\chapter{\'Equations de droites.\\Systèmes linéaires}


\section{\'Equations de droites}

\begin{exointro}{Lycée Paul Valéry, Sète}
Dans un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, soient trois points $A(-1~;-1)$, $B(-3~;0)$ et $C(3~;2)$.

Donner une équation de $(AB)$, puis de la	parallèle à $(AB)$ passant par $C$.
\end{exointro}


\subsection{Qu'est-ce qu'une équation de droite~?}

Au collège, vous avez rencontré des 
fonctions affines, de la forme $f(x)= m x + p$. 

Si on se donne un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$
du plan, on peut la représenter
graphiquement par une droite $D$, qui contient 
tous les points de coordonnées $(x;y)$ où\linebreak $y=mx+p$. 


Prenons l'exemple de $f(x)=-3x+2$. On calcule:
\begin{center}
$f(1)=-1$, $f(-3)=11$, $f(2)=-4$,
\end{center}
donc la droite $D$ contient, entre autres, les
points de coordonnées : 
\begin{center}
$(1;-1)$, $(-3;11)$, $(2;-4)$. 
\end{center}
Inversement, si $A(-1;5)$, alors $A\in D$ car $f(-1)=5$~;
si $B(2;5)$, alors $B\notin D$ car $f(2)\neq 5$. 

Pour tout point $M$ de coordonnées $(x;y)$~:
\begin{itemize}
\item si $y=-3x+2$, alors $M$ est un point de $D$~;
\item si $y\neq -3x+2$, alors $M$ n'est pas un point de $D$.
\end{itemize}
Autrement dit, les coordonnées des points de $D$
sont les solutions de \emph{l'équation à deux inconnues}
$y= -3 x + 2$. 

On dit donc que $y= -3 x + 2$ est une \emph{équation
réduite de la droite} $D$. 

Pourquoi \og réduite \fg~? 
Parce que sous sa forme la plus générale (appelée
\og équation cartésienne \fg), une
équation de droite s'écrit $ax+by+c=0$.

Si $b\neq 0$, cette équation se ramène 
à la forme réduite~: $y = m x + p$, avec
$m=-\frac{a}{b}$ et $p=-\frac{c}{b}$. 

Si $b=0$ et $a\neq 0$, l'équation se ramène à 
$x=-\frac{c}{a}$. La droite $D$ ne représente plus une
fonction affine, mais contient tous les points qui ont 
l'abscisse $-\frac{c}{a}$~: il s'agit donc d'une droite
parallèle à l'axe des ordonnées (dite droite \og 
verticale \fg). 

Si $A$ et $B$ sont deux points distincts sur la droite $D$, 
la \emph{direction} du vecteur $\gvec{AB}$ ne dépend pas
des points $A$ et $B$. On dit que $\gvec{AB}$
est un vecteur \emph{directeur} de $D$. La droite $D$
possède une infinité de vecteurs directeurs, non nuls,
tous colinéaires, qui caractérisent la \emph{direction} de $D$~:
deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont les mêmes vecteurs directeurs.



%
%
%Dans le cas général, on voit que $f(0)=p$, donc la droite $D$
%passe par le point de coordonnées $(0,p)$. 
%
%La constante $p$ s'appelle \emph{l'ordonnée à l'origine}. 
%
%Le coefficient $m$ indique l'inclinaison de la droite $D$
%par rapport à l'axe des abscisses. C'est le
%\emph{coefficient directeur} de $D$. Si $m=0$, 
%la droite est parallèle à l'axe des abscisses. 

\subsection{\'Equation réduite $y=mx+p$}

On considère une droite $D$ 
qui n'est pas parallèle à l'axe $(Oy)$. Elle
admet une équation réduite $y=mx+p$. 

