \iff 2x(x+2) = 0\\
                          & \iff x = 0 \text{ ou }x = -2.
\end{align*}
Il y a donc potentiellement deux solutions: 0 et $-2$. Or, $-2$ n'est pas dans l'ensemble de définition de l'équation. 

La seule solution est alors 0. 
\[
S = \{ 0 \}.
\]

\item L'ensemble de définition de l'équation $\frac{3}{x+1} - \frac{2}{x-2} = \frac{-6}{(x+1)(x-2)}$ est l'ensemble des réels $x$ tels que les fractions sont définies, c'est-à-dire tels que $x+1 \neq 0$ et $x-2\neq0$, soit $x\neq-1$ et $x\neq2$.

L'ensemble de définition est donc $\R\setminus\{-1;2\}$.

\Par

Résolvons l'équation:
\begin{align*}
\frac{3}{x+1} - \frac{2}{x-2} = \frac{-6}{(x+1)(x-2)}
& \iff \frac{3(x-2) - 2(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{-6}{(x+1)(x-2)}\\
& \iff \frac{3x-6 - 2x-2}{(x+1)(x-2)} = \frac{-6}{(x+1)(x-2)}\\
& \iff \frac{x-8}{(x+1)(x-2)} = \frac{-6}{(x+1)(x-2)}\\
& \iff x-8 = -6\\
& \iff x = 2.
\end{align*}

Or, 2 n'appartient pas à l'ensemble solution de l'équation. 

Par conséquent, l'ensemble solution de l'équation est:
\[
S = \varnothing.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Inéquations}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%

\begin{exo}{Avec une identité remarquable}{Lycée Carnot, Dijon}{1}{10}
Résoudre l'inéquation :
\[(2x+5)^2\leq (3x+2)^2.\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Pour résoudre cette inéquation, on passe tout dans le même
membre et on factorise :
\begin{align*}
(2x+5)^2-(3x+2)^2&\leq 0\\
\Bigl((2x+5)+(3x+2) \Bigr) \Bigl( (2x+5)-(3x+2) \Bigr) & \leq 0\\
(5x+7)(-x+3)&\leq 0.
\end{align*}

Dressons un tableau de signes :
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\[\begin{tabular}{|C|lcccccr|}\hline\tabulartitle
$x$            & $-\infty$ &     & $-\dfrac{7}{5}$ &     & $3$ &     & $+\infty$ \\[3pt] \hline
$5x+7$         &           & $-$ & $0$            & $+$ & \vline & $+$ & \\\hline
$-x+3$         &           & $+$ & \vline            & $+$ & $0$ & $-$ & \\ \hline
$(5x+7)(-x+3)$ &           & $-$ & $0$            & $+$ & $0$ & $-$ & \\ \hline
\end{tabular}\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

On en déduit : $S=\left]-\infty~;-\dfrac{7}{5}\right]
\cup\left[3~;+\infty\right[$.
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Avec les identités remarquables}{Lycée Saint-Jean, Limoges}{1}{15}
Résoudre les inéquations suivantes dans $\R$ :
\begin{questions}
\item $(2x+1)^2-x^2\geq 0$
\item $(3x+2)^2-2(3x+2)(x+1)+(x+1)^2\leq 0$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
(2x+1)^2-x^2&\geq 0 \\
\iff \Bigl((2x+1)+x \Bigr) \Bigl( (2x+1)-x\Bigr) &\geq 0 \\
\iff (3x+1)(x+1)&\geq 0.
\end{aligned}$

Utilisez éventuellement un tableau de signes pour trouver :
\[ S=]-\infty~;-1]\cup[-\dfrac{1}{3}~;+\infty[. \]

\item Attention ! Il s'agit en fait du développement du produit remarquable :
\[
\big[(3x+2)-(x+1)\big]^2.
\]
C'est un carré, il n'est donc négatif (au sens large) que lorsqu'il vaut zéro. D'où : 
$(3x+2)-(x+1)=0\iff 2x+1=0\iff x=-\dfrac{1}{2}$.

Conclusion : $S=\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Avec un facteur commun}{Lycée Descartes, Antony}{1}{15}
Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $x^3-x^2\geq 4x-4$
\item $\dfrac{x+2}{x^2-1}<0$
\item $x^2\geq 16x$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item {Les deux membres étant constitués de sommes et de produits, pas de problème de définition : le domaine est $\R$.
Il y a un $x^3$, il faut être prudent. \'Etant donnée la façon dont sont disposés les deux membres de l'inéquation, il faut penser à
factoriser chacun d'entre eux :
\[x^2(x-1)\geq 4(x-1).\]
On passe tout dans le même membre, et on obtient :
\begin{equation*}\begin{split}
x^2(x-1)-4(x-1)&\geq 0\\
(x-1)(x^2-4)&\geq 0\\
(x-1)(x-2)(x+2)&\geq 0.
\end{split}\end{equation*}
On dresse un tableau de signes :
\[\begin{tabular}{|C|lcccccccr|}\hline\tabulartitle
$x$     & $-\infty$ &     & $-2$ &     & $1$ &     & $2$ &     & $+\infty$ \\ \hline
$x-1$   &           & $-$ & \vline  & $-$ & $0$ & $+$ & \vline & $+$ &  \\\hline
$x-2$   &           & $-$ & \vline  & $-$ & \vline & $-$ & $0$ & $+$ &  \\\hline
$x+2$   &           & $-$ & $0$  & $+$ & \vline & $+$ & \vline & $+$ &  \\ \hline
produit &           & $-$ & $0$  & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ &  \\ \hline
\end{tabular}\]
On en déduit :
\[S=[-2~;1]\cup[2~;+\infty[.\]
}
\item Il faut ôter de l'ensemble de définition 
les valeurs qui annulent le dénominateur.
Factorisons celui-ci : $x^2-1=(x-1)(x+1)$. L'inéquation est donc
définie sur
$\R\setminus\{-1~;1\}$. Il ne reste qu'à étudier le signe de $\dfrac{x+2}{(x-1)(x+1)}$ :
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\[\begin{tabular}{|C|lcccccccr|}\hline\tabulartitle
$x$                      & $-\infty$ &     & $-2$ &     & $-1$ &     & $1$  &     & $+\infty$ \\ \hline
$x-1$                    &           & $-$ & \vline  & $-$ & \vline  & $-$ & $0$  & $+$ &  \\\hline
$x+1$                    &           & $-$ & \vline  & $-$ & $0$  & $+$ & \vline  & $+$ & \\\hline
$x+2$                    &           & $-$ & $0$  & $+$ & \vline   & $+$ & \vline  & $+$ & \\ \hline
&     &    &  &  & \dvline & & \dvline &  & \\[-15pt]
$\dfrac{x+2}{(x-1)(x+1)}$ &           & $-$ & $0$  & $+$ & \dvline & $-$ & \dvline & $+$ & \\
\hline
\end{tabular}\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

On en déduit : $S=]-\infty~;-2[\cup]-1~;1[$.

\item On passe $16x$ à gauche et on factorise :
\[x^2-16x\geq 0\iff x(x-16)\geq 0\]
En s'aidant au besoin d'un tableau de signes, on obtient :
\[S=]-\infty~;0]\cup[16~;+\infty[.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{\fontsize{13}{13}\selectfont Facteur commun, identité remarquable}{Lycée Montesquieu, Le Mans}{1}{15}
Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $(x+6)(x-3)-2x+6\geq 0$
\item $\dfrac{x+3}{1-x}\geq 2$
\item $25x^2+4\geq 0$
\item $25x^2-4\geq 0$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
\item On commence par factoriser l'expression :
\begin{align*}
(x+6)(x-3)-2x+6\geq 0
&\iff (x+6)(x-3)-2(x-3)\geq 0\\
&\iff (x-3)[(x+6)-2]\geq 0\\
&\iff (x-3)(x+4)\geq 0.
\end{align*}
On utilise un tableau de signes :
\[
\begin{array}{|C|ccccccc|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -4  & & 3 & & +\infty\\\hline
x+4 & & -&0 & + & \vline & + & \\\hline
x-3 & & -&\vline & - & 0 &+ & \\\hline
(x-3)(x+4)& & + & 0 & - & 0 & + &  \\\hline
\end{array}
\]
On conclut :
\[S=]-\infty~;-4]\cup[3~;+\infty[.\]

