\chapter{Informations chiffrées}

\section{Pourcentages et évolutions}

% 2024

\begin{exointro}{Lycée Chaptal, Paris}
Les questions suivantes sont indépendantes.
\begin{questions}
\item Dans une composition florale, 35\% des fleurs sont des roses. 

Sachant qu'il y a 28 roses, de combien de fleurs le bouquet est-il composé ?

\item Jean a profité des soldes d'hiver et acheté son blouson avec une remise de 15\%.

Sachant qu'il l'a payé 61,20 euros, quel était son prix initial ?

\item Un ticket de cinéma coûtait 7,50 euros avant deux augmentations successives de 3\% et de 4,5\%.
\begin{questions}
\item Déterminer l'évolution globale.
\item Quel est le prix du billet après ces deux augmentations?  (Arrondir au centime près). 
\end{questions}
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Proportions}

À la rentrée 2020, on compte en 2de A : 20 filles et 15 garçons, soit 35 élèves en tout. 

La \textit{proportion} de filles dans la classe est $\dfrac{20}{35}\approx 0,571$. 

Pour comparer plus aisément les proportions, on les exprime avec un dénominateur égal à 100~:
$\dfrac{20}{35}\approx \dfrac{57,1}{100}$ (le numérateur n'est pas toujours entier). 

\Par

On dit alors que la proportion est de $57,1\%$. 

\newpage

\begin{aretenir}
Si $n_{\text{total}}$ est l'effectif total d'une population (ici, le nombre d'élèves de 2de A) et $n_{\text{partiel}}$ celui d'une sous-population (le nombre
de filles de 2de A), alors:
\[
\text{\emph{proportion}}=
\frac{n_{\text{partiel}}}{n_{\text{total}}}=\frac{\text{\emph{pourcentage}}}{100}.
\]
En renversant l'égalité, on obtient : 
\[
\text{\emph{pourcentage}}=100\times \dfrac{n_{\text{partiel}}}{n_{\text{total}}}.
\]
\end{aretenir}

On note qu'une proportion exprime un quotient entre des grandeurs de même nature exprimées dans la même unité. Une proportion n'a donc pas d'unité. Si on divise le nombre d'élèves du lycée par le nombre de classes, on obtient une grandeur utile, exprimée en \og élèves par classe \fg, mais \textit{ce n'est pas une proportion}. 

Si un escargot a parcouru 15 cm sur une barre de 2 m, il faut exprimer ces deux longueurs \emph{dans la même unité} pour calculer le pourcentage de la barre parcouru par l'escargot: $\frac{15}{200}=0,075$, soit $7,5 \%$. 

\subsection{Pourcentages de pourcentages}

Parmi les 57,1\% filles de la 2de A, 37\% viennent au lycée à pied.

Pour savoir quelle proportion cela représente par rapport à la classe entière, on effectue le calcul:
\[
\frac{37}{100} \times \frac{57,1}{100} \times 100 = 21,127 \approx 21,13.
\]
La proportion de filles venant à pied au lycée est alors d'environ 21,13\%.


\subsection{\'Evolutions}


En 2019, il y avait 36 élèves en 2de A. L'effectif total a donc diminué de 1. 

La \emph{variation absolue} de l'effectif est~: $-1$. La variation est ici absolue parce qu'elle n'exprime pas une proportion. On ne confondra pas avec la notion
de valeur absolue, qui n'a rien à voir (distance entre un réel et $0$). 

La \emph{variation relative} exprime quelle proportion de la population initiale représente la variation absolue. Il y avait 36 élèves en 2019, la baisse représente 
$\frac{1}{36}=2{,}8 \%$ de l'effectif. 

\begin{aretenir}
\[
\text{Variation relative}
=\frac{\text{Variation absolue}}{\text{Valeur initiale}}
= \frac{\text{Valeur finale}-\text{Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}.
\]
\end{aretenir}


On prévoit pour 2021 une augmentation de l'effectif de $8{,}6\%$. La valeur de référence est l'effectif de 2020 ($n_{2020}=35$) et l'effectif prévu est donc~: 
\[
n_{2021}=n_{2020} + n_{2020} \times \frac{8,6}{100}, 
\]
ou plus simplement~: $n_{2021}=1,086 \times n_{2020} \approx 38$. 

On dit que 1,086 est le \textit{coefficient multiplicateur}.

Pour 2022, on s'attend cette fois à une baisse de  $10,5\%$. Attention, l'effectif de référence a changé: c'est maintenant celui de 2021, soit 38 élèves, puisqu'on parle d'une baisse entre 2021 et 2022.  

On peut calculer l'effectif de 2022 de deux manières. 

Premièrement, on peut appliquer la méthode précédente~:
\[
n_{2022}=n_{2021}\times (1-0{,}105)=38\times (1-0{,}105)\approx 34.
\]
Une autre méthode est de \textit{composer} les pourcentages.  L'effectif de 2020 est multiplié par $1+0,086$ pour obtenir $n_{2021}$, qui lui-même est multiplié par $1-0,105$. On peut donc calculer directement:
\[
n_{2022}=n_{2020}\times (1+0,086)\times (1-0,105)=n_{2020}\times1,086\times0,895\approx 34.
\] 

On dit que $1,086\times0,895=0,97197$ est le \textit{coefficient multiplicateur global}.

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Soit $x$ le nombre de fleurs dans le bouquet. 35\% de $x$ est égal à 28 roses, donc:
\Par
\[
\frac{35}{100}\times x = 28 \iff x = 28 \times \frac{100}{35} = 80.
\]
\Par
Il y a donc 80 fleurs dans le bouquet.

\item Posons $x$ le prix initial du blouson avant réduction de 15\%. Alors:
\[
\left(1-\frac{15}{100}\right)x = 61,20 \iff x = \frac{61,20}{0,85} = 72.
\]
\Par
Le prix initial du blouson  est donc 72 \euro.

\item 
\begin{questions}
\item Posons $CM_1 = 1+\frac{3}{100}=1,03$ et $CM_2=1+\frac{4,5}{100}=1,045$ les\\[8pt]deux coefficients multiplicateurs correspondant aux deux augmentations successives.
\BreakWithoutItem
Le coefficient multiplicateur global est alors: 
\[
CM=CM_1 \times CM_2 = 1,07635\,,
\]
c'est-à-dire $1+0,07635$, ou encore $1+\frac{7,635}{100}$.

L'évolution globale est donc une augmentation de 7,635\%.

\item Le prix du billet après les deux augmentations est:
\[
7,50 \times 1,07635 \approx 8,07~\text{\euro}.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}


\section{Statistiques}


\begin{exointro}{Lycée Saint Aspais, Melun}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{exercice type de statistiques}{https://media.prepamath.fr/IL2Mch09exotype}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.2,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch09exotype}}}
\vspace*{-10pt}	

Dans une classe de 30 élèves, il y a 12 filles et 18 garçons. Au contrôle de
	mathématiques, les filles ont obtenu :
	\[7~,~8~,~10~,~11~,~11~,~11~,~12~,~12~,~12~,~14~,~17~,~18\]
	et les garçons :
	\[5~,~7~,~7~,~8~,~8~,~8~,~9~,~9~,~9~,~10~,~10~,~11~,~11~,~11~,~12~,~12~,~14~,~16.\]
	\begin{questions}
		\item Calculer la moyenne des notes pour les deux groupes
		(on arrondira les résultats au dixième près). 
		\item \`A partir de ces résultats, calculer la moyenne de la classe. 		
		\item Par mesure de clémence, le professeur ajoute 1 point à toutes les
		notes. Quelle est la nouvelle moyenne ?
		\item Le dernier garçon n'avait en fait pas $5$, mais $8$. Quelle est, 
		finalement, la 
		moyenne de la classe ?
	\end{questions}
\end{exointro}



\subsection{Comment comparer des séries quantitatives ?}


Un professeur compare les notes de deux élèves :
 
 \Par
 
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Paul & 19&6&18&5\\\hline
Pierre & 10&10&12&12\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par
On observe deux suites de quatre valeurs, appelées 
\emph{séries statistiques}. 

La moyenne de Paul est plus élevée que celle de Pierre.



\begin{multicols}{2}
La moyenne de Paul est : 
\[
\dfrac{19+6+18+5}{4}=12.
\] 

La moyenne de Pierre est : 
\[
\dfrac{10+10+12+12}{4}=11.
\]
\end{multicols}

La moyenne reflète la \textit{position} de la série statistique.
On parle également d'indicateur de \emph{tendance centrale}, ce
qui signifie simplement qu'elle indique le \og centre \fg de la 
série statistique. Dans notre exemple, les notes
de Paul sont \emph{globalement} meilleures. 

La médiane, qui sépare les valeurs de la série (une fois ordonnée)
en deux moitiés, est un autre indicateur de tendance centrale.



\Par

Cependant, Pierre est plus régulier que Paul. Paul a complètement raté deux devoirs. Les notes de Pierre sont moins \emph{dispersées}.

\Par

Pour comparer deux séries statistiques, on doit tenir compte de ces deux caractéristiques : position et dispersion. 

\emph{L'étendue} $e=\max x_i - \min x_i$ 
est l'écart entre la plus grande valeur ($\max x_i$) et la plus petite ($\min x_i$). C'est un indicateur de dispersion~: une faible étendue montre
que la série est resserrée autour de sa moyenne. Il est rudimentaire car il ne dépend que des deux valeurs extrêmes de la série. 



\subsection{Qu'est-ce qu'une moyenne pondérée ?}

On considère une série statistique de $n$ valeurs réelles. 

Nous utilisons les notations suivantes :
\begin{itemize}
	\item $x_1$, $x_2$,\ldots{}, $x_k$ sont les valeurs observées;
	\item $n_1$, $n_2$,\ldots{}, $n_k$ les
	effectifs correspondants, ce qui signifie
	que la valeur $x_i$ apparaît $n_i$ fois dans la série;
	\item $f_1$, $f_2$,\ldots{}, $f_k$ les
	fréquences~:
	$f_i=\frac{n_i}{n}$ est la \emph{proportion} (donc, entre 0 et 1) 
	du nombre des valeurs égales
	à $x_i$ par rapport à l'effectif total $n$. 
\end{itemize}

%L'ensemble des valeurs observées est appelé la \emph{série statistique}.

La moyenne de la série statistique est donnée par~:
\[\bar{x}=\dfrac{x_1+\dots + x_1 +x_2\dots x_2+\dots +x_k + \dots x_k}{n}\]
où chaque $x_i$ est compté $n_i$ fois. 

On peut simplifier la formule~: 

\begin{itemize}
\item \emph{Calcul à partir des effectifs :}
$\bar{x}=\displaystyle\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_kx_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k}$.
%=\frac{1}{n_1+n_2+\cdots+n_k}\sum_i^k n_ix_i.\]

\item \emph{Calcul à partir des fréquences :} 
%on utilise $f_i=\dfrac{n_i}{n_1+\cdots+n_k}$ :
$\bar{x}=f_1x_1+f_2x_2+\cdots+f_kx_k$.
%=\sum_i^k f_ix_i.\]
\end{itemize}

Pour calculer la moyenne des valeurs $x_i$, 
on ne s'est pas contenté de la moyenne simple 
$\frac{x_1+x_2+\dots + x_k}{k}$. On a donné à chaque valeur
$x_i$ un \emph{poids} correspondant à son effectif. 
On dit qu'on a calculé une moyenne des valeurs
$x_i$, pondérée par les effectifs $n_i$ ou les fréquences $f_i$
(\emph{poids} et \emph{pondéré} sont des mots qui viennent 
du latin \emph{pondus}, \emph{ponderis} : le poids).

On peut décider d'accorder un poids qui n'est pas relatif à la 
fréquence. Par exemple, si on a eu 14 au devoir commun (coefficient 2),
12 au contrôle (coefficient 1) et 18 à l'interrogation surprise 
(coefficient $0{,}5$), la moyenne pondérée est~: 
\[m=\frac{2\times 14 + 1\times 12 + 0{,}5\times 18}{2+1+0{,}5}=14.\]
Les coefficients sont choisis pour que la note du devoir
commun ait plus d'importance que celle de l'interrogation surprise. 



\subsection{La linéarité de la moyenne, qu'est-ce que c'est ?}


Nous étudions une série statistique donnée comme ci-dessus par les valeurs $x_i$, leurs effectifs respectifs $n_i$. 

Si on applique une fonction affine aux valeurs $x_i$, c'est-à-dire
que l'on calcule, pour chaque $i$, la valeur $y_i=mx_i+p$ (où $m$ et $p$ sont deux constantes). 


Alors :

\begin{align*}
\bar{y}
&=\dfrac{n_1y_1+n_2y_2+\cdots+n_ky_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k} \\
&=\dfrac{n_1(mx_1+p)+n_2(mx_2+p)+\cdots+n_k(mx_k+p)}{n_1+n_2+\cdots+n_k} \\
&=\dfrac{n_1mx_1+n_2mx_2+\cdots+n_kmx_k + n_1p+n_2p+\cdots+n_kp}{n_1+n_2+\cdots+n_k} \\
&=\dfrac{m(n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_kx_k) + p(n_1+n_2+\cdots+n_k)}{n_1+n_2+\cdots+n_k} \\
&=m\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_kx_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k}+p\dfrac{n_1+n_2+\cdots+n_k}{n_1+n_2+\cdots+n_k} \\
&=m\bar{x}+p.
\end{align*}

On peut donc retrouver la moyenne $\bar{y}$ 
de la nouvelle série en appliquant
la même fonction affine à la moyenne $\bar{x}$ de l'ancienne. 

On utilise la linéarité de la moyenne sans même y penser lorsque l'on change d'unité. Par exemple, si dans un concours de saut en hauteur, la moyenne des sauts (en mètres) a été de $1,81$, il est évident que la moyenne des sauts (en centimètres) a été de $181$. Les valeurs $x_i$ étaient exprimées en mètres, on obtient les valeurs $y_i$ en centimètres en calculant $y_i=100x_i$, et donc $\bar{y}=100\bar{x}$.

\begin{Remarque}
par linéarité, la précision des données
se retrouve sur la moyenne. 

Lorsqu'on calcule une moyenne, on doit donc fournir 
un résultat raisonnable compte tenu de 
la précision des données. Donner une moyenne au cm près des
distances parcourue en km par des avions n'a pas de sens. 

En revanche, parler d'une moyenne de 1{,}96 enfants par femme
a un sens car le nombre d'enfants, dans chaque cas, est un 
entier, donc connu avec une précision infinie. On pourrait
donc donner encore plus de chiffres. Cependant, 
on s'arrête en général à 3 chiffres significatifs car
cela suffit pour les comparaisons et interprétations courantes.
\end{Remarque}


\subsection{L'écart inter-quartile}

On compare deux séries de vingt notes rangées par ordre croissant. 
La série 1 : 

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{10}{Zc|}}
\hline
6&6&7&8&8&10&10&10&11&11\\\hline
12&12&12&14&15&17&17&18&18&20
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

et la série 2 : 

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{10}{Zc|}}
\hline
6&12&12&12&12&12&12&12&12&12\\\hline
12&12&12&12&12&12&12&12&12&20
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Ces deux séries ont la même moyenne ($12{,}1$) 
et la même étendue $20-6=14$.  
Or elles sont très différentes. 

Pour mieux caractériser leur dispersion, on parcourt 
les valeurs dans l'ordre croissant. On atteint un \emph{quartile}
lorsque $25\%$, $50\%$, puis $75\%$ des valeurs sont dépassées. 
Observons que les quartiles sont toujours des valeurs de la série.

La série 1 contient 20 notes. Lorsqu'on atteint la 5\fup{ème} note, 
c'est-à-dire 8, on peut affirmer qu'un quart des notes sont inférieures
ou égales à 8~: 8 est le \emph{premier quartile} $q_1$ de la série 1. 

Le second quartile $q_2$ correspond à la 10\fup{ème} note, 11
(la moitié des notes sont inférieures ou égales à 11). 
Il est très proche de la \emph{médiane} de la série 
(ici, 10 notes sont inférieures à 11, 10 notes supérieures à 12,
la médiane est donc $11{,}5$). 

Le troisième quartile $q_3$ correspond à la 15\fup{ème} note, 15.


Par définition, l'écart inter-quartile est $q_3-q_1$. 
Plus il est petit, plus la série est resserrée.

Il est moins sensible aux valeurs extrêmes de la série, puisqu'on 
ne tient compte ni du quart supérieur, ni du quart inférieur de la série.

Dans la série 2, on a~: $q_1=q_3=12$, donc l'écart inter-quartile est
nul. La série est quasiment constante
(les deux valeurs extrêmes 6 et 20 sont \emph{aberrantes}). 





\subsection{Écart-type}

L'étendue ou l'écart inter-quartile ont l'inconvénient de ne
reposer, finalement, que sur deux valeurs particulières de la série. 

Pour fabriquer un indicateur qui rende compte de tous les
écarts $|x_i-\bar{x}|$, on pourrait calculer la moyenne 
de ces écarts.

Pour éviter les calculs avec les valeurs absolue, on préfère
faire la moyenne des \emph{carrés}~:  $(x_i-\bar{x})^2$.
Une moyenne de carrés est homogène au carré des valeurs de la séries. 
On obtient une grandeur comparable à celles de la série en 
revenant à la racine carrée, d'où la formule de
l'écart type~:
\[\sigma = \displaystyle \sqrt{\dfrac{n_1 (x_1-\bar{x})^2+\dots 
+n_p(x_p-\bar{x})^2}{n_1+\dots + n_p}}.\]

Lorsque $\sigma$ est petit, tous les carrés $(x_i-\bar{x})^2$ et
donc, comme la fonction carré est croissante sur $\R_+$, tous
les écarts $|x_i-\bar{x}|$ sont petits, et la série est resserrée
autour de sa moyenne. 

Dans une série \og normale \fg, on observe habituellement $66\%$ des données dans\linebreak $[\bar{x}-\sigma,\bar{x}+\sigma]$
et $95\%$ des données dans l'intervalle $[\bar{x}-2\sigma,\bar{x}+2\sigma]$. 


\begin{solintro}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.2,-0.5){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch09exotype}}}
\vspace*{-10pt}	
\begin{questions}
\item La calculatrice permet de calculer la moyenne des filles : environ $11,9$,  et la moyenne des garçons :
environ $9,8$.
\item On a calculé la moyenne de deux sous-groupes, on peut donc  calculer celle de la classe :
\[\bar{x}\approx\frac{12\times 11,9 + 18\times 9,8}{12+18}\approx10,6.\]
\item On avait des notes $x_i$, on ajoute $1$ point à chacune, 
on obtient de nouvelles notes $y_i=x_i+1$. Par linéarité de la
moyenne :
\[\bar{y}=\bar{x}+1\approx11,6.\]

\item On ajoute $3$ points au garçon, donc $3$ points au total des notes. Dans le calcul de la moyenne, ce total  est divisé par $30$ (effectif de la classe). Finalement, on a ajouté $\dfrac{3}{30}=0,1$ à la moyenne, qui devient : $11,7$.
\end{questions}
\end{solintro}

