\thumb

\begin{vf}{Image et antécédent}{3}
Dans l'écriture $5=f(2)$ :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $f$ est un nombre &
\choix $f(2)$ est un nombre \\[1mm]
\choix $5$ est l'image de $2$ par $f$ &
\choix $2$ est l'image de $5$ par $f$
\end{tabularx}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & \textit{Faux}. $f$ est une application.\\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}. C'est l'image de $2$ par l'application $f$. \\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}.\\ [1mm]
\choix & \textit{Faux}. $2$ est un antécédent de $5$ par $f$.
\end{tabularx}
\end{corrige}

%%%

\begin{qcm}{Image et antécédent}{3}
$9$ est antécédent de $\sqrt{2}$ par $f$ s'écrit :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $f(9)=\sqrt{2}$ &
\choix $f(\sqrt{2})=9$ \\[1mm]
\choix $f$ : $\sqrt{2}\mapsto 9$
\end{tabularx}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & \textit{Vrai}. $\sqrt{2}$ est l'image de $9$ par $f$.\\[1mm]
\choix &\textit{Faux}. Cette écriture signifie que l'image de $\sqrt2$ par $f$ est 9, c'est-à-dire qu'un antécédent de 9 par $f$ est $\sqrt2$.\\[1mm]
\choix &\textit{Faux}. Cette écriture avec $\mapsto$ s'emploie au moment où on \textit{définit} la fonction $f$. Elle signifie que $9$ est l'image de $\sqrt{2}$.
\end{tabularx}
\end{corrige}

%%% 

\begin{vf}{Ensembles de définition}{3}
$D$ désignant l'ensemble de définition de $f$, quelles sont 
les propositions qui conviennent ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $f$ : $x\mapsto 5x+2$ & $D=\R$ \\
\choix $f$ : $x\mapsto \dfrac{1}{x-2}$ & $D=\R-\{-2\}$\\
\choix $f$ : $x\mapsto (1+x^2)^2$ & $D=\R_+$\\
\choix $f$ : $x\mapsto \dfrac{x-5}{x+2}$ & $D=\R-\{-2~;5\}$
\end{tabularx}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
 \choix & \textit{Vrai}. Par exemple, une fonction affine est définie sur $\R$ tout entier. \\[1mm]
\choix & \textit{Faux}. C'est la valeur $2$, solution de $x-2=0$, qu'il faut ôter de l'ensemble de définition : $D=\R-\{2\}$.\\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}. On peut calculer $f(x)$ pour n'importe quel $x$ de $\R_+$.\linebreak $D=\R$ convient également.\\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}. \`A cause du dénominateur $x+2$, il faut enlever la valeur $-2$ de l'ensemble de définition. Mais $5$ ne pose pas de problème~: $f(5)=0$. Un ensemble de définition est $\R-\{-2\}$. Mais $\R-\{-2;5\}$ convient aussi.
\end{tabularx}
\end{corrige}

%%% 

\begin{vf}{Représentation graphique}{5}
\`A la lecture du graphique, la fonction définie sur $[-3;3]$ et représentée ci-dessous :

\enlargethispage*{3em}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{166_03-14}

(courbe représentative\\
de la fonction $f$)
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\choix est décroissante\\[1mm]
\choix a pour maximum $4$ \\[1mm]
\choix a pour maximum $0$ 
\end{minipage}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
 \choix & \textit{Faux}. Elle est croissante sur $\R_-$, décroissante sur $\R_+$. \\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}. Ce maximum est atteint en $0$. \\[1mm]
\choix & \textit{Faux}. Le maximum est atteint en $0$, mais il vaut $4$.
\end{tabularx}
\end{corrige}

%%% 

\begin{vf}{Représentation graphique}{5}
\`A la lecture du graphique, la fonction représentée :
\begin{center}
\includegraphics{167_03-15}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix est croissante &
\choix est affine \\[1mm]
\choix est linéaire & 
\choix est $x\mapsto x+4$
\end{tabularx}
\end{vf}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{2em}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & \textit{Vrai}. \og La droite monte quand on va de gauche à droite \fg.\\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}. La fonction est représentée par une droite et ne passe pas par l'origine du repère. \\[1mm]
\choix & \textit{Faux}. La droite ne passe pas par l'origine du repère.\\[1mm]
\choix & \textit{Faux}. Si tel était le cas, la droite passerait par $y=4$ sur l'axe des ordonnées, ce qui n'est pas le cas.
\end{tabularx}
\newpage
\end{corrige}

%%% 

\begin{vf}{Calculs algébriques}{5}
On considère $f$ : $x\mapsto x^2-x$ définie sur $[0~;4]$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X@{}}
\choix $f(0)=f(1)$. \\[1mm]
\choix Le point $M(2~;2)$ n'appartient pas à la courbe représentative de $f$.\\[1mm]
\choix Le point $N(3~;9)$ est au-dessus de la courbe représentative de $f$.\\[1mm]
\choix Le point $P(5~;20)$ appartient à la courbe représentative de $f$.
\end{tabularx}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & \textit{Vrai}. $f(0)=f(1)=0$ \\[1mm]
\choix & \textit{Faux}. $f(2)=4-2=2$, donc le point $M(2~;2)$ appartient bien à la courbe.\\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}. $f(3)=6$, donc $9>f(3)$, et $N(3~;9)$ est au-dessus de la courbe.\\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}. En effet, $f(5)=25-5=20$.
\end{tabularx}
\end{corrige}

\sectionnn{Images et antécédents}

%%% 

\begin{exo}{Fonction x$^{\text{2}}$ - 4}{Lycée Fustel de Coulanges, Massy}{1}{10}
Soit $f$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par :
$f(x)=x^2-4$.
\begin{questions}
\item Calculer l'image par la fonction $f$ des réels $0$, $1$, $-2$.
\item Déterminer, lorsque c'est possible, le ou les antécédent(s) par $f$ des réels $5$, $-7$, $-4$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
	\item Il faut remplacer $x$ par sa valeur dans l'expression de $f$.
	\begin{itemize}
	\item 	$f(0)=0^2-4=-4$ ~;
	\item $f(1)=1^2-4=1-4=-3$ ~;
	\item 	$f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0$.
	\end{itemize}
	
	\item Nous devons, connaissant la valeur de $f(x)$, retrouver celle(s) de $x$ :
	\begin{align*}
	f(x)=5 \iff x^2-4=5 \iff x^2=4+5 & \iff x^2=9\\
	& \iff x\in \{-3~;3\}.
	\end{align*}
	Les antécédents de $5$ par $f$ sont donc $-3$ et $3$.
	$$f(x)=-7 \iff x^2-4=-7 \iff x^2=-3 $$
	Cette dernière égalité est impossible, puisqu'un carré est toujours
	positif, $-7$ n'a donc pas d'antécédent par $f$.
	$$f(x)=-4 \iff x^2-4=-4 \iff x^2=0 \iff x=0$$
	L'antécédent de $-4$ par $f$ est donc $0$ (et c'est le seul !).
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 

\newpage

\begin{exo}{Fonction quotient}{Lycée Jean Puy, Roanne}{1}{10}
Soit la fonction $f$ définie par :
\[f(x)=\frac{x}{x-3}.\]
\begin{questions}
\item Déterminer le domaine de définition de $f$.
\item Trouver, si elles existent, les images de $-1$ et $2$ par $f$.
\item Déterminer les éventuels antécédents de $-3$ et $1$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x)$ est définie à condition que $x-3$ soit différent de zéro. L'ensemble de définition est donc :
\[D_f= \R-\{3\}.\]
\item $f(-1)=\dfrac{-1}{-1-3}=\dfrac{1}{4}$ et $f(2)=\dfrac{2}{2-3}=-2$. 
\item On résout l'équation $f(x)=-3$~:\enlargethispage*{5em}
\begin{align*}
-3=\dfrac{x}{x-3}
& \iff -3(x-3)=x,\ x\neq3\\
& \iff -3x+9 =x\\
& \iff 9=4x \\
& \iff x=\dfrac{9}{4}.
\end{align*}
$\dfrac{9}{4}$ est donc l'unique antécédent de $-3$.