\item On remarque qu'il faudra exclure la valeur $1$ (à cause du dénominateur).
Surtout pas de produits en croix, il faut réduire au même dénominateur puis
rassembler l'expression dans le même membre.

\begin{align*}
\frac{x+3}{1-x}\geq 2
&\iff \frac{x+3}{1-x}\geq \frac{2(1-x)}{(1-x)}\\
&\iff \frac{x+3}{1-x}-\frac{2(1-x)}{(1-x)}\geq 0\\
&\iff \frac{(x+3)-2(1-x)}{1-x}\geq 0\\
&\iff \frac{x+3-2+2x}{1-x}\geq 0\\
&\iff \frac{3x+1}{1-x}\geq 0.
\end{align*}
Les valeurs importantes sont $\dfrac{-1}{3}$ et $1$, on utilise un tableau de signes :
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\[\begin{array}{|C|ccccccc|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -\frac{1\strut}{3\strut}   & & 1 & & +\infty\\\hline
3x+1&& -&0 & + &\vline & + & \\\hline
1-x& & + &\vline & + & 0 & - & \\\hline
\frac{3x+1}{1-x}&& - & 0 & + &\dvline&-& \\\hline
\end{array}\]
On obtient :
\[S=\left[\frac{-1}{3}~;1\right[.\]

\item Ici, pas de calcul à faire : quel que soit le réel $x$, son carré $x^2$ est positif,
donc $25x^2+4\geq 0$. L'ensemble des solutions est donc $\R$. 


\item On reconnaît un produit remarquable :
\[25x^2-4=(5x-2)(5x+2).\]
Cette expression s'annule en $\dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{-2}{5}$, d'où le tableau de signes :
\[\begin{array}{|C|ccccccc|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & &-\frac{2\strut}{5\strut} & &\frac{2}{5} & & +\infty\\\hline
5x-2 & & - &\vline & - & 0 & + & \\\hline
5x+2& & - & 0 & + &\vline & + &\\\hline
25x^2-4& & + & 0 & -& 0 & + & \\\hline
\end{array}\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

D'où :
\[S=\left]-\infty ~; -\frac{2}{5}\right]\cup\left[\frac{2}{5}~;+\infty\right[.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Résolution algébrique et graphique}{Lycée Auguste Renoir, Cagnes-sur-Mer}{1}{15}
\enlargethispage*{5em}
\begin{minipage}{5.4cm}
\includegraphics{079_02-11}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5.4cm}
Le plan est muni d'un repère\\
orthonormal $(O;I,J)$. 

Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ par :
\[f(x)=-x^2+2x+3.\]
dont la courbe représentative est donnée ci-contre.
\begin{questions}
\item Vérifier que:
\[
f(x)=4-(x-1)^2
\]
puis factoriser $f(x)$.
\item En déduire la résolution de l'inéquation $f(x)>0$.
\item \mbox{Résoudre graphiquement $f(x)>0$} et vérifier le résultat précédent.
\end{questions}
\end{minipage}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Il suffit de développer :
\[4-(x-1)^2=4-(x^2-2x+1)=4-x^2+2x-1=-x^2+2x+3.\]
On reconnaît dans $f(x)=4-(x-1)^2$ la différence de deux carrés, ce qui permet de factoriser :
\begin{align*}
f(x)&=2-(x-1))(2+(x-1)\\
&=(3-x)(1+x).
\end{align*}

\item On peut dresser un tableau de signes :

\[\begin{array}{|C|ccccccc|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -1  & & 3 & & +\infty\\\hline
x+1 & & -&0 & + & \vline& + & \\\hline
3-x & & +&\vline & + & 0 & -& \\\hline
(3-x)(x+1)& & - & 0 & + & 0 & - &  \\\hline
\end{array}\]

On conclut :
\[S=]-1~;3[.\]

\item Pour résoudre graphiquement l'inéquation, on fait apparaître sur la figure
les points d'ordonnée strictement positive (\textit{voir figure page\linebreak suivante}).

Leurs abscisses sont les solutions de l'inéquation.

\newpage

\begin{center}
\includegraphics{103_02-12}
\end{center}

On retrouve bien l'intervalle $]-1~;3[$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Résolution algébrique et graphique}{Lycée Colbert, Paris}{1}{20}
La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f$, définie pour tout $x\not=-1$ par $f(x)=\frac{-3}{x+1}$.
\begin{center}
\includegraphics{080_02-09}
\end{center}
\begin{questions}
\item Déterminer par le calcul l'ensemble des solutions de :
\[\frac{-3}{x+1}\geq 3.\]
Indiquer comment le graphique permet de retrouver ces résultats.
\item 
En utilisant le graphique, donner l'ensemble des réels $x$ vérifiant :
\[-1<\frac{-3}{x+1}<1.\]
\item Sur le même dessin, représenter la droite d'équation $y=1-x$. En déduire graphiquement l'ensemble des solutions de $\dfrac{-3}{x+1}\geq 1-x$.  
Retrouver ce résultat par le calcul.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
\item On réduit au même dénominateur :
\begin{align*}
\frac{-3}{1+x}\geq 3
&\iff \frac{-3}{1+x}\geq \frac{3(1+x)}{1+x}\\
&\iff \frac{-3-3(1+x)}{1+x}\geq 0\\
&\iff \frac{-3(1+1+x)}{1+x}\geq 0\\
&\iff \frac{-3(2+x)}{1+x}\geq 0.
\end{align*}
On dresse un tableau de signes :
\[\morestretch[2]\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -2 & & -1 & &+\infty\\\hline
2+x& & - & 0 & + & \vline& + & \\ \hline
-3(2+x)& &+ & 0 & - & \vline & - & \\ \hline
x+1 & & - & \vline  & -  &0 & + & \\\hline
\dfrac{-3(2+x)}{x+1}& & - & 0 & + & \dvline & - & \\[3pt]\hline
\end{array}\]
D'après le tableau, l'ensemble des solutions est donc :
\[S=[-2~;-1[.\]
On retrouve graphiquement ce résultat en plaçant sur la figure la droite d'équation $y=3$. 
Les solutions sont les abscisses des points de $(\mathcal{C})$ qui sont situés au-dessus de cette droite (voir figure à la fin du corrigé). 
Il s'agit effectivement des points d'abscisses comprises entre $-2$ et $-1$ (on exclut $-1$ car
$f$ n'est pas définie en $-1$).

\item 
Sur la figure, on représente les droites horizontales $y=1$ et $y=-1$. 
On cherche les abscisses des points de $(\mathcal{C})$ qui sont dans la bande délimitée par ces deux droites.
On lit l'ensemble des solutions sur la figure :
\[S=\left]-\infty~;-4\right[\cup\left]2~;+\infty\right[.\]

\item 
On cherche les abscisses des points de la courbe qui sont au-dessus de la droite d'équation $y=1-x$. 
On lit sur le dessin l'ensemble des solutions :
\[S=[-2~;-1[\cup[2~;+\infty[\]
\begin{center}
\includegraphics{104_02-10}
\end{center}
Retrouvons ce résultat par le calcul:
\begin{align*}
\dfrac{-3}{x+1}\geqslant 1-x & \iff \dfrac{-3}{x+1}-(1-x) \geqslant 0\\
& \iff \dfrac{-3-(x+1)(1-x)}{x+1} \geqslant 0\\
& \iff \dfrac{x^2-4}{x+1}\geqslant0\\
& \iff \dfrac{(x-2)(x+2)}{x+1}\geqslant0.
\end{align*}
En faisant le tableau de signes de $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+1}$ on retrouve le résultat obtenu précédemment par lecture graphique.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Avec une fonction de référence}{Lycée Camille Claudel, Troyes}{2}{30}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;1]$ par :
\[f(x)=\frac{1}{x}.\]
Compléter le tableau de valeurs suivant (donner les résultats à $0,01$ près).
\[\begin{array}{|C|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x & 0{,}1&0{,}2&0{,}3&0{,}4&0{,}5&0{,}6&0{,}7&0{,}8&0{,}9& 1 \\\hline
f(x) & &&&&&&&&& \\\hline
\end{array}\]

\item Tracer $\mathcal{C}_f$, la courbe représentative de $f$, sur le graphique suivant.
\begin{center}
\includegraphics{081_02-13}
\end{center}

\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;1]$ par :
\[g(x)=-\frac{8}{\sqrt{2}}x+4+\sqrt{2}.\]
Comment qualifie-t-on cette fonction ? 

