\thumb

%%% 2017

\begin{vf}{Fonctions affines et linéaires}{5}
Répondre par \og vrai \fg{} ou \og faux \fg{} aux propositions suivantes.

\begin{questions}
\item On considère la fonction $f:x\mapsto-\dfrac{21}{2}x+7$ définie sur $\R$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}c@{~}X@{}}
\choix &$f$ est une fonction linéaire. \\[1mm]
\choix &$f$ est décroissante sur $\R$.\\[1mm]
\choix &La courbe représentative de $f$ coupe l'axe des abscisses en $-\dfrac{7}{3}$. \\[1mm]
\choix & $-98$ est l'image de $10$ par $f$.
\end{tabularx}

\item Un carré de côté $x$ a un périmètre noté ${\cal P}(x)$ et une aire notée ${\cal A}(x)$.\resetchoix\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}c@{~}X@{}}
\choix & $\cal P$ est une fonction linéaire. \\[1mm]
\choix & $\cal A$ est une fonction affine.\\[1mm]
\choix & Il n'existe pas de valeur de $x$ autre que 0 telle que ${\cal P}(x)={\cal A}(x)$.
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \resetchoix
\raisebox{-0.5\totalheight+1em}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}c@{~}X@{}}
\choix & \textit{Faux}. $f(x)$ est de la forme $ax+b$ avec $a=-\dfrac{21}{2}$ et $b=7$ donc $f$ est une fonction affine.\\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}. $a<0$ donc $f$ est décroissante sur $\R$.\\[1mm]
\choix & \textit{Faux}. Pour connaître l'abscisse du point d'intersection de la courbe représentative de $f$ avec l'axe des abscisses, il faut résoudre l'équation $f(x)=0$.

$\begin{aligned}
f(x)=0 & \iff -\dfrac{21}{2}x+7=0\\
& \iff -\dfrac{21}{2}x=-7\\
& \iff x=-7\times\left(-\dfrac{2}{21}\right)\\
& \iff x=\dfrac{2}{3}.
\end{aligned}$

Ainsi, la courbe représentative de $f$ coupe l'axe des abscisses en $\dfrac{2}{3}$.\\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}. $f(10)=-\dfrac{21}{2}\times10+7=-21\times5+7=-98$, donc $-98$ est bien l'image de 10 par la fonction $f$.
\end{tabularx}}

\item
\resetchoix
\raisebox{-0.5\totalheight+0.8em}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}c@{~}X@{}}
\choix & \textit{Vrai}. ${\cal P}(x)=4x$ car le périmètre d'un carré est égal au quadruple de la mesure d'un côté. ${\cal P}(x)$ est de la forme $ax$ donc ${\cal P}$ est bien une fonction linéaire.\\[1mm]
\choix & \textit{Faux}. ${\cal A}(x)=x^2$ donc l'aire est la fonction carré.\\[1mm]
\choix & \textit{Faux}. $\begin{aligned}[t]
{\cal P}(x)={\cal A}(x) & \iff 4x=x^2\\
& \iff x^2-4x=0\\
& \iff x(x-4)=0\\
& \iff x=0\quad\text{ou}\quad x=4.
\end{aligned}$

Donc l'aire est égale au périmètre quand $x=4$ et quand $x=0$.
\end{tabularx}}
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 2017

\begin{vf}{Fonctions inverse et carré}{5}
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. 

\Par

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}c@{~}X@{}}\resetchoix
\choix & La fonction inverse est décroissante sur $\R$.\\[1mm]
\choix & Les courbes représentatives des fonctions inverse et carré se coupent en un seul point.\\[1mm]
\choix & La courbe représentative de la fonction $x\mapsto -x^2+2x-1$ a un sommet de coordonnées $(1~;0)$.
\end{tabularx}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}c@{~}X@{}}\resetchoix
\choix & \textit{Faux}. La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty~;0[$ et sur $]0~;+\infty[$, mais pas sur $\R$.\\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}. En effet, il n'existe qu'un nombre dont l'inverse est égal à son carré : $x=1$. Donc le seul point d'intersection est le point de coordonnées $(1~;1)$.\\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}. $-x^2+2x-1=-(x^2-2x+1)=-(x-1)^2$. Cette dernière forme ($a(x-p)^2+q$, forme canonique) nous indique que le sommet de la parabole qui représente la fonction a pour coordonnées $(p~;q)=(1~;0)$.
\end{tabularx}
\newpage
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Fonctions affines et linéaires}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%

\begin{exo}{Fonctions affines}{Lycée \'Edouard Herriot, Lyon}{1}{10}
Trouver une fonction affine $f$ telle que $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1$ et $f(1)=\dfrac{1}{4}$.
\end{exo}

\begin{corrige}
Une fonction affine est définie de $\R$ dans $\R$ par : $f(x)=ax+b$,
où $a$ et $b$ sont deux réels fixés.

Dans un premier temps, supposons que $f$ existe, donc que
${a\times\dfrac{1}{2}+b=1}$ et que ${a\times1+b=\dfrac{1}{4}}$.

Pour trouver $a$ et $b$, nous devons donc résoudre le système :
\[
\left\{
\begin{aligned}
\dfrac{a}{2}+b&=1\\
a+b&=\dfrac{1}{4}
\end{aligned}\right.
\iff\left\{\begin{aligned}
-\dfrac{a}{2}&=\dfrac{3}{4}\\
a+b&=\dfrac{1}{4}
\end{aligned}\right.
\iff\left\{\begin{aligned}
a&=-\dfrac{3}{2}\\
b&=\dfrac{7}{4}
\end{aligned}\right.\]
La fonction affine $f$ est donc définie par : 
\[f(x)=-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}.\]
Vous pouvez vérifier que cette fonction répond à la question.
\end{corrige}

%%% 2017

\begin{exo}{Alignement de points}{Lycée Les Francs-Bourgeois, Paris}{1}{10}
Dans un repère $(O,I,J)$, on considère les points $A(-1~;-5)$, $B(2~;1)$ et $C(3~;3)$.
\enlargethispage*{1.5em}

\begin{questions}
\item Soit $f\;:\;x\mapsto ax+b$ la fonction affine dont la courbe représentative passe par $A$ et $B$. Déterminer $a$ et $b$.
\item Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Notons $\cal D$ la droite représentant la fonction $f$ dans $(O,I,J)$.
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $\begin{aligned}[t]
A\in{\cal D} & \iff f(x_A)=y_A\\
 & \iff f(-1)=-5\\
 & \iff -a+b=-5\\
 & \iff b=-5+a;
 \end{aligned}$
 
\item $\begin{aligned}[t]
B\in{\cal D} & \iff f(x_B)=y_B\\
& \iff f(2)=1\\
& \iff 2a+b=1\\
& \iff 2a +(-5+a) = 1\\
& \iff 3a=6\\
& \iff a=2.
\end{aligned}$
\end{multicols}
\end{itemize}
Donc $a=2$ et $b=-5+2=-3$.