\Par

\begin{center}
\includegraphics{258_07-01}
\end{center}

\Par

$p$ s'appelle {\em l'ordonnée à l'origine}, car
le point de coordonnées $(0~;p)$ appartient à la droite $D$.
$p$ est l'ordonnée du point de $D$
situé à la verticale de l'origine $O$ (d'où
son nom).

\Par

$m$ s'appelle la {\em pente de la droite}. 
Ce coefficient caractérise l'inclinaison de $D$
par rapport à $(Ox)$, et deux droites
sont parallèles si et seulement si elles ont 
la même pente. Si $m=0$, la droite $D$
est parallèle à $(Ox)$. Si $m>0$, la fonction 
affine $x\mapsto mx+p$ est croissante, c'est-à-dire que
les ordonnées augmentent quand les abscisses augmentent. 
Si $m<0$, c'est l'inverse. Plus la valeur absolue $|m|$
est grande, plus la direction de la droite $D$ se rapproche
de la verticale. 

\newpage

Pour mieux le comprendre, considérons deux points
distincts $A(x_A;y_A)$ et\linebreak $B(x_B;y_B)$ sur $D$. 
Comme $y_A=m x_A+p$ et $y_B = mx_B+p$, on a par 
soustraction~: $y_B-y_A=m(x_B-x_A)$. 


Si on choisit:
\[
x_B=x_A+1,
\]
on obtient un vecteur directeur $\gvec{AB}$ de coordonnées~$\begin{pmatrix}1\\m\end{pmatrix}$. 

C'est ce qu'on appelle la méthode « des petits
pas », ou de « l'escalier »~: à partir d'un point $A$
de $D$, on ajoute $+1$
à l'abscisse, il faut ajouter $+m$ à l'ordonnée pour obtenir un
autre point de la
droite. On constate que, plus $m$ est grand, plus 
le vecteur directeur est proche de la direction de $(Oy)$. 

\subsection{\'Equation cartésienne d'une droite $ax+by+c=0$}

Supposons que l'équation de la droite $D$
soit donnée sous la forme générale\linebreak $ax+by+c=0$. Pour
trouver des points sur $D$, on fixe arbitrairement $x$
ou $y$ et on résout l'équation à une inconnue obtenue. 

Par exemple, si $D$ a pour équation $2x - 3y -4=0$. 
Pour $y=0$, on a~: $2x-4=0$, donc $x=2$. 
Pour $x=3$, on a~: $-3y+2=0$, donc $y=\frac{2}{3}$. 
La droite $D$ passe donc par les points
de coordonnées $(2;0)$ et $\left(3;\frac{2}{3}\right)$.



Si on prend deux points distincts $A(x_A;y_A)$ et 
$B(x_B;y_B)$ sur $D$, on a~: 
\[
a x_A+ b y_A + c=0
\]
et 
\[
a x_B + b y_B +c=0,
\]
donc 
par soustraction~: 
\[
a(x_B-x_A)+b(y_B-y_A)=0.
\] 
Ainsi, si $x_B-x_A=-b$, on constate que $y_B-y_A=a$ convient. 

\Par

Conclusion~: on obtient 
un vecteur directeur $\gvec{AB}$ de coordonnées 
$\begin{pmatrix} -b \\a \end{pmatrix}$. 

\begin{Remarque}
dans une équation cartésienne de droite, les coefficients
$a$ et $b$ ne peuvent pas être tous les deux égaux à zéro
(sinon, il n'y a plus d'inconnue dans l'équation~!), donc
il est certain que ce vecteur n'est pas nul. 
\end{Remarque}

Par exemple, si 
\[
D~:~2x - 3y -4=0,
\]
le vecteur
$\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\2 \end{pmatrix}$ est
un vecteur directeur. 

