\thumb

%%% 1

\begin{vf}{Variation d'une série statistique}{3}
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

\Par

Si un commerçant augmente tous ses prix de 1\,\euro :

\choix La moyenne des prix ne change pas.\\[1mm]
\choix L'étendue des prix ne change pas.\\[1mm]
\choix Le prix médian augmente de 1\,\euro.\\[1mm]
\choix L'écart inter-quartile augmente de 1\,\euro. 
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & \textit{Faux}. La moyenne augmente également de 1\,\euro.\\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}. Le prix minimal et le prix maximal augmentent de 1\,\euro donc leur différence ne change pas.\\[1mm]
\choix &\textit{Vrai}. En effet, tous les prix ont augmenté de 1\,\euro. \\[1mm]
\choix &\textit{Faux}. En effet, tous les prix ont augmenté de la même façon, l'écart inter-quartile est inchangé.
\end{tabularx}
\end{corrige}


%%% 2

\begin{vf}{Jets de dé}{5}
On représente les résultats obtenus en jetant 80 fois un dé à 6 faces.
\begin{center}
\includegraphics{305_09-01}
\end{center}
Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont correctes ?

\begin{tabular}{@{}ll@{}}
\choix Ce graphique est un histogramme. & 
\choix La moyenne est 3,1.\\[2mm]
\choix L'écart inter-quartile est 3&
\choix Le mode est 3.\\[1mm]
\choix Le maximum est 3.&
\choix La fréquence de 5 est $\dfrac{4}{80}$.
\end{tabular}\\
\choix Le dé est probablement pipé (truqué).
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix &\textit{Faux}. C'est un diagramme en bâtons.\\[1mm]
\choix &\textit{Vrai}. $\dfrac{1\times12+2\times16+3\times32+4\times4+5\times4+6\times12}{12+16+32+4+4+12}=3,1$.\\[1mm]
\choix &\textit{Faux}. 
Dans l'ordre croissant, la 20\ieme{} valeur vaut 2 et 
la 60\ieme{} valeur vaut 3, donc l'écart inter-quartile est 1.\\[1mm]
\choix &\textit{Vrai}. L'effectif le plus grand est atteint pour la valeur 3.\\[1mm]
\choix &\textit{Faux}. Le maximum est 6 (ne pas confondre avec le mode, qui concerne \emph{l'effectif} 
maximal).\\[1mm]
\choix &\textit{Vrai}. \\[1mm]
\choix & \textit{Vrai}. On ne peut pas en être absolument certain, mais il est très improbable que la fréquence du 3 soit 8 fois celle du 4 ou du 5 avec un dé normal (on peut calculer qu'avec un dé normal, une telle répartition arrive dans 1 cas sur \numprint{1800} milliards !).
\end{tabularx}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Pourcentages}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% 2024

\begin{exo}{Trouver la seconde évolution}{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine}{1}{5}
Le prix d'un objet subit une augmentation de 50\%.

Quel doit être le pourcentage d'une deuxième augmentation pour que le prix double par rapport au prix initial?
\end{exo}

\begin{corrige}
Notons $x$ le prix de l'objet avant la première augmentation.

Notons $p$ le pourcentage de la deuxième augmentation.

Nous souhaitons que le prix final soit égal au double du prix initial, donc:
\begin{align*}
x \times \left( 1 + \frac{50}{100} \right) \times \left( 1 + \frac{p}{100} \right) = 2x & \iff 1,5 \left( 1 + \frac{p}{100} \right) = 2\\
& \iff 1+\frac{p}{100} = \frac{2}{1,5}\\
& \iff \frac{p}{100} = \frac{4}{3} - 1\\
& \iff p = \frac{1}{3} \times 100\\
& \iff p \approx 33,33.
\end{align*}

La deuxième augmentation doit être d'environ 33,33\% pour que le prix double.
\end{corrige}

% 2024

\begin{exo}{Problèmes indépendants}{Lycée Loquidy, Nantes}{1}{10}
\textit{Les problèmes suivants sont indépendants.}
\begin{questions}
\item \textit{Problème 1:} parmi les \numprint{5600} abonnés à une médiathèque, \numprint{4410} sont des enfants.

Calculer le pourcentage d'enfants parmi les abonnées à cette médiathèque.

\item \textit{Problème 2:} lors d'un sondage pour une élection, 96\% des personnes interrogées ont indiqué leur intention de vote. Parmi celles-ci, 52\% ont donné leur préférence au candidat sortant.

Quel est le pourcentage d'intentions de vote pour le candidat sortant parmi l'ensemble des personnes interrogées?

\item \textit{Problème 3:} pour fêter le 11/11/11, un commerçant a décidé de baisser tous les prix de 11 \euro. Un jouet se vend alors 111 \euro.

