\chapter{Configurations du plan}

\begin{exointro}{Lycée Janson de Sailly, Paris}
Soit $\mathcal{C}$ un cercle de diamètre $[AB]$, de centre $O$ et $C$ un point de $\mathcal{C}$ distinct de $A$ et $B$. Soit $I$ le milieu de $[BC]$ et $J$ celui de $[OA]$. La droite $(CJ)$ coupe $(OI)$ en $K$.
\begin{questions}
\item Montrer que $(OI)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. Que dire
de $BCK$ ?
\item Montrer que $COKA$ est un parallélogramme.
\item Montrer que $O$ est le centre de gravité de $BCK$. 
\end{questions}
\end{exointro}


\section{Le triangle}

Dans un triangle (non aplati), nous avons les propriétés suivantes :
\begin{itemize}
\item Les trois hauteurs sont concourantes. Le point de concours $H$ s'appelle\linebreak l'\emph{orthocentre} du triangle.

\Par\Par

\begin{center}
\includegraphics{121_05-hauteurs}
\end{center}

\newpage

\item Les trois médiatrices des côtés sont concourantes. Le point de concours $O$ est le \emph{centre} du cercle circonscrit du triangle.

\Par\Par

\begin{center}
\includegraphics{122_05-mediatrices}
\end{center}

\item Les trois médianes sont concourantes. Le point de concours $G$ est le \emph{centre de gravité} (situé aux deux-tiers de chaque médiane en partant du sommet).

\Par\Par

\begin{center}
\includegraphics{122_05-medianes}
\end{center}

\item Si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.
\item Si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.

\Par

\begin{center}
\raisebox{-0.5\totalheight}{\includegraphics{122_05-01}}\qquad\begin{minipage}{0.4\linewidth}
Si $I$ est le milieu de $[AB]$ et si $(IJ)~//~(AC)$, alors $J$ est le\linebreak milieu de $[BC]$.
\end{minipage} 
\end{center}
\end{itemize}

\newpage

\subsection{Le triangle rectangle}

\begin{itemize}
\item Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.
\item (Réciproque) Si $B$ appartient au cercle de diamètre $[AC]$, alors le triangle $ABC$
est rectangle en $B$. 
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics{123_05-02}
\end{center}

\subsection{Le théorème de Thalès}
Soient $D_1$ et $D_2$ deux droites sécantes en $O$. Soient deux droites parallèles ne passant pas par $O$ qui coupent $D_1$ respectivement en $A_1$ et $B_1$, et $D_2$ respectivement en $A_2$ et $B_2$. 

On a deux configurations possibles :
\begin{center}
\includegraphics{123_05-03}\qquad
\includegraphics{123_05-04}
\end{center}


Alors :
\[\frac{OA_2}{OB_2}=\frac{OA_1}{OB_1}=\frac{A_1A_2}{B_1B_2}.\]

\begin{Remarque} ne cherchez pas à apprendre ces formules par c{\oe}ur. Vous risquez la catastrophe si les noms des points ne sont pas les mêmes dans votre énoncé. Faites plutôt une figure,
remarquez bien quels sont les triangles semblables, quelles sont les longueurs proportionnelles, quels sont les angles égaux, et n'oubliez pas de citer le nom de Thalès.
\end{Remarque}

\subsection{La réciproque du théorème de Thalès}

\begin{thm}
Si $D_1$ et $D_2$ sont deux droites sécantes en $O$.\\
$A_1$ et $B_1$ deux points de $D_1$, distincts de $O$.\\
$A_2$ et $B_2$ deux points de $D_2$, distincts de $O$.\\
Si 
\[\frac{OA_2}{OB_2}=\frac{OA_1}{OB_1}\]
et si les points $O$, $A_1$, $B_1$ et les points $O$, $A_2$, $B_2$ sont alignés dans le même ordre, alors les droites $(A_1A_2)$ et $(B_1B_2)$ sont parallèles.
\end{thm}
\begin{Remarque}
on est alors dans une des deux configurations de Thalès. On peut en déduire :
\[\frac{OA_2}{OB_2}=\frac{OA_1}{OB_1}=\frac{A_1A_2}{B_1B_2}.\]
\end{Remarque}


\section{Projections et symétries}


\subsection{Projection orthogonale}
\begin{defin}
Soient $\cal D$ une droite et $M$ un point du plan, 
il existe une unique droite $D'$ passant par $M$ et perpendiculaire
à $\cal D$. La droite $D'$ coupe $\cal D$ au point $H$. 