On retrouve ce qui a été dit au début~: si $b\neq 0$, 
on est ramené à une équation réduite $y=mx+p$ avec
$m=-\frac{a}{b}$, et on connaît le vecteur directeur  
$\vec{v} \begin{pmatrix} 1 \\m \end{pmatrix}$.
 
\begin{Remarque} $\vec{u}=a\vec{v}$ 
est aussi un vecteur directeur de $D$, 
de coordonnées $\begin{pmatrix} -b \\a \end{pmatrix}$. 
\end{Remarque}

\subsection{Pente d'une droite non verticale}

\subsubsection{On connaît deux points}

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-45mm}
On
peut calculer la pente à partir de deux points de 
la droite $A(x_A~;y_A)$ et $B(x_B~;y_B)$ :
\Par
\[m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{30mm}
\includegraphics{260_07-coefdir}
\end{minipage}


\subsubsection{On connaît un vecteur directeur}

\begin{itemize}
\item Si le vecteur directeur est de la forme $\vec{u}\begin{pmatrix}0\\b\end{pmatrix}$, alors la droite est verticale et n'a donc pas de pente (parfois, on dit qu'elle a une pente \og infinie \fg).

\Par

\begin{center}
\includegraphics{260_07-droiteverticalevecteur}
\end{center}

\item Si le vecteur directeur $\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}$, avec
$a\not=0$, alors on remarque que le vecteur :
$\dfrac{1}{a}\vec{u}$, qui a pour coordonnées :
$\dbinom{1}{\frac{b}{a}}$, est aussi un vecteur directeur de la droite, dont les coordonnées sont
de la forme $\dbinom{1}{m}$, donc $m=\dfrac{b}{a}$.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{261_07-vectdir}
\end{center}
\end{itemize}


\subsection{Comment déterminer l'équation d'une droite ?}

% vidéo manquante
%\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez cette partie du cours en vidéo.]{comment déterminer l'équation d'une droite?}{https://media.prepamath.fr/IL2Mch07crs}
%
%\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
%\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch08crs}}}
%\vspace*{-2em}

\subsubsection{Méthode par identification}
Pour plus de clarté, nous allons traiter quelques
exemples. 

\paragraph{Cas d'une droite passant par un point donné et dirigée par un vecteur non nul}

Soit $A(2;3)$ et $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 
\end{pmatrix}$. 

La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$
admet une équation\linebreak\mbox{$ax+by+c=0$}, avec $-b=1$, $a=2$. 

Comme $A$ est sur la droite, on a $2a+3b+c=0$. 
Ces renseignements permettent de calculer 
$a=2$, $b=-1$ et $c=-1$, d'où l'équation $2x-y-1=0$.

%Soient $A(x_A~;y_A)$ et  $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\ b \end{pmatrix}$.
%
%Si $a=0$, alors la droite est verticale
%et a pour équation $x=x_A$.
%
%Sinon, la droite est oblique, elle admet une équation de type $y=mx+p$, avec $m=\dfrac{b}{a}$. Comme $A$ est un point de la droite, on obtient : $p=y_A-mx_A$. 

\paragraph{Cas d'une droite passant par deux points distincts donnés}

Soient $A(1;1)$ et $B(-2;3)$.

Les deux points n'ont pas la même abscisse, la droite
$(AB)$ n'est donc pas verticale et elle admet une
équation réduite $y=mx+p$. 
Comme les coordonnées de $A$ et $B$ sont solutions, 
on obtient~: $1=m+p$ et $3=-2m+p$. En soustrayant, 
il vient $-2=3m$, donc $m=-\frac{2}{3}$ et $p=\frac{5}{3}$.

La droite $(AB)$ a pour équation $y=-\frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$. On peut multiplier par $3$ pour obtenir une 
équation à coefficients entiers~: $2x+3y-5=0$. 

On note qu'une droite a une seule équation 
réduite, mais qu'elle a une infinité d'équations, 
toutes proportionnelles. En cherchant l'équation réduite,
on obtient un problème plus simple avec seulement deux
coefficients à trouver. 
 