Calculer le pourcentage d'évolution, arrondi à 0,1\% près, entre le prix initial et le prix final du jouet.

\item \textit{Problème 4:} suite à deux épisodes de grippe aviaire, le prix du foie gras augmente de 10\%, puis de 20\%.

Calculer le taux d'évolution global du prix.

\item \textit{Problème 5:} un commerçant décide de baisser ses prix de 7\% à l'occasion d'un événement. Au lendemain, il augmente ses prix de 7\%.

Calculer le taux d'évolution global du prix.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On effectue le calcul suivant:

\[
\frac{\numprint{4410}}{5600}\times100=78,75.
\]

Ainsi, les enfants représentent 78,75\% des abonnés à cette médiathèque.

\item On effectue le calcul suivant:

\[
\frac{96}{100}\times\frac{52}{100}\times100 = 49,92.
\]

Ainsi, le pourcentage d'intentions de vote pour le candidat sortant est 49,92\%.

\item Le prix initial du jouet est $111+11=122$ \euro.

\[
\frac{11}{122}\times100 \approx 9.
\]

Le pourcentage d'évolution du prix du jouet est donc $-9$\%.

\item Une hausse de 10\% signifie que l'on multiplie par $1+\frac{10}{100}$, soit par 1,1 (premier coefficient multiplicateur).

Une hausse de 20\% signifie que l'on multiplie par 1,2 (second coefficient multiplicateur).

\[
1,1 \times 1,2 = 1,32.
\]

Ce dernier résultat est le coefficient multiplicateur global. Il est supérieur à 1 donc il s'agit d'une augmentation (c'était plutôt évident dès le début ici).

Le taux d'évolution global est donc égal à +32\%.

\item Une baisse de 7\% signifie que l'on multiplie par $1-\frac{7}{100}$, soit par 0,93 (premier coefficient multiplicateur).

Une hausse de 7\% signifie que l'on multiplie par 1,07 (second coefficient multiplicateur).

\[
0,93 \times 1,07 = 0,9951.
\]

Ce dernier résultat est le coefficient multiplicateur global. Il est inférieur à 1 donc il s'agit d'une diminution.

\[
(0,9951 -1)\times100 = -0,49.
\]
Le taux d'évolution global est donc à peu près égal à $-0,5$\% (arrondi à 0,1 près).
\end{questions}
\end{corrige}

% 2024

\begin{exo}{Pourcentages de pourcentages}{Lycée Chaptal, Paris}{1}{10}
Dans le lycée de Jules, il y a 40\% de filles.

De plus, on sait que 20\% des filles et 35\% des garçons mangent à la cantine.

Déterminer la proportion (en pourcentage) d'élèves qui mangent à la cantine.
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item 20\% des filles (qui représentent 40\% des élèves du collège) mangent à la cantine.
\[
\underbrace{\frac{20}{100} \times \frac{40}{100}}_{\text{20\% de 40\%}} \times 100 = 8.
\]
Cela représente donc 8\% des élèves du collège.

\item De plus, il y a 60\% de garçons dans le collège, dont 35\% mangent à la cantine.
\[
% ERREUR %\frac{35}{100} \times \frac{60}{100} \times 100 = 12.
\frac{35}{100} \times \frac{60}{100} \times 100 = 21.
\]
Cela représente donc 21\% des élèves du collège.
\end{itemize}
\[
8+21=29.
\]
Finalement, 29\% des élèves du collège mangent à la cantine.
\end{corrige}

% 2024

\begin{exo}{Jeunes et tri sélectif}{Lycée Pierre Caraminot, Egletons}{1}{10}
Dans une ville, 80\% des jeunes font le tri sélectif des déchets, et parmi ces jeunes 15\% ont déjà participé à un nettoyage de rivière dans cette ville.
\begin{questions}
\item Déterminer le pourcentage que représentent les jeunes qui font le tri sélectif et ayant participé à un nettoyage de rivière par rapport à l'ensemble des jeunes de cette ville.
\item Cette ville est constituée de \numprint{2520} jeunes. Calculer le nombre de jeunes ne faisant pas le tri sélectif des déchets.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On nous demande ici de calculer 15\% de 80\%:
\[
\frac{15}{100}\times\frac{80}{100}\times100 = 12\%.
\]
Il y a donc 12\% de jeunes qui ont participé à un nettoyage de rivière.

\item Il y a $100-80 = 20$\% de jeunes ne faisant pas le tri sélectif.
\[
\frac{20}{100}\times \numprint{2520} = \numprint{504}.
\]
Il y a donc \numprint{504} jeunes ne faisant pas le tri sélectif.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2024

\begin{exo}{Soldes sur les trottinettes}{Lycée Loquidy, Nantes}{1}{10}
\begin{questions}
\item Une trottinette électrique soldée à $-30$\% est vendue à 357 \euro.