Quel est son sens de variation ?

\item Compléter le tableau de valeurs suivant.

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|Zc|Zc|Zc|}
\hline
$x$ & 0 & 0{,}25 & 0{,}5 \\\hline
$g(x)$ & & & \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

Tracer la courbe représentative de $g$ dans le même repère que $\mathcal{C}_f$. 
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $g(x)>f(x)$ sur $]0~;1]$. 
\end{questions}


\item  
\begin{questions}
\item Montrer que $g(x)>f(x)$ équivaut sur $]0~;1]$ à l'inéquation :
\[\frac{8x^2-2x(2\sqrt{2}+1)+\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}<0.\]
\item Développer l'expression $P(x)=-8\left(x-\dfrac{1}{4}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-x\right)$.
\item En déduire les valeurs exactes des solutions de $g(x)>f(x)$. 
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{questions}
\item ~\par\smallskip\hspace*{-10mm}
\scalebox{0.9}{
\begin{tabular}{|C|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$x$ & 0{,}1&0{,}2&0{,}3&0{,}4&0{,}5&0{,}6&0{,}7&0{,}8&0{,}9& 1 \\\hline
$f(x)$ & 10 & 5 &3{,}33 &2{,}5&2 &1{,}67 & 1{,}43& 1{,}25 &1{,}11 & 1 \\\hline
\end{tabular}}

\Par

\item \raisebox{-\totalheight+1em}{\includegraphics{105_02-14}}

\Par

\item Ne vous laissez pas éblouir par tous ces radicaux (les racines carrées). $g$ est une simple fonction... affine, de la forme $g(x)=ax+b$. 

Ici $a=-\dfrac{8}{\sqrt{2}}$ et $b=4+\sqrt{2}$. Comme le coefficient directeur $a$ est strictement négatif, la fonction $g$ est strictement décroissante. 
Sa courbe représentative $\mathcal{C}_g$ est une droite (c'est pour cela que l'on vous demande de calculer seulement trois images~; en fait, deux suffiraient).

\item \[\begin{array}{|C|c|c|c|}\hline
x & 0 & 0,25 & 0,5 \\\hline
g(x) &4+\sqrt{2}\approx5,41 & 4 & 4-\sqrt{2}\approx 2,59 \\\hline
\end{array}\]

\item Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent en deux points. Le premier a visiblement pour ordonnée $4$. Son abscisse se trouve dans le tableau de valeurs de $g$ : elle vaut $0,25$ (on peut se contenter de lire cette abscisse sur le graphique).
\newpage
Le deuxième point d'intersection a pour abscisse $0{,}7$ (l'ordonnée n'a pas d'importance). Si vous
avez fait un dessin très précis, vous pouvez vous rendre compte que l'abscisse de ce point d'intersection
est très légèrement plus grande que $0{,}7$. Mais ne trichez pas (le calcul exact est fait à la 
fin de l'exercice) ! \\
La lecture graphique donne $0{,}25$ et $0{,}7$ comme abscisses pour les points d'intersection.\\
La courbe $\mathcal{C}_f$ passe en-dessous de la droite $\mathcal{C}_g$ \emph{entre} ces deux points. On obtient
pour ensemble des solutions de $g(x)>f(x)$ :
\[ S=]0,25~;0,7[. \]
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item On calcule :
\begin{align*}
g(x)>f(x)
&\iff -\frac{8}{\sqrt{2}}x+4+\sqrt{2}>\frac{1}{x}\\
&\iff \frac{-8x+4\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}}-\frac{1}{x}>0\\
&\iff \frac{-8x^2+4x\sqrt{2}+2x}{x\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}>0\\
&\iff \frac{-8x^2+4x\sqrt{2}+2x-\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}>0\\
&\iff \frac{-8x^2+2x(2\sqrt{2}+1)-\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}>0\\
&\iff \frac{8x^2-2x(2\sqrt{2}+1)+\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}<0.
\end{align*}
\item On développe :
\begin{align*}
P(x)&=-8(x-\frac{1}{4})(\frac{\sqrt{2}}{2}-x)\\
&=(-8x+2)(\frac{\sqrt{2}}{2}-x)\\
&=8x^2-8x\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}-2x\\
&=8x^2-4x\sqrt{2}-2x+\sqrt{2}.
\end{align*}
On reconnaît dans :
\[P(x)=8x^2-2x(2\sqrt{2}+1)+\sqrt{2}\]
le numérateur de :
\[\frac{8x^2-2x(2\sqrt{2}+1)+\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}.\]

\item L'inéquation $g(x)>f(x)$ devient donc :
\[\frac{-8\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-x\right)}{x\sqrt{2}}<0.\]

Ne perdons pas de vue que cette inéquation est à résoudre sur $]0~;1]$. On a donc $x\sqrt{2}>0$,
et on peut simplifier l'inéquation en :
\[-8\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-x\right)<0.\]
L'expression s'annule pour $x=\dfrac{1}{4}$ et $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. 

Il s'agit des abscisses
des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ :\\
$\dfrac{1}{4}=0{,}25$ et $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}71$.

On dresse un tableau de signes :
{\renewcommand\arraystretch{2}
\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & 0& & \dfrac{1}{4}& &\dfrac{\sqrt{2}}{2}  & &1 \\[3pt]\hline
-8\left(x-\dfrac{1}{4}\right)& & + & 0 & - & \vline & - & \\[3pt]\hline
\dfrac{\sqrt{2}}{2}-x & & + & \vline & +& 0& -& \\[3pt]\hline
P(x) & & + & 0 & -  & 0 & +& \\\hline
\end{array}\]}
D'après le tableau :
\[S=\left]\frac{1}{4}~;\frac{\sqrt{2}}{2}\right[.\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%
%
%\begin{exo}{Inéquations}{Lycée Jacques Monod, Clamart}{2}{20}
%Résoudre dans $\R$ :
%\begin{questions}
%\item $(x+1)(3-2x)<0$, puis $(x+1)(2-x)>x^2-1$.
%\item $\dfrac{2x-7}{1-5x}<3$.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
% \begin{questions}
%\item Pour vérifier le signe d'un produit, on peut utiliser un tableau de signes :
%\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
%\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
%\hline\tabulartitle
%x & +\infty & & -1 & &\frac{3}{2} & &+\infty\\\hline
%x+1 & & - & 0 & + &\vline & + & \\\hline
%3-2x & & + &\vline & + & 0 & - & \\\hline
%(x+1)(3-2x) & &-&0 & + & 0 & - & \\\hline
%\end{array}\]
%\renewcommand{\arraystretch}{1}
%On lit dans le tableau l'ensemble des solutions de $ (x+1)(3-2x)<0$ :
%\[S=\left]-\infty~;-1\right[\cup\left]\frac{3}{2}~;+\infty\right[.\]
%
%
%Résolution de $(x+1)(2-x)>x^2-1$. 
%
%Rappelez-vous le grand principe : ne jamais développer, à moins de ne pas pouvoir faire
%autrement. 
%
%Ici, le produit remarquable $x^2-1=(x-1)(x+1)$ vous tend les bras, et il 
%n'y a plus qu'à factoriser par $(x+1)$ :
%\begin{align*}
%(x+1)&(2-x)>(x-1)(x+1)\\
%&\iff (x+1)(2-x)-(x-1)(x+1)>0\\
%&\iff (x+1)(3-2x)>0
%\end{align*}
%\c{C}a devrait vous rappeler quelque chose ... D'après le tableau de signes ci-dessus,
%l'ensemble des solutions est :
%\[S'=\left]-1~;\frac{3}{2}\right[.\]
%
%\item On résout, non sur $\R$, mais sur $\R\setminus\left\{\dfrac{1}{5}\right\}$ à cause du dénominateur. 
%Si vous avez envie d'effectuer des \og produits en croix \fg, résistez à vos pulsions :
%vous ne connaissez pas le signe du dénominateur, et donc on ne sait pas ce qui arrivera
%au sens de l'inégalité après multiplication (en fait, on peut faire une discussion, mais
%c'est assez lourd). La meilleure méthode est une réduction au même dénominateur :
%\begin{align*}
%\frac{2x-7}{1-5x}<3
%&\iff \frac{2x-7}{1-5x}<\frac{3-15x}{1-5x}\\
%&\iff \frac{2x-7}{1-5x}-\frac{3-15x}{1-5x}<0\\
%&\iff \frac{(2x-7)-(3-15x)}{1-5x}<0\\
%&\iff \frac{17x-10}{1-5x}<0
%\end{align*}
%
%On dresse un tableau de signes. Pour connaître l'ordre des valeurs importantes : $\dfrac{10}{17}$
%et $\dfrac{1}{5}$, vous pouvez vous référer à votre calculatrice, ou (mieux !), utiliser les produits en croix (ici, vous connaissez les signes) :
%\[5\times 10 >17 \text{ donc }\frac{10}{17}>\frac{1}{5}.\]
%Voici le tableau de signes :
%{\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
%\hline\tabulartitle
%x & +\infty & & \dfrac{1}{5} & &\dfrac{10}{17} & &+\infty\\[3pt]\hline
%17x-10 & & - &\vline & - & 0& + & \\[3pt]\hline
%1-5x & & + & 0 & - &\vline & - & \\[3pt]\hline
%\dfrac{17x-10}{1-5x}& & - & \dvline & + & 0 & - & \\[3pt]\hline
%\end{array}\]}
%L'ensemble des solutions est donc :
%\[S=\left]-\infty~;\frac{1}{5}\right[\cup \left]\frac{10}{17}~;+\infty\right[.\]
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Inéquations diverses}{Lycée Stanislas, Paris}{2}{15}
Résoudre dans $\R$ :
\begin{questions}
\item $x^2+5x+9<(x-1)x+12$.
\item $2<\dfrac{x-3}{x-5}<3$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
$\begin{aligned}[t]
x^2+5x+9 &<(x-1)x+12\\
x^2+5x+9 &<x^2-x+12\\
5x+x&<12-9\\
6x &<3\\
x &<\dfrac{1}{2}.
\end{aligned}$