%La droite $(AB)$ admet une équation $ax+by+c=0$. 
%
%x_A~;y_A)$ et $B(x_B~;y_B)$ deux points de la droite.
%
%Si les deux points ont la même abscisse $c=x_A=x_B$, la droite a pour équation $x=c$.
%
%Sinon, la droite $(AB)$ est oblique, et admet donc une équation de la forme\linebreak $y=mx+p$.
%On sait que
%$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, on peut donc calculer
%$p=y_A-mx_A$ (ou $p=y_B-mx_B$).           

\newpage

\subsubsection{Méthode du déterminant}

\paragraph{Cas d'une droite passant par un point donné et dirigée par un vecteur non nul}

Soit $A(2;3)$ et $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 
\end{pmatrix}$. 

On considère un point $M(x;y)$. Ce point est sur la droite
$D$ si $\gvec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires. 

On détermine les coordonnées de 
$\gvec{AM}\begin{pmatrix} x-2 \\ y-3 
\end{pmatrix}$. 

On sait que $\gvec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires
si et seulement si leur déterminant est égal à zéro. 
On calcule donc le déterminant de $\gvec{AM}$ et $\vec{u}$~:
\[
\det(\gvec{AM},\vec{u})=(x-2)\times 2 - (y-3)\times 1.
\] 
On retrouve, après les simplifications, 
l'équation de $D$~: $2x-y-1=0$.


\paragraph{Cas d'une droite passant par deux points distincts donnés}
Soit $A(-4;2)$ et $B(5;4)$. 
Le vecteur $\gvec{AB}\begin{pmatrix} 9\\ 2
\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(AB)$. 

\begin{center}
\includegraphics{262_07-vectdir2}
\end{center}

On est ramené au cas précédent. 
Si $M(x;y)$, alors $M$ est un point de $D$
si et seulement si $\det(\gvec{AM},\gvec{AB})=0$, 
c'est-à-dire : $2(x+4)-9(y-2)=0$, donc l'équation de $D$ est : 
$2x-9y+26=0$.

%
%
%Soient $A(x_A~;y_A)$ et un vecteur
%$\vec{u}\,\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$.
%Un point $M(x~;y)$ appartient à la droite si et seulement si 
%$\gvec{AM}\begin{pmatrix}x-x_A\\ y-y_A\end{pmatrix}$
%et $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$ sont colinéaires, 
%d'où :
%\[b(x-x_A)-a(y-y_A)=0.\]
%\begin{center}
%\includegraphics{262_07-vectdir2}
%\end{center}
%Si $a=0$, alors la droite est verticale
%et a pour équation $x=x_A$.
%
%Sinon, on obtient : $y=\dfrac{b}{a}x +y_A-\dfrac{b}{a}x_A$.

%On peut également poser l'existence
%d'un réel $k$ tel que $\gvec{AM}=k.\vec{u}$, d'où
%\[\left\{\begin{matrix}x-x_A = k\times a \\ y-y_A = k\times b 
%\end{matrix}\right.\]
%qui permet de retrouver la formule 
%\[b(x-x_A)-a(y-y_A)=b\times k\times a-a\times k\times b=0.\]
%\paragraph{Cas d'une droite passant par deux points distincts donnés}
%Soient $A(x_A~;y_A)$ et $B(x_B~;y_B)$ ces deux points.
%
%Le vecteur $\gvec{AB}$ est un vecteur directeur de la droite,
%on peut se ramener ainsi au cas précédent.

%\subsection{Droites parallèles}
%Deux droites sont parallèles si et seulement si,
%soit elles sont toutes deux parallèles à l'axe des ordonnées, soit
%elles ont même coefficient directeur.
%


\newpage


\enlargethispage*{5em}

\begin{solintro}
On a d'abord besoin des coordonnées du vecteur $\gvec{AB}\dbinom{-2}{1}$.

\begin{center}
\includegraphics{263_07-solexo}
\end{center}

Nous allons utiliser les deux méthodes, assez différentes dans l'esprit.

\begin{questions}
	\item \emph{Identification :}
les coordonnées de $\gvec{AB}$ donnent directement le coefficient directeur de
$(AB)$ : $-\dfrac{1}{2}$.