Déterminer en justifiant, le prix initial de cette trottinette.

\item En octobre 2021 un abonnement d'entrée de gamme sur Flixnet coûtait 7,99 \euro{} mensuel, et en novembre 2021, ce même abonnement coûtait 8,99 \euro{} par mois. 

Déterminer le pourcentage d'évolution du prix de cet abonnement Flixnet entre ces deux dates.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Soit $x$ le prix initial de la trottinette vendue 357 \euro{} après réduction de 30\%. Alors:
\[
\left(1-\frac{30}{100}\right)x = 357 \iff x = \frac{357}{0,7} = 510.
\]
Le prix initial était donc de 510 \euro.

\item On a:
\[
\frac{8,99-7,99}{7,99}\times100 \approx 12,5\%.
\]
L'augmentation de l'abonnement est donc d'environ 12,5\%.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2024

\begin{exo}{Tableau à compléter}{Lycée Chaptal, Paris}{2}{15}
Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|Zc|}
\tabulartitle\hline
Valeur initiale & Évolution & Coefficient multiplicateur & Valeur finale\\
\hline
415 & Baisse de 6\% &  & \\
\hline
    & Hausse de 3,6\% &  & \numprint{3626}\\
\hline
44 &  & 0,925 & \\
\hline
  &  & 3,2 & 537,6\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{exo}

\begin{corrige}
Voici le tableau complété :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|Zc|}
\tabulartitle\hline
Valeur initiale & Évolution & Coefficient multiplicateur & Valeur finale\\
\hline
415 & Baisse de 6\% & \textbf{0,94} & \textbf{390,1} \\
\hline
\textbf{\numprint{3500}} & Hausse de 3,6\% & \textbf{1,036}  & \numprint{3626}\\
\hline
44 & \textbf{Baisse de 7,5\%} & 0,925 & \textbf{40,7} \\
\hline
\textbf{168} & \textbf{Hausse de 220\%} & 3,2 & 537,6\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{corrige}

% 2024

\begin{exo}{Coefficients multiplicateurs}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{2}{15}
Durant la première semaine des soldes, un magasin propose 40\% de remise sur tous les articles. Lors de la seconde semaine, le magasin propose 20\% de remise supplémentaire sur tous les articles non vendus.
\begin{questions}
\item Déterminer les coefficients multiplicateurs associés à chacune de ces remises.
\item En déduire le coefficient multiplicateur global associé aux deux remises, puis le taux d'évolution global des prix au cours de ces deux semaines.
\item En déduire de quel pourcentage (arrondi à 0,1\% près), il faudrait augmenter les prix lors de la troisième semaine pour revenir aux prix initiaux.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Une remise de 40\% correspond à un coefficient multiplicateur de \linebreak$1-\frac{40}{100}$, soit 0,6.

20\% de remise correspond à un coefficient multiplicateur de $1-\frac{20}{100}$, soit 0,8.

\item Le coefficient multiplicateur global associé aux deux remises est:
\[
0,6 \times 0,8 = 0,48.
\]
Or, $0,48 = 1-0,52$; donc l'évolution globale est une réduction de 52\%.

\item Le coefficient multiplicateur réciproque de $0,48$ est:
\[
\frac{1}{0,48} \approx 2,0833 = 1 + 1,0833 = 1 + \frac{108,33}{100}.
\]
Les prix devraient alors augmenter d'environ 108,3\% pour qu'ils reviennent aux prix initiaux.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2024

\begin{exo}{Cinq évolutions successives}{Lycée Alain, Le Vésinet}{3}{10}
Au journal télévisé le présentateur dit que le montant de la facture d'électricité va augmenter de 6\% par an pendant 5 ans, et ajoute: \og soit une hausse de 30\% au bout de 5 ans \fg. 

Démontrer que le journaliste dit faux.
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{3em}
Cinq augmentations de 6\% chacune donne un coefficient multiplicateur global égal à:
\[
\left(1+\frac{6}{100}\right)^5 \approx 1,3382.
\]
\mbox{Or, une augmentation de 30\% correspond à un coefficient multiplicateur égal à:}
\[
1+\frac{30}{100}=1,3.
\]
Les deux coefficients multiplicateurs ne sont pas égaux; par conséquent, ils ne traduisent pas la même évolution.