L'ensemble des solutions est donc : $S=\left]-\infty~;\dfrac{1}{2}\right[$.
\item Il faut d'abord résoudre chaque partie de l'inéquation indépendamment,
après avoir remarqué que la valeur $5$ n'est pas autorisée.
\begin{align*}
2<\dfrac{x-3}{x-5}
&\iff \dfrac{2x-10}{x-5}<\dfrac{x-3}{x-5}\\
&\iff \dfrac{2x-10}{x-5}-\dfrac{x-3}{x-5}<0\\
&\iff \dfrac{2x-10-x+3}{x-5}<0\\
&\iff \dfrac{x-7}{x-5}<0.
\end{align*}
On construit un tableau de signes :
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\[\begin{array}{|R|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x            & -\infty & & 5  &  & 7 &  & +\infty \\ \hline
x-7            &       & - & \vline  & - & 0 & + &  \\\hline
x-5            &        & - & 0  & + & \vline & + &  \\ \hline
\dfrac{x-7}{x-5} &        & + & \dvline & - & 0 & + &  \\[3pt] \hline
\end{array}\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

La première inégalité n'est donc vérifiée que si : $5<x<7$.

\begin{align*}
\dfrac{x-3}{x-5}<3
&\iff \dfrac{x-3}{x-5}<\dfrac{3x-15}{x-5}\\
&\iff 0<\dfrac{3x-15}{x-5}-\dfrac{x-3}{x-5}\\
&\iff 0<\dfrac{3x-15-x+3}{x-5}\\
&\iff 0<\dfrac{2x-12}{x-5}\\
&\iff 0<\dfrac{x-6}{x-5}.
\end{align*}

Là encore, on a le tableau de signes suivant :
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}

\[\begin{tabular}{|R|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
$x$              & $-\infty$ &  & $5$  &  & $6$ &  & $+\infty$ \\ \hline
$x-6$            &        & $-$ & \vline  & $-$ & $0$ & $+$ &  \\\hline
$x-5$            &        & $-$ & $0$  & $+$ & \vline & $+$ &  \\ \hline
$\dfrac{x-6}{x-5}$ &        & $+$ & \dvline & $-$ & $0$ & $+$ & \\[3pt] \hline
\end{tabular}\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}


La deuxième inégalité n'est vérifiée que si : $x<5$ ou $x>6$.

Les deux inégalités ne sont donc vérifiées en même temps que si
$x>6$ et $x<7$, donc l'ensemble des solutions est :
\[S=]6~;7[.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Inéquations diverses}{Lycée \'Evariste Galois, Sartrouville}{2}{20}
Résoudre les inéquations suivantes :
\begin{questions}
\item $\dfrac{3x+1}{4}>\dfrac{5x+1}{6}$.
\item $(x-4)^2\leq -1$.
\item $2(x-1)-3(x+1)>4(x-2)$.
\item $x(-2x-3)^4\geq 0$.
\item $\dfrac{x-1}{4}-5\leq \dfrac{2x-3}{2}+\dfrac{3}{4}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
~
\vspace*{-0.5em}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{3x+1}{4}>\dfrac{5x+1}{6} &\iff\ \dfrac{3x+1}{4}\times12>\dfrac{5x+1}{6}\times12\\
&\iff\ 9x+3>10x+2\\
&\iff\ 1>x.
\end{aligned}$

D'où $S=\left]-\infty~;1\right[$.

\item Un carré, positif, ne peut jamais être plus petit que $-1$,
il n'y a donc pas de solution. $S=\emptyset$.
\item {On développe :
\begin{equation*}\begin{split}
2x-2-3x-3&>4x-8\\
\iff 2x-3x-4x&>2+3-8\\
\iff -5x>-3\\
\iff x<\dfrac{3}{5}.
\end{split}\end{equation*}
D'où $S=\left]-\infty~;\dfrac{3}{5}\right[$.
}
\item {$(-2x-3)^4$ est toujours positif. S'il n'est pas nul, il faut
que $x$ soit positif pour que le produit $x(-2x-3)^4$ soit supérieur à 0.
Si $(-2x-3)^4=0$, c'est que $-2x-3=0$, et donc $x=-\dfrac{3}{2}$. On obtient :
\[S=\left\{-\frac{3}{2}\right\}\cup\left[0~;+\infty\right[.\]
}
\item {On réduit toutes les fractions au dénominateur 4 :
\begin{equation*}\begin{split}
\dfrac{x-1}{4}-\dfrac{20}{4}&\leq\dfrac{4x-6}{4}+\dfrac{3}{4}\\
\iff x-1-20&\leq 4x-6+3\\
\iff -21+6-3&\leq 4x-x\\
\iff -18&\leq 3x\\
\iff -6&\leq x.
\end{split}\end{equation*}
D'où : $S=[-6~;+\infty[$.}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Lectures graphiques de signes}{Lycée Jean Zay, Orléans}{2}{10}
\`A partir du graphique suivant, déterminer les tableaux de signes  de $f$ et $g$, et résoudre l'inéquation~: $\dfrac{f(x)}{g(x)}\geqslant 0$.
\begin{center}
\includegraphics{082_02-15}
\end{center}
\end{exo}

\begin{corrige}
D'après le graphique, $f(x)$ s'annule si $x=-1$ et si $x=4$.
On dresse le tableau de signes~: 
\[\begin{array}{|C|ccccccc|}
\hline\tabulartitle
x &-\infty && -1 & & 4 & &+\infty\\\hline
f(x) & &- & 0 & + & 0 & - &\\\hline
\end{array}\]

De la même façon, on dresse le tableau de signes de $g$~:
\[\begin{array}{|C|ccccccccc|}
\hline\tabulartitle
x &-\infty& & -2 & & 1 & &4 & &+\infty\\\hline
g(x) && - & 0 & + & 0 & - & 0 & + &\\\hline
\end{array}\]

Le quotient $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ n'est défini que si $g(x)\neq 0$.
En combinant les deux tableaux de signes précédents, on en déduit celui
du quotient~: 
\[\begin{array}{|C|ccccccccccc|}
\hline \tabulartitle
x                 &-\infty   && -2 &    & -1 &    & 1 &   & 4&  &+\infty \\\hline
f(x)              && - & \vline   &  - &  0 & +  & \vline  & + & 0& - &\\\hline
g(x)              && - & 0  & +  &  \vline  & +  & 0 & - & 0& + &\\\hline
\frac{f(x)}{g(x)} && + & \vline\ \vline & -  & 0  & +  & \vline\ \vline & - & \vline\ \vline & - &\\\hline
\end{array}\]