L'équation réduite de $(AB)$ s'écrit $y=-\dfrac{1}{2}x + p$. 
Comme
$A(-1~;-1)$ est un point de $(AB)$, on a : $-1=\dfrac{1}{2} +p$, d'où $p=-\dfrac{3}{2}$.

Conclusion : $(AB)$ a pour équation réduite $y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}$.

	\item \emph{Vecteurs colinéaires :}
notons $D$ la droite parallèle à $(AB)$ et passant par $C$. Elle a pour vecteur directeur $\gvec{AB}$. 
Le point $M(x~;y)$ appartient à $D$ si et seulement si les
	vecteurs $\gvec{CM}$ et $\gvec{AB}$ sont colinéaires.
		On écrit leurs coordonnées :
		\begin{equation*}
		\gvec{CM}\binom{x-3}{y-2}\qquad\text{et}\qquad\gvec{AB}\binom{-2}{1}.
		\end{equation*}
		En exprimant que les deux vecteurs sont colinéaires, on a :
		\[
		(x-3)\times 1-(y-2)\times (-2)=0,
		\]
		ce qui donne 	\mbox{$x+2y-7=0$} et donc, en simplifiant : \[y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{7}{2}.\]
\end{questions}
\vspace*{-1em}
\end{solintro}
	
\section{Système d'équations linéaires}

\begin{exointro}{Lycée Fustel-de-Coulanges, Massy}
Résoudre le système suivant :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2=13\\ 
2x^2-3y^2=-19
\end{array}
\right.
\]
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}

\subsection{Cas d'équations sans carrés}

On utilise deux méthodes de résolution : substitution
ou combinaison. 



\subsubsection{Substitution} 

Il s'agit de calculer l'une des inconnues en fonction
des autres grâce à l'une des équations, et de remplacer, de substituer ce que l'on a trouvé dans les autres équations. 

Concrètement, dans le système :
\[\left\{\begin{array}{l}x-y=-16\\ 3x+5y=40 \end{array}\right.,\]
on peut calculer grâce à la première équation ($x=y-16$), et remplacer dans la 
seconde :
\[\left\{\begin{array}{l}x=y-16\\ 3(y-16)+5y=40
\end{array}\right. .\]
Après simplifications, on a :
\[\left\{\begin{array}{l}x=y-16\\ 8y - 48 = 40\end{array}\right. .\]
Pour que chaque système que vous écrivez soit équivalent au précédent 
(c'est-à-dire 
qu'il aie les mêmes solutions), il faut bien veiller à garder 
l'équation donnant la valeur de $x$. On la recopie dans chaque système, sans la
modifier. Avec la dernière équation, on obtient : $8y=88$, donc $y=11$.
On remplace $y$ par $11$ dans la première équation :
\[\left\{\begin{array}{l}x=11-16=-5\\ y=11\end{array}\right. .\]
Il y a une (unique) solution : $(-5~;11)$. Attention si vous donnez
{\em l'ensemble} des solutions : il ne contient qu'un seul élément. 

On note :
\[S=\left\{(-5~;11)\right\}.\]