Le premier coefficient étant plus grand que le second, les cinq augmentations de 6\% augmentent davantage les prix qu'une seule augmentation de 30\%
\end{corrige}


\sectionnn{Statistiques}

%%% 

\begin{exo}{Temps de trajet}{Lycée Brizeux, Quimper}{1}{10}
La répartition des 200 salariés d'une entreprise d'après la durée du trajet aller qu'ils 
effectuent pour se rendre à leur lieu de travail est relevée dans un tableau. 

\begin{questions}
\item 
Compléter ce tableau :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{>{\centering\arraybackslash}m{0.2\linewidth}|}}
\hline
\tabulartitle
Durée en minutes & 
$n_i$ (effectifs) & 
$f_i$ (fréquences) en \% & 
Effectifs cumulés croissants\\\hline
$[5~;10[$ & & 5 & \\\hline
$[10~;15[$ & 30 &  &  \\\hline 
$[15~;20[$ & &    &110 \\\hline
$[20~;25[$ &  & 30 &  \\\hline
$[25 ~; 30[$ & &  &  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On identifie chaque classe à son centre (ce qui revient, par
exemple, à considérer qu'un temps de trajet entre 5 et 10 min.
est égal à $7{,}5$ min.) Déterminer la moyenne du temps
de trajet. Expliquer pourquoi on peut arrondir à la minute près.

\item Calculer l'écart-type $\sigma$ du temps de trajet. 
Pour combien de valeurs, approximativement, l'écart à la moyenne
est-il inférieur à $\sigma$~?

\end{questions} 


\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \raisebox{-0.5\totalheight+0.7em}{\begin{tabular}{|*4{>{\centering\arraybackslash}m{0.2\linewidth}|}}
\hline
\tabulartitle
Durée en minutes & $n_i$ (effectifs) & $f_i$ (fréquences)  en \% & Effectifs cumulés croissants \\\hline
$[5~;10[$ & 10 & 5 &  10\\\hline
$[10~;15[$ & 30 & 15 & 40 \\\hline 
$[15~;20[$ &70 &  35  &110 \\\hline
$[20~;25[$ & 60 & 30 & 170 \\\hline
$[25~;30[$ &30 & 15 & 200 \\\hline
\end{tabular}}

\item 
On calcule $\bar{x}=(10\times 7,5+\dots + \dots + 30\times 27,5)/200
= 19,25$, soit 19 min et 15 s. 

En assimilant chaque classe à son centre, on a pu faire une erreur de 
$2,5$ min. sur chaque valeur, et donc également sur la moyenne
(par linéarité de la moyenne).  
Une précision à la seconde près est donc un peu exagérée. 

Cependant, on peut espérer que les erreurs se compensent dans une 
certaine mesure, donc il est pertinent d'arrondir à 19 min. 

\item En utilisant la valeur 19 pour la moyenne, on obtient 
$\sigma\simeq 5,3$. Ceci est cohérent avec la série, où
on observe 130 valeurs entre 15 et 25 min. (environ deux tiers
des valeurs). 
\end{questions}
 
\end{corrige}

%%%
\newpage
\begin{exo}{Lait en poudre}{Lycée Alphonse Daudet, Nîmes}{1}{10}
Les quantités de lait en poudre consommées dans une journée par les 45 bébés d'une crèche sont fournies, en grammes, dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|}
\hline\tabulartitle Consommation & Effectifs \\\hline
40&2 \\\hline
45&3\\\hline
50&5\\\hline
55&9\\\hline
60&7\\\hline
65&8\\\hline
70&5\\\hline
75&4\\\hline
80&2\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{questions}
\item Déterminer la consommation journalière moyenne des bébés. 
\item Déterminer les effectifs cumulés croissants et les effectifs cumulés décroissants.
\item En déduire les quartiles et l'écart inter-quartile. 
\item Quel pourcentage de bébés consomment dans une journée au moins
60~g de lait en poudre ?
\item Quel pourcentage consomment moins de 70~g de lait en poudre ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
On obtient une moyenne d'environ 60,2 g. :

\Par

\scalebox{0.85}{$\frac{2\times\nombre{40}+3\times\nombre{45}+5\times\nombre{50}+9\times\nombre{55}+7\times\nombre{60}+8\times\nombre{65}+5\times\nombre{70}+4\times\nombre{75}+2\times\nombre{80}
}{45}$}\\
$\approx60,2.$

\Par

\item %\mbox{}\hspace*{-7mm}
\raisebox{-0.5\totalheight+0.7em}{\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{2.2cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1.2cm}|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|}
\hline \tabulartitle
\small Consommation & \small Effectifs &\small Effectifs cumulés croissants & \small Effectifs cumulés décroissants \\\hline
40& 2&2 & 45\\\hline
45& 3& 5 & 43\\\hline
50&5&10 & 40\\\hline
55&9&19 & 35\\\hline
60&7&26 & 26\\\hline
65&8&34 & 19\\\hline
70&5&39 & 11\\\hline
75&4&43 & 6\\\hline
80&2&45 & 2\\\hline
\end{tabular}}
\newpage
\item Comme il y a 45 bébés, on dépasse le premier quart au
12\ieme bébé et le troisième au 34\ieme bébé. 
D'après la colonne des effectifs croissants, $q_1=55$~g
(consommation du 12\ieme bébé) et $q_3=65$~g, donc 
l'écart inter-quartile est de 10~g (la série est peu dispersée). 

