\thumb

\begin{vf}{\'Equations de droites}{5}
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

\begin{questions}
\item La droite $D$ d'équation $y=3x+2$ passe par $A(1~;2)$.
\item Si $A(2~;1)$ et $B(-1~;2)$, alors $(AB)$ a pour coefficient directeur $-3$.
\item Les droites $D$~: $y=-2x-3$ et $D'$~: $y=5x-3$ sont parallèles.
\item $\vec{u}\dbinom{1}{-3}$ est un vecteur directeur de $D$~: $y=-3x+6$.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Faux}. Si $x=1$, $3x+2=5$.
\item \textit{Faux}. Le coefficient directeur de $(AB)$
est $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}$.
\item \textit{Faux}. Elles n'ont pas le même coefficient directeur.
\item \mbox{\textit{Vrai}. En effet, si $D\;:\; mx+p$ alors $\vec{u}\dbinom{1}{m}$ est un vecteur directeur de $D$.}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{qcm}{Systèmes d'équations}{10}
Quels sont, parmi les systèmes suivants, ceux qui admettent au moins une solution~?

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix $\begin{cases} 2x+3y=0\\ 5x-y=0\end{cases}$ &
\choix $\begin{cases} y=2x+5\\ y=-x+3 \end{cases}$ \\[8mm]
\choix $\begin{cases} 2x-3y=1\\ 4x-6y=3\end{cases}$ &
\choix $\begin{cases} 2x-5y=4\\ 4x-10y=8\end{cases}$
\end{tabularx}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & Une solution unique.  Les deux premières équations représentent des droites de 
coefficients directeurs $-\dfrac{2}{3}$ et $5$.
Elles ne sont donc pas parallèles.\\[1mm]
\choix & Une solution unique. 
Les deux équations représentent des droites de coefficients
directeurs $2$ et $-1$, donc sécantes. \\[1mm]
\choix & Aucune solution, car si $2x-3y=1$, alors $4x-6y=2\neq 3$.\\[1mm]
\choix &Une infinité de solutions, car les deux équations sont  proportionnelles et représentent donc la même droite. 
\end{tabularx}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{\'Equations de droites}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%% 

\begin{exo}{\'Equations de droites}{Lycée François I\ier{}, Le Havre}{1}{5}
Soit $D$ la droite d'équation : $y=-3x+1$. On munit le plan d'un repère $(O,I,J)$. Soient $\vec{u}=2\vec{\imath}+\vec{\jmath}$, et $t$ la translation de vecteur $\vec{u}$. Trouver une équation de l'image de $D$ par $t$. 
\end{exo}

\begin{corrige}
L'image d'une droite par une translation est une droite parallèle, donc une équation de l'image de $D$ est de la forme :
 \[y=-3x+c.\]
 Prenons au hasard un point de $D$, par exemple le point de coordonnées\linebreak $(1~;-2)$, que nous noterons $M$.  L'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, est
 le point de coordonnées $(1+2~;-2+1)$, donc $(3~;-1)$.
 
 L'image de $D$ passe nécessairement par ce point, donc 
 $-1=-3 \times 3+c$, ce qui donne : $c=8$.
 
 Une équation de l'image de la droite $D$ par la translation $t$ est donc :
 \[y=-3x+8.\]
 \end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{\'Equations de droites}{Lycée Carnot, Dijon}{1}{15}
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

On donne les points $A(1~;0)$ et $B(4~;2)$. \'Ecrire une équation de la médiatrice du segment $[AB]$.
\end{exo}

\begin{corrige}
La difficulté de cet exercice est de trouver la propriété des médiatrices qu'il faut utiliser. On sait que tout point $M$ de coordonnées $(x~;y)$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ si et seulement s'il est équidistant de $A$ et $B$, c'est-à-dire : $AM=BM$.

En élevant au carré et en tenant compte de $A(1~;0)$ et $B(4~;2)$, il vient :
\begin{align*}
AM^2=BM^2
&\iff (x-1)^2+y^2=(x-4)^2+(y-2)^2\\
&\iff x^2-2x+1+y^2=x^2-8x+16+y^2-4y+4\\
&\iff -2x+1=-8x-4y+20\\
&\iff 4y=-6x+19\\
&\iff y=-\frac{3}{2}x+\frac{19}{4}\text{ (car $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$).}
\end{align*}
Une équation de la médiatrice est donc :
\[y=-\frac{3}{2}x+\frac{19}{4}.\]
\end{corrige}

%%% 
\newpage
\begin{exo}{\'Equations de droites}{Lycée Lacordaire, Marseille}{1}{15}
\begin{questions}
\item Dans un repère $(O,I,J)$, déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ passant par $A$ et de coefficient directeur $-1$ avec $A(2~;3)$.

\item Donner une équation de $\Delta$, la droite passant
par $B(0~;2)$ et parallèle à $\mathcal{D}$.
\item Construire $\mathcal{D}$ et $\Delta$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\mathcal{D}$ a pour coefficient directeur : $-1$. Notons $y=-x+c$ son équation. 

$\mathcal{D}$ passe par $A(2~;3)$, donc $3=-2+c$. On en déduit $c=5$ et une équation de $\mathcal{D}$ est :
\[y=-x+5.\]

\item Puisque $\Delta$ est parallèle à $\mathcal{D}$, elle a le même coefficient directeur, donc son équation réduite est du type : \[y=-x+c.\]
$\Delta$ passe par $B(0~;2)$, donc $2=-0+c$ et $c=2$. Une équation est donc : \[y=-x+2.\]

\item \mbox{}\\[-18pt]
\begin{center}
\includegraphics{277_07-02}
\end{center}
\end{questions} 
\newpage
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{\'Equations de droites}{Lycée Voltaire, Paris}{1}{15}
On se place dans un repère orthonormé et on donne~:
$A(1~;-1)$, $B(3~;3)$ et $C(1~;6)$. 
\begin{questions}
\item Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
\item Déterminer une équation de la droite $(d)$ qui passe par le point $C$ et qui
est parallèle à la droite $(AB)$
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $A$ et $B$ n'ont pas la même abscisse, donc $(AB)$ n'est pas verticale. On en déduit qu'elle admet une équation de la forme : $y=ax+b$. En substituant les coordonnées de $A$ et $B$ à $x$ et $y$ dans l'équation, on obtient le système d'inconnues $a$ et $b$ :
\[\begin{cases} -1=a+b\\ 3= 3a+b\end{cases}\]
On tire de la première équation $a=-1-b$. En substituant cette valeur dans la deuxième, on obtient :
\begin{align*}
3=3(-1-b)+b
&\iff 3=-3-3b+b\\
&\iff 6=-2b\\
&\iff -3=b
\end{align*}
et donc $a=-1-b=2$. 

Autre méthode : on calcule directement le coefficient directeur $a$.
\[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}=2.\]
L'équation réduite de $(AB)$ est donc du type $y=2x+b$. 
On substitue les coordonnées de $A$ (par exemple)
dans l'équation : $-1=2.1+b$ et on retrouve $b=-3$. \\
Une équation de $(AB)$ est donc : \[y=2x-3.\]
\item $(d)$ étant parallèle à $(AB)$, son équation réduite est de la forme : \[y=2x+c.\]
Pour calculer $c$, on utilise les coordonnées de $C$. $C\in (d)$ donc : \[6=2\times 1+c\]
et donc $c=4$. Une équation de $(d)$ est donc $y=2x+4$. 
\end{questions} 
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{\'Equations de droites}{Lycée Chaptal, Paris}{1}{20}
Le plan étant rapporté à un repère $(O,I,J)$, on considère les points $A(4~;-1)$ et $B(3~;-8)$.

\begin{questions}
\item Montrer que la droite $(AB)$ a pour équation $y=7x-29$.
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ passant par $C(0~;~-1)$ et parallèle à $(AB)$. 
\item Soient $E(3~;-2)$ et $F(2~;2)$. Déterminer une équation de la droite $(EF)$.
\item Les droites $\mathcal{D}$ et $(EF)$ sont-elles sécantes~? Justifier. Si oui, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $G$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Puisqu'on vous donne l'équation, ce n'est pas la peine de vous fatiguer. Vous savez que $y=7x-29$ est l'équation d'une droite. Il suffit de vérifier qu'elle passe par $A$ et $B$. Remplaçons donc $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ : $7\times 4-29=-1$. Cette égalité est vraie, donc $A$ est bien un point de la droite. De même, $7\times 3-29=-8$ donc $B$ est bien un point de la droite. Deux points suffisent à déterminer une droite, donc $y=7x-29$ est bien une équation de la droite $(AB)$. 

\item Une parallèle à $(AB)$ a même coefficient directeur, la droite cherchée aura donc une équation du type :
\[y=7x+b.\]
Comme elle passe par $C(0~;-1)$, l'ordonnée à l'origine ($b$) vaut $-1$.
D'où l'équation $\mathcal{D}$ : $y=7x-1$.

\item \enlargethispage*{4em}
$E$ et $F$ n'ont pas la même abscisse, donc la droite $(EF)$ n'est pas parallèle à $(Oy)$. Elle
admet donc une équation du type $y=ax+b$.
Comme elle passe par $E(3~;-2)$ et $F(2~;2)$, on obtient les équations :
\begin{gather*}
\begin{cases} 
-2=3a+b\\
2 = 2a+b\end{cases}\\
\iff \begin{cases}
-4=a \text{ (en soustrayant)}\\
b=2-2a=2+8=10\text{ (en substituant la valeur de $a$)}
\end{cases}
\end{gather*}
D'où l'équation de $(EF)$ : $y=-4x+10$. 

\item Les droites $\mathcal{D}$ et $(EF)$ sont sécantes car elles n'ont pas le même coefficient directeur.

On calcule leur intersection en résolvant le système :
\begin{align*}
\begin{cases}
y=7x-1\text{ (équation de $\mathcal{D}$)}\\
y=-4x+10\text{ (équation de $(EF)$)}
\end{cases}
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
0=-11x+11\text{ (en soustrayant)}\\
y=7x-1
\end{cases}\\
& \Leftrightarrow
\begin{cases}
x=1\\[8pt]
y=6
\end{cases}
\end{align*}

Le point d'intersection a donc pour coordonnées $G\left(1~;6\right)$. 
\end{questions} 
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{\'Equations de droites}{Lycée du Parc, Lyon}{2}{15}
Dans les deux cas suivants, déterminer une équation de la droite $\Delta$,
parallèle à $(D)$ et passant par $A$.
\begin{questions}
\item $A(2~;1)$. $(D)$ a comme équation $y=-x+2$.
\item $A(2~;-3)$. $(D)=(BC)$, avec $B(-1~;0)$ et $C(-1~;3)$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On veut une droite parallèle à $(D)$, donc les coefficients directeurs de $D$ et $\Delta$ sont égaux.
\'Ecrivons provisoirement l'équation réduite de $\Delta$ : \[y=-x+b\] et calculons $b$ en exprimant que $\Delta$ passe par $A(2~;1)$ :
\[1=-2+b \iff 3=b\]
L'équation réduite de $\Delta$ est : 
\[y=-x+3.\]

\item Là, il y a une légère astuce. En effet, $B$ et $C$ ont la même abscisse,
donc la droite $(BC)$ est verticale. La droite $\Delta$ est donc également verticale,
donc elle admet une équation du type $x=c$. 
Comme $\Delta$ passe par le point $A$ d'abscisse $2$, son équation est :
\[x=2.\]
\end{questions} 
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Coordonnées}{Lycée Montesquieu, Bordeaux}{2}{20}
% vidéo manquante
%\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{coordonnées}{https://media.prepamath.fr/IL2Mch08exo09}
%
%\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
%\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch08exo09}}}
%\vspace*{-2em}

Soit un trapèze $ABCD$, de bases $[AB]$ et $[CD]$.
On suppose que les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $O$. On note $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CD]$ et $K$ le point d'intersection des diagonales $(AC)$ et $(BD)$.
\begin{center}
\includegraphics{270_07-04}
\end{center}
Soit $k$ le réel tel que $\gvec{OD}=k\gvec{OA}$. On se place dans le repère $(O,\gvec{OA}, \gvec{OB})$.
\begin{questions}
\item Quelles sont les coordonnées de $O$, $A$, $B$ et $D$ dans ce repère~?
\item Quelle est l'équation réduite de la droite $(CD)$ dans ce repère~? En déduire que $C(0~;k)$. 
\item Calculer les coordonnées de $I$, $J$, et $K$.
\item Montrer que les points $O$, $I$, $J$, et $K$ sont alignés.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
%\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.4){
%\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch08exo09}}}
%\vspace*{-10pt}
\begin{questions}
\item Dans le repère $(O,A,B)$, on a : $O(0~;0)$, $A(1~;0)$,  $B(0~;1)$ et $D(k~;0)$ (car $\gvec{OD}=k\gvec{OA}$). 
\item $(CD)$ est parallèle à $(AB)$. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
\[\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=-1.\]
L'équation réduite de $(CD)$ est donc de la forme : $y=-x+c$. $(CD)$ passe par $D(k~;0)$,
donc $0=-k+c$, d'où l'équation réduite de $(CD)$ :
\[y=-x+k.\]
$C$ est sur l'axe des ordonnées (car $O$, $B$ et $C$ sont alignés) donc son ordonnée est l'ordonnée à l'origine de $(CD)$. On en déduit $C(0~;k)$.
\item $I$ est le milieu de $[AB]$. Or $A(1~;0)$ et $B(0~;1)$, d'où : \[I\left(\frac{1}{2}~;\frac{1}{2}\right).\]
 $J$ est le milieu de $[CD]$ ~; or $C(0~;k)$ et $D(k~;0)$ d'où : \[J\left(\frac{k}{2}~;\frac{k}{2}\right).\]
 Pour calculer les coordonnées de $K$, intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$,  on écrit les équations de ces deux droites.\\
 Le coefficient directeur de $(AC)$ est :
\[\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{k}{-1}=-k.\]
Comme $(AC)$ passe par $C(0~;k)$, son ordonnée à l'origine est $k$, d'où\linebreak $(AC)$ : $y=-kx+k$.\\
 Le coefficient directeur de $(BD)$ est :
\[\frac{y_D-y_B}{x_D-x_B}=\frac{-1}{k}.\]
 Comme $(BD)$ passe par $B(0~;1)$, son ordonnée à l'origine est $1$, d'où\linebreak $(BD)$ : $y=\dfrac{-1}{k}x+1$.
 On résout le système :
\begin{align*}
\begin{cases}y=-kx+k\\ y=\dfrac{-1}{k}x+1\end{cases}
&\iff \begin{cases} -kx+k=\dfrac{-1}{k}x+1\\y=-kx+k\end{cases}\\
&\iff \begin{cases} \left(\dfrac{1}{k}-k\right)x=1-k\\y=-kx+k\end{cases}\\
&\iff \begin{cases} \dfrac{1-k^2}{k}x=1-k\\y=-kx+k\end{cases}
\end{align*}
On sait que $1-k^2=(1-k)(1+k)$, on obtient donc :
\[x=\frac{k(1-k)}{1-k^2}=\frac{k(1-k)}{(1-k)(1+k)}=\frac{k}{1+k}\]
et donc 
\[y=-kx+k=\frac{-k^2}{1+k}+\frac{k+k^2}{1+k}=\frac{k}{1+k}.\]
On conclut :
\[K\left(\frac{k}{1+k}~;\frac{k}{1+k}\right).\]
Remarquons que les valeurs gênantes $k=0$, $k=1$ ou $k=-1$ sont impossibles :
\begin{itemize}
\item Si $k=0$, alors $\gvec{OD}=\vec{0}$ donc $O=D$, mais alors $C$, $B$ et $D$ sont alignés,
ce qui n'est pas possible car $ABCD$ est un trapèze.
\item Si $k=1$, alors $\gvec{OD}=\gvec{OA}$ donc $D=A$, ce qui contredit également la définition de $ABCD$.
\item Si $k=-1$, alors $\gvec{OD}=-\gvec{OA}$ signifie que $O$ est le milieu de $[AD]$. $O$ serait également, d'après la question 2, le milieu de $[BC]$, et donc $ABDC$ serait un parallélogramme, ce qui n'est pas possible.
\end{itemize}
\item  Pour les points $O$, $I$, $J$ et $K$, l'ordonnée est égale à l'abscisse,  donc ces quatre points sont sur la droite d'équation $y=x$. 
\end{questions} 
\end{corrige}


%%%%

\begin{exo}{\'Equations de droites}{Lycée Fénelon, Paris}{2}{20}
Le plan est muni d'un repère $(O,I,J)$.
\begin{questions}
\item Déterminer une équation cartésienne de l'image de la droite
$\mathcal{D}_1$ par la translation de vecteur $\vec{u}$.

On donne $\mathcal{D}_1$ : $y=x-2$ et $\vec{u}=-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}$.

\item Déterminer une équation cartésienne de l'image de la droite $\mathcal{D}_2$  par la symétrie centrale de centre $\Omega$.

On donne $\mathcal{D}_2$ : $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$ et $\gvec{O\Omega}=-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'image d'une droite par une translation est une
droite parallèle, donc l'image de $(\mathcal{D}_1)$ est une droite dont l'équation est de la forme : $y=x+c$. Pour calculer $c$, choisissons au hasard un point de $\mathcal{D}_1$.  

Appelons $M$ le point de coordonnées $(1~;-1)$, qui est bien sur $(\mathcal{D}_1)$. Son image par la translation de vecteur $\vec{u}\dbinom{-1}{2}$
a pour coordonnées\linebreak $(1-1~;-1+2)$, soit : $(0~;1)$.

On obtient donc $1=0+c$, soit : $c=1$.
Une équation de l'image de $(\mathcal{D}_1)$ est donc :

\[y=x+1.\]

\item De même, l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle. Une équation de l'image de $(\mathcal{D}_2)$ est donc de la
forme : 

\[y=\frac{1}{2}x+c.\]

Pour calculer $c$, on choisit au hasard un
point de $\mathcal{D}_2$.

Notons $N$ le point de coordonnées $(1~;1)$, qui est sur $(\mathcal{D}_2)$.
Pour calculer les coordonnées de son image $N'(x~;y)$ par la symétrie de centre
$\Omega$, écrivons que $\Omega$ est le milieu de $[NN']$ :

\[\gvec{NN'}=2\gvec{N\Omega}.\]

Les coordonnées des deux vecteurs sont : $\gvec{NN'}\dbinom{x-1}{y-1}$ et $2\gvec{N\Omega}\dbinom{2(-1-1)}{2(2-1)}$, soit $\dbinom{-4}{2}$.
On obtient le système :
\[\begin{cases}x-1=-4\\y-1=2\end{cases}\]
qui fournit les coordonnées $(-3~;3)$ de $N'$.

L'image de $(\mathcal{D}_2)$ passe par $N'$, donc :
\[3=\frac{1}{2}\times(-3)+c\;,\]

d'où $c=\dfrac{9}{2}$. On obtient une équation de l'image de $\mathcal{D}_2$ :
\[y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}.\]
\end{questions}
\begin{center}
\includegraphics{282_07-05}
\end{center} 
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{\'Equations de droites}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{30}
Retrouver, parmi les équations page ci-contre, celles qui correspondent aux droites
du dessin (lorsque cela est possible !).

\begin{minipage}{0.4\textwidth} 
\begin{questions}
\item $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}$
\item $y=\dfrac{1}{2}x-2$
\item $y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}$
\item $y=3x-3$
\item $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$
\item $y=\dfrac{5}{3}x+5$
\end{questions} \end{minipage}%
\begin{minipage}{0.6\textwidth} 
\begin{center}
\includegraphics{271_07-06}
\end{center} 
\end{minipage} 
\end{exo}


\begin{corrige}
Le mieux est de calculer directement les équations
de $\mathcal{D}_1$, $\mathcal{D}_2$ et $\mathcal{D}_3$. 
\begin{itemize}
\item $\mathcal{D}_1$ a un vecteur directeur de coordonnées $\dbinom{3}{5}$ : utilisez la méthode des \og petits pas\fg. Lorsqu'on avance sur $\mathcal{D}_1$, entre le moment où l'on croise l'axe des abscisses et celui où l'on croise celui des ordonnées, on fait trois \og{}pas\fg{} vers la droite et cinq \og pas\fg{} vers le haut.

Son coefficient directeur est donc $\dfrac{5}{3}$.

On lit sur la figure l'ordonnée à l'origine (c'est-à-dire l'ordonnée du point d'intersection de $(Oy)$ et de $\mathcal{D}_1$) : $+5$.

D'où l'équation réduite de $\mathcal{D}_1$ :
\[y=\frac{5}{3}x+5.\]
Ce qui correspond à l'équation 6 de l'énoncé. 

\item $\mathcal{D}_2$ passe par les points de coordonnées $(-3~;0)$ et $(1~;2)$.
Donc (appliquez la méthode des \og{}petits pas\fg{}), elle admet un vecteur
directeur de coordonnées $\dbinom{4}{2}$, et comme coefficient directeur : $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.

L'équation réduite de $\mathcal{D}_2$ est donc de la forme :
\[y=\frac{1}{2}x+c.\]
Comme elle passe par le point de coordonnées $(-3~;0)$, on peut déterminer $c$ en remplaçant dans l'équation :
\[0=-\frac{3}{2}+c\iff c=\frac{3}{2}.\]

Finalement $\mathcal{D}_2$ admet pour équation :
\[y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.\]
Il s'agit de l'équation 5.

\item $\mathcal{D}_3$ admet un vecteur directeur de coordonnées $\dbinom{-1}{1}$, donc son coefficient directeur est $-1$. L'ordonnée à l'origine vaut $+3$.

L'équation réduite de $\mathcal{D}_3$ est donc :
\[y=-x+3.\]

$\mathcal{D}_3$ ne correspond donc à aucune des équations de l'énoncé.
\end{itemize}
\newpage
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{\'Equations de droites avec paramètre}{Lycée Condorcet, Paris}{3}{25}
\`A tout réel $m\not=3$ on associe la droite $D_m$ d'équation :
\[y=\frac{2m-1}{m-3}x+\frac{-7m+6}{m-3}.\]
\begin{questions}
\item Déterminer $m$ et donner une équation de $D_m$ pour que :
\begin{questions}
\item $D_m$ passe par $A(1~;1)$.
\item $D_m$ passe par $O$.
\item $D_m$ soit parallèle à l'axe des abscisses.
\end{questions}
\item Peut-on trouver $m$ tel que :
\begin{questions}
\item $D_m$ soit parallèle à l'axe des ordonnées~?
\item $D_m$ soit parallèle à $\Delta$ d'équation $y=3x-6$ ?
\item $D_m$ admette $(-2)$ comme coefficient directeur ?
\end{questions}
\item Montrer qu'il existe un point $K$ qui appartient à toutes les droites $D_m$. 
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Si $D_m$ doit passer par $A$, on doit avoir :
\begin{align*}
1=\frac{2m-1}{m-3}\times1+\frac{-7m+6}{m-3}
&\iff 1=\frac{2m-1-7m+6}{m-3}\\
&\iff 1= \frac{-5m+5}{m-3}\\
&\iff m-3=-5m+5\\
&\iff 6m=8\\
&\iff m=\dfrac{4}{3}.
\end{align*}
Donc:
\[ D_m\;:\;y=-x+2.\]
\item Par la même méthode, on remplace $x$ et $y$ par $0$ dans l'équation, et on obtient $-7m+6=0$, donc $m=\dfrac{6}{7}$.
\[ D_m\;:\;y=-\dfrac{1}{3}x.\]

\item $D_m$ est parallèle à l'axe des abscisses quand son coefficient directeur est nul, donc quand $\dfrac{2m-1}{m-3}=0$, d'où : $m=\dfrac{1}{2}$.
\[ D_m\;:\;y=-1.\]
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item L'équation réduite de $D_m$ est du type $y=ax+b$ (et non $x=c$), il s'agit \emph{toujours} d'une droite
dite \og oblique \fg, c'est-à-dire qu'elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.  

\item $D_m$ et $\Delta$ sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux, il vient : 
$\begin{aligned}[t]
 & \frac{2m-1}{m-3}=3\\
\iff\ & 2m-1=3m-9\\
\iff\ & 8=m.
\end{aligned}$

\item $D_m$ admet $-2$ comme coefficient directeur si $\dfrac{2m-1}{m-3} = -2$ et $m\not=3$. On obtient :
\begin{align*}
(2m-1) &= -2 \times (m-3)\\
2m-1 &= -2m + 6\\
4m &= 7\\ 
m & =\frac{7}{4}.
\end{align*}
\end{questions}

\item Une méthode simple (et qui marche !), consiste à chercher
l'intersection de deux droites particulières, et à vérifier que le point
ainsi trouvé est sur toutes les droites $D_m$.

Nous vous proposons $m=2$ et $m=4$, ce qui permet d'avoir des dénominateurs $m-3$
peu encombrants. Les équations pour ces droite sont :
\begin{itemize}
\item $D_2$ : $y=-3x+8$
\item $D_4$ : $y=7x-22$
\end{itemize}
Il n'y a plus qu'à résoudre le système :
\begin{align*}
\begin{cases} y=-3x+8\\y=7x-22\end{cases}
&\iff \begin{cases}-3x+8=7x-22\\ y=-3x+8\end{cases}\\
&\iff \begin{cases}30=10x \\ y=-3x+8\end{cases}\\
&\iff \begin{cases}x=3\\ y=-1\end{cases}
\end{align*}
Les droites $D_2$ et $D_4$ se coupent au point $K(3~;-1)$. Vérifions que ce point appartient bien à toutes les droites $D_m$. Autrement dit, on vérifie que les coordonnées $(3~;-1)$ sont bien solutions de l'équation de la droite :
\[\frac{2m-1}{m-3}\times3+\frac{-7m+6}{m-3}
=\frac{6m-3-7m+6}{m-3}=-1\;,\]
donc $K$ appartient bien à $D_m$, quel que soit $m$. 

On peut utiliser une méthode plus \og{}originale\fg{} en réorganisant l'équation de la droite $D_m$, non plus comme une équation en $x$ et en $y$, mais
comme une équation en $m$, ce qui donne, au lieu de :
\[y=\frac{2m-1}{m-3}x+\frac{-7m+6}{m-3}\]
l'équation :
\[(2m-1)x+(3-m)y-7m+6=0.\]
On développe :
\[2mx-x+3y-my-7m+6=0\]
et on regroupe les termes :
\[(2x-y-7)m-x+3y+6=0.\]
Cette égalité doit être vraie {\em quel que soit le nombre $m\not=3$}. 
On est en présence d'une fonction affine de $m$ : $m\mapsto am+b$, qui est toujours
nulle. Les coefficients $a$ et $b$ sont donc égaux à $0$. 
On est
amené à résoudre le système :
\[\begin{cases}2x-y-7=0\\ -x+3y+6=0\end{cases}\]
Vous pouvez procéder par combinaison et résoudre ce système. On obtient encore les coordonnées de $K(3~;-1)$.
\end{questions} 
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Systèmes d'équations}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exo}{Mise en équations d'un problème}{Lycée Fragonard, L'Isle-Adam}{1}{10}
On considère une classe de seconde dans laquelle il y a, au départ,
deux fois plus de garçons que de filles. Six garçons
quittent la salle et six filles arrivent. Il y a alors deux fois plus
de filles que de garçons. Combien de garçons et de filles y avait-il
au début ?
\end{exo}

\begin{corrige}
Notons $x$ le nombre de filles et $y$ celui de garçons qu'il y a
au départ. Il y a à ce moment-là deux fois plus de garçons que
de filles, donc $y=2x$. Si 6 garçons partent, il en reste $y-6$.
Si 6 filles arrivent, il y en a alors $x+6$. Alors, il y a deux
fois plus de filles, c'est-à-dire que $x+6=2(y-6)$. 

Il ne reste
plus qu'à résoudre le système :
\[\ssys{y=2x}{x+6=2(y-6)}\iff\ssys{y=2x}{x+6=2y-12}\]
Par substitution :
\[\ssys{y=2x}{x=2(2x)-18}\iff\ssys{y=2x}{-3x=-18}\]
On obtient facilement $x=6$ et $y=12$. Comme il s'agit d'un
problème \og{}concret\fg{}, ne donnez pas un ensemble de solutions ~;
écrivez plutôt : \og{}Il y avait au départ 6 filles et 12 garçons.\fg{} 
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Systèmes d'équations}{Lycée Jean Monnet, Franconville}{1}{10}
Une salle de théâtre compte 150 places, les unes à 21~\euro, les autres
à 26~\euro.
Quand elle est pleine, la recette totale est de \numprint{3300}~\euro. Combien
y a-t-il de places de chaque sorte ?
\end{exo}


\begin{corrige}
Appelons $x$ le nombre de places à 21~\euro et $y$ le nombre de places à 26~\euro.
Des renseignements de l'énoncé, on tire le système suivant :
\[\ssys{x+y=150}{21x+26y=\numprint{3300}}\]
On peut procéder par substitution :
\begin{eqnarray*}
\ssys{x=150-y}{21(150-y)+26y=\numprint{3300}}
&\iff&
\ssys{x=150-y}{3150-21y+26y=\numprint{3300}}\\
&\iff&
\ssys{x=150-y}{5y=150}\\
&\iff&
\ssys{y=30}{x=120}
\end{eqnarray*}
Il y a donc 30 places à 26~\euro et 120 places à 21~\euro.
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Systèmes d'équations}{Lycée Notre-Dame, Saint-Nazaire}{1}{10}
%Si deux capitaux sont placés, le premier ($C_1$) à 10 \% annuels, le second ($C_2$) à 8 \% annuels, alors $C_1$ rapporte 200 \euro de plus que $C_2$.

%Si $C_1$ était placé à 8 \% annuels et $C_2$ à 10 \% annuels, alors $C_1$ rapporterait 70 \euro de plus que $C_2$.

On considère deux capitaux $C_1$ et $C_2$ vérifiant les propriétés suivantes :
\begin{itemize}
\item Si l'on place $C_1$ à un taux d'intérêt annuel de 10 \% et$ C_2$ à un taux d'intérêt annuel de 8 \%, on obtient un intérêt total de 200 \euro au bout d'un an.
\item Si l'on place $C_1$ à un taux d'intérêt annuel de 8 \% et $C_2$ à un taux d'intérêt annuel de 10 \%, on obtient un intérêt total de 70 \euro au bout d'un an.
\end{itemize}

Déterminer les deux capitaux.
\end{exo}


\begin{corrige}
Notons $x$ le premier capital, et $y$ le second. A dix pour cent, $x$ rapporte $\dfrac{10}{100}x$.

De même, $y$ rapporte $\dfrac{8}{100}y$. D'après les renseignements de l'énoncé, on obtient le système :
\begin{eqnarray*}
\ssys{\dfrac{10}{100}x-\dfrac{8}{100}y=200}{\dfrac{8^{\vphantom{P}}}{100}x-\dfrac{10}{100}y=70}
&\iff&
\ssys{10x-8y=\numprint{20000}}{8x-10y=\numprint{7000}}\\
&\iff&
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
36y= \numprint{90000} & L_1\leftarrow 8L_1-10L_2\\
8x-10y=\numprint{7000}
\end{array}
\right.
\\
&\iff&
\ssys{y=\numprint{2500}}{8x=\numprint{32000}}\\
&\iff&
\ssys{y=\numprint{2500}}{x=\numprint{4000}}
\end{eqnarray*}
Les deux capitaux sont respectivement de \numprint{4000}~\euro et de \numprint{2500}~\euro.
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Systèmes d'équations}{Lycée Auguste Renoir, Asnières-sur-Seine}{1}{10}
Résoudre le système suivant : 
\[
\left\{\begin{array}{l@{}l@{\,}l@{\,}r@{}l@{~=~}l}
\sqrt{2}&x&+&2&y&-1\\
-2&x&+&2\sqrt{2}&y&\sqrt{2}
\end{array}\right.
\]
\end{exo}


\begin{corrige}
On résout par combinaisons :
\begin{eqnarray*}
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
8y=0 & L_1\leftarrow 2L_1+\sqrt{2}L_2\\
-2x+2\sqrt{2}y=\sqrt{2}
\end{array}
\right.
&\iff&
\ssys{y=0}{-2x=\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}
D'où $S=\left\{\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;0\right)\right\}$.
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Systèmes d'équations}{Lycée Voltaire, Paris}{1}{15}
Résoudre les systèmes suivants :
\Par
\begin{questions}
\begin{tabularx}{\linewidth}{m{0.66\linewidth}m{0.33\linewidth}}
\item $\left\{\begin{array}{l}\dfrac{2x+3y}{6}-\dfrac{4x-3y}{6}=1\\[10pt]
\dfrac{3x-2y}{2}-\dfrac{5x-3y}{2}=3
\end{array}\right.$
&
\item $\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{5}\\[10pt]
3x-y=24\end{array}\right.$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item {Commençons par nous débarrasser des 
dénominateurs, en multipliant la première
ligne par 6 et la deuxième par 2 :
\[\ssys{2x+3y-4x+3y=6}{3x-2y-5x+3y=6}\]
Ce qui s'écrit aussi :
\[\ssys{-2x+6y=6}{-2x+y=6}\]
En ôtant la deuxième ligne à la première, on élimine $x$ :
\[\ssys{5y=0}{-2x+y=6}\]
Il vient $y=0$ et $x=-3$. Conclusion :
\[S=\{(-3,0)\}.\]
}
\item Effectuons d'abord les produits en croix dans la première ligne.
\[\ssys{5x=7y}{3x-y=24}\]
On utilise la deuxième ligne, sous la forme : $y=3x-24$, pour procéder
par substitution :
\[\ssys{5x=7(3x-24)}{y=3x-24}\]
Donc :
\[\ssys{5x-21x=-7\times 3\times 8}{y=3x-24}\]
Il vient :
$$\begin{cases}
\displaystyle x=\frac{21}{2} \\[2mm]
\displaystyle y=\frac{63}{2}-\frac{48}{2}=\frac{15}{2}
\end{cases}$$
et $S=\left\{\left(\dfrac{21}{2}~;\dfrac{15}{2}\right)\right\}$.
\end{questions} 
\end{corrige}


%%% 2024

\begin{exo}{À la terrasse d'un café}{Lycée Louis Vincent, Metz}{2}{10}
\enlargethispage*{2em}
À la terrasse d'un café, Sandra et ses amis commandent trois chocolats chauds et deux jus d'orange pour $10,80$ \euro.

Cinq autres de leurs camarades arrivent. Le groupe annule la commande précédente et commande alors six jus d'orange et quatre chocolats chauds pour $23,40$ \euro.

Calculer le prix d'un chocolat chaud et celui d'un jus d'orange.

\textit{On notera $x$ le prix d'un chocolat chaud et $y$ le prix d'un jus d'orange}.
\end{exo}

\begin{corrige}
On note $x$ le prix d'un chocolat chaud et $y$ le prix d'un jus d'orange
\begin{itemize}
\item \og Sandra et ses amis commandent trois chocolats chauds et deux jus d'orange pour $10,80$ \euro. \fg{} signifie:
\[
3x + 2y = 10,8.
\]

\item \og Cinq autres de leurs camarades arrivent. Le groupe annule la commande précédente et commande alors six jus d'orange et quatre chocolats chauds pour $23,40$ \euro \fg{} signifie:
\[
4x + 6y = 23,4.
\]
\end{itemize}

Nous devons donc résoudre le système:
\begin{align*}
\begin{cases}
3x + 2y& = 10,8 \quad (E_1)\\
4x + 6y& = 23,4 \quad (E_2)
\end{cases} 
& \iff \begin{cases}
9x + 6y& = 32,4 \quad 3(E_1)\\
4x + 6y& = 23,4 \quad (E_2)
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
5x & = 9 \quad (E_1)-(E_2)\\
4x + 6y& = 23,4
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
x & = \frac{9}{5}=1,8\\
6y & = 23,4 - 4\times1,8 = 16,2
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
x = 1,8\\
y = 2,7
\end{cases}
\end{align*}
% ERREUR %Un chocolat chaud vaut donc 2,7 \euro{} et un jus d'orange, 1,8 \euro.
Un chocolat chaud vaut donc 1,8 \euro{} et un jus d'orange, 2,7 \euro.

\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Droites concourantes}{Lycée St Thomas d'Aquin, Paris}{2}{15}
On considère le système $(S)$~: 
\[\begin{cases}
-5x+~\;y = 13\\
~~\;2x+3y=5
\end{cases}
\]
\begin{questions}
\item Indiquer, sans le résoudre, le nombre de solutions de $(S)$. 
\item Résoudre $(S)$. 
\item Les droites $D_1$, $D_2$, $D_3$, d'équations respectives $y=5x+13$,\\ $y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$, $y=-x+1$, sont-elles concourantes ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Ré-écrivons les équations sous la forme $y=ax+b$. 
Le système est équivalent à~:
\[\begin{cases}
y=5x+13\\
y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\text{ (tiens, tiens~!)}\\
\end{cases}
\]
On obtient deux équations de droites non parallèles, 
puisque les coefficients directeurs sont différents ($5\neq -\frac{2}{3}$). Les deux droites se coupent en un unique point, dont les coordonnées donnent l'unique solution du système. 

\item On substitue $y=5x+13$ dans $2x+3y=5$, on obtient le système équivalent~:
\[\begin{cases}
y=5x+13\\
2x+15x+39=5
\end{cases}\]
qui donne facilement~: \enlargethispage*{2em}
\[\begin{cases} x= -2\\ y= 3\end{cases}\]
d'où l'ensemble des solutions~: $\{(-2~;3)\}$. 

\item Visiblement, $D_1$, $D_2$, et $D_3$ ne sont pas parallèles (les coefficients directeurs sont tous distincts). Elles sont concourantes si elles ont un point commun. Or, les calculs précédents ont montré que $D_1$ et $D_2$ n'admettaient qu'un seul point 
commun $M(-2~;3)$. Il suffit de vérifier si ce point appartient à $D_3$. On remplace $x$ par $-2$ et $y$ par $3$ dans $y=-x+1$, on obtient une  égalité vraie. On en déduit que les trois droites sont bien concourantes.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Mise en équations d'un problème}{Lycée Molière, Paris}{2}{20}
Un canot automobile met cinq heures pour aller, par voie fluviale,
de la ville $A$ à la ville $B$. En conservant la même vitesse propre,
il met sept heures et trente minutes pour le trajet inverse.
\begin{questions}
\item Combien de temps un radeau se déplaçant à la vitesse du courant
mettrait-il pour relier les deux villes ?
\item Si la vitesse propre du canot augmentait de 1,6 km/h, il
mettrait 45 minutes de moins pour revenir de $B$ vers $A$. Calculer
la vitesse propre du canot et celle du courant.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item {Il est clair d'après l'énoncé que l'aller s'est effectué vers l'aval, alors que le retour était vers l'amont. \`A l'aller, il faut ajouter la vitesse de la rivière à la vitesse propre du bateau alors qu'au retour, il faut la soustraire. Notons $v$ la vitesse du canot et $v_R$ la vitesse de la rivière. On note $t_1$ le temps à l'aller, $t_2$ le temps au retour, et $t$ le temps mis par le radeau. Le radeau se déplace à la vitesse $v_R$.

La seule constante de l'exercice, c'est la distance entre $A$ et $B$.
On peut l'écrire de trois façons différentes :
$(v+v_R)t_1$, $(v-v_R)t_2$ et $v_R t$.
On en déduit :
\[v+v_R=\dfrac{v_Rt}{t_1}\text{ et }v-v_R=\dfrac{v_Rt}{t_2}.\]
Soustrayons ces deux égalités membre à membre pour éliminer $v$.
\[2v_R=\dfrac{v_Rt}{t_1}-\dfrac{v_Rt}{t_2}.\]
En simplifiant par $v_R$ et en mettant $t$ en facteur :
\[2=t\left(\dfrac{1}{t_1}-\dfrac{1}{t_2}\right).\]
On calcule simplement :
\[\dfrac{1}{t_1}-\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7,5}=\dfrac{3}{15}-\dfrac{2}{15}=\dfrac{1}{15}.\]
On en déduit : $t=30$. Le radeau met trente heures pour aller de $A$ à
$B$ (remarque : il ne peut pas faire le trajet inverse, n'est-ce-pas ?)
}
\item {En notant $t_3$ le nouveau temps mis au retour, on obtient :
\[(v+1{,}6-v_R)t_3=v_Rt\text{ donc }v-v_R+1{,}6=\dfrac{v_Rt}{t_3}.\]
On sait que $v-v_R=\dfrac{v_Rt}{t_2}$, on a donc :
\[\dfrac{v_Rt}{t_2}+1{,}6=\dfrac{v_Rt}{t_3}.\]
En factorisant :
\[1{,}6=v_Rt\left(\dfrac{1}{t_3}-\dfrac{1}{t_2}\right).\]
$t_3=\text{7h30min} - \text{45min} = 7,5-0,75 = 6,75$. Calculons :
\[\dfrac{1}{t_3}-\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{6,75}-\dfrac{1}{7,5}
=\dfrac{4}{27}-\dfrac{4}{30}=\dfrac{40}{270}-\dfrac{36}{270}=\dfrac{4}{270}.\]
Il vient :
\[v_R=\dfrac{1{,}6\times 270}{4\times 30}=3,6\text{ km/h}.\]
\enlargethispage*{2em}
Pour trouver la vitesse du canot, on utilise
\[(v+v_R)t_1=v_Rt\iff 5v+18=108 \iff 5v=90 \iff v= 18.\]
Le canot se déplace à 18 km/h.
}
\end{questions} 
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Systèmes d'équations}{Lycée Carnot, Dijon}{2}{20}
Soit le système :
\[
(S)\qquad\begin{cases}
~~\;5x+~~~\;y=4\\
   -3x+12y=-12
\end{cases}
\]

\begin{questions}
\item Sans résoudre, justifier l'existence d'une (ou de plusieurs) solution(s).
\item Résoudre le système $(S)$.
\item {Déduire des questions précédentes la résolution du système :
\[
(S') \qquad \left\{\begin{array}{l}
\dfrac{5}{x+1}+\dfrac{1}{y-2}=4\\[10pt]
\dfrac{-3}{x+1}+\dfrac{12}{y-2}=-12
\end{array}\right.\]}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La première équation équivaut à $y=-5x+4$ et la seconde à $y=\frac{1}{4}x-1$. La résolution
du système équivaut à la recherche de l'intersection des deux droites d'équations $y=-5x+4$
et $y=\frac{1}{4}x-1$. Ces droites n'ayant pas le même coefficient directeur, elles sont
sécantes : elles ont un unique point d'intersection, donc le système admet une solution unique.
\item {Par substitution :
\begin{eqnarray*}
\ssys{y=4-5x}{-3x+12(4-5x)=-12}
&\iff&
\ssys{y=4-5x}{-63x+48=-12}\\
&\iff&
\ssys{y=4-5x}{x=\dfrac{60}{63}}
\end{eqnarray*}
Ce qui donne $x=\dfrac{20}{21}$ et $y=-\dfrac{16}{21}$.
D'où l'ensemble $S=\left\{\left(\dfrac{20}{21}~;-\dfrac{16}{21}\right)\right\}$.
}
\item {Il suffit de poser $X=\dfrac{1}{x+1}$ et $Y=\dfrac{1}{y-2}$ pour
se ramener au système précédent. On obtient :
\begin{align*}
x+1=\dfrac{21}{20} & \iff x=\dfrac{1}{20}\;,\\
y-2=-\dfrac{21}{16} & \iff y=\dfrac{11}{16}.
\end{align*}\enlargethispage*{\baselineskip}
\textit{Conclusion} :
\[S'=\left\{\left(\dfrac{1}{20}~;\dfrac{11}{16}\right)\right\}.\]
}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Systèmes d'équations}{Lycée David d'Angers, Angers}{2}{20}
\begin{questions}
\item Résoudre le système~:
\[
\begin{cases}
7x-4y=29\\
2x-~\;y=1
\end{cases}\]
\item Soit le système~:
\[
\begin{cases} 
~~~2x-~~~y\hspace*{5ex}=9\\
\dfrac{10}{3}x-\dfrac{5}{3}y-15=0
\end{cases}
\]
\begin{questions}
\item Le couple $(0~;-9)$ est-il solution du système~?
Même question avec $(1~;6)$ et $(1~;-7)$. Que peut-on en déduire~?
\item Donner l'ensemble des solutions du système.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour résoudre le système :\enlargethispage*{2em}
\[\begin{cases}7x-4y=29\\
2x-y=1\end{cases}\]
on peut procéder par substitution : la seconde équation donne $y=2x-1$, et on 
obtient le système équivalent :
\begin{align*}
\begin{cases}7x-4(2x-1)=29\\ y=2x-1\end{cases}
&\iff
\begin{cases}-x+4=29\\ y=2x-1\end{cases}\\
&\iff
\begin{cases}x=-25\\y=-51\end{cases}
\end{align*}
La solution du système est donc $(-25~;-51)$.

\item 
\begin{questions}
\item En remplaçant $(x~;y)$ par $(0~;-9)$ dans le système, on obtient :
\[\begin{cases} 9=9\\ 15-15=0\end{cases}\]
ce qui est vrai, donc $(0~;-9)$ est solution du système.

Essayons maintenant $(1~;6)$ :
\[\begin{cases} 2-6=9\\ \dfrac{10}{3}-10-15=0\end{cases}\]
ce qui est évidemment faux. $(1~;6)$ n'est pas solution.

Avec $(1~;-7)$ :
\[\begin{cases} 2+7=9\\ \dfrac{10}{3}+\dfrac{35}{3}-15=0\end{cases}\]
Ces deux égalités sont vraies (penser à $15=\dfrac{45}{3}$) donc $(1~;-7)$ est solution du système.

On sait qu'un tel système se ramène au problème de l'intersection de deux droites données
par leurs équations. Il y a au moins deux solutions, donc au moins deux points d'intersection. 
Cela signifie que les deux droites sont confondues, et qu'en fait les équations du système sont
proportionnelles. On le vérifie facilement en multipliant la première équation par $\dfrac{5}{3}$.
On obtient la seconde. 

Le système est donc équivalent à la seule équation : $2x-y=9$. 

\item \'Ecrite sous la forme $y=2x-9$, on reconnaît une équation de droite. Les solutions sont donc les coordonnées des points de cette droite. Ces coordonnées sont sous la forme $(x~;2x-9)$. 
On écrit :
\[S=\{(x~;2x-9),\quad x\in\R\}.\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2017

\begin{exo}{Le problème du marché}{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux}{3}{20}
Un fermier et son épouse vont au marché échanger leurs poulets pour du bétail au taux de 85 poulets pour un
cheval et une vache, 5 chevaux valant exactement autant que 12 vaches.

\Par

\og John, dit la femme, prenons encore une fois autant de chevaux que nous en avons déjà pris. Nous n'aurons
ainsi que 17 chevaux et vaches à nourrir cet hiver. \fg{} 
 
 
\og Je crois que nous devrions avoir plus de vaches que cela, dit John. D'ailleurs, si nous avions 2 fois plus de
vaches que jusqu'à maintenant, cela nous ferait 19 vaches et chevaux en tout et nous aurions juste assez de
poulets à donner en échange. \fg

\Par

Combien les paysans ont-ils apporté de poulets au marché?
\end{exo}

\begin{corrige}
La première phrase nous dit que (le symbole \og $=$ \fg{} est ici abusif, mais cela simplifie les notations) :
\[
85~\text{poulets}=1~\text{cheval}+1~\text{vache}\qquad\text{et}\qquad 5~\text{chevaux}=12~\text{vaches}.
\]
On en déduit alors :
\[
5\times85~\text{poulets}=5~\text{chevaux}+5~\text{vaches}
\]
soit :
\[
425~\text{poulets}=17~\text{vaches}\qquad\text{soit}\qquad1~\text{vache}=25~\text{poulets}.
\]
Et donc,
\[
5~\text{chevaux}=12~\text{vaches}=12\times25~\text{poulets}=300~\text{poulets}
\]
donc :
\[
1~\text{cheval}=60~\text{poulets}.
\]

\Par

Notons maintenant :
\begin{itemize}
\item $x$ le nombre de chevaux que le couple a déjà achetés ;
\item $y$ le nombre de vaches que le couple a déjà achetées.
\end{itemize}

\Par

Le dialogue entre le mari et la femme donne alors le système :
\[
\begin{cases}
2x+y=17\qquad(L_1)\\
x+2y=19\qquad(L_2)
\end{cases}
\]

\Par

$2(L_2)-(L_1)$ donne : $3y=38-17$, soit $y=7$.

$2(L_1)-(L_2)$ donne : $3x=34-19$, soit $x=5$.

\Par

Le couple a donc déjà acheté 5 chevaux et 7 vaches.

Ainsi, s'il achète 7 vaches, il lui faut :
\[
7\times25~\text{poulets}=175~\text{poulets}.
\]

\Par

Les paysans ont donc amené 175 poulets.
\end{corrige}

\subsectionnn{Pour aller plus loin avec les systèmes...}

%%% 

\begin{exo}{Systèmes d'équations}{Lycée Lamartine, Paris}{1}{15}
Soit $(S)$ le système suivant :
\[\left\{\begin{array}{l}3x+2y=7\\
(x+y)^2=9\end{array}\right.\]
\begin{questions}
\item Quelles sont les valeurs possibles de la somme $x+y$ ?
\item En déduire les solutions du système $(S)$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item {Puisque le carré de $x+y$ vaut 9, on en déduit que $x+y=3$ ou que $x+y=-3$. Le système proposé peut donc être séparé en deux \og{}sous-systèmes\fg{} :
\[\ssys{3x+2y=7}{x+y=-3}\text{ et }\ssys{3x+2y=7}{x+y=3}\]
Les solutions du système de départ sont celles de l'un ou de l'autre
de ces deux sous-systèmes.
}
\item {Résolvons chaque système par substitution. Pour le premier, on écrit :
\begin{eqnarray*}
\ssys{3x+2y=7}{x+y=-3}&\iff&\ssys{3x+2(-x-3)=7}{y=-x-3}\\
&\iff&\ssys{3x-2x-6=7}{y=-x-3}\\
&\iff&\ssys{x=13}{y=-16}
\end{eqnarray*}
Pour le second système :
\begin{eqnarray*}
\ssys{3x+2y=7}{x+y=3}&\iff&\ssys{3x+2(-x+3)=7}{y=-x+3}\\
&\iff&\ssys{3x-2x+6=7}{y=-x+3}\\
&\iff&\ssys{x=1}{y=2}
\end{eqnarray*}
On obtient donc :
\[S=\{(13~;-16),(1~;2)\}.\]}
\end{questions} 
\end{corrige}

%%%  

\begin{exo}{Système d'équations avec fractions}{Lycée Jacques Monod, Clamart}{2}{20}
Résoudre le système suivant :
\[\left\{\begin{array}{l}2x^2-\dfrac{9}{y+1}=15\\[10pt]
3x^2-\dfrac{24}{y+1}=19\end{array}\right.\]
On posera $X=x^2$ et $Y=...$
\end{exo}


\begin{corrige}
Posons $X=x^2$ et $Y=\dfrac{3}{y+1}$ (vous pouvez poser $Y=\dfrac{1}{y+1}$
mais $\dfrac{3}{y+1}$ permet d'obtenir des coefficients plus simples.)
Le système devient :
\begin{eqnarray*}
\ssys{2X-3Y=15}{3X-8Y=19}
&\iff&
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
6X-9Y=45 & L_1\leftarrow 3L_1\\
6X-16Y=38 & L_2\leftarrow 2L_2\\
\end{array}
\right.
\\
&\iff&
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
7Y=7 & L_1 \leftarrow L_1-L_2\\
6X-16Y=38 & \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
Ce qui permet d'obtenir $Y=1$ et $X=9$. $x^2=9$, donc $x$ vaut $3$ ou $-3$.\\
$\dfrac{3}{y+1}=1$, donc $y+1=3$ et $y=2$. On obtient donc deux solutions :
\[S=\left\{(-3~;2),(3~;2)\right\}.\] 
\end{corrige}



%%% 2014

\begin{exo}{Système non linéaire}{Lycée Arago, Paris}{2}{20}
En posant $X=\dfrac{1}{x}$ et $Y=y^2$, résoudre le système~:
\[\begin{cases} \dfrac{3}{x} -5 y^2 =2 \\[10pt] \dfrac{7}{x} + 3 y^2 = 12 \end{cases}\]
\end{exo}


\begin{corrige} 
Notons que la valeur $x=0$ est exclue, on peut donc poser
$X=\dfrac{1}{x}$ et $Y=y^2$ comme indiqué, et on obtient un  système d'équations habituel~:
\[\begin{cases} 
3X -5 Y =2 \\ 7X + 3 Y = 12 
\end{cases}\]
Procédons par substitution. On écrit $X$ en fonction de $Y$
à l'aide de la première équation, et on remplace dans la seconde~:
\[\begin{cases} 
X=\dfrac{5}{3}Y+\dfrac{2}{3}\\ 7\left(\dfrac{5}{3}Y+\dfrac{2}{3}\right) + 3 Y = 12 
\end{cases}\]
En simplifiant la seconde équation et en multipliant les deux membres par 3 pour 
se débarrasser des dénominateurs, il vient~:
\[\begin{cases} 
X=\dfrac{5}{3}Y+\dfrac{2}{3}\\ 44Y= 22 
\end{cases}\]
d'où enfin~:
\[\begin{cases}
X=\dfrac{3}{2}\\[8pt]
Y=\dfrac{1}{2}
\end{cases}\]
Le problème de départ équivaut maintenant au système~:
\[\begin{cases}
\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2}\\[8pt]
y^2=\dfrac{1}{2}
\end{cases}\]
que l'on résout facilement~: 
\[\begin{cases}
x=\dfrac{2}{3}\\
y=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \text{ ou } y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}} 
\end{cases}\]
Finalement, l'ensemble des solutions est $S=\left\{\left(\dfrac{2}{3}~;\dfrac{\sqrt2}{2}\right),
\left(\dfrac{2}{3}~;\dfrac{-\sqrt2}{2}\right)\right\}$.
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Avec fractions}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{15}
Résoudre le système suivant en indiquant la méthode utilisée.
\[\left\{\begin{array}{l}~\;2u-3v=4\\
10u+2v=3\end{array}\right.\]
En déduire la résolution du système suivant :
\[
\begin{cases}
\dfrac{2}{x-3}-\dfrac{3}{y+5}=4\\[10pt]
\dfrac{5}{x-3}+\dfrac{1}{y+5}=\dfrac{3}{2}
\end{cases}
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Nous allons résoudre le système par combinaisons :
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{r} \\ L_2\leftarrow L_2-5L_1\end{array}
\ssys{2u-3v=4}{17v=-17}
&\iff&
\ssys{v=-1}{2u+3=4}\\
&\iff&
\ssys{v=-1}{u=\dfrac{1}{2}}
\end{eqnarray*}
D'où la solution : $\left(\dfrac{1}{2},-1\right)$.
En posant $u=\dfrac{1}{x-3}$ et $v=\dfrac{1}{y+5}$, et en multipliant la
deuxième ligne par 2, on transforme le deuxième système proposé en le
premier. Les solutions vérifient donc $\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{1}{2}$, soit
$x-3=2$ donc $x=5$, et $\dfrac{1}{y+5}=-1$, soit $y+5=-1$ et $y=-6$.
L'ensemble des solutions s'écrit donc :
\[S=\left\{(5~;-6)\right\}.\] 
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Avec fractions et carrés}{Lycée Hoche, Versailles}{2}{10}
Résoudre le système :
\[\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{3}{(2x+1)^2}-\dfrac{4}{3y-5}=32\\[10pt]
\dfrac{2}{(2x+1)^2}-\dfrac{5}{3y-5}=12
\end{array}\right.\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Posons tout de suite : $X=\dfrac{1}{(2x+1)^2}$ et $Y=\dfrac{1}{3y-5}$. Le système devient :
\begin{eqnarray*}
\ssys{3X-4Y=32}{2X-5Y=12}
&\iff&
\begin{array}{r}L_1\leftarrow 2L_1-3L_2\\ \end{array}
\ssys{7Y=28}{2X-5Y=12}\\
&\iff&
\ssys{Y=4}{2X=32}\\
&\iff&
\ssys{Y=4}{X=16}
\end{eqnarray*}
On obtient enfin :
$\dfrac{1}{(2x+1)^2}=16$ et $\dfrac{1}{3y-5}=4$.
Cherchons $x$.
\[
(2x+1)^2=\dfrac{1}{16}\text{~~donc~~}2x+1=\dfrac{1}{4}\text{~~ou~~}2x+1=-\dfrac{1}{4}.\]
Ainsi, $x=-\dfrac{3}{8}$ ou $x=-\dfrac{5}{8}$.
Cherchons $y$.
\[3y-5=\dfrac{1}{4}\text{ donc }y=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}+5\right)=\dfrac{7}{4}.\]
Conclusion :
\[S=\left\{\left(-\dfrac{3}{8}~;\dfrac{7}{4}\right),
\left(-\dfrac{5}{8}~;\dfrac{7}{4}\right)\right\}.\]
\end{corrige}


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\AfficheCorrige