\subsubsection{Combinaison} Vous avez le droit, dans un système d'équations,
de multiplier les équations par un réel non nul et d'ajouter une des équations
à une autre, dans le but de supprimer une inconnue. 
On obtient alors un système équivalent. N'oubliez pas d'indiquer
en marge de votre système les opérations que vous avez réalisées, ce qui
permet au correcteur de mieux suivre votre raisonnement.  
Par exemple, pour le système
\[\left\{\begin{array}{l}x-y=-16\\ 3x+5y=40 \end{array}\right. .\]
On peut se débarrasser de $y$ dans la deuxième équation
en multipliant la première ligne par 5, et en ajoutant le résultat à la deuxième
ligne. Notez ceci :\\ $L_2\leftarrow L_2+5L_1$. 
On obtient :
\[\begin{array}{r} \\ L_2\leftarrow L_2+5L_1
\end{array}
\left\{\begin{array}{l} x-y=-16\\ 3x+5y+5(x-y)=40-5\times 16\end{array}\right. 
.\]
On simplifie :
\[
\left\{\begin{array}{l} y=x+16 \\ 8x=-40\end{array}\right.\]
et enfin :
\[
\left\{\begin{array}{l} y=11 \\ x=-5\end{array}\right. .\]
On retrouve :
\[S=\left\{(-5~;11)\right\}.\]

\subsection{Lien avec les équations de droites}
\subsubsection{Interprétation géométrique}
Examinons de nouveau le système :

\[
\begin{cases} x-y = -16\\ 3x+5y=40\end{cases}.
\]

Le système ne contenant que des
sommes et produits de constantes par $x$ et $y$, on parle
de système \emph{linéaire}. 
Chaque ligne peut être interprétée comme
une équation de droite. 
Notons $D_1$ la droite d'équation $x-y+16=0$ et
$D_2$ la droite d'équation $3x+5y-40=0$.
Les point $M(x;y)$ dont les coordonnées sont solutions
du système sont les points qui sont à la fois sur $D_1$
et $D_2$. Si les droites ne sont pas
parallèles, il n'y en a qu'un. 

\Par

\begin{center}
\includegraphics{266_07-systeme}
\end{center}

\Par

Comment vérifier si les droites sont parallèles~? 
On sait trouver un vecteur directeur $\vec{u_1}
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ pour $D_1$, 
et $\vec{u_2} \begin{pmatrix} -5 \\3 \end{pmatrix}$
pour $D_2$. Or ces vecteurs ne sont pas colinéaires
(parce que leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles,
ou parce que leur déterminant n'est pas $0$). 

Dans cet exemple, il est donc certain qu'il existe
une solution et une seule. 

%Dans chacune des équations, écrivons $y$ en fonction de $x$. On obtient le système équivalent :
%\[\begin{cases} y=x+16\\ y=-\frac{3}{5}x+8\end{cases}\]
%Notons $f$ et $g$ les deux fonctions affines telles que pour tout réel $x$ :
%\[f(x)=x+16 \text{ et } g(x)=-\frac{3}{5}x+8.\]
%\begin{center}
%\includegraphics{266_07-systeme}
%\end{center}
%Le problème revient donc à chercher les $(x,y)$ tels que :
%\[\begin{cases}y=f(x)\\y=g(x)\end{cases}\]
%La première équation signifie que $(x~;y)$ est un point de la droite représentative de $f$, la seconde équation signifie que $(x~;y)$ est un point de la droite représentative de $g$. La question posée est donc équivalente à la recherche des points d'intersection 
%de deux droites :
%\begin{itemize}
%\item La droite $D_1$, d'équation $y=x+16$, qui représente $f$ ~;
%\item la droite $D_2$, d'équation $y=-\dfrac{3}{5}x+8$, qui représente $g$.
%\end{itemize}
%Les deux droites ayant des coefficients directeurs différents, elles ne sont donc
%pas parallèles. $D_1$ et $D_2$ ont donc un unique point d'intersection ~; le
%couple des coordonnées de ce point est la solution du système.

\subsubsection{Nombre de solutions en fonction du type de système}

On considère un système sous la forme~: 
\[\begin{cases} 
a_1 x + b_1 y = c_1\\
a_2 x + b_2 y = c_2.
\end{cases}\]

Sauf dans des cas très particuliers où l'une des lignes
ne contient pas d'inconnue (par exemple si $a_1=b_1=0$), 
les deux lignes sont, comme dans l'exemple
précédent, les équations de deux droites 
$D_1$ et $D_2$. On considère
leurs vecteurs directeurs respectifs~:
$\vec{u_1}\begin{pmatrix} -b_1\\ a_1\end{pmatrix}$
et $\vec{u_2}\begin{pmatrix}
-b_2 \\ a_2
\end{pmatrix}$. 


