\thumb

%%% 

\begin{vf}{Jeu de cartes}{5}
Un jeu de 52 cartes contient 4 couleurs : pique, c\oe ur, carreau, trèfle ~;
chaque couleur possède 13 cartes : as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet,
dame et roi. 

On tire au hasard une carte et on suppose qu'il y a équiprobabilité.

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

\choix La probabilité de tirer l'as de pique est de $\dfrac{1}{52}$.\\[1mm]
\choix La probabilité de tirer un as est de $\dfrac{1}{4}$.\\[1mm]
\choix La probabilité de tirer un roi ou une reine est de $\dfrac{2}{13}$.
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}lX@{}}
\choix & \textit{Vrai}. Si le jeu n'est pas truqué, le tirage de chaque carte est équiprobable, or le jeu contient 52 cartes, 
donc la probabilité de tirer une carte particulière
est $\dfrac{1}{52}$.\\
\choix & \textit{Faux}. Il y a 4 as. L'événement \og tirer un as \fg{} contient les 4 événements élémentaires \og tirer l'as de pique \fg{}, \og tirer l'as de c\oe ur \fg{}, \og tirer l'as de trèfle \fg{}, \og tirer l'as de carreau\fg{}. La probabilité de tirer un as est donc
$4\times\dfrac{1}{52}=\dfrac{1}{13}$.\\
\choix & \textit{Vrai}. Comme dans la question précédente, la probabilité de tirer un roi est de $\dfrac{1}{13}$, celle de tirer une reine  est de $\dfrac{1}{13}$. Comme ces deux événements sont disjoints (incompatibles), leur réunion a pour probabilité $\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{13}=\dfrac{2}{13}$. 
\end{tabularx}
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Cartes}{Lycée Marie Curie, Sceaux}{1}{10}
On dispose d'un jeu de 52 cartes. On tire une carte au hasard. On suppose qu'il y a équiprobabilité. On note $A$ l'événement \og la carte est un as \fg{} et $P$ l'événement \og la carte est un pique \fg. 
\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité de $A$ ? De $P$~?
\item Décrire l'événement $A\cap P$ et donner sa probabilité.
\item Décrire l'événement $A\cup P$ et donner sa probabilité. 
\item Quelle est la probabilité que la carte obtenue ne
soit pas un as~?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il y a 4 as dans le jeu, donc 4 issues favorables. Le jeu contient 52 cartes, donc 52 issues possibles. L'événement $A$ a donc pour probabilité la valeur suivante : $4\times \dfrac{1}{52}=\dfrac{1}{13}$.

Chaque couleur ayant le même nombre de cartes, on peut considérer que le tirage de chaque couleur est équiprobable. Il y a 4 couleurs, donc la probabilité de tirer un pique est $\dfrac{1}{4}$.

\item L'événement $A\cap P$ est \og la carte est l'as de pique \fg. 
Une seule issue favorables pour 52 possibles, donc la probabilité de
cet événement 
est $\dfrac{1}{52}$.

\item $A\cup B$ signifie \og la carte est un as ou un pique \fg. 
Il y a 13 piques, auxquels on ajoute les 3 autres as, donc 16 issues 
favorables, pour 52 possibles, donc~: $P(A\cup P)=\dfrac{16}{52}=\dfrac{4}{13}$.\\
On peut également appliquer directement la formule du cours~:
\[P(A\cup P)=P(A)+P(P)-P(A\cap P)=\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{52}
=\dfrac{4}{13}.\] 

\item Il s'agit de l'événement contraire $\bar{A}$ dont la probabilité est~:
\[P(\bar{A})=1-P(A)=\dfrac{12}{13}.\]
\end{questions} 
\newpage
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Jeu de dés}{Lycée Edgar Quinet, Paris}{1}{15}
Les faces d'un dé sont numérotées de 1 à 6. On jette ce dé deux fois de suite et on forme un nombre à 2 chiffres, celui des dizaines étant le chiffre obtenu au premier jet, celui des unités étant celui obtenu au second jet. 
\begin{questions}
\item Reproduire et compléter le tableau page ci-contre, afin d'écrire tous les résultats possibles. 
\Par
Quelle est la probabilité de chaque résultat~?
\item Calculer~: la probabilité $p_1$ que le résultat soit un multiple
de $5$, la probabilité $p_2$ qu'il soit pair, la probabilité $p_3$
qu'il soit supérieur à 30. 
\end{questions}
\[\begin{array}{|C|*6{Zc|}}
\hline\tabulartitle
&1&2&3&4&5&6\\\hline
1&11&12&13&&&\\\hline
2&21&&&&&\\\hline
3&&32&&&&\\\hline
4&&&&&&\\\hline
5&&&&&&\\\hline
6&&&&&&\\\hline
\end{array}\]
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On complète le tableau~:
\[\begin{array}{|C|*6{Zc|}}
\hline\tabulartitle
&1&2&3&4&5&6\\\hline
1&11&12&13&14&15&16\\\hline
2&21&22&23&24&25&26\\\hline
3&31&32&33&34&35&36\\\hline
4&41&42&43&44&45&46\\\hline
5&51&52&53&54&55&56\\\hline
6&61&62&63&64&65&66\\\hline
\end{array}\]
\Par

Si les dés ne sont pas pipés, les 6 valeurs sont équiprobables pour les deux
chiffres, donc chaque résultat est équiprobable. On dénombre \linebreak $6\times 6=36$ résultats, qui ont donc tous une probabilité de $\dfrac{1}{36}$. 

\item 
\begin{itemize}
\item Le résultat est un multiple de $5$ si et seulement si le deuxième jet donne 5, ce qui arrive avec la probabilité $p_1=\dfrac{1}{6}$. 

\item Le résultat est pair si et seulement si le deuxième jet donne 2, 4, ou 6, ce
qui est la moitié des cas possibles, donc $p_2=\dfrac{1}{2}$. 

\item Le résultat est supérieur à 30 si et seulement si le premier jet donne 3, 4, 5 ou 6, soit deux tiers des cas possibles, d'où $p_3=\dfrac{2}{3}$. 
\end{itemize}
\end{questions} 
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Des urnes}{Lycée La Folie Saint James, Neuilly-sur-Seine}{1}{15}
Une urne contient 100 boules numérotées 00, 01, 02,..., 99. On tire au
hasard une boule et on lit le numéro obtenu. On considère les événements 
$A$~: \og Le numéro obtenu contient au moins un 0 \fg et 
$B$~: \og Le numéro obtenu contient au moins un 9 \fg.
\begin{questions}
\item Déterminer la probabilité des événements $A$ et $B$.
\item Déterminer la probabilité de l'événement $A\cap B$.
\item Déterminer la probabilité de l'événement $A\cup B$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On dénombre 100 issues possibles (les 100 numéros). 
10 numéros commencent par 0, 10 numéros se terminent par 0. 
Attention à ne pas compter deux fois 00, qui relève des deux cas.
Il y a donc 19 cas favorables. La probabilité de $A$
est donc $P(A)=0{,}19$.\\
De même, 19 numéros contiennent au moins un 9, donc $P(B)=0{,}19$.

\item On cherche les numéros qui contiennent au moins un 0 et au moins un 9. Comme les numéros ont deux chiffres, il y a donc deux issues favorables~: 09 et 90. On en déduit~: $P(A\cap B)=\dfrac{2}{100}=0{,}02$.

\item  $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}36$.
\end{questions} 
\newpage
\end{corrige}

%%% 2024

\begin{exo}{À la sortie du spectacle}{Lycée Chaptal, Paris}{1}{15}
À la sortie d'un spectacle, on demande à une personne adulte, qui est une femme ou un homme, choisie au hasard si elle a aimé ou non le spectacle.

On considère les événements suivants:
\begin{itemize}
\item $F$ : « La personne est une femme » ;
\item $O$ : « La personne répond oui ».
\end{itemize}
\begin{questions}
\item Énoncer par des phrases les événements suivants :  $F \cap O$,  $\overline{F}$, $\overline{F \cup O}$ et $\overline{F \cap O}$.
\item On donne: 
\[
p(F) = 0,65\quad  ; \quad  p(O) = 0,9\quad;\quad p(F \cup O) = 0,94.
\]
Calculer les probabilités des événements de la question précédente.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item $F \cap O$ : \og La personne est une femme qui répond oui \fg.
\item $\overline{F}$ : \og La personne n'est pas une femme \fg donc : \og La personne est un homme \fg (car ici, il n'y a que deux genres possibles d'après l'énoncé).
\item $\overline{F \cup O}$ : commençons par décrire $F\cup O$ : \og La personne est une femme ou répond oui \fg. Le contraire de cet événement est : \og La personne n'est pas une femme et répond non. \fg.

Ainsi, $\overline{F \cup O}$ : \og La personne est un homme qui dit non \fg.

\item On cherche le contraire de \og La personne est une femme qui répond oui \fg. Donc:

$\overline{F \cap O}$:  \og La personne est un homme ou répond non \fg.
\end{itemize}

\item 
\begin{itemize}
\item $p(F \cap O) = p(F) + p(O) - p(F \cup O) = 0,65+0,9-0,94 = 0,61$.
% ERREUR %\item $p\big(\overline{F}\big) = 1-p(F)=1-0,65 = 0,45$.
\item $p\big(\overline{F}\big) = 1-p(F)=1-0,65 = 0,35$.
\item $p\big(\overline{F \cup O}\big) = 1-p(F \cup O) = 1-0,94 = 0,06$.
\item $p\big(\overline{F \cap O}\big) = 1-p(F\cap O) = 1-0,61 = 0,39$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{Groupes sanguins}{Lycée Fernand Daguin, Mérignac}{2}{10}
La répartitions des groupes sanguins dans la population française est présentée dans le tableau suivant :

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|C|*5{Zc|}}
\tabulartitle
\multicolumn{2}{l|}{\cellcolor{white}} &  \multicolumn{5}{c|}{Groupe sanguin}\\
\tabulartitle
\multicolumn{2}{l|}{\cellcolor{white}} & \psline(-0.41,0.37)(4.86,0.37)\psline(-0.43,0.79)(4.9,0.79) O & A & B & AB & Total\\
\hline
\multirow{2}{*}{ } & Rh+ & 37\% & 39\% & 7\% & 2\% & \\
\cline{2-7}
& Rh-   & 6\% & 6\% & 2\% & 1\% & \\
 \hline
 \multicolumn{2}{|l|}{\cellcolor{LY}Total} &  &  &   &  &  100\%\\
 \hline
\end{tabular}
\put(-192,-15){\rotatebox{90}{\small rhésus}}
\end{center}

\Par

L'expérience aléatoire consiste à choisir au hasard une personne dans cette population. On assimile les probabilités aux fréquences observées.
\begin{questions}
\item Quel est l'univers de cette expérience aléatoire ?
\item Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants :
\begin{questions}
\item A : \og la personne est du groupe A \fg{} 
\item Rh+ : \og la personne a un rhésus positif \fg{} 
\item AB- : \og la personne est du groupe AB rhésus négatif \fg{} 
\end{questions}
\item La personne que l'on a choisie est rhésus négatif. Quelle est la probabilité qu'elle soit du groupe AB ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
Complétons avant tout le tableau :
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|C|*5{Zc|}}
\tabulartitle
\multicolumn{2}{l|}{\cellcolor{LG}} &  \multicolumn{5}{c|}{Groupe sanguin}\\
\tabulartitle
\multicolumn{2}{l|}{\cellcolor{LG}} & \psline(-0.41,0.37)(4.86,0.37)\psline(-0.43,0.79)(4.9,0.79) O & A & B & AB & Total\\
\hline
\multirow{2}{*}{ } & Rh+ & 37\% & 39\% & 7\% & 2\% & 85\% \\
\cline{2-7}
& Rh-   & 6\% & 6\% & 2\% & 1\% & 15\% \\
 \hline
 \multicolumn{2}{|l|}{\cellcolor{LY}Total} & 43\; & 45\% &   9\% & 3\% &  100\%\\
 \hline
\end{tabular}
\put(-192,-15){\rotatebox{90}{\small rhésus}}
\end{center}
\begin{questions}
\item L'univers de l'expérience est la population française.
\item 
\begin{questions}
\item Il y a 45\% de personnes qui ont un groupe sanguin A, donc\linebreak $P(A)=0,45$.
\item Il y a 85\% de personnes ayant un rhésus positif, donc\linebreak $P(Rh+)=0,85$.
\item Il y a 1\% de personnes ayant un groupe sanguin AB avec un rhésus négatif, donc $P(AB-)=0,01$.
\end{questions}
\item Ici, l'univers change : c'est désormais l'ensemble des personnes ayant un rhésus négatif. Il y a 1\% de personnes du groupe AB sur les 15\%, donc la probabilité demandée est égale à $\dfrac{1}{15}$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 2024

\begin{exo}{La cible}{Lycée Chaptal, Paris}{2}{10}
Une cible est constituée de trois cercles concentriques de rayons respectifs 10~cm, 20~cm et 30~cm.

Un tireur à l'arc vise la cible avec des flèches et l'atteint à chaque fois!

La probabilité d'atteindre chaque zone est proportionnelle à l'aire de la zone.

\begin{center}
\includegraphics{328_proba_cible}
\end{center}

Calculer la probabilité d'atteindre:

\begin{questions}
\item la zone au centre;
\item la zone du milieu;
\item la zone extérieure.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
La probabilité d'atteindre n'importe quelle zone est proportionnelle à l'aire de la cible entière. Il nous faut donc avant tout déterminer cette dernière:
\[
\mathcal{A}_{\text{cible}} = \pi \times 30^2 = 900\pi~\text{cm}^2.
\]
\begin{questions}
\item L'aire de la zone centrale est:
\[
\mathcal{A}_{\text{centre}} = \pi \times 10^2 = 100\pi~\text{cm}^2.
\]
La probabilité d'atteindre la zone centrale est donc:
\[
p_1=\frac{100\pi}{900\pi}=\frac{1}{9}.
\]

\item L'aire de la zone du milieu est:
\[
\mathcal{A}_{\text{milieu}} = \pi \times 20^2  - \mathcal{A}_{\text{centre}} = 400\pi - 100\pi = 300\pi~\text{cm}^2.
\]
La probabilité d'atteindre la zone du milieu est donc:
\[
p_2=\frac{300\pi}{900\pi}=\frac{1}{3}.
\]

\item L'aire de la zone extérieure est:
\[
\mathcal{A}_{\text{extérieure}} = \mathcal{A}_{\text{cible}}  - (\mathcal{A}_{\text{milieu}}+\mathcal{A}_{\text{centre}}) = 900\pi - 400\pi = 500\pi.
\]
La probabilité d'atteindre la zone extérieure est donc:
\[
p_3=\frac{500\pi}{900\pi}=\frac{5}{9}.
\]
\end{questions}
\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item On vérifie que la somme des probabilités est bien égale à 1:
\[
\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{5}{9} = \frac{1}{9}+\frac{3}{9}+\frac{5}{9}=\frac{9}{9}=1.
\]

\item Pour trouver $p_3$, on aurait aussi pu faire:
\[
p_3 = 1-(p_1+p_2).
\]
\end{itemize}
\end{Remarques}
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Feu tricolore}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{2}{10} 
Pour se rendre à son travail, un automobiliste rencontre trois feux tricolores. On suppose que les feux fonctionnent de manière indépendante, que l'automobiliste s'arrête s'il voit le feu orange ou rouge et qu'il passe si le feu est vert. On suppose de plus que chaque feu est vert durant un temps égal à rouge et orange (autrement dit, l'automobiliste à autant de chance de passer que de s'arrêter).
\begin{questions}
\item Faire un arbre représentant toutes les situations possibles.
\item Quelle est la probabilité que l'automobiliste ait :

\begin{questions}
	\item les trois feux verts ?
	\item deux des trois feux verts ?
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On note $V$ l'événement \og le feu est vert\fg{} et $\overline{V}$ son événement contraire.

L'arbre représentant toutes les situations possibles est donné page ci-contre.

\item 
\begin{questions}
\item Nous sommes en situation d'équiprobabilité donc la probabilité qu'il rencontre trois feux verts est $\dfrac{1}{8}$ car une seule issue sur 8 réalise cet événement.
	\item D'après l'arbre, dans 3 cas sur 8, deux des feux sont verts donc la probabilité cherchée est $\dfrac{3}{8}$.
\end{questions}
\begin{center}
\includegraphics{336_09-arbre}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

% 2024

\begin{exo}{Probabilités et proportions}{Lycée Chaptal, Paris}{2}{15}
Parmi les 120 adhérents que compte le club de sport de Quentin, 42 pratiquent le tennis, 67,5\% jouent au foot et 24 personnes pratiquent les deux activités. On note :
\begin{itemize}
\item $T$ : « l'adhérent joue au tennis. »
\item $F$ : « l'adhérent joue au foot. »
\end{itemize}                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     


On donnera toutes les proportions en pourcentages.

\begin{questions}
\item Décrire par une phrase ce que représente $T \cup \overline{F}$.
\item Calculer le nombre de joueurs de foot.
\item Calculer $p(T)$, $p\big(\overline{T}\big)$ et  $p(T \cap F)$.
\item Calculer la proportion d'adhérents qui jouent au tennis ou au foot.
\item Calculer la proportion d'adhérents ne jouant ni au tennis, ni au foot.
\item Avec l'ouverture de nouvelles activités, le nombre d'adhérents au club augmente de 13\% tous les ans. 

Combien y aura-t-il d'adhérents dans 3 ans? (arrondir à l'unité)
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $T \cup \overline{F}$ est l'événement: \og l'adhérent joue au tennis \textit{ou} ne joue pas au foot \fg.

\item  67,5\% des 120 adhérents jouent au foot, ce qui représente:
\[
\frac{67,5}{100} \times 120 = 81 \text{ adhérents}.
\]

\item \begin{itemize}
\item 42 adhérents pratiquent le tennis sur les 120 que compte le club. Donc:
\[
P(T) =\frac{42}{120} = \frac{7}{20}.
\]

\item D'après la formule du cours,
\[
p\big(\overline{T}\big) = 1 - p(T) = 1- \frac{7}{20} = \frac{13}{20}.
\]

\item 24 personnes pratiquent les deux activités, donc:
\[
P(T \cap F) = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}.
\]
\end{itemize}

\item D'après la formule du cours,
\begin{align*}
P(T \cup F) & = P(T) + P(F) - P(T \cap F)\\
            & = \frac{7}{20} + \frac{67,5}{100} - \frac{1}{5}\\
            & = 0,825.
\end{align*}
Ainsi, la proportion d'adhérents qui jouent au tennis ou au foot est 82,5\%, ou encore $\frac{33}{40}$.

\item Nous avons:
\begin{align*}
p\big( \overline{F} \cap \overline{T} \big) & = p\big(\overline{F}\big) + p\big(\overline{T}\big) - p\big(\overline{F} \cup \overline{T}\big)\\
& = \big[1-p(F)\big] + \big[1-p(T)\big] - p\big( \overline{F \cap T} \big)\\
& = \left(1-\frac{67,5}{100}\right) + \left(1-\frac{7}{20}\right) - \left(1-\frac{1}{5}\right)\\
& = 0,175.
\end{align*}
Par conséquent, la proportion d'adhérents ne jouant ni au tennis, ni au foot est 17,5\%, soit $\frac{7}{40}$.

\item Une augmentation de 13\% se traduit par un coefficient multiplicateur de:
\[
1+\frac{13}{100}=1,13.
\]
Ainsi, après trois augmentations successives de 13\%, le nombre d'adhérents sera:
\[
120 \times 1,13^3 \approx 173.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2024

\begin{exo}{Le jeu de Luc}{Lycée Chaptal, Paris}{2}{15}
Luc participe à un jeu de dés dont les règles sont les suivantes: on lance 2 dés cubiques non truqués et on additionne les numéros des faces supérieures.
\begin{itemize}
\item Si la somme obtenue est impaire, Luc gagne 1 \euro.
\item Si la somme obtenue est un multiple de 3, Luc gagne 3 \euro.
\item Si la somme obtenue est supérieure ou égale à 10, Luc gagne 6 \euro.
\item Si aucune des conditions précédentes n'est vérifiée, Luc perd 4 \euro.
\end{itemize}
Si plusieurs de ces conditions sont vérifiées, les gains se cumulent.
\begin{questions}
\item Construire un tableau à double entrée indiquant les gains ou les pertes de Luc.
\item Quelle est la probabilité que Luc remporte une somme supérieure ou égale à 4 \euro ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Pour construire le tableau à double entrée, il nous faut déterminer les entrées! On lance deux dés cubiques, donc les entrées sont les faces des dés: les nombres entiers de 1 à 6. On a alors le tableau suivant:
\Par
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*6{Zc|}}
\hline\tabulartitle
\diagbox{Dé 2}{Dé 1} & 1&2&3&4&5&6\\\hline
1 & $-4$ & 4 & $-4$ & 1 & 3 & 1\\\hline
2 & 4 & $-4$ & 1 & 3 & 1 & $-4$\\\hline
3 & $-4$ & 1 & 3 & 1 & $-4$ & 4\\\hline
4 & 1 & 3 & 1 & $-4$ & 4 & 10\\\hline
5 & 3 & 1 & $-4$ & 4 & 10 & 11\\\hline
6 & 1 & $-4$ & 4 & 10 & 11 & 13 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{methode}
Il est ici nécessaire d'être organisé dans sa façon de penser. On peut, dans un premier temps, construire la table d'addition des deux faces:
\Par
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*6{Zc|}}
\hline\tabulartitle
\diagbox{Dé 2}{Dé 1} & 1&2&3&4&5&6\\\hline
1 & 2&3&4&5&6&7\\\hline
2 & 3&4&5&6&7&8\\\hline
3 & 4&5&6&7&8&9\\\hline
4 &5&6&7&8&9&10\\\hline
5 & 6&7&8&9&10&11\\\hline
6 & 7&8&9&10&11&12 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\Par
et ensuite analyser les résultats un à un pour vérifier s'ils sont impairs, multiples de 3, supérieurs ou égaux à 10.

Par exemple, pour \og 2 \fg, il n'est ni impair, ni multiple de 3, ni supérieur ou égal à 10, donc le gain est $-4$.
\end{methode}

% ERREUR %\item On compte combien d'événements correspondent au fait que le gain est supérieur ou égal à 4 \euro; il y en a 10.
\item On compte combien d'événements correspondent au fait que le gain est supérieur ou égal à 4 \euro; il y en a 12.

Ainsi, la probabilité que la somme soit supérieure ou égale à 4 \euro{} est $\frac{12}{36}$, soit $\frac{1}{3}$, car il y a en tout 36 issues (même si certaines sont identiques).
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Jetons}{Lycée Charlemagne, Paris}{2}{15}
Une urne contient 4 jetons numérotés de 1 à 4. On tire au hasard un jeton dans l'urne, on note son numéro, on le remet dans l'urne, on tire à nouveau
au hasard un jeton dans l'urne et on note son numéro. On forme ainsi
une suite $(J_1,J_2)$ de 2 numéros. 
Attention, la suite $(2,1)$, par exemple, est 
différente de la suite $(1,2)$. 
\begin{questions}
	\item Justifier brièvement que la probabilité de chaque issue est égale à
$\dfrac{1}{16}$. 
	\item Soit $A$ l'événement~: \og $J_1<J_2$ \fg. 
Soit $B$ l'événement~: \og $J_1+J_2=4$ \fg. 
	\begin{questions}
		\item \'Ecrire les événements $A$ et $B$ comme des ensembles.
		\item Déterminer $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$, $P(A\cap\bar{B})$.
		\item En déduire $P(\bar{A})$, $P(A\cup B)$, $P(A\cup\bar{B})$.
	\end{questions}
\item Soit $E$ l'événement~:  \og $J_1$ et $J_2$ sont impairs \fg
et $F$ l'événement~:\linebreak \og $J_1+J_2$ est impair \fg.
Déterminer $P(E)$, $P(F)$, $P(E\cap F)$, $P(E\cup F)$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Une issue est une suite $(J_1,J_2)$. Il y a donc 4 possibilités pour $J_1$, et pour chaque valeur de $J_1$, 4 possibilités pour $J_2$, soit 16 issues possibles, l'expression \og au hasard \fg signifiant, sauf mention contraire, que les valeurs possibles pour $J_1$ ou $J_2$ sont équiprobables, les issues $(J_1,J_2)$ le sont également, donc la probabilité de chaque issue est $\dfrac{1}{16}$. 
\item 
\begin{questions}
\item 
$A=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\}$\newline et 
$B=\{(1,3),(2,2),(3,1)\}$.

\item L'événement $A$ contient 6 issues favorables, donc nous avons \\$P(A)=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$.\\
L'événement $B$ contient 3 issues favorables, donc 
$P(B)=\dfrac{3}{16}$.\\
$(1,3)$ est la seule issue commune aux deux événements, 
donc nous avons $P(A\cap B)=\dfrac{1}{16}$.\\
$A\cap\bar{B}$ contient toutes les issues de $A$ qui
ne sont pas dans $B$, donc 5 issues favorables, d'où
$P(A\cap\bar{B})=\dfrac{5}{16}$.
\item $P(\bar{A})=1-P(A)=\dfrac{5}{8}$ (événement contraire), et nous avons 
$P(A\cup B)=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$ (8 issues favorables distinctes
au total), $P(A\cup\bar{B})=\dfrac{14}{16}=\dfrac{7}{8}$.
\end{questions}
\item On peut expliciter $E=\{(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)\}$\\ et 
$F=\{(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)\}$. 
On en déduit facilement~:
$P(E)=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$, $P(F)=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$, 
nous avons aussi $P(E\cap F)=0$ (la somme de deux nombres impairs est paire), 
et l'égalité suivante $P(E\cup F)=P(E)+P(F)=\dfrac{3}{4}$ (événements \emph{incompatibles}).
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 	

\begin{exo}{Au supermarché}{Lycée Marie Curie, Versailles}{2}{15}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{au supermarché}{https://media.prepamath.fr/IL2Mch10exo12}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.2,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch10exo12}}}
\vspace*{-10pt}	

Un supermarché de quartier est ouvert de 9h à 19h. 
Le gérant a mesuré que la première caisse
est occupée 5 h par jour (événement $A$) et la seconde, 
6 heures sur dix (événement $B$). 
Les deux sont occupées simultanément 3 h par jour. 

\begin{questions}
\item Donner les probabilités des événements $A$, $B$
et $A\cap B$. 
\item Quelle est la probabilité que la seconde caisse 
soit libre~?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins une des caisses
soit libre~? 
\item Quelle est la probabilité que les deux caisses soient
libres~?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.6){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch10exo12}}}
\vspace*{-10pt}	
\begin{questions}
\item Il s'agit d'une simple traduction de l'énoncé. On obtient
$P(A)=0{,}5$~~; $P(B)=0{,}6$ et $P(A\cap B)=0{,}3$ car $A\cap B$
est l'événement~: \og les deux caisses sont occupées \fg. 
\item \og La seconde caisse est libre \fg est $\bar{B}$, 
l'événement contraire de $B$. Or $P(\bar{B})=1-P(B)=0{,}4$. 
\item \og Au moins une des deux caisses est libre \fg 
est l'événement contraire de $A\cap B$. On calcule
$P(\overline{A\cap B})=1-P(A\cap B)=0{,}7$. 
\item Considérons l'événement contraire, c'est-à-dire~:
\og au moins une caisse est occupée \fg. Il s'agit de 
$A \cup B$. On a~:
\[P(A)+P(B)=P(A\cap B)+P(A\cup B)\]
donc $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. 
L'événement cherché, $\overline{A\cup B}$, a pour probabilité~:
\[P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B).\]
On en déduit~ que $P(\overline{A\cup B})=1-P(A)-P(B)+P(A\cap B)$, et donc $P(\overline{A\cup B})=1-0{,}5-0{,}6+0{,}3=0{,}2$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Tirages dans un jeu de cartes}{Lycée Charlemagne, Paris}{2}{20}
\enlargethispage*{\baselineskip}
Un jeu de 32 cartes contient les cartes 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As dans les quatre couleurs trèfle, carreau, c{\oe}ur, pique. Les \emph{figures} sont 
les Valets, Dames et Rois. On tire au hasard une carte en supposant qu'il y ait équiprobabilité. Soit $C$ l'événement \og tirer un c{\oe}ur\fg
et $H$ l'événement \og tirer une figure \fg. 
\begin{questions}
\item Définir par une phrase les événements $\bar{C}$, $C\cap H$, $C\cup H$, 
$C\cap \bar{H}$.  
\item Calculer la probabilité des événements $C$, $\bar{C}$, $H$, $\bar{H}$,  $C\cap H$, $C\cup H$ et $C\cap\bar{H}$. 
\item \'Ecrire $C\cap\bar{H}$ sous la forme d'un ensemble. 
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\enlargethispage*{\baselineskip}
\item $\bar{C}$ est l'événement \og tirer une autre couleur que c{\oe}ur \fg.

$C\cap H$ est l'événement \og tirer une figure de c{\oe}ur \fg.

$C\cup H$ est l'événement \og tirer une figure ou un c{\oe}ur \fg.

$C\cap \bar{H}$ est l'événement \og tirer un c{\oe}ur qui n'est pas une figure \fg.

\item Il y a 32 cartes, donc 32 cas possibles. Il suffit de dénombrer pour chaque événement les cas favorables~: 
\begin{itemize}
\item $P(C)=\dfrac{1}{4}$ car un quart des cartes sont des c{\oe}urs.
\item $P(\bar{C})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$ (événement contraire)
\item $P(H)=\dfrac{3}{8}$ car pour chaque couleur, on dénombre 3 figures sur 8 cartes.
\item $P(\bar{H})=1-\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}$ (événement contraire)
\item $P(C\cap H)=\dfrac{3}{32}$ (trois figures c{\oe}urs, donc 3 cas favorables sur 32 cartes possibles). Si vous avez répondu $\dfrac{3}{8}$, c'est que vous 
avez oublié que la carte prise au hasard n'a pas de raison d'être un c{\oe}ur.
\item $P(C\cup H)=\dfrac{8+3\times 3}{32}=\dfrac{17}{32}$ (huit c{\oe}urs, et trois figures dans les trois autres couleurs, soit 17 cas favorables sur 32 cartes possibles).
\item $P(C\cap\bar{H})=\dfrac{5}{32}$ (5 c{\oe}urs ne sont pas des figures,  soit 5 cas favorables sur 32 cartes possibles).
\end{itemize}

\item Il s'agit de recenser les cartes à c{\oe}ur qui ne sont pas des figures, donc~: $C\cap\bar{H}=\{7C,8C,9C,10C,AC\}$ (xC désignant la carte x de  c{\oe}ur).
\end{questions} 
\end{corrige}


\thumb
\AfficheCorrige