Finalement, on trouve : $f(x)=2x-3$.

\item $f(3)=2\times3-3=6-3=3$ donc $f(x_C)=y_C$; par conséquent, $C\in{\cal D}$, ce qui signifie que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\end{questions}
\end{corrige}


% 2024

\begin{exo}{Dans un trapèze}{Lycée Loquidy, Nantes}{1}{20}
On considère un trapèze $ABCD$ rectangle en $A$ et en $D$ tel que: $AB=8$, $AD=5$ et $CD=10$.

$M$ est un point mobile sur le segment $[AD]$. On note $AM = x$.

\begin{center}
\includegraphics{197_fctaffineLoquidy}
\end{center}

\begin{questions}
\item À quel intervalle appartient $x$?

\item Soit $f$ la fonction qui, à $x$, associe l'aire du triangle $ABM$.

Montrer que $f(x)=4x$.

\item Soit $g$ la fonction qui, à $x$, associe l'aire du triangle $CDM$.

Montrer que $f(x)=25-5x$.

\item Soit $h$ la fonction qui, à $x$, associe l'aire du triangle $BCM$.

\mbox{On admet que $h$ est une fonction affine telle que $f(1)=21$ et $h(4)=24$.}

En déduire l'expression algébrique de $h(x)$.

\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire de $ABM$ est égale à celle de $CDM$?

\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire de $BCM$ est égale à celle de $CDM$?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le point $M$ appartient au segment $[AD]$, avec $AD=5$.

Donc $x\in[0;5]$.

\item $ABM$ est un triangle rectangle en $A$ donc son aire est:
\[
f(x)=\frac{AB \times AM}{2} = \frac{8x}{2} = 4x.
\]

\item $CDM$ est un triangle rectangle en $D$ donc son aire est:
\[
g(x)=\frac{DC \times MD}{2} = \frac{10(5-x)}{2} = 5(5-x) = 25 - 5x.
\]

\item $h$ est une fonction affine, donc il existe deux réels $m$ et $p$ tels que\linebreak $h(x)=mx+p$.
\begin{itemize}
\item $h(1)=21 \Leftrightarrow m \times 1 + p = 21 \Leftrightarrow m+p=21 \Leftrightarrow p = 21 - m$.
\item $h(4)=24 \Leftrightarrow m \times 4 + p = 24 \Leftrightarrow 4m + p = 24 \Leftrightarrow p = 24-4m$.
\end{itemize}
On en déduit alors que:
\[
21-m=24-4m \iff -m+4m=24-21 \iff 3m = 3 \iff m = 1.
\]
Ainsi, 
\[
% ERREUR % p = 21-m = 21-1 = -20.
p = 21-m = 21-1 = 20.
\]
Finalement, $h(x)=x+20$.

\item L'aire de $ABM$ est égale à celle de $CDM$ si:
\begin{align*}
f(x) = g(x) & \iff 4x = 25 - 5x\\
& \iff 9x = 25\\
& \iff x = \frac{25}{9}.
\end{align*}
De plus, $\frac{25}{9}\in[0;5]$ donc l'aire de $ABM$ est égale à celle de $CDM$ lorsque $M$ est à une distance de $\frac{25}{9}$ de $A$.

\item L'aire de $BCM$ est égale à celle de $CDM$ si:
\begin{align*}
x + 20 = 25 - 5x & \iff x+5x = 25-20\\
                 & \iff 6x = 5\\
                 & \iff x = \frac{5}{6}.
\end{align*}
De plus, $\frac{5}{6}\in[0;5]$ donc l'aire de $BCM$ est égale à celle de $CDM$ lorsque $M$ est à une distance de $\frac{5}{6}$ de $A$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Fonctions affines}{Lycée P. et I. Joliot-Curie, Nanterre}{2}{20}
Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions affines ? Si oui, donner
le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite qui les
représente ainsi que leur sens de variation :
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $\displaystyle f_1:x\mapsto \frac{3+11x}{6}$.
\item $\displaystyle f_2:x\mapsto -5$.
\item $\displaystyle f_3:x\mapsto 7-x$.
\item $\displaystyle f_4:x\mapsto \frac{5x+4}{x-8}$.
\item $\displaystyle f_5:x\mapsto \frac{2}{3}x$.
\item $\displaystyle f_6:x\mapsto (x-4)(x+2)-x^2+10$.
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f_1$ est bien sûr une fonction affine, puisqu'on peut écrire :
\[
\forall x\in\R,\qquad f_1(x)=\dfrac{11}{6}x+\dfrac{3}{6}.
\]
L'ordonnée à l'origine de la
droite qui représente $f_1$ est $\dfrac{3}{6}$, c'est-à-dire
$\dfrac{1}{2}$. Son coefficient directeur est $\dfrac{11}{6}$. 
Il est positif (strictement), donc $f_1$ est croissante (strictement).

\item $f_2$ est une fonction constante (donc en particulier affine),
 représentée par une droite
parallèle à l'axe des abscisses, d'ordonnée à l'origine $-5$.
Le coefficient directeur de cette droite \og{}horizontale\fg{} est bien entendu~$0$.

\item $f_3$ est clairement une fonction affine. L'ordonnée à l'origine de 
sa droite représentative est $7$, son coefficient directeur est $-1$.
Il est négatif et non nul, donc la fonction est strictement décroissante.

\item $f_4$ n'est pas une fonction affine. J'espère que cela vous a sauté aux
yeux ($f_4(x)$ ne peut être mis sous la forme $ax+b$). La méthode la plus
rapide pour prouver que $f_4$ n'est pas une fonction affine est de
remarquer que $f_4$ n'est pas définie en $8$, alors que les fonctions
affines sont définies sur $\R$ tout entier.

\item $f_5$ est une fonction affine. Elle est même linéaire : l'ordonnée
à l'origine de sa droite représentative est $0$. Le coefficient
directeur de cette droite est $\dfrac{2}{3}$ ~; il est positif et non nul,
donc $f_5$ est strictement croissante.