On lit directement dans le tableau de signes que l'ensemble des solutions de l'inéquation $\dfrac{f(x)}{g(x)}\geqslant 0$ est $S= ]-\infty~;-2[ \cup [-1~;1[$. 
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Inéquations diverses}{Lycée Jean-Baptiste Say, Paris}{2}{30}
Résoudre les inéquations : 
\begin{questions}
\item $(3x+1)(2-4x)\leq 0$ dans $\R$.
\item $\left(\dfrac{1}{2}x-7\right)^2<(3x+1)^2$ dans $\R$.
\item $\dfrac{-2(x-1)}{(7-x)}\geq 0$ dans $\R-\{7\}$.
\item $\dfrac{x^2}{1-2x}<-1$ dans $\R-\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$.
\item $\dfrac{x}{x(5-x)^2}\leq \dfrac{3x^2}{x(5-x)^2}$ dans $\R-\{0\,~;5\}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'expression $(3x+1)(2-4x)$ est un produit, qui s'annule si $3x+1=0$ ou si $2-4x=0$, 
donc pour $x=-\dfrac{1}{3}$ ou $x=\dfrac{1}{2}$. 


On dresse un tableau de signes :
{\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -\dfrac{1}{3} & & \dfrac{1}{2} & &+\infty \\[3pt]\hline
3x+1 & & - &0 & + & \vline & + & \\\hline
2-4x & & + & \vline & + & 0 & -  & \\\hline
(3x+1)(2-4x)& & - & 0 & + & 0 & - & \\\hline
\end{array}\]
}
D'après le tableau de signes, $(3x+1)(2-4x)\leq 0$ pour $x\leq -\dfrac{1}{3}$ et $x\geq \dfrac{1}{2}$, 
d'où l'ensemble des solutions :
\[S=\left]-\infty~;-\frac{1}{3}\right]\cup\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right[.\]
\item
On utilise la méthode habituelle : on rassemble tous les termes dans le même membre, et 
on résout :
\[0<(3x+1)^2-\left(\frac{1}{2}x-7\right)^2.\]
Le membre de droite est la différence de deux carrés, on factorise :
\[0<\left[(3x+1)+\left(\frac{1}{2}x-7\right)\right]\left[(3x+1)-\left(\frac{1}{2}x-7\right)\right].\]
On obtient :
\[0<\left(\frac{7}{2}x-6\right)\left(\frac{5}{2}x+8\right).\]
Le produit s'annule si $\dfrac{7}{2}x-6=0$ ou si $\dfrac{5}{2}x+8=0$, 
donc pour $x=\dfrac{12}{7}$ ou $x=-\dfrac{16}{5}$. 
On dresse un tableau de signes :
{\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & -\dfrac{16}{5} & &\dfrac{12}{7}  & &+\infty \\[3pt]\hline
\dfrac{7}{2}x-6&  & - & \vline & - &0 & + & \\[3pt]\hline
\dfrac{5}{2}x+8&  & - &0 & + & \vline & + & \\[3pt]\hline
\left(\dfrac{7}{2}x-6\right)\left(\dfrac{5}{2}x+8\right)& &+ & 0 & - & 0 & + & \\[3pt]\hline
\end{array}\]}

D'après le tableau de signes, $\left(\dfrac{7}{2}x-6\right)\left(\dfrac{5}{2}x+8\right)>0$ pour $x<-\dfrac{16}{5}$ ou $x>\dfrac{12}{7}$, d'où l'ensemble des solutions : \mbox{$S=\left]-\infty~;-\frac{16}{5}\right[\cup\left]\frac{12}{7}~;+\infty\right[$.}

\item Du point de vue du signe, un quotient se comporte comme un produit. Il faut en plus tenir compte de l'ensemble de définition. Le numérateur s'annule en $1$, le dénominateur en $7$, dressons un tableau de signes :
\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & 1& & 7 & &+\infty \\\hline
-2(x-1)& & + & 0 & - & \vline & - & \\\hline
7-x && + & \vline & + & 0 & -  & \\\hline
\dfrac{-2(x-1)}{(7-x)}& &+ & 0 & - & \dvline& + & \\\hline
\end{array}\]
(Attention à la présence du $-2$ pour le signe du numérateur !)

On conclut :
\[S=]-\infty~;1]\cup]7~;+\infty[.\]


\item \begin{methode}
Quand on résout une inéquation où $x$ apparaît au dénominateur, le grand principe est de tout rassembler dans le même membre et de mettre les différents termes au même dénominateur, et de ne pas faire de produits \og en croix \fg.
\end{methode}

On a ici :
\begin{align*}
\frac{x^2}{1-2x}<-1
&\iff \frac{x^2}{1-2x}+1<0\\
&\iff \frac{x^2+1-2x}{1-2x}<0\\
&\iff \frac{(x-1)^2}{1-2x}<0.
\end{align*}
On a le choix entre deux méthodes. La meilleure est probablement le tableau de signes. Ce n'est
peut-être pas la façon la plus \og frime\fg, mais c'est certainement la plus sûre :
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}

\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & & \frac{1\strut}{2\strut}& & 1 & &+\infty \\\hline
(x-1)^2 & & + & \vline & + & 0 & + & \\\hline
1-2x & & + & 0 & -&\vline & -& \\\hline
 \dfrac{(x-1)^2}{1-2x} & & + & \dvline & -  & 0 & -& \\\hline
\end{array}\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

D'où l'ensemble des solutions :
\[S=\left]\frac{1}{2}~;1\right[\cup]1~;+\infty[.\]

\textit{Autre méthode:} le numérateur est un carré, toujours positif, donc la fraction est négative lorsque
$1-2x$ est négatif, donc pour $x\geq \dfrac{1}{2}$. 


On doit enlever les valeurs $\dfrac{1}{2}$ (où la fraction n'est pas définie), et $1$ (où \\[1em]la fraction s'annule), d'où l'ensemble :
\[S=\left]\frac{1}{2}~;+\infty\right[\setminus\{1\}.\]
(c'est le même ensemble que celui que nous avions trouvé).

\item Même si des $x$ apparaissent au dénominateur, on a tout de même le droit de simplifier
les fractions avant de commencer d'autres calculs, d'où l'inéquation :
\[\frac{1}{(5-x)^2}\leq \frac{3x}{(5-x)^2}.\]
Ne pas oublier que, même si la valeur $0$ ne semble plus intervenir, nous continuons à résoudre
l'inéquation dans $\R\setminus\{0~;5\}$. La valeur $0$ ne doit pas apparaître dans l'ensemble des solutions.\\
Ici, le dénominateur est strictement positif, quelle que soit la valeur de $x$. On peut donc
simplifier et résoudre :
\[1\leq 3x.\]
La \og simplification\fg revient à multiplier les deux membres par $(5-x)^2$. Comme
$(5-x)^2>0$, le sens de l'inégalité ne change pas. Noter que\linebreak $x=5$ est exclu de l'ensemble de définition,
(c'est ce qui permet d'affirmer $(5-x)^2>0$ et pas seulement $(5-x)^2\geq 0$). \\
On obtient donc $x\geq \dfrac{1}{3}$. Pensez à retirer la valeur $5$ ($0$ ne convient pas de toute façon); l'ensemble des solutions est donc :
\[S=\left[\frac{1}{3}~;+\infty\right[\setminus\{5\}=\left[\frac{1}{3}~;5\right[\cup]5~;+\infty[.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