Si $a_1b_2-a_2b_1\neq 0$, les deux vecteurs sont non
colinéaires, donc les deux droites 
sont sécantes, et le système
admet un unique couple solution.

Si $a_1b_2-a_2b_1=0$, les droites $D_1$ et $D_2$ sont
parallèles. 
\begin{itemize}
\item Si les deux équations sont proportionnelles, $D_1$
et $D_2$ sont confondues et le système admet une infinité
de solutions (les coordonnées des points de $D_1$) ;
\item sinon, les droites $D_1$ et $D_2$ sont strictement 
parallèles, et le système n'admet aucune solution. 
\end{itemize}

%Tout système linéaire de deux équations à deux inconnues peut se ramener comme ci-dessus à l'un des cas suivants :
%
%\subsubsectionnn{Intersection de droites obliques}
%
%\[\begin{cases}y=ax+b\\ y=cx+d\end{cases}\]
%\begin{questions}
%\item Si $a\not=c$, les droites $D_1$ (d'équation $y=ax+b$) et $D_2$ (d'équation\\ $y=cx+d$)
%sont sécantes, il existe donc un unique couple solution.
%\item Si $a=c$, alors $D_1$ et $D_2$ sont parallèles.
%\begin{questions}
%\item Si $b=d$, alors $D_1=D_2$, le système est équivalent à une seule des deux équations,
%par exemple : $y=ax+b$, et il y a une infinité de solutions (tous les couples des coordonnées des
%points de $D_1$).
%\item Si $b\not=d$, alors $D_1$ et $D_2$ sont \emph{strictement} parallèles ~;  il n'y a pas de point
%d'intersection donc pas de solution.
%\end{questions}
%\end{questions}
%
%\subsubsectionnn{Droites parallèles à l'axe des ordonnées}
%\[\begin{cases} x=a\\ x=b\end{cases}\]
%Le système n'a pas de solution si $a\not=b$, et une infinité (toute la droite d'équation $x=a$)
%si $a=b$.
%
%\subsubsectionnn{Intersection d'une droite verticale et d'une droite oblique}
%
%\[\begin{cases} y=ax+b\\ x=c\end{cases}\]
%C'est un cas facile : les deux droites sont toujours sécantes, il y a donc un unique point
%d'intersection, et donc un seul couple-solution pour le système.
%
%
%Il est parfaitement inutile d'apprendre par c{\oe}ur les différents cas : une fois
%les équations de droites écrites, il n'est pas difficile de se rendre compte si on
%a affaire à des droites parallèles ou sécantes. On retiendra :

\begin{aretenir}
Un système linéaire possède soit aucune solution, soit une seule solution, soit une infinité de solutions.
%
%Pour connaître le nombre de solutions sans résoudre complètement le système, on transforme les équations du système en équations de droite.
\end{aretenir}

%
%\subsubsection{Méthode du déterminant}
%
%On veut résoudre le système :
%\[\begin{cases} ax+by = p\\ cx+dy = q\end{cases}\]
%
%\begin{itemize}
%\item Si $ad-bc=0$, alors $ad=bc$, et donc $a$ et $b$ sont proportionnels à $c$ et $d$.
%Si $p$ et $q$ ne sont pas proportionnels à $b$ et $d$, alors il n'y a pas de solution. Par exemple,
%le système :
%\[\begin{cases} 2x+3y = 5\\ 4x+6y=7\end{cases}\]
%n'admet pas de solution (car $7\not=2\times 5$). 
%En revanche, si $p$ et $q$ sont proportionnels à $b$ et $d$, on peut éliminer l'une des deux équations. 
%Par exemple, dans :
%\[\begin{cases} 2x+3y = 5\\ 4x+6y=10\end{cases}\]
%la seconde équation se déduit de la première (en multipliant par 2), et le système se ramène simplement à 
%l'équation :
%\[2x+3y=5\]
%qui admet une infinité de solutions.
%\item Si $ad-bc\not=0$, alors $dL_1-bL_2$ fournit la relation :
%\[(ad-bc)x=dp-aq\]
%et $aL_2-cL_1$ donne :
%\[(ad-bc)y=aq-cp.\]
%D'où $x=\dfrac{dp-aq}{ad-bc}$ et $y=\dfrac{aq-cp}{ad-bc}$. Vous pouvez vérifier qu'il s'agit
%bien d'une solution du système. Elle est unique. 
%\end{itemize}
%
%\begin{aretenir}
%Si $ad-bc\not=0$, alors le système :
%\[\begin{cases} ax+by = p\\ cx+dy = q\end{cases}\]
%admet une unique solution.\\
%Si $ad-bc=0$, il en admet $0$ ou une infinité. 
%\end{aretenir}
%
%\newpage
%
%\subsection{Autre cas \ldots{}}
%
%La plupart des systèmes d'équations que l'on vous demande de résoudre en Seconde
%sont des systèmes {\em linéaires}, c'est-à-dire qu'il y apparaît
%les inconnues $x$, $y$, $t$, etc., mais en aucun cas $\sqrt{x}$,
%$y^2$ ou $\sin t$. Néanmoins, il peut vous arriver de rencontrer des
%systèmes non linéaires, par exemple :
%\[\left\{\begin{array}{l}\dfrac{2}{x}+\dfrac{6}{y}=3\\ \dfrac{8}{x}-\dfrac{3}{y}=3
%\end{array}\right.\]
%Il suffit de se ramener à un système linéaire, en posant :
%$X=\dfrac{1}{x}$ et $Y=\dfrac{1}{y}$.
%
%Le système ci-dessus devient :
%\[\left\{\begin{array}{l}2X+6Y=3 \\ 8X-3Y=3\end{array}\right.\]
%On résout facilement par combinaisons :
%\[\begin{array}{r}L_1\leftarrow L_1+2L_2 \\ \end{array}
%\left\{\begin{array}{l}18X=9\\ 8X-3Y=3\end{array}\right.\]
%et en calculant de proche en proche, on obtient : $X=\dfrac{1}{2}$ et $Y=\dfrac{1}{3}$. 
%
%Ne perdez pas de vue notre objectif : calculer $x$
%et $y$ (et non pas $X$ et $Y$). 
%
%On trouve sans difficulté :
%$x=2$ et $y=3$. D'où {\em la} solution : $(2~;3)$.


\enlargethispage*{2em}
\begin{solintro}
Pour se ramener à un système linéaire, on pose $X=x^2$ et $Y=y^2$. 

On obtient :
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=13\\ 2x^2-3y^2=-19
\end{array}\right.
&\iff
\left\{\begin{array}{l}X+Y=13\\ 2X-3Y=-19 \end{array}\right.\\
&\iff \left\{\begin{array}{ll}X+Y=13 & \\ 5X=20 & L_2\leftarrow L_2+3L_1  \end{array}\right.\\
&\iff
\left\{\begin{array}{l}X+Y=13\\ X=4 \end{array}\right.\\
&\iff
\left\{\begin{array}{l}Y=13-4=9\\ X=4 \end{array}\right. .
\end{align*}
On obtient enfin :
\[Y=9\text{ et }X=4,\]
ce qui donne $x=2$ ou $x=-2$, et $y=3$ ou $y=-3$. En tenant compte
de tous les cas, on obtient
l'ensemble de solutions suivant :
\[S=\left\{(2~;3),(-2~;3),(2~;-3),(-2~;-3)\right\}.\]
\end{solintro}