\item Si on jette un coup d'{\oe}il (trop !) rapide sur $f_6$, celle-ci
ne paraît pas affine, vue la présence de termes en $x^2$.
Néanmoins, si l'on développe la formule, on obtient :
\[f_6(x)=x^2+2x-4x-8-x^2+10=-2x+2.\]
$f_6$ est donc bien une fonction affine. L'ordonnée à l'origine de
sa droite représentative est $2$, son coefficient directeur est $-2$.
$f_6$ est donc strictement décroissante.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Fonction carré}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 2024

\begin{exo}{Comparaison de deux carrés}{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine}{1}{5}
Comparer $\big(2-\sqrt5\big)^2$ et $\big(2-\sqrt7\big)^2$ sans les calculer.
\end{exo}

\begin{corrige}
Partons du fait que $5 < 7$:
\begin{align*}
5 < 7 & \iff \sqrt5 < \sqrt7\\
      & \iff -\sqrt5 > -\sqrt7\\
      & \iff 2-\sqrt5 > 2-\sqrt7.
\end{align*}
De plus, 
\begin{align*}
4 < 5 & \iff \sqrt4 < \sqrt5\\
      & \iff 2 < \sqrt5\\
      & \iff 2-\sqrt5 < 0.
\end{align*}
On a donc:
\[
2-\sqrt7 < 2-\sqrt5 < 0.
\]
On en conclut alors que:
\[
0 < \big(2-\sqrt5\big)^2 < \big(2-\sqrt7\big)^2.
\]
\end{corrige}

% 2024

\begin{exo}{Avec la fonction carré}{Lycée Loquidy, Nantes}{1}{5}
Compléter les pointillés suivants.
\begin{questions}
\item Si $3 \leqslant x \leqslant 5$ alors $\ldots x^2 \ldots$
\item Si $x < -2$ alors $x^2 \ldots$
\item Si $x\in]-1;4]$ alors $x^2 \in \ldots$
\item Sachant que $x^2 < 5$, on peut dire que $x\ldots$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Si $3 \leqslant x \leqslant 5$ alors $9 \leqslant x^2 \leqslant 25$.

En effet,la fonction carré est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ donc les images par cette fonction sont rangées dans le même sens que leur antécédent.

\item Si $x < -2$ alors $x^2 > 4$.

En effet, la fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ donc les images sont rangées dans le sens inverse de leur antécédent.

\item Si $x\in]-1;4]$ alors $x^2 \in [0;16]$.

En effet,
\begin{itemize}
\item si $-1 < x \leqslant0$ alors $0 \leqslant x^2 < 1$;
\item si $0 \leqslant x \leqslant 4$ alors $ 0 \leqslant x^2 \leqslant 16$.
\end{itemize}
Au final, on a bien que $x^2 \in[0;16]$.

\begin{attention}
Si $x \in[a;b]$ avec $a<0$ et $b>0$, n'oubliez pas que $x^2$ transite nécessairement par 0, et donc que la valeur minimale de $x^2$ est 0.
\end{attention}

\item Sachant que $x^2 < 5$, on peut dire que $x \in ]-\sqrt5;\sqrt5[$.

En effet, si $x^2 < 5$, la partie de la courbe représentative de la fonction carré que l'on regarde est celle située sous la droite d'équation\linebreak $y=\sqrt5$, c'est-à-dire la partie de la courbe définie pour $x$ variant de $-\sqrt5$ à $\sqrt5$ (exclus).
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 2017

\begin{exo}{Sous diverses formes}{Lycée Les-Francs-Bourgeois, Paris}{1}{15}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2+3x-2$.
\begin{questions}
\item Montrer que $f(x)=(2x-1)(x+2)$.
\item Montrer que $f(x)=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{25}{8}$.
\item Déterminer les points d'intersection entre la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On développe :
\[
(2x-1)(x+2) = 2x^2+4x-x-2 = 2x^2+3x-2 = f(x).
\]

\item\label{q3-chap04} $\begin{aligned}[t]
2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{25}{8} & = 2\left(x^2+2\times\dfrac{3}{4}\times x+\dfrac{3^2}{4^4}\right)-\dfrac{25}{8}\\
& =2\left(x^2+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}\right)-\dfrac{25}{8}\\
& = 2x^2+3x+\dfrac{9}{8}-\dfrac{25}{8}\\
& = 2x^2+3x-\dfrac{16}{8}\\
& = f(x).
\end{aligned}$

\item Pour déterminer les points d'intersection entre la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses, il faut résoudre l'équation $f(x)=0$. Il est donc préférable de prendre la forme factorisée.
\begin{align*}
f(x)=0 & \iff (2x-1)(x+2)=0\\
& \iff 2x-1=0\quad\text{ou}\quad x+2=0\\
& \iff x=\dfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad x=-2.
\end{align*}
Les points d'intersection ont donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;0\right)$ et $(-2~;0)$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{\'Etude graphique}{Lycée Vaugelas, Chambéry}{1}{20}
La figure page ci-contre représente la courbe de la fonction $f$.
\enlargethispage*{2em}
\begin{questions}
\item Quelle semble être la nature de cette courbe ?
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item En fait, $f$ est une fonction définie sur $\R$ par l'une des expressions suivantes :
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+2x+6$
\item $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+2x-2$
\item $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+6$
\end{multicols}
\end{questions}
Laquelle ? Donner une justification simple.
\end{questions}
\begin{center}
\includegraphics{199_04-18}
\end{center}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La courbe est une parabole.
\item On déduit de la courbe les variations de $f$ :
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
$x$&$-\infty$ & & $2$ &  & $+\infty$ \\\hline
       &           &            & 8   &     &\\
$f(x)$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ &  \\
& $-\infty$ & & & & $-\infty$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item 
$f(0)=6$ et $f(2)=0$. La seule solution est donc :
\[f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+6.\]
\end{questions}
\end{corrige}

% 2024

\begin{exo}{Réciproque et contraposée}{Lycée Parc de Vilgenis, Massy}{2}{10}
On désigne par $f$ la fonction carré.

Soit $\mathcal{P}$ la propriété: \og si $x=-2$ alors $f(x)=4$. \fg{} 
\begin{questions}
\item La propriété $\mathcal{P}$ est-elle vraie ?
\item Formuler la propriété réciproque de la propriété $\mathcal{P}$. Est-t-elle vraie?
\item Formuler la propriété contraposée de $\mathcal{P}$. Est-elle vraie ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La propriété $\mathcal{P}$ est vraie. En effet, si $x=-2$ alors $f(-2)=(-2)^2=4$.

\item La propriété réciproque de $\mathcal{P}$ peut-être formulée ainsi:
\begin{center}
\og Si $f(x)=4$ alors $x=-2$. \fg{} 
\end{center}
Cette réciproque est fausse car si $x^2=4$ alors $x=-2$ ou $x=2$.

\newpage

\item La contraposée de $\mathcal{P}$ peut se formuler ainsi:
\begin{center}
\og Si $f(x) \neq 4$ alors $x \neq -2$. \fg{} 
\end{center}
Cette contraposée est vraie. En effet, les deux seuls antécédents à 4 par la fonction carré sont $-2$ et 2; donc si l'image par $f$ n'est pas égale à 4 alors les antécédents ne sont pas égaux à $-2$ et à 2, donc \textit{a fortiori} à $-2$.
\end{questions}

\begin{methode}
Si $p$ et $q$ sont deux propositions et si une propriété s'écrit
\begin{center}
\og $p \Longrightarrow q$ \fg{} ou \og Si $p$ est vraie alors $q$ est vraie \fg{},
\end{center}
\begin{itemize}
\item sa réciproque s'écrit:
\begin{center}
\og $q \Longrightarrow p$ \fg{} ou \og Si $q$ est vraie alors $p$ est vraie\fg{} ;
\end{center}
\item sa contraposée s'écrit:
\begin{center}
\og non $q$ $\Longrightarrow$ non $p$ \fg{} ou \og Si $q$ est fausse alors $p$ est fausse. \fg{} 
\end{center}
\end{itemize}
\end{methode}
\end{corrige}



%%% 2017

\begin{exo}{Les coins du carré}{Lycée Les-Francs-Bourgeois, Paris}{2}{15}
Un carré $ABCD$ de côté 4 cm est partagé selon le schéma suivant :\enlargethispage*{3em}

\begin{center}
\includegraphics{199_04-24}
\end{center}

Les \og coins \fg{} sont des carrés de côtés $x$ tel que $x\in [0~;2]$.

On note $A_1$ l'aire de la figure hachurée et $A_2$ l'aire de ce qui n'est pas hachuré.

\begin{questions}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire $A_1$.
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire $A_2$.
\item Montrer que $A_2 = -8(x-1)^2+8$. En déduire la valeur de $x$ pour laquelle $A_2$ est maximale.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'aire d'un coin est $x^2$ et l'aire du carré central est $(4-2x)^2$ donc :
\begin{align*}
A_1 & = 4x^2+(4-2x)^2\\
& = 4x^2+16-16x+4x^2\\
& = 8x^2-16x+16.
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
A_2 & = 4^2-A_1\\
& = 16-(8x^2-16x+16)\\
& = 16-8x^2+16x-16\\
& = -8x^2+16x.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
-8(x-1)^2+8 & = -8\big[ (x-1)^2 - 1\big]\\
& = -8(x^2-2x+1-1)\\
& =-8(x^2-2x)\\
& = -8x^2+16x\\
& = A_2.
\end{aligned}$

La courbe de la fonction $x\mapsto -8(x-1)^2+8$ est une parabole qui est maximale pour $x=1$, donc $A_2$ est maximale pour $x=1$. 

On a alors $A_2 = 8\text{ cm}^2$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{Variations}{Lycée Geoffroy-Saint-Hilaire, \'Etampes}{2}{20}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=x^2-4x+3$.
\begin{questions}
	\item Vérifier que $f(x_1)-f(x_2)=(x_2-x_1)(4-(x_1+x_2))$.
	
	\item Démontrer les deux propriétés suivantes :
	\begin{itemize}
		\item si $x_1<x_2\leq 2$ alors $x_1+x_2<4$ ~;
		
		\item si $2\leq x_1<x_2$ alors $x_1+x_2>4$.
	\end{itemize}
	
	\item En déduire que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty~;2]$	et que $f$ est strictement croissante sur $[2~;+\infty[$. Dresser le tableau de variations de~$f$.
	
	\item Vérifier que $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$.
	
	\item Résoudre l'équation $x^2-4x+3=0$.
	
	\item Utiliser les questions 3 et 5 pour résoudre l'inéquation $x^2\geq 4x-3$.
	
	\item Retrouver le résultat de la question 6 en utilisant la question 4.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
 \begin{questions}
	\item On factorise :
	\begin{align*}
	f(x_1)-f(x_2) &= (x_1^2-4x_1+3)-(x_2^2-4x_2+3)\\
	              &= x_1^2-4x_1+3-x_2^2+4x_2-3\\
	              &= x_1^2-x_2^2-4x_1+4x_2\\
	              &= (x_1-x_2)(x_1+x_2)+4(x_2-x_1)\\
	              &= (x_2-x_1)\big[4-(x_1+x_2)\big].
	\end{align*}
	
	\item Si $x_1<x_2$, on peut écrire $x_1+x_2<2x_2$. Avec l'hypothèse :
	$x_2\leq 2$, on obtient $x_1+x_2<4$.
	
	Toujours avec $x_1<x_2$, on écrit $x_1+x_2>2x_1$. Avec $x_1\geq 2$,
	on peut écrire $x_1+x_2>4$.
	
	\item Donnons-nous $x_1$ et $x_2$ dans $]-\infty~;2]$, tels que 
	$x_1<x_2$. D'après les questions précédentes, on sait que 
	$4-(x_1+x_2)>0$ et, par ailleurs, $x_2-x_1>0$, donc $f(x_1)-f(x_2)>0$.
	On en déduit que $f(x_1)>f(x_2)$, donc $f$ est strictement décroissante
	sur $\left]-\infty~;2\right]$.

	
	De la même façon, on montre que dans $[2~;+\infty[$, $f$ est strictement	croissante. Voici le tableau de variations de $f$ :
	
	\[\begin{array}{|C|lcccr|}
	\hline\tabulartitle
	x & -\infty &    & 2  &    & +\infty \\ \hline
	f(x) & & \searrow &  & \nearrow &  \\
	& & & -1 & & \\ \hline
	\end{array}\]
	
	\item Il suffit de développer $(x-1)(x-3)$.
	
	\item D'après la factorisation précédente, l'égalité est vérifiée pour
	$x=1$ et $x=3$, donc $S=\left\{1~;3\right\}$.
	