%\begin{exo}{Inéquations}{Lycée Victor Hugo, Poitiers}{3}{30}
%Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\not=2$ par \[
%f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}.
%\]
%
%\begin{questions}
%	\item Construire la courbe représentative ${\cal (C)}$ de $f$ dans un repère orthogonal $(O,I,J)$.
%	
%	\item Construire dans le même repère, la courbe représentative ${(\mathcal{C}_g)}$
%	de la fonction $g$ définie par 
%	\[ g(x)=x^2+x-6.\]
%	
%	\item Résoudre graphiquement :
%	\[\dfrac{3x+1}{x-2}\leq x^2+x-6\]
%	puis retrouver les résultats par le calcul.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
% \begin{questions}
%	\item On commence par donner l'ensemble de définition de $f$. Au vu du dénominateur, on écrit :
%	\[D_f=\R\backslash\left\{2\right\}.\]
%	Avant de tracer la courbe, on peut calculer quelques valeurs :
%	\[
%	\begin{tabular}{|C|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
%	$x$&0&0,5&1&1,5&2,5&3&3,5&4 \\ \hline
%	$f(x)$&-0,5&$-5/3$&$-4$&$-11$&$17$&$10$&$23/3$&$6,5$\\ \hline
%	\end{tabular}
%	\]
%	Traçons maintenant la courbe représentative  :
%
%	\begin{center}
%	\includegraphics{114_02-16}
%	\end{center}
%	
%	\item La courbe de la fonction $x\mapsto x^2+x-6$ est une parabole. Pour
%	trouver son sommet, il faut commencer la factorisation de
%	l'expression :
%	\[g(x)=x^2+x-6=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-6.\]
%	Ceci fait apparaître que $g(x)$ est minimum quand le carré 
%	$\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2$ est le plus petit possible, c'est-à-dire
%	nul, donc quand $x=-\dfrac{1}{2}$. 
%	
%\Par
%	
%	Le sommet de la parabole a donc comme 	coordonnées : $\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{25}{4}\right)$.
%	
%	\Par
%	
%	On calcule quelques valeurs avant de tracer la courbe ci-dessous :
%	
%	\Par
%	
%	\[\begin{array}{|C|c|c|c|c|c|c|}\hline
%	x   & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
%	g(x)& -6 &-6 & -4& 0 & 6 & 14\\ \hline
%	\end{array}\]
%  
%  \begin{center}
%	\includegraphics{115_02-17}
%	\end{center}
%	
%	\item D'après le graphique, la courbe de $g$ est \og{}au-dessus\fg{} de celle de $f$ pour
%	\[x\in\left]-\infty~;-3,3\right]\cup\left[1~;2\right[\cup	\left[3,3~;+\infty\right[.\]
%	(Attention ! $f$ n'est pas définie en 2. Notez bien que l'on vous demande
%	une lecture graphique, alors pas de surenchère de précision !)
%	
%	On peut aussi retrouver ce résultat par le calcul :
%	{\allowdisplaybreaks\begin{align*}
%	\frac{3x+1}{x-2}\leq x^2+x-6 
%	&\iff \frac{3x+1}{x-2}\leq \frac{(x^2+x-6)(x-2)}{x-2}\\
%	&\iff 0\leq \frac{x^3+x^2-6x-2x^2-2x+12}{x-2}-\frac{3x+1}{x-2}\\
%	&\iff 0\leq \frac{x^3-x^2-11x+11}{x-2}\\
%	&\iff 0\leq \frac{x^2(x-1)-11(x-1)}{x-2}\\
%	&\iff 0\leq \frac{(x^2-11)(x-1)}{x-2}\\
%	&\iff 0\leq \frac{(x-\sqrt{11})(x+\sqrt{11})(x-1)}{x-2}
%	\end{align*}}
%
%	Pour résoudre cette inéquation, il ne reste plus qu'à dresser	un tableau de signes.
%	
%\hspace*{-1cm}\begin{tabular}{|C|lcccccccccr|}\hline\tabulartitle
%	$x$ & $-\infty$ &  & $-\sqrt{11}$ &    & 1 & & 2 & & $\sqrt{11}$ & &$+\infty$\\
%	\hline
%	$x-\sqrt{11}$&  & $-$&  \vline             & $-$  &\vline  & $-$ &\vline &$-$&0  &     +& \\
%	$x+\sqrt{11}$&  & $-$& 0             & +  &\vline  & + &\vline &+&\vline   & +    & \\
%	$x-1$& &          $-$&  \vline            &  $-$  & 0& + &\vline & +&\vline & +      & \\
%	$x-2$& &         $-$& \vline               & $-$  & \vline & $-$ &0&+ &\vline & +       & \\ \hline
%	fraction& & + & 0                   & $-$ & 0 &+ &$\|$&$-$&0&+ & \\ \hline
%	\end{tabular}
%	
%\medskip
%
%	L'ensemble des solutions est confirmé :
%	\[S=\left]-\infty~;-\sqrt{11}\right]\cup\left[1~;2\right[\cup
%	\left[\sqrt{11}~;+\infty\right[.\]
%\end{questions}
%\end{corrige}
%

%%%

\begin{exo}{Encadrement}{Lycée Hélène Boucher, Paris}{3}{15}
\begin{questions}
	\item  Montrer que pour tout $x\not =-1$,
	\[\dfrac{1}{1+x}=1-x+\dfrac{x^2}{1+x}.\]
	
	\item  Montrer que pour tout $x\geq -\dfrac{1}{2}$,
	\[0\leq\dfrac{1}{1+x}\leq 2.\]
	
	\item  En déduire que, pour $x\geq -\dfrac{1}{2}$,
	\[0\leq\dfrac{x^2}{1+x}\leq 2x^2\;,\]
	puis que : \[1-x\leq\dfrac{1}{1+x}\leq 1-x+2x^2.\]
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
	\item {
	Il suffit de simplifier le deuxième membre :
	\begin{equation*}\begin{split}
	1-x+\dfrac{x^2}{1+x}&=\dfrac{(1-x)(1+x)}{1+x}+\dfrac{x^2}{1+x}\\
	&=\dfrac{1-x^2}{1+x}+\dfrac{x^2}{1+x}\\
	&=\dfrac{1}{1+x}.
	\end{split}\end{equation*}
	}
	
	\item Si $x\geq-\dfrac{1}{2}$, il est clair que $x+1>0$, donc $\dfrac{1}{1+x}\geq 0$.
	De plus on a :
\begin{align*}
	x\geq-\dfrac{1}{2} & \iff x+1\geq\dfrac{1}{2}\\
	& \iff \dfrac{1}{x+1}\leq 2 \text{ puisque $x+1>0$.}
	\end{align*}
	On a pu passer aux inverses dans l'inégalité car les deux membres étaient strictement positifs ! 	D'où le résultat :
	\[0\leq\dfrac{1}{1+x}\leq 2.\]
	
	
	\item 
	L'encadrement précédent peut être multiplié par $x^2$, réel positif. L'ordre
	n'est pas modifié :
	\[0\leq\dfrac{x^2}{1+x}\leq 2x^2.\]
	On en déduit :
\[1-x\leq 1-x+\frac{x^2}{1+x}\leq 1-x+2x^2\qquad \text{(en ajoutant $1-x$)}.\]
	Or, d'après la première question :
	\[1-x+\frac{x^2}{1+x}=\frac{1}{1+x}\]
	donc :
\[1-x\leq \frac{1}{1+x} \leq 1-x+2x^2.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Inéquations}{Lycée Lacordaire, Marseille}{3}{15}
On donne l'expression $A(x)=x^3+3x^2-4$.
\begin{questions}
\item {Factoriser $A(x)$ en commençant par écrire que :
\[A(x)=x^3-x^2+4x^2-4.\]}
\item {En déduire la résolution dans $\R$ de l'inéquation :
\[\frac{(x-1)^2-2x+2}{x^3+3x^2-4}\geq 0.\]}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
A(x)&=x^3-x^2+4x^2-4\\
&=x^2(x-1)+4(x^2-1)\\
&=x^2(x-1)+4(x+1)(x-1)\\
&=(x-1)[x^2+4(x+1)]\\
&=(x-1)(x^2+4x+4)\\
&=(x-1)(x+2)^2.
\end{aligned}$

\item {Factorisons le numérateur :
\begin{eqnarray*}
(x-1)^2-2x+2&=&(x-1)^2-2(x-1)\\
&=&(x-1)(x-1-2)\\
&=&(x-1)(x-3).
\end{eqnarray*}
L'inéquation devient donc :
\[\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x+2)^2}\geq 0.\]
L'inéquation est définie seulement sur $\R-\{-2~;1\}$ (à cause du dénominateur). Maintenant que nous avons éliminé 1, nous pouvons simplifier la fraction :
\[\dfrac{x-3}{(x+2)^2}\geq 0.\]
Le dénominateur étant toujours strictement positif 
pour tout $x$ de\linebreak $\R-\{-2~;1\}$, on se ramène à $x-3\geq 0$, donc $x\geq 3$.
Un coup d'\oe il suffit à vérifier que les valeurs interdites ne posent pas 
de problème :
\[S=\left[3~;+\infty\right[.\]
}
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Un peu de tout...}