Le point $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $\cal 
D$. 
\end{defin}

\begin{center}
\includegraphics{124_05-projection}
\end{center}

\newpage

Par exemple, dans un triangle, les \og pieds \fg des hauteurs
sont les projetés orthogonaux de chaque sommet sur le côté opposé~:

\begin{center}
\includegraphics{125_05-pieds-hauteurs}
\end{center}

Si $A$ est un point de $\cal D$, alors le triangle $AHM$ est rectangle en $H$. 
D'après le théorème de Pythagore, 
\[ AM^2=AH^2+HM^2. \]
Comme $AH^2\geq 0$, on constate que:
\begin{itemize}
\item $AM^2\geq HM^2$, donc $AM\geq HM$~: la distance
entre $M$ et un point de $\cal D$ est toujours supérieure ou égale à $HM$;
\item $AM=HM$ si et seulement si $AH^2=AM^2-HM^2=0$, 
c'est-à-dire $AH=0$, et donc $A=H$. 
\end{itemize} 

On peut ainsi caractériser le projeté orthogonal par la distance
au point $M$~: 

\begin{prop}
Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\cal D$ est le point de $D$
qui est le plus proche de $M$. 
\end{prop}






\subsection{Symétrie orthogonale d'axe $\Delta$}

\begin{defin}
On considère deux points distincts $A$ et $A'$ et une droite $(\Delta)$.

On dit que les points $A$ et $A'$ sont symétriques par rapport à $(\Delta)$ si $(\Delta)$ est la médiatrice du segment $[AA']$.

\Par

Dans le cas où les points $A$ et $A'$ sont confondus, $A$ et $A'$ sont symétriques par rapport à toute droite passant par $A$.
\end{defin}

\Par\Par

\begin{center}
\includegraphics{126_05-symaxiale}
\end{center}


\begin{props}
Dans une symétrie d'axe $\Delta$,
\begin{itemize}
\item la droite $\Delta$ est invariante point par point ;
\item toute droite perpendiculaire à $\Delta$ est globalement invariante;
\item les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
\end{itemize}
\end{props}

\begin{center}
\includegraphics{126_05-05}
\end{center}

\begin{Remarque} ne pas confondre la propriété : \og les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles \fg (valable pour toutes les transformations que vous connaissez) et : \og  l'image d'une droite est une droite parallèle \fg (ce qui n'est vrai, sauf cas particuliers, que pour les symétries centrales et les translations).

Dans le cas d'une symétrie d'axe $\Delta$, par exemple, si $D_1$ et $D_2$ sont deux droites parallèles, que $D'_1$ est l'image de $D_1$ et  $D'_2$ l'image de $D_2$, alors $D'_1~//~D'_2$. Pourtant, comme on peut le voir sur la figure, il n'y a pas de raison que $D_1$ et $D'_1$ soient parallèles.
\end{Remarque}





\subsection{Symétrie de centre $O$}

\begin{defin}
On considère deux points distincts $A$ et $A'$ et un troisième point $O$.

$A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ si $O$ est le milieu de $[AA']$.

Si $A$ et $A'$ sont confondus, ils sont symétriques par rapport à $A$ lui-même.
\end{defin}

\begin{props}
Dans une symétrie centrale,
\begin{itemize}
\item les angles sont conservés;
\item l'image d'une droite est une droite parallèle;
\item le centre de symétrie est l'unique point invariant;
\item les droites qui passent par le centre de symétrie sont globalement invariantes.
\end{itemize}
\end{props}