	\item L'inéquation proposée revient à l'inéquation : $f(x)\geq 0$.	$f$ s'annule pour $x=1$ et $x=3$. Sur $]-\infty;1]$, $f$ décroît, donc	$f$ est positive. Elle devient négative à partir de $1$. Sur	$[2;+\infty[$, la fonction croît, passe par la valeur 0 en $x=3$, puis devient positive. Ces considérations apparaissent plus clairement dans le tableau de variations :
	
\[\begin{array}{|C|lcccccccr|}
	\hline\tabulartitle
	x & -\infty &  &1 &   & 2  &  & 3 &   & +\infty \\ \hline
 	   &  & \searrow & \vline &  & \vline &  &\vline & \nearrow&  \\
	f(x) & &         & 0 &   &\vline  &    &0 &   & \\
	     &  &         & \vline & \searrow &  & \nearrow &\vline  & &\\
	     &  &   & \vline & & -1 & & \vline & & \\\hline
	\end{array}\]

L'ensemble des solutions est donc :
	\[S=\left]-\infty~;1\right]\cup[3~;+\infty[.\]

	\item L'énoncé vous demande en fait de procéder directement
	à la résolution de l'inéquation, par un tableau de signes :
	\[\begin{array}{|C|lcccccr|}
	\hline\tabulartitle
	x    & -\infty &    & 1 &   & 3 &   & +\infty \\ \hline
	x-1  &         & -  & 0 & + & | & + &   \\ \hline
	x-3  &         & -  & | & - & 0 & + &   \\ \hline
	f(x) &         & +  & 0 & - & 0 & + & \\ \hline
	\end{array}\]
	On retrouve le résultat de la question précédente.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

%\begin{exo}{Intersections}{Lycée Michelet, Vanves}{2}{20}
%Dans un repère orthonormé, on considère la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$ et le point $A(2~;4)$.
%\begin{questions}
%\item Pour tout $m\in \R$, on note $\mathcal{D}_m$ la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $m$. 	Vérifier que $\mathcal{D}_m$ admet pour équation $y=m(x-2)+4$.
%
%\item Tracer les droites $\mathcal{D}_0$, $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_{-1}$ et déterminer graphiquement les intersections de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}_1$.
%	
%\item Déterminer par le calcul les intersections de $\mathcal{D}_m$ et $\mathcal{P}$, et déterminer le réel $m_0$ tel que cette intersection soit réduite à $A$. Tracer la droite $\mathcal{D}_{m_0}$. Que remarquez-vous et comment pouvez-vous appeler cette droite ?
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%	\item La droite d'équation $y=m(x-2)+4$ est de coefficient directeur $m$, 	et elle passe visiblement par $A$, puisque $m (2-2)+4=4$. Il s'agit donc bien de $\mathcal{D}_m$.
%	
%\begin{center}
%\includegraphics[height=60mm]{290_04-21}
%\end{center}
%
%\item $\mathcal{D}_0$, $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_{-1}$ ont pour équations respectives $y=4$, $y=x+2$
%et $y=-x+6$. En lisant l'ordonnée à l'origine, on peut donc représenter ces trois droites,
%sachant qu'elles passent toutes par $A$ et, respectivement, par les points de coordonnées
%$(0~;4)$, $(0~;2)$ et $(0~;6)$.\\
%On peut lire les coordonnées des deux points d'intersection de
%	$\mathcal{P}$ et de $\mathcal{D}_1$ sur la figure. L'un est bien sûr $A$, et l'autre
%	a pour coordonnées $(-1~;1)$.
%	
%	\item Un point d'intersection de coordonnées $(x~;y)$ vérifie à la
%	fois l'équation de la droite et celle de la parabole, donc :
%	\[\begin{cases}
%	y &= x^2\\
%	y &= m (x-2)+4
%	\end{cases}\]
%	On est donc amené à résoudre l'équation :
%	\[x^2=m (x-2)+4.\]
%	On obtient :
%	\begin{equation*}
%	\begin{split}
%	0= m (x-2)+4-x^2 &= m (x-2)-(x^2-4)\\
%	                 &= m (x-2)-(x-2) (x+2)\\
%	                 &= (x-2)(m-x-2).
%	\end{split}
%	\end{equation*}
%	On a enfin deux solutions (donc deux points d'intersection) :
%	\begin{itemize}
%	\item  $x=2$ (donc $y=4$, on retrouve le point $A$) ~;
%	\item  $x=m-2$, donc $y=(m-2)^2$.
%	\end{itemize}
%	Il y a en général deux points d'intersection, sauf \ldots{} quand ces deux points
%	sont confondus, c'est-à-dire si $m-2=2$, donc $m=4$. La droite $\mathcal{D}_4$
%	n'a que le seul point d'intersection $A$ avec la parabole. Traçons-la.
%	Il s'agit de la tangente en $A$ à la parabole.
%\end{questions}
%\end{corrige}
%

%%% 2014

\begin{exo}{Aires et fonctions}{Lycée Paul Langevin, Suresnes}{2}{40}
Dans un carré $ABCD$ de côté $1$, on inscrit quatre figures, comme illustré page ci-contre.
\begin{questions}
\item Déterminer, dans chaque configuration, l'aire de la partie  hachurée en fonction de $x=AM$. 
\item Déduire des représentations graphiques des quatre aires, selon les valeurs de $x$, quelle est la figure hachurée qui a l'aire la plus grande~; la plus petite.
\end{questions}
\newpage
\begin{center}
\includegraphics{201_04-19}
\end{center}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item Pour la première configuration (bleue), on peut remarquer qu'il faut enlever au carré, d'aire 1, quatre triangles rectangles identiques, de côtés $x$ et $1-x$. L'aire cherchée s'écrit donc :
\[
A_1(x)=1-4\dfrac{x(1-x)}{2}=2x^2-2x+1.
\]
On peut retrouver aussi ce résultat en remarquant que l'aire hachurée  est un carré, dont le côté est l'hypoténuse des petits triangles, et d'après le théorème de Pythagore~: 
\[
A_1(x)=x^2+(1-x)^2, \text{ soit encore : } A_1(x)=2x^2-2x+1.
\]
\item Pour la seconde configuration (rouge), il faut enlever deux triangles rectangles isocèles, de côté $1-x$, d'où :
\[
A_2(x)=1-(1-x)^2.
\]

\item Pour la troisième configuration (verte), on enlève encore deux triangles rectangles,  de côtés $1$ et $1-x$, d'où :
\[
A_3(x)=1-(1-x)=x. 
\]

\item On peut appliquer la même méthode au trapèze de la quatrième configuration (violette). Plus astucieusement, si on considère les diagonales du trapèze, on fait  apparaître des rectangles, la moitié est hachurée. Le trapèze a donc pour aire la moitié de celle du carré, soit :
\[
A_4(x)=\dfrac{1}{2}. 
\]
\end{itemize}

\item Vu le tracé des quatre courbes, on voit que l'aire la plus petite est $A_3(x)$ si $x\in\left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$, puis $A_4(x)$ pour $x\in\left[\dfrac{1}{2}~;1\right]$. 