%%%

\begin{exo}{Un calcul astucieux}{Lycée Hoche, Versailles}{1}{15}
\begin{questions}
\item Développer $(3x+\sqrt{2})^3$.
\item Calculer astucieusement $X=\numprint{875683}^2-(\numprint{875684}\times\numprint{875682})$.
\item Factoriser le mieux possible :
	\begin{align*}
	E&=(2x-3)^2+(3-2x)(x-1)-6+4x\;;\\
	F&=(a+2)^2-4(5a-3)^2\;;\\
	G&=a^4-1.
	\end{align*}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On développe :
\begin{align*}
(3x+\sqrt{2})^3&=(3x+\sqrt{2})^2\times (3x+\sqrt{2})\\
&=(9x^2+6x\sqrt{2}+2)\times (3x+\sqrt{2})\\
&=27x^3+9x^2\sqrt{2}+18x^2\sqrt{2}+12x+6x+2\sqrt{2}\\
&=27x^3+27x^2\sqrt{2}+18x+2\sqrt{2}.
\end{align*}
\item Posons $N=\numprint{875683}$. On doit calculer $X=N^2-(N+1)(N-1)$, ce qui donne
facilement :
\[X=N^2-(N^2-1)=1.\]
\item Le facteur commun $(2x-3)$ apparaît dans $E$ :
\begin{align*}
E&=(2x-3)^2+(3-2x)(x-1)-6+4x\\
&=(2x-3)^2-(2x-3)(x-1)+2(2x-3)\\
&=(2x-3)[(2x-3)-(x-1)+2]\\
&=(2x-3)(2x-3-x+1+2)\\
&=(2x-3)x.
\end{align*}
$F$ est la différence de deux carrés :
\begin{align*}
F&=(a+2)^2-4(5a-3)^2\\
&=(a+2)^2-[2(5a-3)]^2\\
&=[(a+2)-2(5a-3)][(a+2)+2(5a-3)]\\
&=(-9a+8)(11a-4).
\end{align*}
$G$ est également la différence de deux carrés :
\[G=a^4-1=(a^2-1)(a^2+1)=(a-1)(a+1)(a^2+1).\]
\end{questions}
\end{corrige}

% 2024

% développement, factorisation, équations, calcul avec racine carrée
\begin{exo}{Trouver la bonne expression}{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine}{2}{15}
On donne pour tout $x$ de $\R$: $f(x)=(2x-3)^2 + (x-1)(3-2x)$.

\begin{questions}
\item Pour tout $x$ de $\R$, développer et réduire $f(x)$.
\item Pour tout $x$ de $\R$, factoriser $f(x)$.
\item En choisissant la bonne expression de $f(x)$, résoudre les équations suivantes:
\begin{questions}
\item $f(x)=6$.
\item $f(x)=0$.
\end{questions}
\item Calculer $f\big(2+\sqrt2\big)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x) & =(2x-3)^2 + (x-1)(3-2x)\\
& = \big[ (2x)^2 -2\times3\times2x + 3^2 \big] + \big[3x-2x^2-3+2x \big]\\
& = 4x^2 - 12x + 9 + 3x - 2x^2 - 3 + 2x\\
& = 2x^2 -7x + 6.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
f(x) & = (2x-3)^2 + (x-1)(3-2x)\\
     & = (2x-3)(2x-3) - (2x-3)(x-1)\\
     & = (2x-3)(2x-3 - x+1)\\
     & = (2x-3)(x-2).
\end{aligned}$

\item
\begin{questions}
\item Pour résoudre l'équation $f(x)=6$, il faut prendre la forme développée de $f(x)$:
\begin{align*}
f(x)=6 & \iff 2x^2 -7x + 6 = 6\\
       & \iff 2x^2 -7x = 0\\
       & \iff x(2x-7) = 0\\
       & \iff x = 0 \text{ ou }2x-7 = 0\\
       & \iff x = 0 \text{ ou } x = \frac{7}{2}.
\end{align*}
L'ensemble solution de l'équation $f(x)=6$ est donc:
\[
S = \left\{ 0 ; \frac{7}{2} \right\}.
\]

\item Pour résoudre l'équation $f(x)=0$, il faut prendre la forme factorisée de $f(x)$:
\begin{align*}
f(x)=0 & \iff (2x-3)(x-2) = 0\\
       & \iff 2x-3 = 0  \text{ ou } x-2=0\\
       & \iff x = \frac{3}{2} \text{ ou }x = 2.
\end{align*}
L'ensemble solution de l'équation $f(x)=0$ est donc:
\[
S = \left\{ \frac{3}{2} ; 2 \right\}.
\]
\end{questions}

\item Pour calculer $f\big(2+\sqrt2\big)$, nous pouvons prendre l'expression de $f(x)$ que l'on veut. Prenons par exemple la forme développée, qui semble peut-être plus appropriée pour un calcul avec radical:
\begin{align*}
f\big(2+\sqrt2\big) & = 2\big(2+\sqrt2\big)^2 -7\big(2+\sqrt2\big) + 6\\
                    & = 2(4 + 4\sqrt2 + 2) - 14 - 7\sqrt2 + 6\\
                    & = 12 + 8\sqrt2 - 14 - 7\sqrt2 + 6\\
% ERREUR %& = 4 - \sqrt2.
                    & = 4 + \sqrt2.               
\end{align*}
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Inéquations}{Lycée Murat, Issoire}{2}{20}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[f(x)=\left(x+\sqrt{3}\right)^2-5.\]
\begin{questions}
\item Développer $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Donner les valeurs exactes de $f(\sqrt{2})$, $f(0)$, $f(\sqrt{5}-\sqrt{3})$,
$f(-\sqrt{3})$.
\item Résoudre algébriquement l'équation $f(x)=0$.
\item Résoudre algébriquement l'inéquation $f(x)\geq 0$.
\item Résoudre algébriquement l'inéquation $f(x)\leq -5$.
\item Résoudre algébriquement l'inéquation $f(x)\leq -6$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x)=x^2+2x\sqrt{3}+3-5=x^2+2x\sqrt{3}-2$.

\item On reconnaît une expression du type $A^2-B^2$ :
\[f(x)=(x+\sqrt{3}+\sqrt{5})(x+\sqrt{3}-\sqrt{5}).\]

\item On utilise la forme développée pour calculer :\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{itemize}
\item $f(\sqrt{2})=2+2\sqrt{6}-2=2\sqrt{6}$.
\item $f(0)=-2$.
\end{itemize}
La forme factorisée est plus adaptée pour calculer :
\[f(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{5})=0.\]
Enfin, la forme de l'énoncé permet de voir facilement :
\[f(-\sqrt{3})=-5.\]

\item On doit résoudre :
\[(x+\sqrt{3}+\sqrt{5})(x+\sqrt{3}-\sqrt{5})=0.\]
Un produit s'annule lorsqu'au moins l'un de ses facteurs est nul, d'où deux solutions :
\[S=\{\sqrt{5}-\sqrt{3}~;-\sqrt{5}-\sqrt{3}\}.\]
\item On se sert de l'étude précédente pour dresser un tableau de signes. On note au passage que $-\sqrt{5}-\sqrt{3}<\sqrt{5}-\sqrt{3}$ (car $-\sqrt{5}<\sqrt{5}$).
{\renewcommand\arraystretch{1.6}
\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty &  &-\sqrt{5}-\sqrt{3} & & \sqrt{5}-\sqrt{3} &  & +\infty \\\hline
x+\sqrt{3}+\sqrt{5} & & - & 0 & + &\vline & + & \\\hline
x+\sqrt{3}-\sqrt{5}& & - & \vline & - & 0 & + & \\\hline
f(x) & & + &  0 & - & 0 & +  & \\\hline
\end{array}
\]}

D'après le tableau :
\[S=]-\infty~;-\sqrt{5}-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{5}-\sqrt{3}~;+\infty[.\]

\item L'inéquation $(x+\sqrt{3})^2-5\leq -5$ s'écrit :
\[(x+\sqrt{3})^2\leq 0.\]
Le carré d'un réel est toujours positif ou nul. 