\Par

\begin{center}
\includegraphics{127_05-06}
\end{center}

\subsection{Propriétés communes aux symétries}
Les symétries orthogonales (ou axiales) et les symétries centrales 
vérifient les propriétés suivantes ($A'$, $B'$, $C'$ désignent les
images des points $A$, $B$ et $C$).
\begin{itemize}
\item Des points alignés ont pour images des points alignés.
\item L'image de la droite $(AB)$ est la droite $(A'B')$.
\item L'image du segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$.
\item Conservation des distances : $AB=A'B'$. 
\item L'image du milieu de $[AB]$ est le milieu de $[A'B']$. 
\item L'image d'un cercle de centre $A$ est le cercle de centre $A'$, de même rayon (vient de la
conservation des distances). 
\item Conservation du parallélisme : 
les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
\item Conservation des angles : $\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}$.
\item Conservation de l'orthogonalité : 
les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires (vient de la
conservation des angles).
\end{itemize} 


\begin{Remarque} un {\em point invariant} est un point
qui est sa propre image (la transformation ne le change pas,
ne le fait pas \og varier \fg).

Si une droite a pour image elle-même, on dit qu'elle est
{\em globalement} invariante. 

Si de plus tous ses points
sont invariants, on dit que la droite est {\em invariante point
par point}. 
\end{Remarque}




\section{Le cercle}

\begin{defin}
Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $M$ tels que :
\[
OM = r.
\]
\end{defin}

\begin{Remarque}
on dit que tous les points d'un cercle sont \emph{équidistants} de son centre.
\end{Remarque}


\begin{defin}[tangente à un cercle]
Soit $\cal C$ un cercle de centre $O$, et soit $A$ un point appartenant à $\cal C$.

On appelle \emph{tangente à $\cal C$ au point $A$} l'unique droite dont l'intersection avec $\cal C$ est le point $A$.
\end{defin}

\begin{prop}
Soit $\cal C$ un cercle de centre $O$. Soient $A$ un point de $\cal C$ et ${\cal T}_A$ la tangente à $\cal C$ au point $A$.

Alors, $(OA)$ est perpendiculaire à ${\cal T}_A$.
\end{prop}

\enlargethispage*{2em}

\begin{center}
\includegraphics{128_05-08}
\end{center}

Le point $A$ est ici le projeté orthogonal du centre $O$
sur la tangente. 

Inversement, si on projette orthogonalement un point $O$ sur 
une droite $D$ au point $A$, le cercle de centre $O$
et passant par $A$ est alors tangent à la droite $D$ au point~$A$. 



\section{Trigonométrie}

%\begin{exointro}{Lycée Charlemagne, Paris}
%\begin{questions}
%\item On pose $x=\dfrac{\pi}{6}$.\\
%Calculer $\cos (2x)$, $2\cos x$ et $\cos^2x-\sin^2x$.
%Que constate-t-on ?
%
%\item Démontrer que, pour tout $x$ réel, $\cos^2x-(1+\sin x)(1-\sin x)=0$.
%\end{questions}
%\end{exointro}


\subsection{Formule fondamentale}

On considère dans un triangle rectangle, un angle 
$\theta$ autre que l'angle droit. 

\begin{center}
\includegraphics{129_triangle-rectangle}
\end{center}


Le cosinus, le sinus et la tangente de $\theta$ sont donnés par~:

\[
\cos\theta=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}},\ 
\sin\theta=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} 
\text{ et }
\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=
\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}.
\]

Notons que $\cos\theta$ et $\sin\theta$ sont des éléments de $]0,1[$,
car l'hypoténuse est le plus grand des trois côtés. En revanche, 
$\tan \theta$ peut prendre n'importe quelle valeur strictement positive. 

On peut exprimer les longueurs des côtés 
à partir de l'hypoténuse~: 
$AB = BC \cos(\theta)$ et $AC = BC \sin(\theta)$. 

Or d'après le d'après le théorème de Pythagore, $AB^2+AC^2=BC^2$, 
c'est-à-dire\linebreak $BC^2(\cos\theta)^2+BC^2(\sin\theta)^2 = BC^2$. 
En simplifiant par $BC$, on obtient la relation fondamentale~:
\[(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2=1.\]
Supposons, par exemple, qu'on connaisse $\sin\theta=\dfrac{1}{3}$. 