Pour l'aire la plus grande, la compétition est entre $A_1(x)$ et $A_2(x)$. Vérifions pour quels $x$ ces deux expressions sont égales. On calcule~:
\begin{align*}
A_1(x)-A_2(x) & =2x^2-2x+(1-x)^2\\
& =2x(x-1)+(1-x)^2\\
&=(1-x)(1-3x).
\end{align*}
Donc les courbes se coupent au point d'abscisse $\dfrac{1}{3}$.
On en déduit que l'aire la plus grande est $A_1(x)$ si $x\in\left[0~;\dfrac{1}{3}\right]$,
et $A_2(x)$ si $x\in\left[\dfrac{1}{3}~;1\right]$. 
\end{questions}
\begin{center}
\includegraphics{214_04-20}
\end{center}
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{Algorithmique}{Lycée Stanislas, Paris}{3}{15}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[
f(x)=3x^2-19x-14.
\]
On admet que l'équation $f(x)=0$ admet une solution entière comprise entre 0 et 20. 
\begin{questions}
\item {\'E}crire un algorithme qui permet de la trouver.
\item Programmer cet algorithme en Python ou sur la calculatrice. 
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
Puisqu'on nous dit que la racine est un nombre entier compris entre 0 et 20, 
il suffit de tester chacun de ces nombres. 

\begin{algorithme}{}
\begin{Verbatim}[fontsize=\normalfont]
Variables x , y : nombres
Début
  Pour x allant de 0 à 20 Répéter
    y <-- 3*x^2-19*x-14
    Si y = 0 Alors 
      Afficher x
    Fin Si
  Fin Pour
Fin
\end{Verbatim}
\end{algorithme}

\newpage

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-1.2){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL2M/06-stanislas.py}}}
\vspace*{-10pt}

\item \begin{listing}{En Python}{06-stanislas.py}\end{listing}

\Par

Il faut se rappeler qu'en Python, la valeur finale de l'intervalle est 
exclue, il faut donc écrire \verb+ range(0,21)+ si on veut tester toutes les valeurs jusqu'à 20 inclus. 

Notez également le double signe \og = \fg, opérateur qui teste l'égalité (\verb+==+) et renvoie \emph{True} ou \emph{False}, à ne pas confondre avec le signe égale simple, opérateur d'affectation.  

\end{questions} 
\end{corrige}

%%% 2017

\begin{exo}{Aire minimale}{Lycée Jacques Decour, Paris}{3}{30}
\enlargethispage*{4em}
Dans le carré $ABCD$ de côté 20 cm, on inscrit un carré $MNPQ$ suivant le schéma ci-dessous :
\begin{center}
\includegraphics{201_04-26-2}
\end{center}
On pose $x=AM=BN=CP=DQ$, avec $0\leqslant x \leqslant20$.
\begin{questions}
\item Calculer l'aire du carré $MNPQ$ en fonction de $x$.

Cette aire, exprimée en cm$^2$, sera notée $S(x)$ et sera donnée sous la forme développée et réduite.

\item Vérifier que $2(x-10)^2+200=2x^2-40x+400$.
\item Quelle est l'aire minimale du carré $MNPQ$ ?
\item On veut déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire du carré $MNPQ$ ne dépasse pas 272 cm$^2$.

On considère l'algorithme suivant :

\begin{algorithme}{}
Variables : x, S nombres réels
Initialisation
  x $\leftarrow$ 0
  S $\leftarrow$ 400
Début :
  Tant que S $\geqslant$ 272 
    x $\leftarrow$ x+0,01
    S $\leftarrow$ 2x$^2$ - 40x + 400  
  Fin Tant que
Sortie : Afficher x
\end{algorithme}

\begin{questions}
\item Expliquer la raison pour laquelle cet algorithme ne répond pas à notre souhait. 
\item On admet que $S(x)=272$ pour des valeurs de $x$ entières.

Modifier alors l'algorithme afin de répondre à notre problème
et programmer-le en Python. 
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Le triangle $AMQ$ est rectangle en $A$ donc d'après \mbox{le théorème de Pythagore,}
\begin{align*}
QM^2 & =x^2+(20-x)^2\\
& = x^2+400-40x+x^2\\
& = 2x^2-40x+400.
\end{align*}
L'aire du carré $MNPQ$ est égale à $QM^2$ donc :
\[
S(x)=2x^2-40x+400.
\]

\item On développe :
\begin{align*}
2(x-10)^2+200 & = 2(x^2-20x+100)+200\\
& = 2x^2-40x+400\\
& = S(x).
\end{align*}

%\item D'après la forme canonique de $S(x)$ trouvée précédemment, on a :\Par\begin{center}\begin{tabular}{|C|ZlcccZr|}\hline\tabulartitle$x$ & 0 &  & 10 &  & 20\\\hline$S(x)$ & & $\searrow$ & &  $\nearrow$  & \\    &   &  &  200 & & \\    \hline\end{tabular}\end{center}\Par

\item $S(x)=200+\underbrace{2(x-10)^2}_{\geqslant0} \geqslant200$. L'aire minimale de $MNPQ$ est donc égale à 200 cm$^2$.

\Par

\item 
\begin{questions}
\item Dans l'algorithme, on voit que les instructions de la boucle \og Tant que \fg{} s'exécutent dès lors que $S$ est supérieur ou égal à 272. La valeur initiale de $S$ étant 400, on entre dans la boucle et on calcule $S(x)$ jusqu'à trouver un résultat inférieur à 272. Quand ce sera le cas, on sortira de la boucle et la valeur de $x$ sera affichée.

Cependant, l'algorithme n'affiche qu'une valeur... Et on se doute bien qu'il y en a d'autres ! Il ne répond donc pas à notre souhait de trouver \emph{toutes} les valeurs de $x$ telles que $S(x)<272$.


\item Un algorithme possible est le suivant :

\begin{algorithme}{}
Variables : x, S nombres réels
Initialisation
  x $\leftarrow$ 0
  S $\leftarrow$ 400
Début :
  Tant que x $<$ 20
    x $\leftarrow$ x+1
    S $\leftarrow$ 2x$^2$ - 40x + 400  
    Si S = 272 alors
      Afficher x
    Fin Si 
  Fin Tant que
\end{algorithme}

\Par

L'énoncé nous dit que les valeurs de $x$ telles que $S(x)=272$ sont entières donc nous allons faire un balayage de l'intervalle [0~;20] avec un pas de $x$ égal à 1 (c'est-à-dire que $x$ va augmenter de 1 en 1). Pour chaque valeur de $x$, on calcule $S(x)$ et si le résultat est égal à 272, on affiche la valeur de $x$.

D'après les variations de $S$, la première valeur qui s'affiche est la première valeur de $x$ à partir de laquelle $S(x)\leqslant272$ et la seconde sera celle à partir de laquelle $S(x)\geqslant272$. Ainsi, entre les deux valeurs affichées, on est assuré que $S(x)\leqslant272$.

Voici le programme Python correspondant : 

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-1.2){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL2M/06-decour.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{}{06-decour.py}\end{listing}

\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Fonction inverse}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%% 2017

\begin{exo}{De l'inverse à une fonction carré}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{2}{15}
On s'intéresse aux points d'intersection des courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies respectivement sur $\R^*$ et sur $\R$ par :
\[
f(x)=\dfrac{1}{x} \qquad \text{et}\qquad g(x)=2x-7.
\]
\begin{questions}
\item Soit $h(x)=\dfrac{-2x^2+7x+1}{x}$, pour $x\neq0$.

Montrer que chercher les abscisses de ces éventuels points revient à résoudre l'équation $h(x)=0$.
\item Montrer que:
\[
-2x^2+7x+1=-2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^2+\dfrac{57}{8}.
\]
\item En déduire l'abscisse des points d'intersection cherchés initialement.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Notons $M(x~;y)$ l'un des éventuels points d'intersection des deux courbes. 

$M$ est sur la courbe représentative de $f$ donc $y=f(x)$; de même, $M$ est sur celle de $g$ donc $y=g(x)$ d'où $f(x)=g(x)$.
\[
f(x)=g(x)  \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}=2x-7 \Leftrightarrow \iff \dfrac{1}{x}-2x+7=0 \Leftrightarrow \dfrac{-2x^2+7x+1}{x}=0.
\]

\item Développons la forme donnée dans l'énoncé :
\begin{align*}
-2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^2+\dfrac{57}{8} & = -2\left(x^2-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{49}{16}\right)+\dfrac{57}{8}\\
& = -2x^2+7x-\dfrac{49}{8}+\dfrac{57}{8}\\
& = -2x^2+7x+1.
\end{align*}

\item Des questions précédentes, on déduit:
\begin{align*}
f(x)=g(x) & \iff -2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^2+\dfrac{57}{8}=0\\
& \iff -2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^2=-\dfrac{57}{8}\\
& \iff \left(x-\dfrac{7}{4}\right)^2=-\dfrac{57}{8}\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\
& \iff \left(x-\dfrac{7}{4}\right)^2=\dfrac{57}{16}\\
& \iff x-\dfrac{7}{4}=\sqrt{\dfrac{57}{16}}\quad\text{ou}\quad x-\dfrac{7}{4}=-\sqrt{\dfrac{57}{16}}\\
& \iff x = \dfrac{\sqrt{57}}{4}+\dfrac{7}{4}\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\sqrt{57}}{4}+\dfrac{7}{4}.
\end{align*}
Ainsi, il y a deux points d'intersection, d'abscisses $x_1=\dfrac{7-\sqrt{57}}{4}$ et $x_2=\dfrac{7+\sqrt{57}}{4}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2017

\begin{exo}{Changement de repère}{Lycée Fernand Daguin, Mérignac}{2}{20}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{changement de repère}{https://media.prepamath.fr/IL2Mch06exo18}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch06exo18}}}
\vspace*{-2em}

Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$, on considère la courbe représentative $\cal C$ de la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=\dfrac{x-1}{x-2}.
\]
\begin{questions}
\item Quel est le domaine de définition de $f$ ?
\item Montrer que $f(x)=1+\dfrac{1}{x-2}$.
\item On considère les points $O'(2~;1)$, $I'(3~;1)$ et $J'(2~;2)$ et le repère $(O',I',J')$. 

On convient de noter $(X~;Y)$ les coordonnées des points dans ce nouveau repère, et $(x~;y)$ celles des points dans $(O,I,J)$.

\begin{questions}
\item Expliquer les égalités : $x=X+2$ et $y=Y+1$.
\item Montrer que dans $(O',I',J')$, tout point $M(X~;Y)$ de $\cal C$ est tel que $Y=\dfrac{1}{X}$.

Que peut-on en conclure sur $\cal C$ ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch06exo18}}}
\vspace*{-10pt}
\begin{questions}
\item L'expression de la fonction $f$ contient un quotient donc $f$ est définie quand le dénominateur de ce dernier est différent de 0.

Le domaine de définition de $f$ est donc : $\R-\{2\}$.

\item $\begin{aligned}[t]
1+\dfrac{1}{x-2} & = \dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{1}{x-2}\\
& = \dfrac{x-2+1}{x-2}\\
& = \dfrac{x-1}{x-2}\\
& = f(x).
\end{aligned}$

\item 
\begin{questions}
\item \raisebox{-\totalheight+1em}{\includegraphics{218_04-25}}

\Par

On voit alors que $x=X+x_{O'}=X+2$ et $y=Y+y_{O'}=Y+1$.

Sur le schéma, toutes les coordonnées sont positives, mais les égalités sont bien sûr  valables quand elles sont négatives.

\item On sait que dans le repère $(O,I,J)$, 
\[
y=f(x)=1+\dfrac{1}{x-2}\;;
\]
ainsi, à l'aide des égalités trouvées à la question précédente, on obtient :
\[
Y+1=1+\dfrac{1}{X+2-2}\qquad\text{soit}\qquad Y=\dfrac{1}{X}.
\]
On peut alors conclure que la fonction $f$ est la fonction inverse dans le repère $(O',I',J')$ et donc que $\cal C$ est une hyperbole.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Fonctions racine carrée et cube}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 2024

\begin{exo}{Encadrement par deux entiers}{Lycée Parc de Vilgenis, Massy}{1}{2}
Encadrer le nombre $\sqrt{123}$ par deux entiers sans utiliser la calculatrice.
\end{exo}

\begin{corrige}
On sait que $11^2 = 121$ et $12^2 = 144$ donc on peut écrire:
\[
121 < 123 < 144 \iff \sqrt{121} < \sqrt{123} < \sqrt{144} \iff 11 < \sqrt{123} < 12.
\]
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Domaine}{Lycée Stanislas, Paris}{1}{5}
Quel est l'ensemble de définition de la fonction~: 
\[f : x \mapsto \sqrt{\frac{x^2-2}{x+5}}\;\text{ .}\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Pour déterminer l'ensemble de définition de $f$, il faut savoir pour quels $x$ la fraction $g(x)=\dfrac{x^2-2}{x+5}$ existe et est positive. 