\item 
D'après les effectifs cumulés décroissants, 26 bébés consomment au
moins 60~g de lait en poudre, soit:
\[
\dfrac{26}{45}\times 100 \approx 58\%. 
\]

\item D'après les effectifs cumulés croissants, 34 bébés consomment moins de 70~g de lait en poudre soit :
\[
\frac{34}{45}\times 100\approx 76\%.
\]
\end{questions}

\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{Âge des élèves}{Lycée Jacques Monod, Clamart}{1}{15}
L'âge des élèves d'un lycée, à leur entrée en Seconde, se répartit comme suit :

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc|}}
\hline
\^Age (ans) & 13 & 14 & 15 & 16  & 17  \\
\hline
Répartition (\%) & 4 & 12  & 52 & 24 & 8 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{questions}
\item Calculer l'âge moyen
à l'entrée en Seconde dans le lycée.
\item Déterminer l'écart inter-quartile et l'écart-type. 
Que peut-on en dire~?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'âge moyen est $\bar{x}=15{,}2$ (donc 15 ans).
\item On dépasse 25\% à partir de 15 ans et 75\% à partir de 
16 ans. L'écart inter-quartile est donc de 1 an. 

La calculatrice donne un écart-type de 0,89. 

Ces deux valeurs montrent que la série n'est pas très 
dispersée. Il fallait s'y attendre puisque la plupart
des élèves ont des âges très proches dans une classe.
\end{questions} 
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{Notes à un contrôle}{Lycée Montesquieu, Bordeaux}{1}{15}
On relève les notes obtenues au même contrôle par les élèves d'une même classe (voir page suivante).

\Par

Calculer la moyenne et l'écart inter-quartile de cette série. 

\[\begin{array}{|*7{Zc|}}\hline
11&12&9&15&1&18&7\\\hline
6&10&7&2&14&2&15\\\hline
4&7&14&13&16&6&17\\\hline
13&9&15&5&10&4&5\\\hline
15&7&5&9&11&14&14\\\hline
\end{array}\]


\end{exo}


\begin{corrige}
On peut ranger les différentes notes dans un tableau d'effectifs (on a indiqué également les effectifs cumulés croissants) :

\Par

\hspace*{-2em}
\scalebox{0.8}{
\begin{tabular}{|C|*{19}{Zc|}}
\hline
$x_i$ & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10& 11&12&13&14&15&16&17&18&19\\\hline
$n_i$ & 1 & 2 & 0 & 2 & 3 & 2 & 4& 0& 3 & 2& 2& 1&2&4 & 4& 1 & 1 & 1 & 0\\\hline
$s_i$ & 1 & 3& 3 & 5 & 8 & 10&14&14&17&19& 21 &22&24&28&32 &33&34&35&35\\\hline
\end{tabular}}

\Par

Les données étaient rangées dans un tableau de 7 colonnes et 5 lignes, donc l'effectif total est $n=35$. 
On calcule la moyenne :
\[\bar{x}=
\frac{n_1 x_1+\dots }{n}\approx 9,77.\]

Le premier quart est atteint à partir de la 9\ieme note, donc 6, et
le troisième à partir de la 27\ieme, donc 14. 

On a donc le premier quartile $q_1=6$, le troisième quartile
$q_3=14$, et l'écart inter-quartile est 8. 

\end{corrige}


%%% 9

\begin{exo}{Lancers de dé}{Lycée Sacré-C{\oe}ur, Aix-en-Provence}{1}{15}
On lance deux dés et on ajoute les numéros obtenus à chaque lancer. On remplit le
tableau suivant :

\Par

\hspace*{-2em}
\scalebox{0.85}{
\begin{tabular}{|C|*{11}{Zc|}}
\hline
Résultats & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 1 0 & 11 & 12\\
\hline
Effectifs & 302 & 497 & 904 & \numprint{1086} & \numprint{1408} & \numprint{1640} & \numprint{1341} & \numprint{1122} & \numprint{813} & 575 & 312\\
\hline
Fréquences &&&&&&&&&&&\\
(en \%) &&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
}

\begin{questions}
\item Déterminer pour chaque colonne la fréquence (en $\%$). 
\item Quelle est la moyenne et l'écart-type de cette série ?
\item Quelle est la fréquence de l'événement : \og la somme des deux dés est supérieure
ou égale à 5\fg ?
\end{questions}
\end{exo}