À l'aide de la formule $(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2=1$, on peut 
retrouver~: 
\[
(\cos\theta)^2=1-(\sin\theta)^2=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9},
\] 
donc $\cos\theta=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ (car $\cos\theta \geqslant0$) et 
$\tan\theta = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$. 


\subsection{Quelques valeurs exactes}

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-55mm}
\begin{itemize}
\item \emph{Angle de $45^\circ$} : on considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ et isocèle tel que :
\[AB=AC=1.\]
Alors $\hat{B}=\hat{C}=45^\circ$. 

\Par

D'après le théorème de Pythagore :
\[BC^2=AB^2+AC^2=2,\] 
donc $BC=\sqrt{2}$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{50mm}
\includegraphics{130_04-15}
\end{minipage}

\begin{itemize}
\item[] 

Il vient :
\[\cos\hat{B}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}\]
et
\[\sin\hat{B}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\]
On en déduit que $\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

\item \emph{Angles de $30^\circ$ et $60^\circ$} :
on considère un triangle $ABC$ équilatéral de côté $1$ et $H$ le milieu de $[BC]$. 
Vous savez que, comme $ABC$ est équilatéral, $(AH)$ est également la hauteur issue de $A$,
la médiatrice de $[BC]$, et la bissectrice de $\widehat{BAC}$. En particulier :
\begin{align*}
\widehat{HAB}&=\frac{1}{2}\widehat{CAB}=\frac{60}{2}=30^\circ\\
\widehat{ABH}&=\widehat{ABC}=60^\circ.
\end{align*}

\begin{center}
\includegraphics{130_04-16}
\end{center}

En appliquant le théorème de Pythagore au triangle $ABH$, rectangle en $H$, il vient :
\[BA^2=BH^2+AH^2\iff 1=\frac{1}{4}+AH^2\iff \frac{3}{4}=AH^2\iff\frac{\sqrt{3}}{2}=AH.\]
Dans ce même triangle $ABH$, on a :

\Par

\begin{align*}
\cos60^\circ=\cos\hat{B}&=\frac{BH}{AB}=\frac{1}{2}\\
\sin60^\circ=\sin\hat{B}&=\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\cos30^\circ=\cos\hat{A}&=\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\sin30^\circ=\sin\hat{A}&=\frac{BH}{AB}=\frac{1}{2}\
\end{align*}
\end{itemize}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Dans le triangle $ABC$, $IB=IC$ et $OB=OC$ donc $(IO)$ est la médiatrice de $[BC]$. Ainsi, $(IO)$ est perpendiculaire à $(BC)$.

$K$ appartenant à la médiatrice de $[BC]$, on a $KB=KC$ et donc $BCK$ est isocèle en $K$. 
\begin{center}
\includegraphics{131_05-07}
\end{center}

\item Les droites $(OI)$ et $(AC)$ sont parallèles, donc les triangles $ACJ$ et $OJK$ sont
en configuration de Thalès. Il vient :
\[\frac{JK}{JC}=\frac{JO}{JA}=1\]
(car $JO=JA$), donc $JK=JC$ et $J$ est le milieu de $[CK]$.
\BreakWithoutItem
Les diagonales de $COKA$ se coupent en leur milieu $J$ donc $COKA$ est un parallélogramme.

Autre méthode~: Dans le triangle $ABC$, $(OI)$ joint le milieu $O$ de $[AB]$ et le milieu $I$ de $[BC]$, donc $(OI)~//~(AC)$. De là, la translation qui transforme $C$ en $A$ transforme $O$ en un point $M$ qui est aligné d'une part avec $O$ et $I$, et de l'autre aligné avec $J$ et $C$ (car $J$ est le milieu de $[OA]$) et donc de $[CM]$. On en déduit que $M$ et $K$ sont confondus. 

\item $J$ est le milieu de $[CK]$, donc $(BJ)$ est une médiane de $BCK$. $I$ est le milieu de $[BC]$ donc $(IK)$ est une autre médiane de $BCK$. Ces deux médianes se coupent en $O$, donc $O$ est le centre de gravité de $BCK$ (intersection des médianes). 
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{solintro}