On ne peut avoir $(x+\sqrt{3})^2\leq 0$
qu'à la seule condition : $(x+\sqrt{3})^2=0$. 
D'où une solution unique :
\[S=\left\{-\sqrt{3}\right\}.\]

\item S'il y avait une solution $x$, on aurait $(x+\sqrt{3})^2\leq -1$, ce qui est impossible (car
un carré est toujours positif). D'où $S=\emptyset$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Valeur absolue}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%% 2024

\begin{exo}{Traduction en valeurs absolues}{Lycée Loquidy, Nantes}{1}{5}
Traduire avec des valeurs absolues les affirmations suivantes.
\begin{questions}
\item La distance de $x$ à $-3$ est strictement supérieure à 7 $\iff |x \ldots| \ldots$
\item $x \in [-8;-4] \iff |x \ldots | \ldots$
\item $x \in ]-\infty;-7] \cup [5 ; +\infty[ \iff |x \ldots | \ldots$
\item Soit $E$ l'ensemble des valeurs approchées de $\sqrt8$ à $10^{-1}$ près.

Traduire l'appartenance d'un réel $x$ à $E$ par une inégalité avec une valeur absolue.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \mbox{La distance de $x$ à $-3$ est strictement supérieure à 7 $\iff |x + 3| > 7$}.

\item $x \in [-8;-4] \iff |x +6| \leqslant 2$ (\textit{explications page suivante}).

Pour compléter ici, nous avons avant tout trouvé le milieu de l'intervalle $[-8;-4]$ en effectuant le calcul: $\frac{-8-4}{2}=-6$, puis nous avons calculé la distance entre $-6$ et $-4$ (par exemple) en effectuant l'opération: $-4-(-6))=2$.

\item $x \in ]-\infty;-7] \cup [5 ; +\infty[ \iff |x +1 | \geqslant 6$.

Pour compléter ici, nous avons avant tout trouvé le milieu de l'intervalle $[-7;5]$ en effectuant le calcul: $\frac{-7+5}{2}=-1$, puis nous avons calculé la distance entre $-1$ et $5$ (par exemple) en effectuant l'opération:\linebreak $5-(-1)=6$.

\item $x\in E \iff \big|x-\sqrt8| \leqslant 0,1$.

En effet, si $x$ appartient à l'ensemble des valeurs approchées de $\sqrt8$ à $10^{-1}$ près, alors la distance qui sépare $x$ de $\sqrt8$ est nécessairement plus petite que $10^{-1}$, soit $0,1$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2024

\begin{exo}{\'Equations et inéquations}{Lycée Loquidy, Nantes}{1}{10}
Résoudre dans $\R$ les équations suivantes:
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $|x - 2| = 7$
\item $|-x - \pi|=3\pi$
\item $|x-\pi| < 0,001$
\item $|x+\pi| \geqslant 1$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $|x - 2| = 7$.

Pour résoudre cette équation, on interprète la valeur absolue comme la distance de $2$ à $x$. Ainsi, la distance de $2$ à $x$ doit être égale à 7, ce qui signifie:
\[
x=2-7=-5\qquad\text{ ou }\qquad x=2+7=9.
\]
L'ensemble des solutions de l'équation $|x - 2| = 7$ est donc:
\[
\mathcal{S}= \{-5;9\}
\]
\item $\begin{aligned}[t]
|-x - \pi|=3\pi & \iff |-(x+\pi)| = 3\pi\\
                & \iff |x+\pi|=3\pi\\
                & \iff |x-(-\pi)|=3\pi\\
                & \iff \left(\begin{array}{l}x = -\pi-3\pi=-4\pi\\ \text{ ou } \\  x=-\pi+3\pi=2\pi.\end{array}\right.
 \end{aligned}$
 
Ainsi, l'ensemble des solutions de l'équation $|-x - \pi|=3\pi$ est:
\[
\mathcal{S} = \{ -4\pi;2\pi \}.
\]
 
\item $|x-\pi| < 0,001 \iff x \in~ ]\pi-0,001 ; \pi+0,001[$, donc l'ensemble des solutions de cette inéquation est:
\[
\mathcal{S} =  ]\pi-0,001 ; \pi+0,001[.
\]
\item $|x+\pi| \geqslant 1 \iff x \leqslant -\pi-1$ ou $x \geqslant -\pi+1$. L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc:
\[
\mathcal{S} = ]-\infty;-\pi-1] \cup[-\pi+1;+\infty[.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2024

\begin{exo}{Points et distance}{Lycée Notre-Dame, Boulogne}{1}{10}
Sur une droite graduée, on place les points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $-3$ et $1$. $M$ est le point dont l'abscisse $x$ est telle que $|x+3|=|x-1|$.
\begin{questions}
\item Interpréter en termes de distance l'égalité: $|x+3|=|x-1|$.
\item En déduire l'abscisse $x$ du point $M$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $|x+3| = |x-(-3)|$, donc $|x-3|$ représente la distance entre $M$ et $A$.

De même, $|x-1|$ représente la distance entre $M$ et $B$.

\item De la question précédente, nous pouvons dire que l'égalité $|x+3|=|x-1|$ signifie que $MA=MB$ et donc que $M$ est le milieu de $[AB]$. Son abscisse $x$ est donc le centre de l'intervalle $[-3;1]$. Ainsi, $x=\frac{-3+1}{2}=-1$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2024

\begin{exo}{Diverses questions}{Lycée Notre-Dame, Boulogne}{1}{10}
\begin{questions}
\item \'Ecrire le nombre $|3\pi - 12|$ sans valeurs absolues.
\item Sur une droite graduée, $M$ et $N$ sont les points d'abscisses respectives $-4$ et $-2,5$. Quelle est la distance $MN$ ?
\item Complétez le tableau suivant comme pour la ligne exemple:\enlargethispage*{5em}

\scalebox{0.93}{\begin{tabular}{|*6{Zc|}}
\hline\tabulartitle
Intervalle  & Encadrement & Centre & Rayon & Valeur absolue\\
\hline\tabulartitle
$x\in[-4;0]$ & $-4 \leqslant x \leqslant 0$ & $-2$ & 2 & $|x+2|\leqslant2$\\
\hline
 & $0<x<10$ & && \\
 \hline
$x\in\left[-\frac{1}{2};\frac{3}{4}\right]$ &  & & & \\
\hline
 & & && $|x+0,52|<10^{-2}$\\
 \hline
\end{tabular}}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{\'Ecrire le nombre $|3\pi - 12|$ sans valeurs absolues.}

On cherche pour cela le signe de $3\pi-12$: on sait que $3 < \pi < 4$ donc $9 < 3\pi < 12$. Ainsi, $3\pi-12<0$. On en conclut alors que:
\[
|3\pi-12| = -(3\pi-12) = 12-3\pi.
\]

\item \textit{Sur une droite graduée, $M$ et $N$ sont les points d'abscisses respectives $-4$ et $-2,5$. Quelle est la distance $MN$ ?}

Convenons de noter $x_M$ et $x_N$ les abscisses respectives des points $M$ et $N$. On a $x_N > x_M$. Pour déterminer la distance $MN$, on effectue le calcul:
\[
MN = x_N - x_M  = -2,5 - (-4) = -2,5+4 = 1,5.
\]
\begin{aretenir}
Quels que soient les points $A$ et $B$ sur l'axe gradué, \[
d(A,B) = | x_A - x_B | = |x_B - x_A|. \]
\end{aretenir}

\item Le tableau complété est le suivant:

\scalebox{0.8}{\begin{tabular}{|*5{Zc|}}
\hline\tabulartitle
Intervalle  & Encadrement & Centre & Rayon & Valeur absolue\\
\hline
$x\in]0;10[$ & $0<x<10$ & 5 & 5 & $|x-5|<5$ \\
 \hline
$x\in\left[-\frac{1}{2};\frac{3}{4}\right]$ & $-\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{3}{4}$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{5}{8}$ & $\left|x-\frac{1}{8}\right| \leqslant \frac{5}{8}$ \\
\hline
$x\in ]-0,53;-0,51[$ & $-0,53 < x < -0,51$ & $-0,52$ & $0,01$ & $|x+0,52|<10^{-2}$\\
 \hline
\end{tabular}}
\end{questions}
\end{corrige}


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\thumb
\AfficheCorrige