\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On calcule l'effectif total : $N=\numprint{10000}$. Le calcul des fréquences se borne donc à \og ajouter \fg{} une virgule :

\hspace*{-2em}
\scalebox{0.75}{
\begin{tabular}{|C|*{11}{Zc|}}
\hline
Résultats & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 1 0 & 11 & 12\\
\hline
Effectifs & 302 & 497 & 904 & \numprint{1086} & \numprint{1408} & \numprint{1640} & \numprint{1341} & \numprint{1122} & 813 & 575 & 312\\
\hline
Fréquences &3,02 & 4,97 & 9,04 & 10,86 & 14,08 & 16,40 & 13,41 & 11,22 & 8,13 & 5,75 & 3,12\\\hline
\end{tabular}
}

\item Avec la calculatrice, on obtient une moyenne de $7,0$ et
un écart-type de $2,4$

\item On peut se contenter d'ajouter les fréquences, pour les résultats allant de 5 à 12. Essayons
une autre méthode. La somme des 2 dés est strictement inférieure à 5 avec la fréquence :
\[3{,}02+4{,}97+9{,}04=17{,}03\;\%.\]
Elle est donc supérieure ou égale à 5 avec la fréquence :
\[100-17{,}03=82{,}97\;\%.\]
\end{questions} 
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{Prix de la baguette}{Lycée Descartes, Tours}{1}{15}
Le prix d'une baguette a été relevé dans les boulangeries de Farineville :

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc|}}
\hline
Prix (en centimes)  & $75$ & $80$ & $85$ & $90$ & $95$ \\
\hline
Effectifs & 2 & 5 & 8 & 4 & 1\\\hline
Fréquences & & & & &\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{questions}
\item Compléter le tableau.
\item Déterminer la moyenne de cette série.
\item Quel est son écart inter-quartile?  
\item Une boulangerie supplémentaire ouvre et vend sa baguette à 70 centimes. Quel est l'effet  sur la moyenne ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'effectif total est $n=20$. Complétons le tableau et ajoutons la ligne des effectifs cumulés croissants:

\hspace*{-3pt}
\scalebox{0.88}{
\begin{tabular}{|C|*5{Zc|}}
\hline
Prix (en centimes)  & $75$ & $80$ & $85$ & $90$ & $95$ \\
\hline
Effectifs & 2 & 5 & 8 & 4 & 1\\\hline
Fréquences & 0{,}1 &0{,}25 & 0{,}4 &0{,}2 &0{,}05 \\\hline
Fréquences cumulées & 0{,}1 & 0{,}35 & 0{,}75 & 0{,}95 & 1{,}00 \\\hline
\end{tabular}}

\item 
La moyenne est $\bar{x}=84{,}25$ centimes. 
La précision des données est au centime près, on 
donne donc la moyenne au centime près également~:
\[\bar{x}\approx 84~\text{centimes}.\]

\item On dépasse $0{,}25$ en fréquences cumulées à partir de 80 c,
et $0{,}75$ à partir de 85 c. L'écart inter-quartile est donc de 5 c. 


\item Tout se passe comme si on avait dans notre nouvelle série deux sous-groupes. Le premier
est le sous-groupe des 20 premières boulangeries, de moyenne $84$~c.
Le second est le sous-groupe
constitué par la seule nouvelle boulangerie, de moyenne $70$~centimes. 
La moyenne finale est donc :
\[\bar{X}=\frac{20\times 84+1\times 70}{21}\simeq 83,3.\]
La moyenne a donc légèrement diminué. 
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Série de masses}{Lycée Henri IV, Béziers}{1}{20}
Les masses en kilogrammes d'une série de personnes se répartissent ainsi :

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*7{Zc|}}
\hline 
Masses & 62&66&70&74&78&82&86\\\hline
Fréquences & 7\;\% & 12\;\% & 36\;\% & 15\;\% & 16\;\% & 10\;\% & 4\;\% \\\hline
Fréquences  & & & & & & & \\
cumulées &&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{questions}
\item Calculer la moyenne des masses de ces personnes.
\item Compléter le tableau par les fréquences cumulées croissantes.
\item Déterminer l'écart inter-quartile. 
\item Quel est le pourcentage des personnes pesant moins de 72 kg ?
\item Quel est le pourcentage des personnes pesant au moins 80 kg ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
Pour calculer la moyenne $\bar{x}$, on utilise la formule :
\[\bar{x}=f_1 x_1 + \dots \]
où $x_i$ sont les valeurs et $f_i$ leur fréquence. 

