\chapter{Probabilités}


\begin{exointro}{Lycée Montaigne, Paris}
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. 

On suppose qu'il y a équiprobabilité.
	\begin{questions}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir un as~?
		\item La carte obtenue est un as. On le remet dans le paquet, on 
mélange et on tire de nouveau une carte. Quelle est la probabilité d'obtenir 
encore un as~?
		\item On a encore obtenu un as~! On ne le remet pas dans le paquet et
on tire une nouvelle carte. Quelle est la probabilité d'obtenir encore un as~?
	\end{questions}
\end{exointro}


\section{Expérience aléatoire}

Une expérience aléatoire est une expérience (concrète ou abstraite), dont le résultat (appelé \emph{issue}) n'est pas déterminé à l'avance. Par exemple, le jeu de pile ou face, un lancer de dé, la distribution de cartes à jouer sont des expériences aléatoires. 

\begin{itemize}
\item \textit{L'univers} est l'ensemble des issues de l'expérience. On le note souvent $\Omega$. 

Par exemple, si on lance un dé à 6 faces, l'ensemble des 
issues est :
\[
\Omega=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}.
\]

\item Un \textit{événement} regroupe une ou plusieurs issues de l'expérience. 
C'est un sous-ensemble de $\Omega$. Il est décrit par
une propriété, par ex. $A=\text{\og le résultat est pair \fg}$, 
ou tout simplement par ses éléments~: $A=\{2 ; 4 ; 6 \}$. 
\end{itemize}

On considère deux événements $A$ et $B$. 

\begin{itemize}
\item $A\cup B$ (lu : \og A ou B \fg) est l'événement qui contient 
toutes les issues de l'événement $A$ et toutes celles de $B$.

\item $A\cap B$ (lu : \og A et B\fg) est l'événement qui contient les issues communes à $A$ et $B$. Deux événements sont
\emph{incompatibles} s'ils ne comportent aucune issue commune 
(par exemple : \og le résultat est 2 \fg et \og le résultat est impair \fg).

\item $\bar{A}$ est l'événement contraire de $A$. Il contient exactement toutes les issues qui ne sont pas dans $A$. En particulier, $A$ et $\bar{A}$ sont incompatibles.

\item $\overline{A \cup B}$ est le contraire de \og $A$ ou $B$ \fg; c'est donc le contraire de $A$ \textit{et} le contraire de $B$:
\[
\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}.
\]
De même,
\[
\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}.
\]
\end{itemize}

\section{Loi de probabilité}

Soit un univers $\Omega=\{x_1~;x_2~;\ldots~;x_n\}$ contenant $n$ issues.

Une \emph{loi de probabilité} sur $\Omega$ est la donnée de $n$ nombres $p_i$ associés à chaque valeur $x_i$, pour $1\leqslant i \leqslant n$, avec :
\[ 
p_i\geqslant0\qquad\text{et}\qquad p_1+p_2+\cdots+p_n=1.
\]
On peut donner une loi de probabilité sous la forme d'un tableau:
\Par
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*5{Zc|}}
\tabulartitle\hline
Valeurs $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $\cdots$ & $x_n$ \\
\hline
Probabilités $p_i$ & $p_1$ & $p_2$ & $p_3$ & $\cdots$ & $p_n$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\Par
Dans le cas où $p_1=p_2=\cdots=p_n$, on dit que
les issues sont \emph{équiprobables} 
et dans ce cas, $p_i=\dfrac{1}{n}$ pour $1\leqslant i\leqslant n$.

Cette situation est souvent indiquée dans l'énoncé par des expressions
comme \og on choisit au hasard \fg, \og le dé n'est pas truqué \fg, etc. 




\section{Probabilité d'un événement}

Si $A=\{x_{i_1},x_{i_2},\dots,x_{i_k}\}$ est un événement, 
la probabilité de l'événement $A$ est, par définition~: 
$P(A)=p_{i_1}+\dots + p_{i_k}$. 

Dans le cas d'issues équiprobables, tous les $p_i$ étant égaux à 
$\frac{1}{n}$, on a donc~: 
\[
P(A)=\frac{k}{n}=\dfrac{\text{nombre d'éléments de }A}{\text{nombre d'éléments de }\Omega}.
\]

Il existe deux cas particuliers :

\begin{itemize}
\item l'événement \emph{certain} $\Omega$ regroupe tous les événements élémentaires. 

On a donc : 
\[
P(\Omega)=1.
\]

\item l'événement \emph{impossible} $\varnothing$ ne contient aucun événement élémentaire. 

On a donc : 
\[
P(\emptyset)=0.
\]
\end{itemize}



En faisant $P(A)+P(B)$, on compte deux fois la probabilité des événements élémentaires communs à $A$ et $B$. On en déduit la formule :
\[P(A)+P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B).\]
En particulier :
\begin{itemize}
\item si $A$ et $B$ sont incompatibles, on a $A\cap B=\emptyset$, donc $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ;
\item comme $A\cup \bar{A}=\Omega$, on a : $P(A)+P(\bar{A})=1$.
\end{itemize}


\begin{solintro}
\begin{questions}
	\item Il y a 32 cartes dans le jeu (32 issues possibles), dont 4 as (4 issues favorables). La probabilité d'obtenir un as est donc $\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$.
	\item Comme on remet la carte dans le paquet, le second tirage s'effectue
dans les mêmes conditions que le précédent, et la probabilité d'obtenir 
un second as est encore de $\dfrac{1}{8}$.
	\item Cette fois, au moment du second tirage, le paquet contient 31 cartes (31 issues possibles) et seulement 3 as (3 issues favorables) car on n'a pas
remis la carte dans le paquet. La probabilité d'obtenir un as est cette fois~: $\dfrac{3}{31}$. 
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{solintro}