Calculons les antécédents de $1$ :
\begin{align*}
1=f(x)
& \iff 1=\frac{x}{x-3}\\
& \iff x-3=x\\
& \iff -3=0.
\end{align*}
Cette dernière égalité est toujours fausse. $1$ n'a donc pas d'antécédent.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{Encore une fraction}{Lycée Saint-Louis, Saint-Nazaire}{2}{20}
Soit $f$ la fonction donnée par :
\[f(x)=\frac{6}{9x^2-16}.\]
\begin{questions}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
\item Calculer l'image de $-1$.
\item Déterminer les antécédents éventuels de $\dfrac{1}{8}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x)$ existe si $9x^2-16\neq0$. On résout :
\[9x^2-16=0\iff (3x-4)(3x+4)=0\iff x=\frac{4}{3}\text{ ou  }x=\frac{-4}{3}\]
On conclut que l'ensemble de définition de $f$ est :
\[\R-\left\{\frac{-4}{3}~;\frac{4}{3}\right\}.\]

\item On calcule :
$f(-1)=\dfrac{6}{9-16}=\dfrac{-6}{7}$.

\item Pour calculer les antécédents de $\dfrac{1}{8}$ par $f$, on résout :
\begin{align*}
\frac{6}{9x^2-16}&=\frac{1}{8}\\
\iff 48 &=9x^2-16\\
\iff 64& =9x^2\\
\iff x^2& =\frac{64}{9}\\
\iff\ \; x &=\frac{8}{3}\text{ ou }x=-\frac{8}{3}
\end{align*}
Les antécédents de $\dfrac{1}{8}$ sont donc $\dfrac{8}{3}$ et $-\dfrac{8}{3}$.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Variations}

%%% 

\begin{exo}{Imaginer une courbe}{Lycée Albert Chatelet, Douai}{1}{10}
Dans un repère $(O;I,J)$, en prenant comme unité le cm, dessiner une courbe possible représentative
d'une fonction répondant aux indications suivantes :
\begin{itemize}
\item $f$ est définie sur $[-3 ~; 4[$ ~;
\item $f(-3)=1$ ~;
\item $f$ admet un maximum qui est 3, atteint en $-1$ ~;
\item $f$ est croissante sur $[-3 ~;-1]$ et décroissante sur $[-1~;4[$ ~;
\item les réels $-2$ et $1$ ont la même image qui est $2{,}5$ ~;
\item $f(3)=0$. 
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{corrige}
Il y a plusieurs réponses possibles, mais votre dessin doit ressembler à la figure page suivante; n'oubliez pas notamment :
\begin{itemize}
\item le gros point en $(-3~;1)$ qui signale que l'ensemble de définition s'arrête en $-3$ et contient $-3$ ~;
\item le crochet à l'abscisse $4$ qui signale que $4$ est une
extrémité (exclue) de l'ensemble de définition.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics{178_03-04}
\end{center}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{\`A partir de graphiques}{Lycée Molière, Paris}{1}{10}
Examiner les courbes des fonctions $f$, $g$ et $h$ suivantes :

\begin{center}
\includegraphics{178_03-04}\\
La fonction $f$
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.73]{169_03-05}\\
La fonction $g$
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.73]{169_03-06}\\
La fonction $h$
\end{center}

\begin{questions}
\item Proposer pour chaque fonction un ensemble de définition.
\item Donner le tableau de variations des fonctions $f$, $g$ et $h$
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item	 
\begin{questions}
\item L'ensemble de définition est $[-3~;4[$. Le gros point
à l'abscisse $-3$ et le crochet à l'abscisse $+4$ signalent que
$-3$ est inclus alors que $+4$ est exclu de l'ensemble. 

\item L'ensemble de définition est $[-3~;4[$, tout comme pour la première fonction.

\item L'ensemble de définition peut être ici : $[-4~;3]$, ne sachant pas l'allure de la courbe pour $x<-4$.
	\end{questions}
\item 
\begin{questions}
\item \raisebox{-0.5\totalheight+0.5ex}{
\begin{tabular}{|C|lcccr|}
\tabulartitle\hline
$x$    & $-3$ &              & $-1$ &            & $4$  \\\hline
       &       &              &   3    &            &     \\
$f(x)$ &     & $ \nearrow $ &      & $\searrow$ &      \\
       &  1     &              &       &            &       \\\hline
\end{tabular}}

\item  \raisebox{-0.5\totalheight+0.5ex}{
\begin{tabular}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-3$ & & $-1$ & & $+2$ & & $+4$ \\\hline
       &  &   &  $+3$ &  &   &   & $2$\\
$g(x)$ &  & $\nearrow$ &    & $\searrow$&  & $\nearrow$ & \\
       & $-1$ &   &    &  & $-3$ &   & \\\hline
\end{tabular}}

\item \raisebox{-0.5\totalheight+0.5ex}{
\begin{tabular}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
$x$ & 
$-4$ & & $-2$& & $0$ & & $+3$\\\hline
 & & &  &   & $3$ &   &   \\
$h(x)$ & & $\rightarrow$ &   & $\nearrow $ &  &$\searrow$  &  \\
 & &   & $+1$ & &   &   & $-2$ \\\hline
\end{tabular}}
	\end{questions}
\end{questions}  
\end{corrige}


%%% 2024

\begin{exo}{Lectures graphiques}{Lycée Louis Vincent, Metz}{1}{10}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-3;7]$, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
\begin{center}
\includegraphics{170_fct_LouisVincent}
\end{center}
\begin{questions}
\item Déterminer l'image de $-3$ par $f$.
\item Déterminer les éventuels antécédents de 4 par $f$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Quel est le maximum de $f$ sur $[-3 ; 7]$ ? En quelle valeur est-il atteint ?
\item Quel est le minimum de $f$ sur $[-3 ; 7]$ ? En quelle valeur est-il atteint ?
\item Dresser le tableau de signes de $f$.
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 1$ (en justifiant votre réponse).
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) > 1$(en justifiant votre réponse).
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'image de $-3$ par $f$ est $f(-3)=1$. En effet, le point de la courbe ayant pour abscisse $-3$ a pour ordonnée 1.
\item La droite horizontale passant par $y=4$ est au-dessus de $\mathcal{C}_f$; par conséquent, $4$ n'a pas d'antécédent par $f$ (il n'existe aucun point de la courbe dont l'ordonnée est égale à 4).
\newpage
\item On a le tableau suivant:
\[
\begin{array}{|C|*9{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -3 &  & -2 & & 1 &  & 4,5 &  & 7\\
\hline
  & 1  &          &  &          & 3 &          &  &         & 2 \\
f &    & \searrow &  & \nearrow &  & \searrow &  & \nearrow & \\
  &    &          & -1&         &  &         & -2,5 &   & \\\hline
\end{array}
\]
\item Le maximum de $f$ sur $[-3 ; 7]$ est 3, atteint pour $x=1$.
\item Le minimum de $f$ sur $[-3 ; 7]$ est $-2,5$, atteint pour $x=4,5$.
\item D'après le graphique, le tableau de signes de $f$ est le suivant:
\[
\begin{array}{|C|*{11}{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -3 &  & -2,5 &  & -1,5 &  & 3 & & 5,5 &  & 7\\
\hline
f(x) &  & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
\end{array}
\]
\item La courbe représentative de $f$ admet 4 points d'ordonnée égale à 1. Donc l'ensemble solution de l'équation $f(x) = 1$ est constitué de leur abscisse:
$S = \{ -3;-1;2;6 \}$.

\item La courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la droite d'équation $y=1$ entre $x=-1$ et $x=2$, et entre $x=6$ et $x=7$. Ainsi, l'ensemble solution de l'inéquation $f(x) > 1$ est: $S = ]-1;2[\cup]6;7]$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2024

\begin{exo}{Généralités}{Lycée Louis Vincent, Metz}{1}{10}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{3x+2}{x-4}$\\
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal
\begin{questions}
\item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ? Justifier votre réponse.
\item Calculer l'image de $2$ par $f$ puis l'image de $-1$ par $f$.
\item Les points suivants sont-ils situés sur $\mathcal{C}$ . Justifier votre réponse.
 \[
 M \left(0;\dfrac{1}{2} \right)\qquad ; \qquad N \left(15;4,27 \right)\qquad;\qquad P \left(\dfrac{1}{3};-\dfrac{9}{11} \right).
 \]
 \end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f$ est un quotient, dont le dénominateur s'annule uniquement pour\linebreak $x=4$.

Ainsi, le domaine de définition de $f$ est $\R\setminus\{4\}$.

\Par

\item 
\begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
\begin{itemize}
\item $f(2)=\frac{3\times2+2}{2-4} = \frac{8}{-2}=-4$.\\[6pt]
L'image de 2 par $f$ est $-4$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\begin{itemize}
\item $f(-1) = \frac{-3+2}{-1-4}=\frac{1}{5}$.

L'image de $-1$ par $f$ est $\frac{1}{5}$.
\end{itemize}
\end{minipage} 

\item \enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{itemize}
\item $f(0) = \frac{3\times0+2}{0-4} = \frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}\neq y_M$. Donc $M \not\in\mathcal{C}_f$.

\item $f(15) = \frac{3\times15+2}{15-4} = \frac{47}{11}\approx 4,2727\ldots\neq y_N$. Donc $N \not\in\mathcal{C}_f$.

\begin{attention}
Ce n'est pas parce que $\frac{47}{11}$ est presque égal à 4,27 que c'est \textit{exactement} égal... Le point sera \textit{proche} de $\mathcal{C}_f$, mais ne sera pas \textit{sur} la courbe.
\end{attention}

\item $f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{3\times\frac{1}{3}+2}{\frac{1}{3}-4} = \frac{3}{-\frac{11}{3}} = -\frac{9}{11} = y_P$. Donc $P \in\mathcal{C}_f$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2024

\begin{exo}{Lecture d'un tableau de variations}{Lycée Louis Vincent, Metz}{1}{10}
Le tableau de variations d'une fonction $f$ est donné ci-dessous.
\[
\begin{array}{|C|*9{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -5 &  & -2 &  & 0 &  & 3 &  & 5\\
\hline
  & -4 &          &    &          & 6 &          &   &          & 4\\
f &    & \searrow &    & \nearrow &   & \searrow &   & \nearrow &  \\
  &    &          & -5 &          &   &          & 0 &          &  \\\hline
\end{array}
\]
\begin{questions}
\item Déterminer le maximum et le minimum de $f$ ainsi que les valeurs pour lesquels ils sont atteints.
\item Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=4$. Justifier votre réponse.  
\item Compléter par $<$, $>$ ou ? si on ne peut pas savoir en justifiant votre réponse:
\begin{center}   
$f(1) \dots f(2)$ \hfill $f(-1) \dots f(-2)$ \hfill $f(-1) \dots f(4)$ \hfill $f(4) \dots f(-3)$
\end{center}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le maximum de $f$ est 6, et il est atteint pour $x=0$.

Le minimum de $f$ est $-5$, et il est atteint pour $x=-2$.

\item 
\begin{itemize}
\item Sur $[-5;-2[$, $f(x)$ passe de $-4$ à $-5$, donc ne passe pas par 4;
\item Sur $]-2;0[$, $f(x)$ passe de $-5$ à $6$, donc passe par 4;
\item Sur $]0;3[$, $f(x)$ passe de $6$ à $0$, donc  passe  par 4;
\item Sur $]3;5]$, $f(x)$ passe de $0$ à $4$, donc passe par 4 (à la fin);
\end{itemize}
Au final, $f(x)$ passe trois fois par 4; ainsi, l'équation $f(x)=4$ admet trois solutions.	
\item 
\begin{itemize}
\item $1 < 2$ et $f$ est strictement décroissante sur $[0;3]$.

Donc $f(1)>f(2)$.

\item $-1 > -2$ et $f$ est strictement croissante sur $[-2;0]$.

Donc $f(-1)>f(-2)$.

\item On ne peut pas comparer $f(-1)$ et $f(4)$ car sur $[-1;4]$, $f$ n'est pas strictement monotone et les extrema locaux (6 et 0) ne permettent pas de conclure.

\item Bien que $f$ ne soit pas strictement monotone sur $[-3;4]$, on peut cette fois-ci comparer $f(4)$ et $f(-3)$ à l'aide des extrema locaux. En effet, $f(-3) \in [-5;-4]$, donc $f(-3)<0$, et $f(4)\in[0;4]$, donc $f(4)\geqslant0$. Ainsi, $f(4) > f(-3)$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Résolution graphique}{Lycée Montaigne, Bordeaux}{2}{15}
La courbe $(\mathcal{C})$ est la courbe représentative dans le repère $(O;I,J)$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=x^2-1$.\begin{center}
\includegraphics{171_03-11}
\end{center}
\enlargethispage*{2em}
\begin{questions}
\item Indiquer le signe de $f(x)$ selon les valeurs de~$x$:
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item graphiquement;
\item par le calcul.
\end{multicols}
\end{questions}
\item Quelle est la fonction affine $g$ représentée par la droite $\mathcal{D}$ ?
\item Résoudre graphiquement, puis par le calcul, l'inéquation $f(x)\leqslant g(x)$. 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item On lit sur le graphique les abscisses des points qui sont au-dessus ($f(x)\geq 0)$ ou au-dessous
($f(x)\leq 0$) de l'axe des abscisses. On résume dans un tableau :

\[\begin{array}{|C|ccccccc|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & &-1 & & +1 & & +\infty \\\hline
f(x) & & + & 0 & - & 0 & + &  \\\hline
\end{array}\]

\item Dans ce type d'inéquation, deux méthodes sont possibles.
\begin{itemize}
\item On peut factoriser $f(x)=(x-1)(x+1)$ puis utiliser un tableau de signes :

\[\begin{array}{|C|ccccccc|}\hline\tabulartitle
x & -\infty & &-1 & & +1 & & +\infty \\\hline
x-1 & & - & \vline& - & 0 & + & \\
x+1 & & -& 0 & + & \vline & + & \\\hline
f(x) & & + & 0 & - & 0 & + &  \\\hline
\end{array}\]

\newpage

\item On peut aussi remarquer que le signe de $f(x)$ dépend de la position de $x^2$ par rapport à 
$1$, ce qui permet d'utiliser les variations de la fonction $x\mapsto x^2$ :

\[\begin{array}{|C|ccccccccc|}\hline\tabulartitle
x & -\infty & &-1 & &0 & & +1 & & +\infty \\\hline
 & & \searrow& & & & &  &\nearrow &\\
x^2 & &  &1 & & & &1  & &\\
    & &  &  &\searrow  &0  &\nearrow &  & &\\\hline
\end{array}\]

\Par

On lit dans le tableau : $x^2\leq 1$ pour $x\in[-1~;1]$ et $x^2\geq 1$ pour
$x\in ]-\infty~;-1]$ ou $x\in [1~;+\infty[$.
On retrouve ainsi les résultats précédents.
\end{itemize}
\end{questions}
\item La fonction $g$ est sous la forme $x\mapsto ax+b$. On lit sur le graphique :
$g(0)=-1$ et $g(1)=0$, d'où les équations :

\[\begin{cases} g(0)=b=-1\\g(1)=a+b=0\end{cases}
\iff \begin{cases}a=1\\b=-1\end{cases}\]

\Par

$g$ est donc la fonction affine définie sur $\R$ par :
\[g(x)=x-1.\]

\item Graphiquement, on constate que la parabole $(\mathcal{C})$ est au-dessous de la droite $\mathcal{D}$
pour les points dont les abscisses sont comprises entre $0$ et $1$. L'inégalité est large,
il faut donc inclure les valeurs $0$ et $1$, d'où :
\[S=[0~;1].\]
Par le calcul : 
\begin{align*}
f(x)\leq g(x)
&\iff x^2-1\leq x-1\\
&\iff (x-1)(x+1)\leq (x-1)\\
&\iff (x-1)[(x+1)-1]\leq 0\\
&\iff x(x-1)\leq 0
\end{align*}
On utilise un tableau de signes :

\[\begin{array}{|C|ccccccc|}\hline\tabulartitle
x & -\infty & &0 & & +1 & & +\infty \\\hline
x & & -& 0 & + &\vline & + & \\
(x-1) & & - & \vline& - & 0 & + & \\\hline
x(x-1)& & + & 0 & - & 0 & + & \\\hline
\end{array}\]

\Par

On constate que $x(x-1)\leq 0$ pour $x\in[0~;1]$, ce qui confirme le résultat lu sur le graphique.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Variations}{Lycée Talma, Brunoy}{2}{15}
\'Etudier le sens de variation des fonctions suivantes, sur les intervalles $I$\linebreak donnés :
\begin{questions}
	\item $f(x)=\dfrac{-x+3}{x-5}$, $I=\left]-\infty~;5\right[$.
	\item $g(x)=(x-8)^2$, $I=\left[8~;+\infty\right[$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
	\item 
	Prenons dans $I$ deux réels $x$ et $x'$ tels que $x'>x$ et comparons
	$f(x')$ et $f(x)$. Pour rendre la comparaison plus commode, exprimons:
	\begin{align*}
	f(x')-f(x)&=\dfrac{-x'+3}{x'-5}-\dfrac{-x+3}{x-5}\\[6pt]
	&=\dfrac{(-x'+3)(x-5)-(-x+3)(x'-5)}{(x'-5)(x-5)}\\[6pt]
	&=\dfrac{-x'x+3x+5x'-15-(-xx'+5x+3x'-15)}{(x'-5)(x-5)}\\[6pt]
	&=\dfrac{-x'x+3x+5x'-15+xx'-5x-3x'+15}{(x'-5)(x-5)}\\[6pt]
	&=\dfrac{-2x+2x'}{(x'-5)(x-5)}\\[6pt]
	&=(x'-x)\dfrac{2}{(x'-5)(x-5)}.
	\end{align*}
	
\Par

Comme $x'-x>0$, $x'-5<0$ et $x-5<0$, on obtient :
\[
f(x')-f(x)>0\text{, donc }f(x')>f(x).
\]

On en déduit que $f$ est strictement croissante sur $I$.
	
\item Prenons encore dans $I$ deux réels, $x'>x$.

Cette fois, plutôt que calculer ${f(x')-f(x)}$, écrivons directement:
\begin{align*}
x' &> x \\
x'-8 &> x-8
\end{align*}

et, ces deux réels étant positifs (car $x\geq 8$), on peut élever les deux membres au carré :
\[
(x'-8)^2 >(x-8)^2
\]
ce qui donne : $f(x')>f(x)$.
	On en déduit que $f$ est strictement croissante sur $I$.
\end{questions} 

\begin{Remarque}ce type d'exercice n'est plus vraiment dans l'esprit du programme. Cependant, connaître cette méthode pour déterminer les variations d'une fonction peut être intéressant pour celles et ceux qui ont envie d'aller au-delà du programme.
\end{Remarque}
\newpage
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{Trouver les variations}{Lycée Thiers, Marseille}{2}{20}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{trouver les variations}{https://media.prepamath.fr/IL2Mch05exo17}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.3){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch05exo17}}}
\vspace*{-10pt}

Soit $f$ la fonction définie par :
\[\begin{array}{crcc}
f:&]0~;+\infty[&\rightarrow&\R\\
  &     x     &\mapsto   &x+\dfrac{1}{x}\end{array}\]
Soit $x_1$ et $x_2$ tels que $0<x_1<x_2$.
\begin{questions}
	\item Montrer que $f(x_1)-f(x_2)$ est du signe de $(1-x_1x_2)$.
	
	\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0~;1]$ et sur $[1~;+\infty[$.
	
	\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;+\infty[$.
	
	\item En déduire l'existence d'un extremum.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch05exo17}}}
\vspace*{-10pt}
 \begin{questions}
	\item Obéissons poliment aux injonctions de l'énoncé, et munissons-nous de
	$x_1$ et $x_2$, tels que $0<x_1<x_2$. On calcule :
	\begin{align*}
	f(x_1)-f(x_2)&=x_1+\frac{1}{x_1} -x_2 -\frac{1}{x_2}\\
	&=\frac{1}{x_1} -x_2+x_1-\frac{1}{x_2}\\
	&=\frac{1}{x_1}-\frac{x_2x_1}{x_1} + \frac{x_1x_2}{x_2}-\frac{1}{x_2}\\
	&=\frac{1}{x_1}(1-x_2x_1)+\frac{1}{x_2}(x_1x_2-1)\\
	&=(1-x_2x_1)\left(\frac{1}{x_1}
	-\frac{1}{x_2}\right)
	\end{align*}
	Ceci est du signe de $(1-x_2x_1)$, puisque, $x_1$ étant inférieur à $x_2$,
	$\dfrac{1}{x_1}$ est supérieur à $\dfrac{1}{x_2}$, donc : 
$\displaystyle \frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}$ est positif.
\enlargethispage*{4em}
	\item Si l'on se donne deux points $x_1$ et $x_2$ inférieurs à $1$, et tels que nous avons
	$0<x_1<x_2$, alors $(1-x_2x_1)$ est positif (si ce point ne vous paraît pas
	évident, cherchez-en une preuve \textit{maintenant}, une correction est donnée à la
	fin de ce paragraphe).
	Donc $f(x_1)-f(x_2)$ est positif, et $f$ est {\em décroissante} sur
	$]0~;1]$ ($x_1$ est le plus petit et son image est la plus grande).\\
	En revanche, si les deux points $x_1$ et $x_2$ sont supérieurs à $1$,
	alors\linebreak $(1-x_2x_1)$ est négatif. Donc $f(x_1)-f(x_2)$ est négatif, et
	$f$ est {\em croissante} sur $[1~;+\infty[$ ($x_1$ est le plus
	petit et son image est aussi la plus petite).
	
	Au sujet de $1-x_2x_1>0$ : vous savez que $0<x_1<1$ et $0<x_2<1$, il suffit de multiplier membre à membre ces encadrements (ce que l'on a le droit de faire car ils concernent des nombres tous positifs), et il vient : $0<x_1x_2<1$, d'où : $1-x_1x_2>0$.
	
	\item \`A l'aide de la question précédente, on dresse le tableau de	variations de~$f$:
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|C|lcccr|}\hline\tabulartitle
	$x$&$0$& &$1$& & $+\infty$ \\ \hline 
	$f(x)$& & $\searrow$ & $2$ & $\nearrow$ & \\ \hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	
	\item D'après le tableau de variations, 
	$f$ admet pour minimum $2$ en $x=1$. 
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Un premier bilan}{Lycée Alphonse Daudet, Nîmes}{2}{35}
La courbe $\mathcal{C}$ est représentative d'une fonction $f$ dans le repère orthogonal $(O;I,J))$.
\begin{center}
\includegraphics{172_03-12}
\end{center}

\begin{questions}
\item Préciser le domaine de définition $D_f$ de $f$.
\item Sachant qu'elles sont entières, donner les images par $f$ des réels : $-\dfrac{1}{2}$ ~; $1$ ~; $2$ ~;	$2,\!5$ et $3$.
\item Quel est le nombre de solutions de :
\vspace*{-0.5em}
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item l'équation $E_1$ : $f(x)=0$ ?
\item l'équation $E_2$ : $f(x)=2$ ?
\end{multicols}
\end{itemize}
\vspace*{-0.5em}
\enlargethispage*{3em}
On les représentera sur la figure.
\item $f$ est-elle bornée sur $D_f$ ?
\item Sachant que la courbe de $f$ sur $[-0,5~;2]$ est l'union	de deux segments, exprimer $f(x)$ pour tout $x$ de $[-0,5~;2]$.
\item Résoudre alors l'équation $E_1$, puis l'équation $E_2$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
	\item $f$ est définie sur $[-1{,}5\,~;\,3]$.
	
	\item On lit sur le graphique : $f(-0{,}5)=-2$, $f(1)=3$,
	$f(2)=-1$, $f(2{,}5)=0$ et $f(3)=2$. 
	
	\item 	On a indiqué les \og{}points-solutions\fg{} sur la figure ci-dessous. Dans les deux cas, il y a trois solutions.
	
	\Par
	
\begin{center}
\includegraphics{184_03-13}
\end{center}
	
	\Par
	
	\item $f$ est bornée sur son ensemble de définition, par $-2$ et $3$.
	
	\item D'après l'énoncé, la courbe de $f$ est un segment de droite
	sur $[-0,5~;1]$. Sur cet intervalle, la fonction s'écrit donc :
	\[f(x)=ax+b\]\enlargethispage*{3em}
	où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles. On peut donc écrire :
	\[f(-0,5)=-0,5a+b \text{ et } f(1)=a+b\]
	En tenant compte de la question 2), il n'y a plus qu'à résoudre le 	système :
\begin{align*}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{cases}-2=-0{,}5a+b\\3=a+b\end{cases}
&\iff \begin{cases}3=a+b\\ 5=1{,}5a\end{cases}\\
&\iff \begin{cases}b=3-a\\ a=\dfrac{10}{3}\end{cases}\\
&\iff \begin{cases}b=-\dfrac{1}{3}\\[10pt]a=\dfrac{10}{3}\end{cases}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{align*}
	Ce qui nous donne sur l'intervalle $[-0{,}5~;1]$ :
	\[f(x)=\dfrac{10}{3}x-\dfrac{1}{3}.\]
	
	On utilise la même méthode sur $[1~;2]$.
	
	\Par
	
	$f(1)=a+b$ et $f(2)=2a+b$, on résout le système :
	\begin{align*}
	\begin{cases}
	3=a+b\\
	-1=2a+b
	\end{cases}
	&
	\iff
	\begin{cases}b=3-a\\-4=a\end{cases} \\
	& \iff \begin{cases}b=7\\ a=-4\end{cases}
	\end{align*}
	$f$, sur l'intervalle $[1~;2]$, a pour expression :
	\[f(x)=-4x+7.\]
	
	\item Il y a trois solutions à $E_1$. La première se trouve	dans l'intervalle $[-0,5~;1]$, il suffit de résoudre :
	\[\dfrac{10}{3}x-\dfrac{1}{3}=0\iff x=\dfrac{1}{10}.\]
	\Par
	
	Il y a une deuxième solution dans $[1~;2]$ :
	\[-4x+7=0\iff x=\dfrac{7}{4}.\]
	
	La troisième solution est parfaitement lisible, puisque	$f(2,5)=0$.
	
	L'ensemble des solutions de $E_1$ est donc :
	\[\left\{\dfrac{1}{10}~;\dfrac{7}{4}~;\dfrac{5}{2}\right\}.\]
	
	Ici encore, la première solution de $E_2$ se trouve dans $[-0,5~;1]$.
	On résout:
	\[\dfrac{10}{3}x-\dfrac{1}{3}=2\iff \dfrac{10}{3}x=\dfrac{7}{3}\iff x=\dfrac{7}{10}.\]
	
	Il y a une autre solution, dans l'intervalle $[1~;2]$ :
	
	\[-4x+7=2\iff -4x=-5 \iff x=\dfrac{5}{4}.\]
	
	\Par
	
	Enfin, nous savons déjà que $f(3)=2$. 
	
	L'ensemble des solutions de l'équation	est : $\left\{\dfrac{7}{10}~;\dfrac{5}{4}~;3\right\}.$
\end{questions}
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Généralités}{Lycée Saint-Louis-de-Gonzague, Paris}{3}{45}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout $x$ réel par :

\begin{align*}
f(x) & =(2x+1)^2-(-x+3)^2\\[2mm]
g(x) & =x^2-16-(2x+8)(-2x+1)
\end{align*}

\begin{questions}
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Déterminer les antécédents de $-8$ par $f$.
\item Résoudre dans $\R$ : $f(x)+g(x)=0$.
\item On considère la fonction $h$ : $x\mapsto g(x)-f(x)$ définie	sur $[-4~;2]$.

Montrer que $h(x)=2\big[(x+1)^2-9\big]$.
\end{questions}
\end{exo}

 
\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x)=4x^2+4x+1-x^2+6x-9=3x^2+10x-8$.
 	
\item 
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x)&=\big[(2x+1)+(-x+3)\big]\big[(2x+1)-(-x+3)\big]\\
 	&=(2x+1-x+3)(2x+1+x-3)\\
 	&=(x+4)(3x-2).
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
g(x)&=(x-4)(x+4)-2(x+4)(-2x+1)\\
 	&=(x+4)\big[(x-4)-2(-2x+1)\big]\\
 	&=(x+4)(x-4+4x-2)\\
 	&=(x+4)(5x-6).
\end{aligned}$
\end{itemize}

\item Il suffit de résoudre l'équation :
\[-8=3x^2+10x-8 \iff 0=3x^2+10x \iff x(3x+10)=0.\]
Les antécédents de $-8$ par $f$ sont donc : $0$ et $\dfrac{-10}{3}$.
 	
\item Utilisons les expressions factorisées de $f$ et  $g$ :
\begin{align*}
 	f(x)+g(x)=0 &\iff (x+4)(3x-2)+(x+4)(5x-6)=0\\
 	&\iff (x+4)(3x-2+5x-6)=0 \\
 	&\iff (x+4)(8x-8)=0\\
 	&\iff (x+4)(x-1)=0.
\end{align*}
D'où l'ensemble des solutions : $S=\left\{-4~;1\right\}$.
 	
\item Utilisons encore les expressions factorisées de $f$ et $g$ :
\begin{align*}
 		g(x)-f(x)&=(x+4)(5x-6)-(x+4)(3x-2)\\
 		&=(x+4)(5x-6-3x+2)\\
 		&=(x+4)(2x-4)\\
 		&=2(x+4)(x-2)\\
 		&=2(x+1+3)(x+1-3)\\
 		&=2\big[(x+1)^2-9\big].
 		\end{align*}
 \end{questions}
 \end{corrige}



%%%

%\begin{exo}{Avec un algorithme}{Lycée Charlemagne, Paris}{3}{30}
%$ABC$ est un triangle équilatéral de côté 2. Un point $M$ parcourt (une seule fois) le triangle en partant de $A$, puis en passant par $B$ et $C$ avant de revenir au point $A$. On note $x$ la distance parcourue par le point $M$ sur le triangle et $f(x)=AM$ la distance de $A$ à $M$. Par exemple, $f(4)=2$ car si $x=4$, alors $M$ est en $C$ et dans ce cas
%$AM=AC=2$. On notera $H$ le milieu de $[BC]$.
%\begin{questions}
%\item 
%\begin{questions}
%\item  Quel est le domaine de définition de $f$~?
%\item  Calculer $f(0)$, $f(1,5)$, $f(3)$, $f(5)$. 
%\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
%\end{questions}
%\item 
%\begin{questions}
%\item À l'aide du théorème de Pythagore, expliciter $f(x)$ en donnant une expression différente selon la 
%position de $M$ sur le triangle (il y a quatre cas, qu'on peut regrouper en trois cas).
%\item {\'E}crire une fonction Python qui prend $x$ en 
%argument et et renvoie $f(x)$. (On utilisera la fonction 
%racine carrée \texttt{sqrt}.)
%\end{questions}
%\item Tracer la courbe sur votre calculatrice. 
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item
%\begin{questions}
%\item Le périmètre du triangle équilatéral est $3\times 2=6$, donc la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;6]$. 
%
%\item Pour $x=0$, $M=A$ donc $f(0)=0$.
%
%Pour $x=1,5$, $M$ est sur le segment $[AB]$, donc $AM=x=1,5$.
%
%Pour $x=3$, $M$ a parcouru l'intégralité du segment $[AB]$, puis la moitié du segment $[BC]$, donc $M=H$. Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$, donc 
%d'après le théorème de Pythagore, 
%\[ AH^2+BH^2=AB^2,\] 
%c'est-à-dire:
%\[ AH^2=AB^2-BH^2=2^2-1^2=3,\] 
%et finalement :
%\[ f(3)=AH=\sqrt{3}.\]
%
%Enfin, si $x=5$, alors $M$ est le milieu du segment $[CA]$, donc $AM=1$, d'où $f(5)=1$. 
%
%\item Si $0\leq x\leq 2$, $M$ parcourt le segment $[AB]$ de $A$ à $B$, donc la distance $AM$ est croissante.
%
%Si $2\leq x\leq 4$, alors $M$ se trouve sur le segment $[BC]$ et $[AM]$ est l'hypoténuse du triangle $AMH$ rectangle en $H$.  Comme $AH$ est fixe, $AM$ décroît lorsque $M$ se rapproche de $H$ et croît de
%nouveau lorsque $M$ s'en éloigne. Ainsi, $f$ est décroissante sur $[2~;3]$ puis croissante sur $[3~;4]$. (On pourrait expliciter les calculs, mais ce n'est
%pas nécessaire pour l'instant, on peut attendre la question 2.)
%
%Enfin, si $4\leqslant x\leqslant 6$, $M$ se rapproche de $A$ sur le segment $[CA]$, donc $f$ est décroissante sur $[4~;6]$.
%
%On calcule facilement les valeurs qui nous manquent~: $f(2)=2$, $f(4)=2$, $f(6)=0$, et on obtient le tableau de variations~:
%
%\[\begin{array}{|C|lcccccccr|}
%	\hline\tabulartitle
%x 	& 0 	&  	&2 		&   	& 3  		&  	& 4 		&   		& 6 	\\ \hline
% 	&  	&  	& 	2		&  	& \vline &  	&2 	& &  \\
%f(x)& 	& \nearrow &  \vline & \searrow  &\vline  & \nearrow   &\vline & \searrow  & \\
%	 & 0 	&         & \vline &  & \sqrt{3} &  &\vline  & & 0 \\\hline
%	\end{array}\]
%\end{questions}
%\item 
%\begin{questions}
%\item Si $0\leq x\leq 2$, on a clairement $f(x)=x$.
%
%Si $2\leq x\leq 3$, alors $M$ est sur le segment $[HB]$. Le triangle $AHM$ est rectangle en $H$ et d'après le théorème de Pythagore, 
%\[AH^2+HM^2=AM^2.\]
%Or $3=x+MH$ , donc $HM=3-x$ et comme on a calculé
%$AH=\sqrt{3}$, on obtient donc~:
%\[f(x)=\sqrt{3+(3-x)^2}=\sqrt{x^2-6x+12}.\]
%Si $3\leq x \leq 4$, alors le même raisonnement s'applique, et   ici \mbox{$HM=x-3$} (car $M$ a dépassé $H$) et on obtient~:
%\[f(x)=\sqrt{3+(x-3)^2}=\sqrt{x^2-6x+12}.\]
%On peut donc regrouper ces deux derniers cas en une seule formule pour $2\leq x\leq 4$.\\
%Enfin, si $x\geq 4$, $M$ est sur le segment $[CA]$ et le périmètre du triangle est $6=x+MA$, donc $f(x)=6-x$.
%
%\item L'algorithme teste si la variable x est inférieure ou égale à 2, dans le cas contraire, si elle est inférieure ou égale à 4. 
%Dans chaque cas, on stocke la valeur à calculer à partir de x dans
%une variable y, puis la fonction renvoie y. 
%
%\enlargethispage*{2em}
%
%\begin{listing}{En Python}{06-18.py}\end{listing}
%
%\newpage
%
%Nous avons utilisé une structure \texttt{if}... \texttt{elif}...
%\texttt{else}. 
%
%Le mot-clé \texttt{elif} est un raccourci de~: 
%
%\begin{center} 
%\begin{minipage}{30mm}
%\ttfamily
%else : \\
%\hspace*{2em} if .... : 
%\end{minipage}
%\end{center}
%
%qui demanderait un retrait supplémentaire. 
%
%L'instruction pour charger la fonction \texttt{sqrt} est la suivante~: 
%
%\begin{center}
%\texttt{from numpy import sqrt}
%\end{center}
%
%\begin{Remarque} 
%l'algorithme ne prend pas en compte l'utilisateur facétieux qui entrerait un nombre en dehors de l'intervalle $[0~;6]$. 
%\end{Remarque}
%
%\end{questions}
%
%\item  Sur la Casio, choisir le menu GRAPH et entrer
%chaque formule avec leur domaine de validité~:
%
%\Par
%
%\begin{alltt}
%Graph Func		:Y=
%Y1=X,[0,2]		[---]
%Y2=\(\sqrt{{}}\)(X\({}^2\)-6X+12), [2,4]
%Y3=6-X,[4,6]
%\end{alltt}
%
%\Par
%
%puis F6 affiche la courbe attendue. 
%Si le résultat est bizarre, vous devez sans doute
%régler la fenêtre (View Window). Appuyez sur F3 et
%fixez : \enlargethispage*{2em}
%
%\begin{center}
%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%\begin{itemize}
%\begin{multicols}{2}
%\item Xmin~: -1
%\item Xmax~: 7
%\item Ymin~: -1
%\item Ymax~: 3 
%\end{multicols}
%\end{itemize}
%\end{minipage}
%\end{center}
%
%\Par
%
%pour avoir  le bon domaine de représentation. 
%
%
%\begin{center}
%\includegraphics{262_03-16}
%\end{center}
%
%
%La TI-82 ne gère pas aussi facilement les fonctions 
%définies par morceaux. Une solution simple (et conseillée)
%est de tracer les trois fonctions simultanément et de 
%décider \og à la main \fg où se trouve la fonction~$f$.
%
%Après avoir appuyé sur Y=, on entre les trois fonctions~:
%
%\begin{alltt}
%Y\({}_1\)=X
%Y\({}_2\)=\(\sqrt{{}}\)(X\({}^2\)-6X+12)
%Y\({}_3\)=6-X
%\end{alltt}
%et la touche GRAPH donne les trois courbes (éventuellement, 
%réglez la fenêtre avec la touche WINDOW). 
%
%\begin{center}
%\includegraphics{263_03-17}
%\end{center}
%
%Si vous tenez absolument à tracer la courbe de $f$ et 
%elle seulement, vous pouvez utiliser
%des fonctions-tests (on y accède par la touche TEST)~: 
%par exemple, \verb+ (X>0)+ renvoie 1 si $X>0$ et 0 sinon. 
%Ainsi, l'expression  \verb+(X>0)(X<2)X+ vaut X si 
%X est dans l'intervalle $]0~;2[$ et vaut 0 sinon. 
%
%Il \og suffit \fg d'entrer l'expression~: 
%\begin{alltt}
%Y\({}_1\)=(X\(\geq\)0)(X\(\leq\)2)X+
%\hspace*{1.5em}(X>2)(X\(\leq\)4)\(\sqrt{{}}\)(X\({}^2\)-6X+12)+
%\hspace*{1.5em}(X>4)(X\(\leq\)6)(6-X)
%\end{alltt}
%
%et une pression sur GRAPH fournit la courbe représentative 
%de $f$ (la même que la Casio bien sûr~!)
%\end{questions} 
%\end{corrige}
%

%%%

%\begin{exo}{Algorithme de dichotomie}{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux}{3}{30}
%On considère la fonction $f$ définie par :
%\[
%f(x)=5x^3-2x+1.
%\]
%\begin{questions}
%\item Tracer sur votre calculatrice, par exemple, la courbe représentative de $f$ et vérifier que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution réelle non triviale.
%%\enlargethispage*{2em}
%
%\item On considère l'algorithme suivant :
%\begin{algorithme}{}
%Variables
%  a, b, m, d nombres réels
%  f fonction définie par f(x)=5x$^3$-2x+1
%Initialisation
%  a prend la valeur -1
%  b prend la valeur 0
%  d prend la valeur 1
%  Tant que d $>$ 0,0001
%    m prend la valeur (a+b)/2
%    Si f(m) $>$ 0
%      b prend la valeur m
%    Sinon
%      a prend la valeur m
%    Fin Si
%    d prend la valeur (b-a)
%  Fin Tant que
%Sortie
%  Afficher a et b
%\end{algorithme}
%
%
%\begin{questions}
%\item Expliquer la ligne : \og \texttt{m prend la valeur (a+b)/2} \fg.
%\item Expliquer le rôle de la variable \texttt{d}.
%\item Expliquer alors ce que fait cet algorithme.
%\item Programmer cet algorithme en Python et donner un encadrement d'amplitude 0,001 de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=0$.
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item Traçons la courbe représentative de la fonction $f$ avec un zoom assez important pour avoir une idée de la valeur pour laquelle $f(x)=0$ (voir page suivante).
%
%\enlargethispage*{2em}
%
%La courbe semble bien couper l'axe des abscisses en un seul point, dont l'abscisse semble être égale à  $-0,8$, mais si on calcule $f(-0,8)$, on trouve :
%\[
%f(-0,8)=5\times(-0,8)^3-2\times(-0,8)+1=0,04\neq0
%\]
%
%donc $x=-0,8$ n'est pas la solution à l'équation $f(x)=0$. Cette solution n'est donc pas triviale (on peut comprendre le mot \og trivial \fg{} comme \og évident \fg{} ou \og simple \fg{}  dans notre contexte).
%
%\begin{center}
%\includegraphics{264_03-18}
%\end{center}
%
%
%\item
%\begin{questions}
%\item \og \texttt{m prend la valeur (a+b)/2} \fg{} signifie que la variable \texttt{m} correspond au milieu de l'intervalle [\texttt{a}~;\texttt{b}].
%\item Dans la boucle \og Tant que \fg, la variable \texttt{d} change de valeur pour égaler \texttt{b-a}.
%
%La fonction $f$ est croissante sur $[-1~;0]$ (intervalle de départ); de plus, si $f(m)>0$ alors l'intervalle devient $[a~;m]=[a~;b]$ et si $f(m)\leqslant0$, il devient $[m~;b]=[a~;b]$. Quoi qu'il en soit, $a$ est toujours plus petit que $b$, donc \texttt{d = b-a} sera toujours positive et donc représentera l'amplitude de l'intervalle [\texttt{a}~;\texttt{b}].
%
%\item D'après ce qui a été dit précédemment, à chaque passage dans la boucle \og 
%Tant que \fg, l'intervalle [\texttt{a}~;\texttt{b}] se réduit pour donner 
%un intervalle d'amplitude égale à la moitié de celle de l'intervalle précédent, 
%et ceci jusqu'à ce que l'amplitude soit inférieure ou égale à \numprint{0,0001} 
%(condition contraire de celle de la boucle \og Tant que \fg).
%
%L'algorithme a donc pour objectif de trouver un intervalle dans lequel se trouve 
%la solution de l'équation $f(x)=0$ (car les bornes de l'intervalle sont choisies 
%de sorte que $f(a)\leqslant0$ et $f(b)>0$) d'amplitude inférieure ou égale à 
%\numprint{0,0001}.
%
%\newpage
%
%\item En Python, on commence par définir la fonction $f$. 
%On écrit ensuite la boucle \texttt{while}~: 
%
%
%\begin{listing}{En Python}{06-19.py}\end{listing}
%
%\Par
%
%Il s'affiche à l'écran : -0.80523681640625, -0.80517578125. 
%
%On peut donc conclure que la solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=0$ est telle que :
%\[
%-0,806 < \alpha < -0,805.
%\]
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{corrige}
%

%%%

%\begin{exo}{Coup de balai !}{\null}{3}{20}
%On considère la fonction $f$ définie, pour tout $x\in[0,1]$, 
%par $f(x)=x^2-x^3$. 
%
%\begin{questions}
%\item Tracer cette fonction sur votre calculatrice. 
%Que dire de son signe~?\linebreak De ses variations~? 
%
%\item On souhaite déterminer numériquement le maximum $m$
%de $f$ sur $[0,1]$ et, à $0{,}001$ près, le point $a$ où
%ce maximum est atteint. 
%
%Pour cela, on utilise l'algorithme ci-dessous, dit \og de balayage \fg.
%
%\begin{algorithme}{}
%
%Variables 
%\qquad	x,a,m,k : nombres
%\qquad	f : fonction définie par $f(x)=x^2-x^3$
%
%Début
%\qquad	a $\leftarrow$ 0
%\qquad	m $\leftarrow$ f(0)
%
%Pour tout k de 1 à 1000
%\qquad	x $\leftarrow$ k/1000
%\qquad	Si f(x)> m 
%\qquad\quad		a $\leftarrow$ x
%\qquad\quad		m $\leftarrow$ f(x)
%\qquad	Fin Si
%Fin Pour
%
%Afficher a , m 
%Fin 
%\end{algorithme}
%
%\Par
%
%Expliquer ce que représentent les variables \texttt{x}, \texttt{a}, \texttt{m} et \texttt{k}. 
%
%À quoi sert l'instruction conditionnelle ? 
%
%\item Programmer l'algorithme de balayage en Python et 
%déterminer $a$ à la précision demandée et $m$. 
%
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%
%\item Il faut bien régler l'intervalle des $x$ à $[0;1]$
%et celui des $y$ à $[0;1]$, voire $[0 ; 0,5]$ pour mieux voir. 
%On obtient la courbe d'une fonction positive, croissante jusqu'à 
%un certain point, puis décroissante. L'abscisse du maximum est proche de 0,6 (on peut la déterminer graphiquement 
%avec la calculatrice). 
%
%\enlargethispage*{5em}
%
%\begin{center}
%\includegraphics{265_03-casio}
%\end{center}
%
%
%
%\item k est un compteur entier qui varie de 1 à \numprint{1000}. 
%Comme $x=\frac{k}{\numprint{1000}}$,  x est une abscisse qui augmente de $0,001$
%à chaque passage dans la boucle. Les variables m et a 
%contiennent les valeurs provisoires du maximum et de son abscisse. 
%Les valeurs initiales sont $a=0$ et $m=f(0)$, et on les 
%actualise dès qu'on trouve un x avec une image plus grande : 
%c'est à cela que sert l'instruction conditionnelle.  
%
%La technique de balayage permet d'affirmer que la valeur finale de $a$
%trouvée est une approximation de l'abscisse du maximum à $0,001$ près. 
%
%
%
%\item On programme l'algorithme en Python~: 
%
%
%\begin{listing}{En Python}{06-20.py}\end{listing}
%
%\Par
%
%On obtient $a\approx 0,667$, $m\approx 0,148$, ce qui est
%cohérent avec la courbe obtenue à la calculatrice. 
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%\newpage

\sectionnn{Parité}

% 2024

\begin{exo}{Parité avec une valeur absolue}{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine}{1}{5}
\begin{questions}
\item Soit $h$ la fonction définie par:
\[
h:x\mapsto\frac{4-|x|}{\sqrt{x^2-9}}.
\]
Montrer que $h$ est une fonction paire.

\item Étudier la parité de la fonction $f:x\mapsto\frac{x^2-3}{x^3+4x}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour étudier la parité de la fonction $h$, calculons:
\begin{align*}
h(-x) & = \frac{4-|-x|}{\sqrt{(-x)^2-9}}\\
      & = \frac{4-|x|}{\sqrt{x^2-9}}\\
      & = h(x).
\end{align*}
Cette dernière égalité signifie que $h$ est une fonction paire.

\item Calculons:
\begin{align*}
f(-x) & = \frac{(-x)^2-3}{(-x)^3+4(-x)}\\
      & = \frac{x^2-3}{-x^3-4x}\\
      & = \frac{x^2-3}{-(x^3+4x)}\\
      & = -\frac{x^2-3}{x^3+4x}\\
      & = -f(x).
\end{align*}

La fonction $f$ est donc impaire.
\end{questions}
\end{corrige}



\begin{exo}{Paire et impaire}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{1}{10} 
Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est paire ou impaire :
\begin{questions}
	\item Pour $x\in [~-5~;~5~]$, $f(x)=\sqrt{x^2+1}$
	\item Pour $x\in ]~0~ ;~+\infty~[$, $f(x)=\dfrac{1}{3x}$
	\item Pour $x\in\R$, $f(x)=4x^2+x+1$
	\item Pour $x\in\R$, $f(x)=4x^3+2x$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour $x\in [~-5~;~5~]$, $f(x)=\sqrt{x^2+1}$. 	

$\forall x\in [~-5~;~5~]$, 

\begin{itemize}
\item $-x\in [~-5~;~5~]$ 
\item et $f(-x)=\sqrt{(-x)^2+1}=\sqrt{x^2+1}=f(x)$
\end{itemize}

donc $f$ est paire. 
	
	
	\item Pour $x\in ]~0~ ;~+\infty~[$, $f(x)=\dfrac{1}{3x}$
	
	L'ensemble de définition de $f$ n'est pas symétrique par rapport à $0$ donc $f$ n'est ni paire ni impaire. 
	\item Pour $x\in\R$, $f(x)=4x^2+x+1$
	
	On remarque que $f(-1)=4$ et $f(1)=6$ donc $f$ n'est ni paire ni impaire. 
	
	
	\item Pour $x\in\R$, $f(x)=4x^3+2x$
	
	$\forall x\in\R, -x\in\R$ et :
	\begin{align*}
	f(-x)&=4\times (-x)^3+2\times (-x)\\
	&=-4x^3-2x\\
	&=-f(x).
	\end{align*} 
	donc $f$ est impaire.  
\end{questions}
\end{corrige}

%%

\begin{exo}{Déduction}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{2}{10} 
Soit $f$ une fonction impaire sur $\mathcal{D}$ . De plus, $0\in\mathcal{D}$. 

Démontrer que $f(0)=0$.
\end{exo}

\begin{corrige}
$f$ est impaire , donc:
\[
\forall x\in\mathcal{D},\ f(-x)=-f(x).
\]

En particulier, pour $x=0$, 
\[
f(-0)=-f(0)
\]
soit:
\[
f(0)=-f(0)
\]
et donc:
\[
f(0)+f(0)=0
\]
soit:
\[
2f(0)=0
\]
d'où:
\[
f(0)=0.
\] 
\end{corrige}


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