À cause du dénominateur, il faudra exclure la valeur $-5$. 

Après avoir 
remarqué que $\dfrac{x^2-2}{x+5}=\dfrac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x+5}$, 
on dresse un\linebreak tableau de signes page ci-contre. 

\[
\begin{array}{|C|lcccccccr|}
\hline\tabulartitle
x    & -\infty &  &-5&  & -\sqrt{2} &   & \sqrt{2} &   & +\infty \\ \hline
x-\sqrt{2}  &   &-&      & - &  & - & 0 & + &   \\ \hline
x+\sqrt{2}  &   &-&      & - &0 & + &   & + &   \\ \hline
x+5         &   &-& 0    & + &  & + &   & + &   \\ \hline
g(x)        &   &-  & \dvline & + &0 & - &  0& + &   \\ \hline
\end{array}
\]
Ainsi, $g(x)\geq 0$ si $-5<x\leq -\sqrt{2}$ ou $x\geq \sqrt{2}$. 
L'ensemble de définition de $f$ est donc une réunion de deux
intervalles~: 

$D_f=\big]-5,-\sqrt{2}\Big] \cup \big[\sqrt{2},+\infty\big[$. 
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Parité}{Lycée Marcelin Berthelot, Châtellerault}{1}{10}
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes
et étudier leur parité. 
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $f_1(x)=\dfrac{x^3+x}{\sqrt{x^2-1}}$
\item $f_2(x)=\dfrac{x^2-5}{x^3}$
\item $f_3(x)=\sqrt{\dfrac{x^2-2}{x^2+1}}$
\item $f_4(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$. 
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f_1(x)$ est définie quand son dénominateur est non nul, 
et que l'expression sous le radical est positive. On peut
résumer ces deux conditions par : $x^2-1>0$, c'est-à-dire $x^2>1$.

C'est une inégalité entre nombres positifs, on obtient une
inégalité équivalente en appliquant la racine carrée~: 
$|x|>1$. 

Nous écrivons bien $\sqrt{x^2}=|x|$ et pas seulement $x$, sinon
nous allons oublier la moitié des solutions~!

Or $|x|>1$ se traduit facilement par $x<-1$ ou $x>1$. 

L'ensemble de définition est donc $D_1=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[$. 

Cet ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$
(si $x\in D_1$, alors $-x\in D_1$). On peut donc étudier la parité. 

Prenons $x\in D_1$ et calculons $f_1(-x)$~:

\[f_1(-x)=\dfrac{(-x)^3-x}{\sqrt{(-x)^2-1}}=\dfrac{-x^3-x}{\sqrt{x^2-1}}
=-\dfrac{x^3+x}{\sqrt{x^2-1}}=-f_1(x).\]
La fonction $f_1$ est donc impaire. 

\item $f_2(x)$ est définie dès que son dénominateur est non nul, 
donc pour\linebreak $x\in\R^*$. Ainsi, l'ensemble de définition de 
$f_2$ est $D_2=\R^*$. Cet ensemble est symétrique par rapport à $0$
et pour tout $x\in D_2$, 

\begin{align*}
f_2(-x) & =\dfrac{(-x)^2-5}{(-x)^3}\\
& =-\frac{x^2-5}{x^3}\\
& =-f_2(x).
\end{align*}

La fonction $f_2$ est elle aussi impaire. 

\item Notons $g(x)=\dfrac{x^2-2}{x^2+1}$. À cause 
du radical, $f_3(x)$ est définie
si et seulement si $g(x)$ est définie et positive. 

Le dénominateur de $g(x)$ est
toujours strictement positif, donc $g(x)\geq 0$ si et seulement 
si $x^2-2\geq 0$, c'est à dire $x^2\geq 2$. 

En raisonnant comme
à la question 1, on obtient l'inégalité équivalente $|x|\geq \sqrt2$, 
d'où $x\leq -\sqrt{2}$ ou $x\geq \sqrt{2}$. 

Conclusion~: $D_3=]-\infty,-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2},+\infty[$. 

Cet ensemble est symétrique par rapport à $0$ et si $x\in D_3$, 
\[g(-x)=\dfrac{(-x)^2-2}{(-x)^2+1}=\dfrac{x^2-2}{x^2+1}=g(x)\]
et donc $f_3(-x)=\sqrt{g(-x)}=\sqrt{g(x)}=f_3(x)$. 

On en déduit que $f_3$ est paire. 

\item $f_4$ est définie sur $\R$, qui est bien entendu 
symétrique par rapport à $0$. 

Pour tout $x\in\R$, $f_4(-x)=\dfrac{-x+1}{(-x)^2+1}
=\dfrac{-x+1}{x^2+1}$. On \og sent \fg que cette expression
n'est pas identique, ni opposée à $f_4(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$, 
mais il faut le prouver, d'autant que dans le cas de $x=0$, 
on a une égalité. Deux méthodes sont possibles. 
\begin{itemize}
\item On résout l'équation $f_4(-x)=f_4(x)$. Comme les
dénominateurs sont les mêmes, on est vite ramené à $-x+1=x+1$, donc
$2x=0$ puis $x=0$, ce qui montre que l'égalité n'a lieu que pour
le cas particulier $x=0$~: la fonction $f_4$ n'est donc pas paire. On 
procède ensuite de la même façon avec $f_4(-x)=-f_4(x)$ pour
montrer que $f_4$ n'est pas impaire. Il y a mieux. En effet, 
en résolvant ces équations, on effectue un travail inutile. 

\item Il \emph{suffit} de trouver un $x$ pour lequel $f_4(-x)\neq f_4(x)$
pour affirmer que $f_4$ n'est pas paire, de même qu'il 
\emph{suffit} de trouver un $x$ pour lequel $f_4(-x)\neq -f_4(x)$
pour montrer que $f_4$ n'est pas impaire. 

Par exemple, $f_4(-1)=0$ et $f_4(1)=1$. Comme $0$ et $1$ ne
sont ni égaux, ni opposés, $f_4$ n'est ni paire, ni impaire. 
\end{itemize}

\begin{attention}
Un entier est soit pair, soit impair. On a donc l'habitude 
de penser que ces deux mots sont des contraires. 

Ce n'est pas le cas lorsqu'ils s'appliquent à des fonctions.
Une fonction peut être paire (comme $f_3$), impaire (comme $f_1$
et $f_2$), ni l'une ni l'autre (comme $f_4$), et la
fonction nulle est à la fois paire et impaire~!
\end{attention}
\end{questions}

\end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige
