\chapter{Généralités sur\\les fonctions}

\begin{exointro}{Lycée Jean Monnet, Franconville}
Soit $f\;:\;x\mapsto\frac{1+x^2}{x}$.
\begin{questions}
\item Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de $f$ ?

\item Quelle est l'image de $-3$ ? Quel sont les antécédents de $2$ ?

\item Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $]0~;1[$ et strictement croissante sur $]1~;+\infty[$. En déduire le tableau des variations de $f$ sur $\mathcal{D}_f$.

\item Représenter le graphe de $f$ dans un repère orthonormal $(O,I,J)$.

\item Déterminer graphiquement les solutions de $f(x)=4$.
\end{questions}
\end{exointro}

\section{Rappels de collège}

\subsection{Qu'est-ce qu'une fonction ?}
\enlargethispage*{3em}

\begin{defin}
On considère un ensemble $\cal D$ inclus dans $\R$.

Une \emph{fonction} définie sur $\cal D$ et à valeurs dans $\R$ est un objet mathématique qui,\linebreak à tout nombre $x$ de $\cal D$, associe un unique réel, noté $f(x)$.
\end{defin} 

\begin{itemize}
\item $f(x)$ est  l'\emph{image} de $x$ par~$f$.
\item $\cal D$ est l'\emph{ensemble de définition de $f$}.
\end{itemize}

On note : $\begin{aligned}[t]
f:\; & {\cal D} \to \R\\
& x \mapsto f(x)
\end{aligned}$

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\item La fonction qui, à un nombre, associe son carré est la fonction $\begin{aligned}[t]f:\; & \R \to \R \\ & x\mapsto x^2\end{aligned}$.

Cela signifie notamment que « pour tout $x$ réel, $f(x)=x^2$ ».

\item Si $x$ représente la longueur d'un côté d'un carré alors le périmètre de ce carré est donné par la fonction $\begin{aligned}[t] p:\; & \R_+ \to \R \\ & x\mapsto 4x\end{aligned}$  car le périmètre d'un carré est obtenu en multipliant par 4 la longueur d'un côté.
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{Remarque}
dans certains énoncés, on donne une expression littérale et on demande de déterminer le domaine de définition d'une fonction.

Dans ce cas, on cherche les valeurs pour lesquelles les images seraient calculées à l'aide de l'expression littérale.

Il s'agit de trouver le plus grand sous-ensemble de $\R$ pour lequel les nombres sont « calculables » à l'aide de l'expression.
\end{Remarque}

\vspace*{-1.5em}
\begin{Exemple}
le nombre $\dfrac{1}{x-2}$ est défini pour tout nombre $x$ différent de 2.

En effet, si $x = 2$, le dénominateur de l'écriture fractionnaire est égal à 0, ce qui n'est pas possible.

Si l'on demande de « déterminer le domaine de définition de la fonction définie par $f\;:\; x\mapsto\dfrac{1}{x-2}$ \fg, le domaine de définition sera alors $\R-\{2\}$ ; c'est l'ensemble qui contient tous les nombres réels ($\R$), sauf le réel 2.

On peut aussi noter : $\R\setminus\{2\}$ (on lit alors « $\R$ privé du nombre 2 »).
\end{Exemple}

Parfois, dans des exercices mettant en jeu des situations concrètes, on choisit le domaine de définition selon
des connaissances de l'objet étudié. Par exemple, si la variable représente une longueur, le domaine de définition ne contient pas les réels négatifs. Dans certains cas, le domaine est imposé par l'énoncé. On peut ainsi considérer par exemple la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$, définie seulement sur $\R_+^*$, c'est-à-dire sur l'ensemble des nombres réels strictement positifs.

Le domaine de définition est souvent noté $\cal D$ (quand il n'y a qu'une seule fonction dans l'exercice) ou ${\cal D}_f$, ${\cal D}_g$,... s'il y a plusieurs fonctions $f$, $g$,... dans l'exercice.

\subsection{Image et antécédent(s)}

Si $x$ est un réel, le réel $f(x)$ est son \emph{image}. Le réel $x$ est un
antécédent de $f(x)$. Par exemple, si l'on considère la fonction définie sur $\R$ par $x\mapsto x^2$, $4$ est l'image de $2$ car $2^2=4$, et $-3$ est un antécédent 
de $9$ (car $(-3)^2=9$). 

Remarquez bien le vocabulaire utilisé : « son »
image, « un » antécédent. En effet, $f(x)$ peut avoir plusieurs 
antécédents ($x$, mais peut-être aussi d'autres réels).
Cependant, l'image de $x$ est unique, s'il en a une.

\subsection{Tableau de valeurs}

Un \emph{tableau de valeurs} est un tableau à deux lignes :
\begin{itemize}
\item sur la 1\iere{} sont indiquées les valeurs des $x$ dont on veut trouver l'image ;
\item sur la 2\up{nde} sont reportées les images des $x$.
\end{itemize}

\begin{Exemple}
on considère la fonction définie sur $\R$ par $f\;:\;x\mapsto -x^2+2$. Alors, le tableau suivant est un tableau de valeurs pour des valeurs entières de $x$ comprises entre $-3$ et $3$ :

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*7{Zc|}}
\hline
Valeurs de $x$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
Valeurs de $f(x)$ & $-7$ & $-2$ & 1 & 2 & 1 & $-2$ & $-7$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par


\emph{Explications :} quand $x=-3$, pour trouver son image par la fonction $f$, on remplace $x$ par $-3$ dans l'expression, ce qui donne :
\[
f(-3)=-(-3)^2+2=-9+2=-7.
\]
On fait de même pour les autres valeurs de $x$.
\end{Exemple}

\subsection{Courbe représentative d'une fonction}

\begin{defin}
La courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points qui ont pour coordonnées $\big(x~;f(x)\big)$ quand $x$ appartient au domaine de définition de $f$.
\end{defin}

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
Ainsi, à partir d'un tableau de valeurs, on peut représenter \emph{sommairement} une fonction.

\begin{Exemple}
Voici un tableau de valeurs de la fonction $f\;:\;x\mapsto x^2$ sur $[-3~;3]$ :

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$x$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\ \hline
$f(x)$ & $9$ & $4$ & $1$ & $0$ & $1$ & $4$ & $9$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

Ce tableau permet de tracer la courbe ci-contre.
\end{Exemple}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{48mm}
\includegraphics{159_03-02}
\end{minipage}

\newpage

\section{Variations}

\subsection{Fonctions croissantes, décroissantes et constantes}

\begin{defin}[fonction croissante]
Une fonction $f$ est \emph{croissante} sur un intervalle lorsque pour tout élément $u$ et $v$ de l'intervalle, si $u \leqslant v$, alors $f(u) \leqslant f(v)$.
\end{defin}

\begin{Remarque}
cela signifie que les nombres de l'intervalle sont rangés dans le même ordre que leurs images par la fonction $f$. Lorsque, dans la définition, on remplace les deux inégalités larges ($\leqslant$) par deux inégalités strictes ($<$), on définit ce qu'est une fonction \emph{strictement} croissante.
\end{Remarque}


\begin{defin}[fonction décroissante]
Une fonction $f$ est \emph{décroissante} sur un intervalle lorsque pour tout élément $u$ et $v$ de l'intervalle, si $u \leqslant v$, alors $f(u) \geqslant f(v)$.
\end{defin}

\begin{Remarque}
lorsque, dans la définition, on remplace les deux inégalités larges par deux inégalités strictes, on définit ce qu'est une fonction \emph{strictement} décroissante.
\end{Remarque}

\begin{defin}[fonction constante]
Une fonction est \emph{constante} sur un intervalle lorsqu'il existe un réel $a$ tel que pour tout $x$ de l'intervalle, $f(x)=a$.
\end{defin}

Autrement dit, une fonction constante prend toujours la même valeur.

\begin{Remarque}
une fonction est constante si et seulement si elle est à la fois croissante et décroissante.
\end{Remarque}

\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{160_03-fct-croissante}

\Par

Fonction croissante
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{160_03-fct-decroissante}

\Par

Fonction décroissante
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{160_03-fct-constante}

\Par

Fonction constante
\end{center}
\end{minipage}

\newpage

\begin{defin}[fonction monotone]
Une fonction qui est soit croissante, soit décroissante sur un intervalle est appelée une fonction \emph{monotone}.
\end{defin}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{161_03-fct-monotone}

\Par

Fonction monotone sur $[a;b]$
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{161_03-fct-pasmonotone}

\Par

Fonction non monotone sur $[a;b]$
\end{center}
\end{minipage}

\enlargethispage*{2em}
\begin{attention} Il ne suffit pas de prendre deux points au hasard dans l'intervalle et de les comparer. Par exemple, pour $f$ : $x\mapsto x^2-5x$, il ne s'agit pas de calculer $f(2)$ et $f(4)$, puis de voir lequel des deux est le plus grand. Il s'agit de déterminer le signe de l'expression $f(v)-f(u)$ en supposant que $v>u$.
\end{attention}

\begin{Exemple}
Soit la fonction définie sur $\R$ par $f\;:\;x\mapsto x^2-5x$.

Soient $u$ et $v$ deux nombres appartenant à $\left[-1~;\dfrac{5}{2}\right]$ tels que $u<v$. Alors :
\begin{align*}
f(v)-f(u)&=({v}^2-5v)-(u^2-5u)\\
&=v^2-5v-u^2+5u\\
&=v^2-u^2-5v+5u\\
&=(v-u)(v+u)-5(v-u)\\
&=(v-u)(v+u-5).
\end{align*}
Comme $-1\leq u < v \leq\dfrac{5}{2}$, on voit que $v-u>0$ et $v+u-5<0$.

\Par

On en déduit que $f(v)-f(u)<0$, et que $f$ est décroissante sur l'intervalle $\left[-1~;\dfrac{5}{2}\right]$. On a prouvé une inégalité \emph{stricte} entre $f(v)$ et $f(u)$, donc on peut ajouter que $f$ est \emph{strictement} décroissante sur $\left[-1~;\dfrac{5}{2}\right]$.

Maintenant, si on prend $u$ et $v$ sur $\left[\dfrac{5}{2}~;6\right]$, toujours avec $u<v$, alors\linebreak $v+u-5>0$ donc $f(v)-f(u)>0$, ce qui signifie que $f$ est \emph{strictement} croissante sur $\left[\dfrac{5}{2}~;6\right]$.

\Break

On peut représenter graphiquement la fonction $f$ comme sur le graphique suivant.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{162_03-01}
\end{center}
\end{Exemple}

\subsection{Maximum et minimum d'une fonction}

\begin{defins}
Le \emph{maximum} d'une fonction $f$ sur son domaine de définition est la valeur la plus haute atteinte par la fonction. 

Le \emph{minimum} est la plus basse. 
\end{defins}

\begin{Exemple}
reprenons la fonction $f\;:\;x\mapsto x^2-5x$ dont on a trouvé les variations dans le paragraphe précédent.

Elle est décroissante sur $\left[-1~;\dfrac{5}{2}\right]$ puis croissante sur $\left[\dfrac{5}{2}~;6\right]$ donc l'image de $\dfrac{5}{2}$ est le minimum : c'est la plus petite valeur atteinte par $f(x)$ sur $[-1~;6]$.

$f\left(\dfrac{5}{2}\right)=-\dfrac{25}{4}$ donc $-\dfrac{25}{4}$ est le minimum de $f$ sur $[-1~;6]$.

Pour avoir la valeur du maximum, il suffit de calculer $f(-1)$ et $f(6)$ :
\[
f(-1)=(-1)^2-5\times(-1)=6\qquad\text{et}\qquad f(6)=6^2-5\times6=6
\]
donc \og 6 \fg{} est le maximum de $f$ sur l'intervalle $[-1~;6]$.
\end{Exemple}

\begin{Remarque}
une fonction n'a pas nécessairement de maximum ou de minimum. Par exemple, la fonction $x\mapsto x$, définie sur $\R$, n'admet aucune plus grande valeur ni aucune plus petite.
\end{Remarque}

\section{Parité d'une fonction}

\begin{defin}[fonction paire]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ou une réunion d'intervalles $\mathcal{D}$. On dit que $f$ est paire si les conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{itemize}
\item $\forall x\in\mathcal{D}$, $-x\in\mathcal{D}$ ( on dit alors que $\mathcal{D}$ est symétrique par rapport à 0 ) ;
\item $\forall x\in\mathcal{D}$, $f(-x)=f(x)$. 
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{prop}[conséquence graphique]
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$  sa représentation graphique dans un repère orthogonal (O,$\vec{\imath},\vec{\jmath})$ du plan. 

Si $f$ est paire alors sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\end{prop}

\begin{center}
\includegraphics{163_07-paire}
\end{center}

\begin{defin}[fonction impaire]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ou une réunion d'intervalles $\mathcal{D}$. On dit que $f$ est impaire si les conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{itemize}
\item $\forall x\in\mathcal{D}$, $-x\in\mathcal{D}$ ($\mathcal{D}$ est symétrique par rapport à 0 ) ;
\item $\forall x\in\mathcal{D}$, $f(-x)=-f(x)$. 
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{prop}[conséquence graphique]
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$  sa représentation graphique dans un repère orthogonal (O,$\vec{\imath},\vec{\jmath})$ du plan. 
Si $f$ est impaire alors sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère.
\end{prop}


\begin{center}
\includegraphics{164_07-impaire}	
\end{center}


\enlargethispage*{3em}
\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Le dénominateur de la fraction ne doit pas s'annuler, donc $x$ ne doit pas être égal à zéro.

L'ensemble de définition est donc ${\cal D}_f=\R\setminus\{0\}$.

\begin{Remarque}
l'ensemble $\R\setminus\{0\}$ est aussi noté : $\R-\{0\}$ et $\R^*$.
\end{Remarque}

\item $f(-3)=\dfrac{1+9}{-3}=-\dfrac{10}{3}$. 

Pour trouver le ou les antécédents de $2$, il suffit de résoudre l'équation :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1+x^2}{x}=2 & \iff & 1+x^2=2x,\ x\neq0 \\
& \iff & 1-2x+x^2=0,\ x\neq0 \\
& \iff & (1-x)^2=0,\ x\neq0 \\
& \iff & x=1.
\end{eqnarray*}

Ainsi, 2 a pour antécédent le nombre 1.


\item Prenons deux réels $a$ et $b$, strictement positifs et supposons que $a<b$.
Calculons :
\begin{align*}
f(b)-f(a)&=\dfrac{1+b^2}{b}-\dfrac{1+a^2}{a}\\
&=\dfrac{a(1+b^2)}{ba}-\dfrac{b(1+a^2)}{ab}\\
&=\dfrac{a+ab^2-b-ba^2}{ab}\\
&=\dfrac{a-b-ba(a-b)}{ab}\\
&=(a-b)\dfrac{1-ba}{ab}.
\end{align*}
\vspace*{-2em}
\BreakWithoutItem
Si $a$ et $b$ sont tous deux dans $]0~;1[$, $ba$ est plus petit que $1$ et donc $f(b)-f(a)$ est strictement négatif.  On en déduit que $f(b)<f(a)$, et que $f$ est strictement décroissante sur $]0~;1[$. D'un autre côté, si $a$ et $b$ sont tous deux supérieurs à $1$, on a $a-b<0$ et $1<ab$ et donc $f(b)-f(a)>0$. On en déduit
que $f$ est strictement croissante sur $]1~;+\infty[$.

Par un raisonnement analogue, on pourrait montrer que $f$ est décroissante sur $[-1~;0[$ et croissante sur $]-\infty~;-1]$.

On peut alors résumer ces constatations dans un tableau de variations :
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|lccrlcccr|}\hline \tabulartitle
$x$ & $-\infty$ &  & $-1$ &  & $0$   &       &  $1$ &        &  $+\infty$   \\ \hline
$f(x)$ & & $\nearrow$ &  & $\searrow$ &  \dvline &$\searrow$ &  $2$  & $\nearrow$ &    \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Représentation graphique : 
\begin{center}
\includegraphics{165_03-03}
\end{center}

\item Il suffit de tracer sur le graphique la droite horizontale qui passe par le point de coordonnées $(0~;~4)$ et regarder l'abscisse des points d'intersection de cette droite avec la courbe. On obtient, en lisant sur le graphique, deux solutions : $0,25$ et $3,75$.
\end{questions}
\end{solintro}