On a donc :
\begin{align*}
\bar{x} & = 
62\times 0{,}07
+66\times 0{,}12
+70\times 0{,}36
+74\times 0{,}15\\
&\phantom{=}+78\times 0{,}16
+82\times 0{,}10
+86 \times 0{,}04\\
&\approx 72{,}7\text{ kg}
\end{align*}

Comme les valeurs de la série sont visiblement à 2 kg près, 
donner la moyenne avec une précision beaucoup plus grande
est illusoire. Donnons la moyenne au kg près : 73~kg. 


\item Pour les fréquences cumulées, on ajoute les fréquences au fur et à mesure des valeurs. 
Pensez à contrôler que la dernière fréquence cumulée est de
100\% ~; si ce n'est pas le cas ... vérifiez vos calculs !

\begin{center}
\begin{tabular}{|M{1.7cm}|*7{Zc|}}
\hline 
Masses & 62&66&70&74&78&82&86\\\hline
Fréquences & 7\% & 12\% & 36\% & 15\% & 16\% & 10\% & 4\% \\\hline
Fréquences cumulées & 7\% & 19\% & 55\% & 70\% & 86\% & 96\% & 100\% \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
%\setlength{\tabcolsep}{3pt}

\item La première fréquence cumulée supérieure ou égale à 25\;\% 
correspond à 70 kg. Celle où l'on dépasse 75\;\% correspond à 78 kg. 
Ces deux valeurs sont donc respectivement les premiers et troisième
quartiles de la série, et l'écart inter-quartile est de 8 kg. 

\item Le pourcentage de personnes pesant moins de 72 kg est justement la fréquence cumulée croissante correspondant à 70 kg, soit 55\;\%. 

\item Dans cette série, \og au moins 80 kg \fg 
signifie 82 ou 86 kg, donc 14~\% de la population totale.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{Télévision}{Lycée Paul Lapie, Courbevoie}{1}{30}
Dans une classe de cinquième et une classe de seconde, on a demandé aux élèves le nombre d'heures par semaine consacrées à regarder la télévision. 

Classe de seconde (32 élèves) :
\[
\begin{array}{|C|*9{Zc|}}
\hline
\text{Temps (h)} & 2&6&7&8&9&10&11&14&15\\\hline
\text{Effectifs}  &1&2&1&1&2&5&1&1&4\\\hline
\multicolumn{10}{l}{}\\[-10pt]
\hline
\text{Temps (h)}& 16&17&18&20&21&22&23&\multicolumn{2}{c|}{24}\\\hline
\text{Effectifs} & 1&1&4&3&1&1&2&\multicolumn{2}{c|}{1}\\\hline
\end{array}
\]

\Par

Classe de cinquième (27 élèves) :
\[
\begin{array}{|C|*{10}{Zc|}}
\hline
\text{Temps (h)} & 0&4&5&8&9&10&11&12&\multicolumn{2}{c|}{13}\\
\hline
\text{Effectifs} & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 2 & 2 & \multicolumn{2}{c|}{1}\\
\hline
\multicolumn{10}{l}{}\\[-10pt]
\hline
\text{Temps (h)} & 15&16&20&28&30&31&32&40&54&56\\\hline
\text{Effectifs} & 3&1&1&1&1&1&1&2&1&1\\\hline
\end{array}
\]

\begin{questions}
\item Pour chaque série, calculer la moyenne, 
et l'écart inter-quartile.
\item Comparer et commenter les résultats des deux séries à l'aide des résultats de la
question précédente.
\item Donner la distribution des fréquences en pourcentage de la classe de seconde.
Quelle est la fréquence en pourcentage de l'événement : \og temps inférieur à 14 h\fg ?
\item On regroupe les données des deux séries pour construire une nouvelle série. 
Calculer la moyenne de la nouvelle série en utilisant les moyennes des deux séries 
précédentes.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour la classe de seconde : la moyenne est $\bar{x}\approx14,4$.

Il y a 32 élèves en seconde. Les premiers et troisièmes quartiles
correspondent donc à la 8\ieme valeur (10 h) et la 24\ieme (18 h). 
L'intervalle inter-quartile est donc de 8 h. 

Pour la classe de cinquième, on trouve une moyenne de 
$\bar{y}\approx 19,1$. 

Il y a 27 élèves en cinquième, on s'intéresse donc 
à la 7\ieme valeur (10 h) et la 21\ieme (30 h). 
On obtient donc un intervalle inter-quartile  de 20 h. 

\item Si on regarde la seule moyenne, on voit que les élèves de cinquième regardent la télévision plus longtemps que leurs camarades de seconde.

Néanmoins, la comparaison de la dispersion montre que
les situations des élèves du collège sont beaucoup plus diverses : un élève ne la regarde pas du tout la télévision, l'un d'entre eux la regarde... 8 heures par jour ! C'est ce petit nombre de \og téléphages \fg qui tire la moyenne vers le haut.


\item Donnons le tableau des fréquences :

$
\begin{array}{|C|*9{Zc|}}
\hline
\text{Temps (h)} & 2&6&7&8&9&10&11&14&15\\\hline
\text{Effectifs}  &1&2&1&1&2&5&1&1&4\\\hline
\text{Fréquences (\%)} & 3,1 & 6,3 & 3,1 &3,1 &6,3 &15,7 & 3,1 &3,1 &
12{,}5 \\ \hline
\multicolumn{10}{l}{}\\[-10pt]
\hline
\text{Temps (h)}& 16&17&18&20&21&22&23&\multicolumn{2}{c|}{24}\\\hline
\text{Effectifs} & 1&1&4&3&1&1&2&\multicolumn{2}{c|}{1}\\\hline
\text{Fréquences (\%)} &3,1 &3,1 &12,5 &9,4 & 3,1 &3,1 &6,3 & \multicolumn{2}{c|}{3,1}\\ \hline
\end{array}
$

\Par

La somme des fréquences vaut $100\;\%$. Si, pour
des raisons d'arrondi, ce n'était pas le cas, l'habitude 
veut que l'on corrige les résultats en modifiant la fréquence maximale (ce que nous avons d'ailleurs fait).

La fréquence cherchée est d'environ 41\;\%.


\item On connaît les moyennes de deux-sous groupes, la moyenne générale est donnée par :
\[\bar{X}=\frac{32\bar{x}+27\bar{y}}{32+27}\approx16,6.\]
\end{questions}
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Notes d'un élève}{Lycée Camille Sée, Paris}{2}{10}
Après 4 devoirs, la moyenne d'un élève est $9{,}5$. 
Quelle doit être sa cinquième note pour que sa moyenne soit de $10$ ?
\end{exo}

\begin{corrige}
Pour avoir une moyenne de 10 sur 5 notes, il faut que le total des notes obtenu soit 50.
Pour l'instant, l'élève a une moyenne de $9{,}5$ sur 4 notes, soit un total de 
$4\times 9{,}5=38$. Il lui faut donc obtenir $50-38=12$ au prochain devoir pour obtenir
$10$ de moyenne. 
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Course à pied}{Lycée Claude Bernard, Paris}{2}{20}
Dans un groupe de 25 coureurs de 100~m (15 femmes et 10 hommes) :
\begin{questions}
\item 
La moyenne des temps des femmes est de $12{,}32$~s ~;
celle des hommes est de $11{,}48$~s.
Quelle est la moyenne de l'ensemble des coureurs ?

\item 
Après un mois d'entraînement, la moyenne des temps des femmes a diminué
de $0{,}21$~s et celle des hommes a diminué de $0{,}13$~s.
De combien la moyenne de l'ensemble a-t-elle varié ?
\item 
L'entraîneur sélectionne alors 10 hommes et 10 femmes. Outre les 10 hommes, il
choisit les 10 femmes les plus rapides, dont la moyenne des temps est de $11{,}97$~s. 
Quelle est la moyenne des temps des femmes qui n'ont pas été sélectionnées ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On calcule la moyenne pondérée :
\[m=\frac{15\times 12{,}32+10\times 11{,}48}{25}=11{,}984.\]
$11{,}984$ est le résultat exact donné par la calculatrice. Pour formuler sa réponse, il
faut également s'interroger sur la précision des mesures des temps de chaque coureur.
Les moyennes sont données au centième près, il faut donc se contenter de ce niveau de 
précision. Une réponse plus raisonnable est donc : $11,98$~s. 

\item Pour connaître la variation, on calcule la moyenne pondérée des variations :
\[\Delta=\frac{15\times 0{,}21+10\times 0{,}13}{25}=0{,}178.\]
Au centième près, on calcule donc une amélioration de $0{,}18$ s de l'ensemble des
performances. 

\item 
La moyenne de l'ensemble des femmes (on la note $F$) est donnée par l'énoncé, compte
tenu de l'amélioration de leurs performances :
\[F=12{,}32-0{,}21=12{,}11\textup{ s}.\]

$\bar{x}$ la moyenne des femmes sélectionnées et $\bar{y}$ celle des autres femmes.

La moyenne du groupe féminin est la moyenne pondérée de $\bar{x}$  et $\bar{y}$, d'où
l'équation :
\begin{align*}
F&=\frac{10\bar{x}+5\bar{y}}{15}\\
& \iff 15\times F =  10 \bar{x}+5\bar{y}\\
& \iff \frac{15\times F-10 \bar{x}}{5} =\bar{y}.
\end{align*}
Comme $\bar{x}=11{,}97$ et $F=12{,}11$, il vient : $\bar{y}=12{,}39$.
\end{questions} 
\end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige
