\thumb
\begin{vf}{Résolution d'équations du second degré}{10}% min.}
Sans résoudre l'équation, dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
  \begin{questions}
    \item L'équation $150 x^2 - 3x - 17{,}5 = 0$ admet deux solutions
      réelles\linebreak distinctes.
    \item Le trinôme du second degré $-x^2 + 6x - 9$ est strictement
      négatif pour tout réel $x$.
    \item Si on multiplie par 2 tous les coefficients d'une équation du
      second\linebreak degré, alors ses solutions sont aussi multipliées par 2.
    \item L'équation $x^2 - x + 15 = 0$ n'a pas de solutions réelles.
    \item $x^2 + 16 > 0$ pour tout réel $x$.
  \end{questions}
\end{vf}

%%%%%%%%%%%%% CORR QCM 1

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item \emph{Vrai}. $a = 150$ ; $c = -17{,}5$. Les coefficients $a$ et $c$ étant de signe contraire, $-4ac$ est strictement positif donc le discriminant est strictement positif. L'équation admet deux racines réelles distinctes.

    \begin{methode}
      Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, le trinôme $ax^2 + bx +
      c$ admet deux racines réelles distinctes.
    \end{methode}

  \item \emph{Faux}. $-x^2 + 6x - 9 = - (x - 3)^2$. Ce trinôme s'annule pour $x= 3$.
  
  \item \emph{Faux}. Les équations $ax^2 + bx + c = 0$ et $2ax^2 + 2bx + 2c = 0$ sont équivalentes et ont le même ensemble de solutions.
  
  \item \emph{Vrai}. Le discriminant de cette équation est strictement négatif.
  
  \item \emph{Vrai}. Pour tout réel $x$, $x^2 + 16 \geq 16$ ; $x^2 + 16$ est donc strictement positif.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%% QCM 2

\begin{vf}{Propriétés d'un trinôme}{15}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=-10x^2+5x+1$. 
Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

\begin{questions}
\item La forme canonique de $f(x)$ est $-10\left[\left( x+\dfrac{1}{4}\right) ^2+\dfrac{3}{80}\right]$.
\item La courbe représentative de $f$ admet un axe de symétrie d'équation\linebreak$x=\dfrac{1}{4}$.
\item Pour tout réel $x$, $f(x)$ est négatif.
\item On peut exprimer $f(x)$ comme produit de facteurs du premier degré dans $\R$.
\end{questions}
 \end{vf}
 
%%%%%%%%%%%%%%%% CORR QCM 2

 \begin{corrige}
 \begin{questions}
 \item  \emph{Faux}. En effet, $f(0)=1$ et si on prend $x=0$ dans la forme proposée, on trouve $-10\times\left(\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{80}\right)$, qui est un nombre négatif. Cette forme canonique n'est donc \textit{pas} celle de $f(x)$.
 
 \item \emph{Vrai}. Toute fonction de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ est représentée graphiquement par une parabole qui admet la droite d'équation\linebreak $x = -\frac{b}{2a}$ comme axe de symétrie, et ici, $-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{-5}{-20}=\dfrac{1}{4}$.

 \item \emph{Faux}. Le discriminant de $ax^2+bx+c$ vaut $\Delta=b^2-4ac$.
 
Ici, $a=-10$ et $\Delta = 65>0$, donc le trinôme a deux racines et son signe n'est pas constant (voir cours page 3): il est du signe de $-a$, donc positif, entre ses racines.
 
\item \emph{Vrai}. Comme le trinôme a deux racines, il se factorise bien en un produit de deux facteurs du premier degré.
 \end{questions}
 \end{corrige}
 
 %%%%%%%%%%%%%%% QCM 3

\begin{vf}{Signe de \boldmath$f(x)$ et de $\Delta$}{15}
Dans cet exercice, $f(x)$ désigne le trinôme $ax^{2}+bx+c$, avec $a\neq 0$.
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant les réponses :
\begin{questions}
        \item  Si pour tout réel $x$, $f(x)<0$, alors $\Delta<0$.
        \item  S'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $f(\alpha)f(\beta)<0$,
        alors $\Delta\geq0$.
        \item  Si $\Delta<0$, alors pour tout réel $x$, $f(x)<0$.
        \item  Si $\Delta>0$ et si $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels tels que 
        $x'<\alpha<x''<\beta$ ($x'$ et $x''$ étant les racines du polynôme), alors
        $f(\alpha)f(\beta)<0$.
\end{questions}
\end{vf}

%%%%%%%%% CORR QCM 3

\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item \textit{Vrai}.  En effet, si $\Delta$ était positif ou nul, $f$ 
        aurait au moins une racine, c'est-à-dire qu'il existerait au moins un réel $x$ tel que 
        $f(x)=0$, ce qui n'est pas le cas.

        \item \textit{Vrai}.  Si $\Delta<0$, alors $f$ ne changerait pas de signe sur 
        $\R$, et $f(\alpha)f(\beta)$ serait alors forcément positif.
 \item \textit{Faux}. Par exemple $f(x)=x^{2}+1$ : on a $\Delta=-4$ mais 
        $f(x)$ est positif pour tout réel $x$.
        \item \textit{Vrai}. En effet, $\beta$ étant à l'extérieur des 
        racines, $f(\beta)$ est alors du signe de $a$, et $\alpha$ étant à l'intérieur 
        des racines, $f(\alpha)$ est du signe de $-a$ ; $f(\alpha)$ et $f(\beta)$ sont 
        bien de signes opposés, et leur produit est négatif.
\end{questions}
\end{corrige}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%      QCM 4

\begin{qcm}{Signes et coefficients}{10}
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses.
\begin{questions}
\item Le trinôme $\dfrac{5}{2}x^2-5x+2$\par
\choix{} admet pour racines $\dfrac{-5+\sqrt{5}}{5}$ et $\dfrac{-5-\sqrt{5}}{5}$.\\
\choix{} se factorise sous la forme $\dfrac{5}{2}\left( x-\dfrac{5-\sqrt{5}}{5}\right) \left( x-\dfrac{5+\sqrt{5}}{5} \right)$.\\[6pt]
\choix{} n'est pas de signe constant sur $\R$.\\
\choix{} est strictement négatif sur $]-\infty~;0[$.\\
   
\item On considère la courbe représentée dans le repère orthonormé ci-dessous :

\Par

\begin{minipage}{40mm}
\includegraphics{008_1_fig_11}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-40mm}
Une équation possible de cette courbe est : \resetchoix\Par
\choix{} $y=x^2-4x+17$.\\
\choix{} $y=-3x^2-4x+1$.\\
\choix{} $y=2x^2-4x+2$.\\
\choix{} $y=-2x^2+x+3$.

\vspace*{1.2cm}~
\end{minipage}
      
   \item On considère le polynôme du second degré $f(x)=-3x^2+bx+c$. Alors on peut affirmer que, quels que soient les réels $b$ et $c$: \resetchoix\par 
 \choix{} $f(x)$ est toujours positif ou nul.\\
 \choix{} $f(x)$ n'est pas toujours positif.\\
 \choix{} $f(x)$ est toujours inférieur ou égal à 0.\\
 \choix{} $f(x)$ est toujours strictement négatif.  
   
   \item On considère la fonction trinôme $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$, dont la représentation graphique est donnée page ci-contre.
  Si on note $\Delta$ le discriminant du trinôme, alors  $\Delta$ et $a$ sont: \resetchoix\par 
 \begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-60mm}
  \choix{} de même signe.\\
  \choix{} de signes contraires.\\
  \choix{} négatifs.\\
  \choix{} positifs.
  
  \vspace*{1.2cm}~
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}{60mm}
  \includegraphics{008_1_fig_12}
  \end{minipage}
  \end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Réponses \choix[b] et \choix[c]. En effet, on calcule le discriminant du trinôme: $\Delta = 5$. Le trinôme a donc deux racines $\dfrac{5+\sqrt{5}}{5}$ et $\dfrac{5-\sqrt{5}}{5}$. \\La réponse \choix[a] est donc fausse. La factorisation proposée en \choix[b] est exacte. Comme le trinôme admet deux racines distinctes, il n'est pas de signe constant, donc \choix[c] est exacte. Par contre en $-2$ le trinôme prend la valeur positive 22, donc la réponse \choix[d] est fausse.

\item Réponse \choix[c]. La courbe est ouverte vers le haut, donc le coefficient de $x^2$ est positif, ce qui élimine les choix \choix[b] et \choix[d]. La forme canonique permet de trouver l'abscisse du sommet dans les deux autres cas: 2 pour \choix[a] et $\dfrac{4}{4}=1$ pour \choix[c], ce qui ne permet pas de les différencier. Par contre pour la proposition \choix[a], la courbe coupe l'axe des ordonnées en 17, alors qu'elle la coupe en 2 pour le choix \choix[c]. Comme le repère est orthonormé, même si on ne connaît pas l'échelle, il est évident que le choix \choix[a] ne peut pas alors convenir. En effet, l'ordonnée du point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées semble environ égale au double de l'abscisse du sommet et ne peut donc pas être égale à 17.



\item Réponse \choix[b]. Si le discriminant est négatif ou nul, le trinôme est toujours du signe de -3 ou nul, donc  négatif ou nul, ce qui montre que la réponse \choix[a] est fausse.\\
Si le discriminant est strictement positif, le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre les racines. Cela montre que les réponses \choix[c] et \choix[d] sont fausses.  Il est par contre exact de dire qu'il n'est pas toujours positif, même si le discriminant est négatif.

\item Réponses \choix[a] et \choix[c]. Le trinôme n'a pas de racine, donc le discriminant est strictement négatif. De plus le trinôme est toujours négatif, donc $a$ est négatif. $\Delta$ et $a$ sont donc de même signe et négatifs.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{\'Equations et trinômes du second degré}

%%%

\begin{exo}{Choisir les bonnes courbes}{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-Bois}{1}{5}
Les courbes $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ suivantes représentent respectivement les 3 fonctions polynômes du second degré, $f_1, f_2$ et $f_3$.

\begin{center}
\includegraphics{009_1_fig_13}
\end{center}

\item Parmi ces trois fonctions déterminer, en justifiant:
\begin{questions}
\item celles pour lesquelles le coefficient du terme de degré 2 est strictement positif;
\item celles pour lesquelles le discriminant est négatif ou nul;
\item celles pour lesquelles le coefficient constant est strictement positif.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Lorsque le coefficient du terme de degré 2 est positif, la parabole est ouverte vers le haut. C'est donc le cas de la fonction $f_1$.
\item Lorsque le discriminant est négatif ou nul, le trinôme a au plus une racine, donc la parabole et l'axe des abscisses ont au plus un point en commun. C'est donc le cas des fonctions $f_1$ et $f_3$.
\item Le terme constant est strictement positif lorsque l'image de 0 est strictement positive. C'est le cas des fonctions $f_1$ et $f_2$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{Résolution d'équations}{Lycée Buffon, Paris}{1}{5}
Pour chaque expression ci-dessous, résoudre $P(x)=0$.
\begin{questions}
\item  $P_{1}(x)=-2x^{2}+3x+5$.
\item  $P_{2}(x)=-3x^{2}+20x+7$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
      \item  Pour $P_{1}$, on a $\Delta=9-4\times(-2)\times5=49$,
        d'où :
        \[\left\{\begin{aligned}
         x_{1}& = \frac{-3+7}{-4} = -1\\
         x_{2}& =\frac{-3-7}{-4} = \frac{5}{2}
        \end{aligned}\right. \qquad S = \left\{ -1~;\frac{5}{2} \right\}\,.\]
      \item  Pour $P_{2}$, on a $\Delta=400-4 \times (-3) \times 7=484$,
        d'où :
        \[\left\{\begin{aligned}
        x_{1}& = \frac{-20+22}{-6} = -\frac{1}{3}\\
        x_{2}& = \frac{-20-22}{-6} = 7
        \end{aligned}\right. \qquad S = \left\{ -\frac{1}{3}~;7 \right\}\,.\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2019
\newpage
\begin{exo}{\'Equation avec paramètre}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{1}{5} 
On considère l'équation $x^2-ax-1=0$, où $a$ désigne un nombre réel.

\'Etudier le nombre de solutions de cette équation.
\end{exo}

\begin{corrige}
Le discriminant du trinôme $x^2-ax-1$ est :
\[
\Delta=(-a)^2-4\times1\times(-1)=a^2+4.
\]
Or, $a^2 \geqslant0$ pour tout réel $a$, donc $a^2+4\geqslant4>0$ pour tout réel $a$.

Ainsi, le discriminant est toujours strictement positif, ce qui signifie que l'équation $x^2-ax-1=0$ admet toujours deux solutions distinctes.
\end{corrige}

%%% NEW 2024

\begin{exo}{Formes canoniques}{Lycée du Trapèze, Meudon}{1}{10}
Mettre les trinômes suivants sous leur forme canonique.
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $x^2-12x$
\item $x^2-12x+5$
\item $4x^2-8x$
\item $4x^2-8x-16$
\item $4x^2-6x$
\item $4x^2-6x+\frac{3}{8}$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $x^2-12x$. On calcule d'abord $\alpha$:
\[
\alpha = -\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\times1}=6.
\]
Ensuite on calcule $\beta$ en remplaçant $x$ par $\alpha$:
\[
\beta = 6^2-12\times6 = 36-72 = -36.
\]
Ainsi, $x^2-12x = (x-6)^2 - 36$.

\newpage

\item $x^2-12x+5$. D'après ce qui précède,
\[ 
{\color{DR}x^2-12x}+5 = {\color{red}(x-6)^2 - 36}+5 = (x-6)^2 - 31.
\]

\item $4x^2-8x$.
\[
\alpha = -\frac{-8}{2\times4}=1\qquad\text{et}\qquad\beta=4\times1^2-8\times1=-4.\]
Ainsi, $4x^2-8x=4(x-1)^2 - 4$.

\item $4x^2-8x-16$. D'après ce qui précède,
\[
{\color{DR}4x^2-8x}-16 ={\color{DR} 4(x-1)^2 - 4}-16 = 4(x-1)^2 - 20.
\]

\item $4x^2-6x$.
\[
\alpha = -\frac{-6}{2\times4}=\frac{3}{4}\qquad\text{et}\qquad\beta=4\times\left(\frac{3}{4}\right)^2-6\times\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}.
\]
Ainsi, $4x^2-6x=4 \left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{9}{4}$.

\item $4x^2-6x+\frac{3}{8}$. D'après ce qui précède, 
\[
{\color{DR}4x^2-6x}+\frac{3}{8} = {\color{DR}4 \left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{9}{4}}+\frac{3}{8}=4 \left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{15}{8}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 2019

\begin{exo}{Racines évidentes}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{1}{10} 
Trouver une racine évidente pour chacun des trinômes suivants, puis en\linebreak déduire la valeur de la seconde racine.
\begin{questions}
\item $x^2-9x+8$.
\item $-5x^2+4x+9$.
\item $101x^2-100x-1$.
\item $5x^2-4x-12$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $x^2-9x+8$. La somme des coefficients est $1-9+8=0$ donc $x_1=1$ est une racine évidente. La seconde racine est alors $x_2=\dfrac{c}{a}=8$.

\item $-5x^2+4x+9$. La somme des coefficients est $-5+4+9=8$ donc \og 1 \fg{} n'est pas une racine évidente. Mais pour $x=-1$, on a :\linebreak $-5(-1)^2+4(-1)+9=-5-4+9=0$. Donc $x_2=-1$ est une racine évidente. La seconde racine est donc $x_2$ telle que $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$, soit $-x_2=\dfrac{9}{-5}$; ainsi, $x_2=\dfrac{9}{5}$.

\item $101x^2-100x-1$. La somme des coefficients est nulle donc $x_1=1$ est une racine évidente. La seconde racine est donc $x_2=-\dfrac{1}{101}$.

\item $5x^2-4x-12$. Une racine évidente est $x_1=2$ car:
\[
5(2)^2-4(2)-12=20-8-12=0.
\]
La seconde racine est alors $x_2$ telle que $2x_2=\dfrac{-12}{5}$; ainsi, $x_2=-\dfrac{6}{5}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

%\begin{exo}{Ensemble de définition de fonctions}{Lycée Odilon Redon, Pauillac}{1}{15}
%Pour chaque fonction, déterminer le plus grand ensemble de
%définition. 
%\begin{questions}
%\item $f(x)=\frac{2x-3}{2x^2+x-21}$.
%\item $g(x)=\sqrt{-3x^2+14x-15}$.
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item L'expression $f(x)$ est définie pour toutes les valeurs réelles de $x$ telles que son dénominateur n'est pas nul.\\
%On cherche donc les valeurs de $x$ pour lesquelles $2x^2+x-21=0$.\\
%Ce trinôme du second degré a pour discriminant $\Delta=1+168=169$, et admet donc deux racines réelles distinctes :
%\[ 
%\left\lbrace
%\begin{array}{l}
%x_1=\frac{-1+13}{4}=3\\
%x_2=\frac{-1-13}{4}=-\frac{7}{2}
%\end{array}
%\right.
%\]
%L'ensemble de définition de $f$ est donc $\mathcal{D}_f=\R\setminus\left\lbrace-\frac{7}{2}~;3\right\rbrace$.
%
%\item L'expression $g(x)$ est définie lorsque le trinôme du second degré :\[T(x)=-3x^2+14x-15\] est positif ou nul. 
%
%Ce trinôme a pour discriminant $\Delta=196-180=16$, et admet donc deux racines réelles distinctes: 
%        \[\left\{\begin{aligned}
%         x_{1}& = \frac{-14+4}{-6} = \frac{5}{3}\\
%         x_{2}& = \frac{-14-4}{-6} = 3
%        \end{aligned}\right.\]
%
%Le trinôme a donc pour signe:
%
%        \[
%        \begin{array}{|c|ccccccc|}
%        \hline\tabulartitle
%        x&-\infty&& \dfrac{5\strut}{3\strut} &&3  &&+\infty\\
%        \hline
%        T(x)&&-&0&+&0&-&\\
%        \hline
%        \end{array}\]
%
%\Par
%
%        Ainsi, l'ensemble de définition de la fonction $g$ est 
%        $\mathcal{D}_g=\left[ \dfrac{5}{3}~;3\right]$.
%\end{questions}
%\end{corrige}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\begin{exo}{Trinôme avec paramètre}{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles}{1}{15}
Soit le trinôme $-2x^2+mx-1$ défini sur $\R$.
\begin{questions}
\item Calculer le discriminant $\Delta$, puis déterminer les valeurs de $m$ telles que le trinôme admette deux racines distinctes.
\item Si l'une des racines est 1, déterminer la valeur de $m$ et l'autre racine.
\end{questions}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On a  $\Delta= m^2-8$. Le trinôme admet deux racines distinctes si et seulement si le discriminant est strictement positif. Il faut donc étudier le signe du trinôme en $m$ : $m^2-8$. 

La factorisation immédiate de ce trinôme en $(m-2\sqrt{2})(m+2\sqrt{2})$ montre qu'il admet deux racines et comme le coefficient de $m^2$ est positif, le trinôme est positif à l'extérieur des racines, c'est-à-dire sur\linebreak $\big]-\infty~;-2\sqrt{2}\big[\cup \big]2\sqrt{2}~;+\infty\big[$.

\Par

Le trinôme $-2x^2+mx-1$ admet donc deux racines distinctes pour tout réel $m$ dans $\big]-\infty~;-2\sqrt{2}\big[\cup \big]2\sqrt{2}~;+\infty\big[$.

\item Si une des racines vaut 1, alors $-2\times 1^2+m\times 1-1=0$, c'est à dire $m = 3$. On constate que 3 est bien dans l'ensemble trouvé question 1, et alors le trinôme a bien deux racines.\\
Pour $m=3$, le trinôme devient $-2x^2+3x-1$.

1 est racine, donc l'autre racine vaut:
\[
\dfrac{c}{a}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Lecture graphique}{Lycée Hector Berlioz, Vincennes}{1}{15}
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 5x^2-3x-2$.

\begin{questions}
\item Démontrer que la forme canonique de $h(x)$ est : \[h(x) = 5\left( x-\dfrac{3}{10}\right) ^2 -\dfrac{49}{20}\]
\item En déduire, parmi les graphiques suivants, lequel est celui de la représentation graphique de la fonction $h$. Justifier.

\Par

\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{011_1_fig_14}

Figure $a$
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\begin{center}
% Figure 2
\includegraphics{011_1_fig_15}

Figure $b$
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\begin{center}
% Figure 3
\includegraphics{011_1_fig_16}

Figure $c$
\end{center}
\end{minipage}

\Par

\item Factoriser $h(x)$.
\item Donner alors, sans justifier, les coordonnées des points remarquables A, B, C et D placés sur le graphique choisi.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On développe  l'expression proposée :\enlargethispage*{2em}

$\begin{aligned}[t]
5\left( x-\dfrac{3}{10}\right) ^2 -\dfrac{49}{20} & =5\left( x^2-\dfrac{6x}{10}+\dfrac{9}{100}\right)-\dfrac{49}{20}\\
& = 5x^2-\dfrac{30x}{10}+\dfrac{9-49}{20}\\
& =5x^2-3x-2.
\end{aligned}$

On retrouve bien l'expression de $h(x)$.

\item Le coefficient de $x$ est positif, donc la parabole est ouverte vers le haut. Le minimum de la fonction est atteint pour $x=\dfrac{3}{10}$. Il a donc une abscisse positive. Cela signifie que la représentation graphique de $h$ est celle de la figure a.

\item \`A partir de la forme canonique, on peut factoriser $h(x)$ à l'aide de l'identité $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$. Cela donne :

$\begin{aligned}[t]
h(x)  & = 5\left[ \left( x-\dfrac{3}{10}\right) ^2-\dfrac{49}{100}\right] \\
& = 5\left( x-\dfrac{3}{10}-\dfrac{7}{10}\right)\left( x-\dfrac{3}{10}+\dfrac{7}{10}\right)\\
& =5(x-1)\left( x+\dfrac{2}{5}\right).
\end{aligned}$

\item Le point A correspond à la plus petite racine et a pour coordonnées $\left(- \dfrac{2}{5}~;0\right)$.

Le point B est l'intersection avec l'axe des ordonnées et a pour coordonnées $(0~;h(0))$, donc $(0~;-2)$.

Le point C est le sommet dont les coordonnées se lisent dans la forme canonique :$\left( \dfrac{3}{10}~;-\dfrac{49}{20}\right) $.

Le point D correspond à la seconde racine, et a pour coordonnées $(1~;0)$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%%

\begin{exo}{Recherche des coefficients}{Lycée Edgar Quinet, Paris}{1}{30}
\begin{questions}
\item Soit $f(x)=ax^{2}+15x+c$.\\
Trouver deux réels $a$ et $c$ de telle sorte que $f$ ait pour racines $\dfrac{4}{3}$ et $ -\dfrac{1}{2}$.
\item  Soit $g(x)=7x^{2}+bx+2$. Déterminer les valeurs de $b$ pour lesquelles $g$ n'admet pas de racines.
\item  Une fonction trinôme du second degré admet un minimum égal à $-1$. Combien a-t-elle de racines ?
\item Une pelouse a la forme d'un rectangle dont la longueur est le double de la largeur, une allée de 3 mètres l'entoure et l'aire totale de la pelouse et de l'allée est $360$ m$^{2}$.\\
Quelles sont les dimensions de la pelouse ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  $\begin{aligned}[t]
f\left(\frac{4}{3} \right)=0 &\iff \frac{16}{9}a+20+c=0. \\
f\left(-\frac{1}{2} \right)=0 &\iff \frac{1}{4}a-\frac{15}{2}+c=0.
\end{aligned}$

\Par

On doit résoudre le système :
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{16}{9}a+c&=-20 \qquad &&(L_1) \\
\frac{1}{4}a+c&=\frac{15}{2} \qquad &&(L_2)
\end{aligned}
\right.
\]
$(L_1)-(L_2)$ donne : $\left( \dfrac{16}{9}-\dfrac{1}{4}\right)a=-20-\dfrac{15}{2}$,
\par 
soit $\dfrac{55}{36}a=-\dfrac{55}{2}$ d'où $a=-18$.
\par
En remplaçant $a$ par $-18$ dans $(L_1)$ on a alors $-32+c=-20$,\linebreak d'où $c=12$.
\par
D'où :
\[
\left\{
\begin{aligned}
a&=-18 \\
c&=12
\end{aligned}
\right.
\]

\item  Pour que l'équation $g(x)=7x^{2}+bx+2=0$ n'admette pas de racine, il faut et il suffit que $\Delta<0$, soit :
        \[\Delta=b^{2}-56<0\]
soit encore :
        \[\big(b-2\sqrt{14}\big)\big(b+2\sqrt{14}\big)<0\,.\]
        On a un trinôme du second degré négatif entre les racines, soit pour:
        \[b\in  \left]-2\sqrt{14}~;2\sqrt{14}\right[\,.\]

\newpage

\item La fonction  $f$ admet un minimum;  on est donc dans le cas $a>0$.
\par
        Si on avait $\Delta\leq 0$, $f(x)$ serait, pour tout $x$ réel, nul ou du signe de $a$,
donc 
        positif.
\par
        Comme la valeur $-1$ est atteinte, $\Delta>0$, il y a deux racines 
        distinctes.

        \item  Notons $L$ la longueur et $l$ la largeur de la pelouse, avec $L=2l$.
\par
        La longueur et la largeur totale de la surface délimitée par l'allée de trois 
        mètres (qui correspond donc à la somme des surfaces de la pelouse et de 
        l'allée) valent alors, respectivement 
        $L+6$ et $l+6$,
        ainsi qu'on peut le voir sur le schéma page suivante.

        \begin{center}
        \includegraphics{025_1_fig_10}
        \end{center}

        L'aire totale vaut donc $\mathcal{A}=(L+6)(l+6)=360$,
        ce qui donne :
        \[\mathcal{A}-360=(2l+6)(l+6)-360=2l^{2}+18l+36-360=0\]
d'o\`u :
        \[l^{2}+9l-162=0\,.\]
On a alors
        $\Delta=81+648=729$,
        d'où les solutions :
        \[
        \left(
        \begin{aligned}
        l&=9\\
        \text{ou}\\
        l&=-18
        \end{aligned}\right.\]
        La seconde solution n'étant évidemment pas possible, la pelouse mesure donc
        $9$~m de largeur sur $18$~m de longueur.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%
\begin{exo}{À la recherche du nombre mystérieux}{Lycée Mansart, Saint-Cyr-l'Ecole}{2}{15}
On d\'esigne par $N$ un nombre entier de deux chiffres. Son chiffre des dizaines est $x$  et son chiffre des unités $y$.
La somme des chiffres est $14$ et le produit de $N$ par le nombre entier obtenu en inversant l'ordre des chiffres est $\numprint{5605}$. Déterminer $N$.
\end{exo}


\begin{corrige}
%
Soit $x$ le chiffre des dizaines et $y$ le chiffre des unités de $N$.\\
On a alors $N=10x+y$ avec $x + y = 14$.
\par
De plus, si on permute les chiffres de $N$, on obtient un nombre $N'$ qui a comme chiffre des 
dizaines $y$ et comme chiffre des unités $x$. Donc :
\[N' = 10y + x.\]
\par La condition  $N N'  = \numprint{5605}$ s'écrit alors :
\[(10x + y) (10y + x) = \numprint{5605}\,.\]
\par
On résout le système :
\[
\left\{\begin{aligned}
&x + y = 14\\         
&(10x + y) (10y + x) = \numprint{5605}
\end{aligned}\right.              
\]
c'est-à-dire :\[\left\{\begin{aligned}
& y = 14 - x \\
& - 81x^2 + \numprint{1134}x -\numprint{3645} = 0\,.
\end{aligned}\right. 
\]
En simplifiant par $-81$, l'équation du second degré se ramène à :
\[x^2-14x+45=0.\]
Cette équation, dont le discriminant est $16$, admet deux solutions : 9 et 5.
\par
On en déduit que le nombre $N$ peut être soit $95$ soit $59$.
\end{corrige}

\newpage

%%% NEW 2024

\begin{exo}{\'Equations non quadratiques}{Lycée La Source, Meudon}{2}{15}
Résoudre les équations suivantes: 
\begin{questions}
\item $3x^4-5x^2-2=0$
\item $2x^3-x+4x^2=0$
\end{questions}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Résolution de l'équation $3x^4-5x^2-2=0$.

On pose $X=x^2$. Alors,
\begin{align*}
3x^4-5x^2-2=0 & \iff 3\big(x^2\big)^2 - 5(x)^2 - 2=0\\
			  & \iff 3X^2 - 5X - 2=0.
\end{align*}
Le discriminant de $3X^2-5X-2$ est:
\[
\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4\times3\times(-2) = 25 + 24 = 49.
\]
Le trinôme admet donc deux racines:
\[
X_1 = \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\times3}=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}
\]
et
\[
X_2 = \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{5+7}{6}=2.
\]
Il nous faut maintenant voir à quelles valeurs de $x$ ces valeurs de $X$ correspondent:
\begin{itemize}
\item $X_1= x_1^2 = -\frac{1}{3}$ est impossible car un carré ne peut pas être négatif;
\item $X_2=x_2^2 = 2$ donc $x_2=-\sqrt2$ ou $x_2=\sqrt2$.
\end{itemize}
Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $3x^4-5x^2-2=0$ est:
\[
\mathcal{S}=\{-\sqrt2;\sqrt2\}.
\]

\item Résolution de l'équation $2x^3-x+4x^2=0$.
\begin{align*}
2x^3-x+4x^2=0 & \iff x(2x^2+4x-1)=0\\
& \iff x = 0 \text{ ou } 2x^2+4x-1=0.
\end{align*}
Le discriminant de $2x^2+4x-1$ est:
\[
\Delta = 4^2-4\times2\times(-1) = 16 + 8 = 24.
\]
Ses deux racines sont alors:
\[
x_1 = \frac{-4-\sqrt{24}}{2\times2}=\frac{-4-2\sqrt6}{4}=\frac{-2-\sqrt6}{2}
\]
et sa conjuguée:
\[
x_2=\frac{-2+\sqrt6}{2}.
\]
Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $2x^3-x+4x^2=0$ est:
\[
\mathcal{S} = \left\{ \frac{-2-\sqrt6}{2}~;~0~;~\frac{-2+\sqrt6}{2} \right\}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}
\end{exo}

%%%

\begin{exo}{Droite et parabole (intersection)}{Lycée Saint-Just, Lyon}{2}{30}
Le plan est muni d'un repère $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$. La parabole
$\mathcal{P}$ a pour équation :
\[y=x^{2}\,.\]
\begin{questions}
        \item  
        \begin{questions}
                \item  Construire $\mathcal{P}$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation :
                \[y=-2x+2\,.\]
                 \item  Calculer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$.
        \end{questions}
        \item  $m$ étant un réel, $\mathcal{D}_{m}$ est la droite d'équation :
        \[y=-2x+m\,.\]
        \begin{questions}
                \item  Montrer que $\mathcal{D}_{m}$ est parallèle à $\mathcal{D}$.
                \item  Déterminer $m$ pour que la droite $\mathcal{D}_{m}$ coupe $\mathcal{P}$ en un seul  point. Construire la droite correspondante et calculer les coordonnées  du point d'intersection.
        \item  Déterminer les valeurs $m$ pour lesquelles la droite $\mathcal{D}_{m}$ coupe $\mathcal{P}$  en deux points distincts $A_{m}$ et $B_{m}$.

                 On appelle alors $I_{m}$ le milieu de $[A_{m}B_{m}]$. Quel est l'ensemble
                des points $I_{m}$ lorsque $m$ varie ?
        \end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  
        \begin{questions}
                \item  La représentation de la parabole $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$ est la 
                suivante :
                \begin{center}
                \includegraphics{027_1_fig_8}
                \end{center}
 %%    
                \item  Les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{P}$ et 
                de $\mathcal{D}$ sont solutions de l'\'equation :
                \[-2x+2=x^{2}.\]
                Or :
                \begin{align*}
                x^{2}+2x-2=0 &\iff (x+1)^2-1-2 = 0 \\
                             &\iff (x+1)^2 = 3 \\
                             &\iff x+1 = \sqrt{3} \quad \text{ou} \quad x+1 = - \sqrt{3}
                \end{align*}
                d'où les racines :
                \[
                x_{1}=-1+\sqrt{3}\quad\text{et}\quad
                x_{2}=-1-\sqrt{3}\,.
               \]
$\mathcal{D}$ coupe $\mathcal{P}$ en deux points de coordonn\'ees respectives :
\[\left(-1+\sqrt3~;4-2\sqrt3\right)\quad\text{et}
\quad\left(-1-\sqrt3~;4+2\sqrt3\right)\,.\]
        \end{questions}
\begin{methode}
On aurait aussi pu utiliser le discriminant pour trouver les racines.
\end{methode}
        \item  
        \begin{questions}
                \item  $\mathcal{D}_{m}$ a un coefficient directeur égal à $-2$, comme $\mathcal{D}$ : elle est donc parallèle à $\mathcal{D}$.
        
                \item  Pour déterminer la droite qui a un seul point d'intersection avec $\mathcal{P}$, il
suffit de résoudre l'équation :
                \[-2x+m=x^{2}\quad\text{soit}\quad x^2+2x-m=0.\]
                et de déterminer la condition pour laquelle il n'y a qu'une seule solution.
\par
On a $\Delta=4+4m$.
                Pour avoir une solution unique, il faut et il suffit que $\Delta=0$, soit $m=-1$.
\par
                La solution est alors la racine double :
                \[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1\]
d'où :
\[
y=(-1)^2=1\,.
\]
                On a alors le graphe:\enlargethispage*{2em}
                \begin{center}
                \includegraphics{028_1_fig_9}
                \end{center}
                Le point d'intersection de $\mathcal{D}_{-1}$ et $\mathcal{P}$ a pour coordonnées $(-1~;1)$.
        
                \item  On a deux points d'intersection lorsque $\Delta>0$, soit $4+4m>0$. Soit finalement:
                \[m>-1\,.\]
\par
Le milieu de $[A_mB_m]$ a  pour coordonnées :
                \[\left(\frac{x_{A_m}+x_{B_m}}{2}~;\frac{y_{A_m}+y_{B_m}}{2}\right)\]
                $x_{A_m}$ et $x_{B_m}$ étant les solutions de $x^{2}+2x-m=0$.
\par
On a :
                \[x_{A_m}+x_{B_m}=\frac{-2+\sqrt{4+4m}}{2}+\frac{-2-\sqrt{4+4m}}{2}=-2\]
donc :
                \[x_{I_m}=-1\,.\]
\par
                $A_m$ et $B_m$ sont sur $\mathcal{D}_{m}$, donc leur milieu $I_m$ l'est aussi. Donc :
                \[y_{I_m} = -2x_{I_m}+m = m+2\]
  d'où $I_m(-1~;m+2)$, soit l'ensemble des points :
                \[\{(-1~;2+m), \quad m \in \left]-1~;+\infty\right[\}\,.\]
                On obtient donc une demi-droite ouverte définie par :
                \[(x=-1, y>1).\]
        \end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%

\begin{exo}{Problème ouvert}{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles}{3}{30}
On dispose d'une ficelle de 1 mètre que l'on coupe en deux morceaux, pas forcément égaux. Avec un des morceaux, on forme un carré, et avec l'autre, on forme un rectangle dont la longueur est le double de la largeur.\\
Comment couper la ficelle de sorte que la somme des aires du carré et du rectangle soit minimale?
\end{exo}

\begin{corrige}
Appelons $x$ la longueur, en mètres, de ficelle qui sert à former le carré, alors il reste $1-x$ mètres pour former le rectangle.\\
Puisque la longueur $L$ du rectangle est deux fois sa largeur $\ell$, le périmètre du rectangle vaut $2(\ell+2l)=6l=\ell-x$. On en déduit que $\ell=\dfrac{1-x}{6}$.

De plus, le côté $a$ du carré vérifie $4a=x$. \\
L'aire du carré est donc $\left( \dfrac{x}{4}\right) ^2=\dfrac{x^2}{16}$ \\
et l'aire du rectangle est $\dfrac{1-x}{6}\times 2\times\dfrac{1-x}{6}=\dfrac{(1-x)^2}{18}$.\\
L'aire totale est donc égale à  $f(x)=\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(1-x)^2}{18}$.\\
Le problème consiste donc à étudier si le polynôme du second degré $f(x)$ admet un minimum, et si c'est le cas, déterminer pour quelle valeur de $x$ il est atteint.\\
En développant l'expression, on trouve :\[f(x) =\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{1}{18}-\dfrac{x}{9}+\dfrac{x^2}{18}\;,\]
c'est-à-dire : \[f(x)=\dfrac{17}{144}x^2-\dfrac{1}{9}x+\dfrac{1}{18}.\]
Le coefficient de $x^2$ étant positif, on sait que cette fonction est décroissante puis croissante et admet un minimum qui est atteint pour : \[ x =-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\dfrac{1}{9}}{\dfrac{2\times 17}{144}}=\dfrac{1\times 144}{9\times 2\times 17 }=\dfrac{8}{17}.\]
Le problème a donc bien une solution, en coupant un morceau de longueur $\dfrac{8}{17}$ de mètre pour faire le carré.
\end{corrige}


\newpage
\sectionnn{Inéquations du second degré}

%%%

\begin{exo}{\'Etude de signe}{Lycée Jean Puy, Roanne}{1}{15}
\begin{questions}
\item \'Etudier le signe de chacun des trinômes suivants :
\begin{questions}
\item $A(x)=x^2+x+1$.
\item $B(x)=-\frac{1}{2}x^2+x-\frac{1}{2}$.
\item $C(x)=-2x^2+7x-6$.
\end{questions}

\item En déduire les solutions des inéquations : \[B(x)\geqslant 0\qquad\text{et}\qquad C(x) < 0.\]
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item Pour $A(x)$ : $\Delta= -3$. Le coefficient de $x^2$ est 1, donc positif. $A(x)$ est toujours positif.

\item Pour $B(x)$ : $\Delta = 1^2 - 4 \times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$.

Le trinôme s'annule pour $x = \dfrac{-1}{2\times\left(-\frac{1}{2}\right)}=1$. Ailleurs, il est toujours du signe du coefficient de $x^2$, donc il est toujours négatif.

\item Pour $C(x)$ : $\Delta=7^2-4\times(-2)\times(-6)=1$.

Le trinôme admet deux racines : 
\[
x_1=\frac{-7-1}{2\times(-2)}=\frac{-8}{-4}=2 \text{ et } x_2=\frac{-7+1}{2\times(-2)}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}.
\]
Le trinôme est du signe du coefficient de $x^2$, donc négatif, à \linebreak l'extérieur des racines, et positif entre les racines.
\end{questions}

On résume les résultats dans les trois tableaux de signes suivants :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*3{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$\\
\hline
$A(x)$ & & $+$ & \\
\hline
\end{tabular}

\Par

\begin{tabular}{|c|*5{Zc}|}
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ & & 1 & & $+\infty$\\
\hline
$B(x)$ & & $-$ & 0 & $-$ & \\
\hline
\end{tabular}

\Par

\begin{tabular}{|c|*7{Zc}|} 
\hline\tabulartitle
$x$ & $-\infty$ & & $\frac{3}{2}$ & & 2 & & $+\infty$\\
\hline
$C(x)$ & & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item D'après les tableaux de signes, l'ensemble solution de $B(x)\geqslant 0$ est $\{1\}$, et l'ensemble solution de $C(x) < 0$ est $\left]-\infty~;\dfrac{3}{2}\right[\cup~]2~;+\infty[$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%

\begin{exo}{Résolution d'inéquations}{Lycée Notre-Dame-de-Toutes-Aides, Nantes}{1}{20}
Résoudre dans $\R$ les deux inéquations suivantes :
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item  $\dfrac{1}{x-1}<\dfrac{x+1}{x-2}$.
\item  $\dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}+3x-10} \leq 1$.
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Pour résoudre une inéquation, il faut toujours commencer par trouver l'ensemble de définition, car les différentes manipulations peuvent faire
perdre de vue que certaines valeurs sont interdites.
\end{methode}
\begin{questions}
\item  L'ensemble de définition correspond simplement à la non nullité des
dénominateurs, soit :
        \[
        \mathcal {D}_{f} = \R \setminus \{1~;2\}\,.
        \]
On peut donc transformer l'inégalité pour obtenir :
        \[
        \frac{x+1}{x-2}-\frac{1}{x-1}>0
        \]
 soit, en réduisant au même dénominateur :
        \[
        \frac{x^{2}-1-x+2}{(x-1)(x-2)}>0
        \]
        \[
         \text{ou encore : }\frac{x^{2}-x+1}{(x-1)(x-2)} >0\,.
        \]
        Le discriminant de $x^{2}-x+1$ est $\Delta=1-4=-3$.
        \par
         Comme $\Delta<0$, le numérateur est toujours positif ($a=1$ donc $a > 0$). Il ne reste donc plus qu'à étudier le signe du dénominateur (qui est un trinôme du second degré dont les racines sont 1 et 2, et dont le coefficient de $x^2$ est 1, donc positif) ; on a alors le tableau de signes :
        \[
        \begin{array}{|C|ccccccc|} %%% CLASSE
        \hline\tabulartitle
        x & -\infty & & 1 & & 2 & & +\infty \\
        \hline
        (x-1)(x-2)  & & + & 0 & - & 0 & + & \\
        \hline
        \end{array}
        \]
On obtient donc :
\[S = \left]-\infty~;1\right[ \cup \left]2~;+\infty\right[\;.\]

        
        \item  On a :
        \[
        \frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}+3x-10} \leq 1\,.
        \]
        L'ensemble de définition correspond à la non nullité du dénominateur.
        \par
        Le discriminant de $x^{2}+3x-10$ est 
        $\Delta=9+40=49$,
        d'où les racines :
        \[
        x_{1} = \frac{-3-7}{2} = -5\quad\text{et}\quad
        x_{2} = \frac{-3+7}{2} = 2\,.
        \]
        L'ensemble de définition est donc :
        \[
        \mathcal {D}_{g} = \R \setminus \{-5~;2\}\,.
        \]
        En transformant l'inéquation, on obtient :
        \[
        \frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}+3x-10}-1 \leq 0
        \]
        et, en réduisant au même dénominateur :
        \[
        \frac{x^{2}-5x+6-x^{2}-3x+10}{x^{2}+3x-10}\leq 0
        \]
        \[
         \text{soit }\frac{-8x+16}{x^{2}+3x-10} \leq0\,,
         \]
        ce qui équivaut, en divisant par $-8$, à :
        \[
        \frac{x-2}{x^{2}+3x-10} \geq 0 \qquad (\text{car }-8 < 0)\,.
        \]
        Posons :
        \[
        Q(x)=\frac{x-2}{x^2+3x-10}\,.
        \]
        Dressons un tableau de signes :
        \[\morestretch
        \begin{array}{|C|ccccccc|} %%% CLASSE
        \hline\tabulartitle
        x & -\infty & & -5& & 2 & & +\infty \\
        \hline
        x^{2}+3x-10 & & + &0 &  - & 0 & + & \\
        \hline
        x-2         & & - & \vline &- & 0 & + & \\
        \hline
        Q(x)        & & - & \dvline&  + & \dvline  & + & \\
        \hline
        \end{array}
        \]
        On obtient donc l'ensemble des solutions
        $
        S = \left]-5~;2\right[ \cup \left]2~;+\infty\right[
        $.
        \begin{attention}
        On voit ici la nécessité de déterminer dès le début l'ensemble de définition, 
        sans quoi on risquait, ici par exemple, de prendre en compte la valeur $2$.
        \end{attention}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Étude de deux courbes}{Lycée Alexandre Dumas, Saint-Cloud}{2}{15}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions qui ont pour expressions respectives\linebreak$f(x)=\dfrac{12x-8}{6x-3}$ et $g(x)=3x-2$.\\
Étudier la position relative des deux courbes représentant $f$ et $g$.
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Pour étudier la position relative de deux courbes, on étudie le signe de la différence entre les deux fonctions représentées.
\end{methode}
La fonction $f$ est définie sur $\R\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}$ et la fonction $g$ est définie sur $\R$.
\enlargethispage*{3em}
On étudie le signe de la différence $f(x)-g(x)$ sur $\R\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}$. Cela donne:
\begin{align*}
 & \dfrac{12x-8}{6x-3} - (3x-2)\leqslant 0\\
 \iff\ & \dfrac{12x-8-(3x-2)(6x-3)}{6x-3}\leqslant 0\\
 \iff\ & \dfrac{12x-8-18x^2+21x-6}{6x-3}\leq 0\\
 \iff\ & \dfrac{-18x^2+33x-14}{6x-3}\leq 0.
\end{align*}

On commence par étudier le signe du trinôme du second degré au numérateur. Son discriminant vaut $\Delta=81=9^2$. Il admet donc deux racines $x_1=\dfrac{7}{6}$ et $x_2=\dfrac{2}{3}$. Comme le coefficient de $x^2$ est négatif, le trinôme est positif entre ses racines et négatif à l'extérieur.

\newpage

On trouve le signe du quotient du trinôme par l'expression affine $6x-3$ à l'aide d'un tableau de signes:
\[\morestretch
\begin{array}{|C|lcccccccr|} %%% CLASSE
\hline\tabulartitle
x & -\infty &  & \phantom{\frac{1^l}{2_p}}\frac{1}{2}\phantom{\frac{1^l}{2_p}} &  & \frac{2}{3} &  & \frac{7}{6} &  & +\infty\\
\hline
-18x^2+33x-14 &  & - &  & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
6x-3 &  & - & 0 & + &  & + &  & + & \\
\hline
f(x)-g(x) &  & + & \dvline & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
\end{array}
\]

On en déduit que la courbe de $f$ est en dessous de la courbe de $g$ pour\linebreak $x \in \left]\dfrac{1}{2}~;\frac{2}{3}\right[\cup\left]\dfrac{7}{6}~;+\infty\right[$; les courbes se coupent pour $x=\dfrac{2}{3}$ et $x = \dfrac{7}{6}$. La courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ dans les autres cas.
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Trinôme inconnu}{Lycée Paul Painlevé, Oyonnax}{3}{15}
Trouver les valeurs possibles du réel $a$ telles que l'inéquation $x^2 + ax + 4\leqslant 0$ n'ait pas de solution.
\end{exo}

\begin{corrige}
Calculons le discriminant du trinôme $x^2 + ax + 4$ : \[\Delta = a^2 - 16.\]
On veut que l'inéquation $x^2 + ax + 4\leqslant 0$  n'ait pas de solution, donc il faut et il suffit que $\Delta$ soit strictement négatif. Il faut donc que $a^2 - 16 < 0$.\\
Or, $a^2 - 16$ est un trinôme en $a$, dont les racines sont $-4$ et 4. Le coefficient de $a^2$ est 1, il est positif. \\
Par conséquent $a^2 - 16$ est négatif entre les racines.\\
Les valeurs de $a$ telles que l'inéquation $x^2 + ax + 4$  n'ait pas de solution sont donc toutes les valeurs de l'intervalle $]-4 ~; 4[$.
\end{corrige}

\newpage
\sectionnn{Somme et produit de racines}

%%%%

\begin{exo}{Somme et produit}{Lycée Saint-Louis-de-Gonzagues, Paris}{1}{10}
Trouver pour les sommes et produits suivants, les couples de réels\linebreak correspondant :
\begin{questions}
\item  $a+b=4,\ ab=4$.
\item  $a+b=8,\ ab=12$.
\item  $a+b=24,\ ab=324$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'après le cours, $a$ et $b$ sont les racines du trinôme $x^2-4x+4=(x-2)^2$.

La racine double est $x=2$. donc $a=b=2$.

\item D'après le cours, $a$ et $b$ sont les racines du trinôme $x^2-8x+12$.
\[
\Delta=8^2-4 \times (-1) \times (-12)=16=4^2.
\]
D'où $x_1=\dfrac{-8+4}{-2}=2$ et $x_2=\dfrac{-8-4}{-2}=6$.

Ainsi, $a=2$ et $b=6$, ou $a=6$ et $b=2$.


\item D'après le cours, $a$ et $b$ sont les racines du trinôme $x^2-24x+324$.
\[
\Delta=24^2-4 \times (-1) \times (-324)=-720<0.
\]
Il n'existe donc pas de nombres $a$ et $b$ correspondant à cette somme et ce produit.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%% modif. 2019

\begin{exo}{Dimensions d'un rectangle}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{1}{10} 
Trouver les dimensions d'un rectangle dont l'aire vaut 315 et dont le\linebreak périmètre vaut 72.
\end{exo}

\begin{corrige}
Notons $x$ et $y$ les dimensions du rectangle (longueur et largeur).
\begin{itemize}
\item L'aire du rectangle se calcule avec la formule \og longueur $\times$ largeur \fg, donc elle s'exprime ici par : $xy$. Or, elle vaut 315 d'après l'énoncé.

Ainsi, $xy=315$.

\item Le périmètre du rectangle est \og $2\times(\text{longueur} + \text{largeur})$ \fg, donc ici égal à $2(x+y)$. Or, elle vaut 72 d'après l'énoncé; donc $2(x+y)=72$, c'est-à-dire, en divisant par 2 les membres de cette égalité : $x+y=36$.
\end{itemize}
On sait donc maintenant que le produit de $x$ et $y$ vaut 315 et que leur somme vaut 36. Ainsi, $x$ et $y$ sont les solutions de l'équation $x^2-36x+315=0$, dont le discriminant est $\Delta=(-36)^2-4\times315=36$.

Les deux solutions de l'équation sont donc :
\[
x=\dfrac{36-6}{2}=15\qquad\text{et}\qquad y=\dfrac{36+6}{2}=21.
\]
Le rectangle a donc pour dimensions $21 \times 15$.
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Second degré et géométrie}{Lycée Bouchardon, Chaumont}{1}{15}
\begin{questions}
\item  Déterminer les dimensions d'un rectangle dont l'aire est $275~\textup{m}^2$ et le périmètre $72~\textup{m}$.
\item Calculer les longueurs des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure $5~\textup{cm}$ et dont l'aire est $6~\textup{cm}^2$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Désignons par $x$ et $y$ les dimensions du rectangle, exprimées en mètres ($x \geq y$).
Les nombres $x$ et $y$ vérifient le système suivant :
\[
\begin{cases}
2 (x + y) &= 72\\
x \times y &= 275
\end{cases}\qquad\text{soit :}\qquad
\begin{cases}
x+y&=36\\
xy & = 275.
\end{cases}
\]
$x$ et $y$ sont donc les solutions de l'équation $x^2-36x+275=0$.

Le discriminant est : $\Delta = (-36)^2 -4 \times 275 = 196$.

L'équation admet deux solutions: $25$ et $11$.

On en déduit que les dimensions du rectangle sont 25~m et 11~m.

\item Désignons par $a$ et $b$ les mesures des côtés de l'angle droit exprimées en centimètres, avec $a\geq b$. 
Les nombres $a$ et $b$ vérifient le système :
\[\left\{\begin{aligned}
a^2 + b^2 &= 25\\
\frac{1}{2}ab& = 6\end{aligned}\right.
\iff
\left\{\begin{aligned}
a^2 + b^2 &= 25\\
a^2b^2& = 12^2=144\end{aligned}\right.
\]                          
Posons $A=a^2$ et $B=b^2$. Alors, $A$ et $B$ sont solutions de l'équation $x^2-25x+144=0$, dont le discriminant est $\Delta=49$.

Ainsi, $A=\dfrac{25-\sqrt{49}}{2}=9$ et $B=\dfrac{25+\sqrt{49}}{2}=16$.

Comme $a$ et $b$ sont positifs, $a=\sqrt{9}=3$ et $b=\sqrt{16}=4$.

\enlargethispage*{\baselineskip}

Les côtés de l'angle droit du triangle rectangle mesurent  respectivement 4~cm et 3~cm.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2024 (corrigé nouveau)

\begin{exo}{Forme \boldmath$x^2 - Sx + P = 0$}{Lycée Saint-Stanislas, Paris}{2}{20}
Résoudre dans $\R$ les équations:
\begin{questions}
\item  $x^{2}-(3+\sqrt{2})x+3\sqrt{2}=0$.
\item  $2,7x^{2}+8,1x-10,8=0$.
\item  $x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta=0$, avec $\alpha > \beta$.
\end{questions}
\end{exo}

%%%

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'équation $x^{2}-(3+\sqrt{2})x+3\sqrt{2}=0$ est de la forme $x^2-Sx+P=0$, avec $S=3+\sqrt2$ et $P=3\sqrt2$.

Elle admet donc pour solutions $3$ et $\sqrt2$ (d'après la propriété \ref{somme-produit-racines} page \pageref{somme-produit-racines}).

\item $2,7x^{2}+8,1x-10,8=0 \iff 2,7(x^2+3x-4)=0$, qui est de la forme $x^2-Sx+P=0$, avec $S = 4+(-1)$ et $P = 4\times(-1)$.

L'équation admet donc pour solutions $-4$ et $-1$.

\item L'équation $x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta=0$ est de la forme $x^2-Sx+P=0$, avec $S=\alpha+\beta$ et $P=\alpha\beta$.

Elle admet donc pour solutions $\alpha$ et $\beta$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Recherche de deux nombres}{Lycée Saint-Étienne, Rennes}{2}{15}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{recherche de deux nombres}{https://media.prepamath.fr/IL1Mch01exo25}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.2){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch01exo25}}}
\vspace*{-10pt}

Peut-on trouver deux nombres réels $x$ et $y$ tels que la somme de leurs inverses soit $\dfrac{1}{2}$ et la  somme de leurs carrés $\dfrac{25}{36}$ ? Justifier votre réponse.
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch01exo25}}}
\vspace*{-5mm}

Soient $x$ et $y$ les deux nombres cherchés.
Les nombres $x$ et $y$ sont non nuls et vérifient le système :
\[\left\{\begin{aligned}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y} &=\frac{1}{2}\\
x^2 + y^2 &= \frac{25}{36}
\end{aligned}\right.
\iff
\left\{\begin{aligned}
&\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2}\\
&(x + y)^2-2xy = \frac{25}{36}
\end{aligned}\right.
\]
\par
On pose $S = x + y$ et $P = xy$.
Le système précédent s'écrit alors :
\[
\left\{
\begin{gathered}
P = 2S \\
S^2 -2P = \frac{25}{36}
\end{gathered}
\right.
\quad\text{ce qui équivaut à}\quad
\left\{
\begin{gathered}
P = 2S \\
S^2 -4S = \frac{25}{36}\,.
\end{gathered}
\right.
\]
On résout l'équation du second degré  :
\[S^2 -4S -\frac{25}{36} = 0\,.\]
Son discriminant est  :
\[\Delta = 16 +4\times\frac{25}{36} = \frac{169}{9}\,.\]
L'équation admet deux solutions : $\dfrac{25}{6}$ et $-\dfrac{1}{6}$.
\par
Si $S = \dfrac{25}{6}$, alors $P =2\times\dfrac{25}{6}= \dfrac{25}{3}$.

Si $S = -\dfrac{1}{6}$, alors $P =2\times\left(-\dfrac{1}{6}\right)= -\dfrac{1}{3}$.

On détermine alors les nombres $x$ et $y$ en résolvant les systèmes :
\[
(1)\left \{\begin{aligned}
x + y &= \frac{25}{6} \\                    
xy &= \frac{25}{3}                                  
\end{aligned}\right.
\quad\text{ou}\quad
(2)\left  \{\begin{aligned}
x + y &= -\frac{1}{6} \\                    
xy &= -\frac{1}{3}                                  
\end{aligned}\right.
\]
On connaît alors la somme et le produit de $x$ et $y$.

L'équation du second degré du système $(1)$ est :
\[x^2 - \frac{25}{6}x +\frac{25}{3} = 0\]
et a un discriminant strictement  négatif donc elle n'admet aucune solution réelle et le premier système n'a donc pas de solution.
\par
L'équation du second degré du système $(2)$ est :
\[x^2 + \frac{1}{6}x -\frac{1}{3} = 0\]
et a pour discriminant $\Delta = \dfrac{49}{36}$ donc 
l'équation admet deux solutions réelles : $\dfrac{1}{2}$ et $-\dfrac{2}{3}$.

\Par

Les deux nombres répondant à la question posée sont donc $\dfrac{1}{2}$ et $-\dfrac{2}{3}$.
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Trois nombres inconnus}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{3}{15} 
Trouver trois nombres entiers $x$, $y$ et $z$ tels que $x<y<z$ et :
\[
\begin{cases}
x+y+z=27\\
xz+yz=180\\
xy=35
\end{cases}
\]
\end{exo}

\begin{corrige}
Le système donné peut se mettre sous la forme :
\[
\begin{cases}
x+y+z=27\\
z(x+y)=180\\
xy=35
\end{cases}.
\]
En posant $T=x+y$ et en ne prenant que les deux premières lignes, on a:
\[
\begin{cases}
T+z=27\\
Tz=180
\end{cases}.
\]
On connaît donc la somme et le produit de $z$ et $T$; ainsi, $z$ et $T$ sont les solutions de l'équation $a^2-27a+180=0$, dont le discriminant est\linebreak $\Delta=(-27)^2-4\times180=9$. Les deux solutions sont donc :
\[
\dfrac{27-3}{2}=12\qquad\text{et}\qquad \dfrac{27+3}{2}=15.
\]
Ainsi, 
\[
\begin{cases}
T=x+y=12\\
z=15
\end{cases}
\qquad\text{ou}\qquad
\begin{cases}
T=x+y=15\\
z=12
\end{cases}.
\]
\begin{itemize}
\item 1\ier{} cas : $x+y=12$. D'après l'énoncé, $xy=35$ donc $x$ et $y$ sont solutions de l'équation $x^2-12x+35=0$, de discriminant $\Delta=(-12)^2-4\times35=4$. Or, $x<y$ donc  :
\[
x=\dfrac{12-2}{2}=5\qquad\text{et}\qquad y=\dfrac{12+2}{2}=7.
\]

\item 2\ieme{} cas : $x+y=15$. De plus, $xy=35$ donc $x$ et $y$ sont solutions de\linebreak l'équation \mbox{$b^2-15x+35=0$}, de discriminant $\Delta=(-15)^2-4\times35=85$, qui n'est pas un carré parfait, ce qui implique que $x$ et $y$ ne sont nécessairement pas entiers, ce qui contredit l'énoncé. 
\end{itemize}

Il n'y a donc qu'une seule possibilité : $x=5$, $y=7$ et $z=15$.
\end{corrige}


\sectionnn{Factorisations}

%%%%

\begin{exo}{Factorisation d'un polynôme}{Lycée Pasteur, Neuilly}{1}{20}
Soit 
$P(x)=8x^{3}-48x^{2}+94x-60$.
\begin{questions}
\item En écrivant $(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)$, développer, pour tous nombres réels $a$ et $b$, l'identité remarquable $(a+b)^3$.
\item Déterminer les trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que :
\[
P(x)=a(2x-5)^{3}+b(2x-5)^{2}+c(2x-5)\,.
\]
\item En déduire une factorisation de $P(x)$.
\item Résoudre alors l'équation $P(x)=0$. 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item En développant, on obtient, pour tous nombres réels $a$ et $b$: 
        \begin{align*}
        (a+b)^3 & =(a+b)^2(a+b)\\
        & =(a^2+2ab+b^2)(a+b)\\
        & =a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,.
        \end{align*}

        \item  On doit avoir :
        \[
        P(x) = 8x^{3}-48x^{2}+94x-60 = a(2x-5)^{3}+b(2x-5)^{2}+c(2x-5)\,.
        \]
        On peut développer les identités remarquables du terme de
        droite. 
        \par
On a pour $(2x-5)^{3}$ :
        \begin{align*}
        (2x-5)^{3}&= (2x)^{3}+3(2x)^{2}(-5)+3(2x)(-5)^{2}+(-5)^{3}
        \\
   & = 8x^{3}-60x^{2}+150x-125.\\
   \intertext{%
        De même, on a pour $(2x-5)^{2}$ :}
      (2x-5)^{2} & = 4x^{2}-20x+25.
       \end{align*}
        Ce qui donne :
        \begin{align*}
        P(x) &= a(8x^{3}-60x^{2}+150x-125)+b(4x^{2}-20x+25)+c(2x-5) \\
           P(x)    &= 8ax^{3}+(-60a+4b)x^{2}+(150a-20b+2c)x\\
           & \hspace*{6.3cm}+(-125a+25b-5c).
        \end{align*}
Or, on a : $P(x)=8x^{3}-48x^{2}+94x-60$. 
\par
        On doit donc résoudre le système :
        \[
        \begin{cases}
        8a&=8\\
        -60a+4b&=-48\\
        150a-20b+2c&=94\\
        -125a+25b-5c&=-60
        \end{cases}
        \]
        On obtient de la première ligne $a=1$,
        donc :
        \[
       \begin{cases}
       a&=1\\
        -60+4b&=-48\\
        150-20b+2c&=94\\
        -125+25b-5c&=-60
        \end{cases}
        \]
        La deuxième ligne donne $b=3$
        et on obtient :
        \[
        \begin{cases}
        a&=1\\
        b&=3\\
        90+2c&=94
        \end{cases}
        \]
d'où enfin $c=2$
et l'on a bien, dans la quatrième ligne :
\[
-125+75-10=-60\,.
\] 
        On a donc le triplet solution 
        $
        (1, 3, 2)
        $
et :
\[
P(x)=(2x-5)^3+3(2x-5)^2+2(2x-5)\,.
\]

        \item   Pour en déduire une factorisation de $P(x)$, il suffit de constater que l'on peut mettre 
        $(2x-5)$ en facteur dans l'expression :
        \[
        P(x)=(2x-5)^{3}+3(2x-5)^{2}+2(2x-5)\,,
        \]
        ce qui donne ici :
        \begin{align*}
        P(x) &= (2x-5)^{3}+3(2x-5)^{2}+2(2x-5) \\
             &= (2x-5)\big[(2x-5)^{2}+3(2x-5)+2\big] \\
             &= (2x-5)(4x^{2}-20x+25+6x-15+2) \\
             &= (2x-5)(4x^{2}-14x+12).
        \end{align*}
        Il ne reste donc plus qu'à factoriser :
        \[
        g(x)=4x^{2}-14x+12\,.
        \]      
        \par  
        On a $\Delta = b^{2}-4ac = 196-16 \times 12 = 4$,
        d'où :
        \[
       % \left\{\begin{aligned}
         x_{1} = \frac{14-2}{8} = \frac{3}{2}%\\
         \quad\text{et}\quad
         x_{2} = \frac{14+2}{8} = 2\,.
        %\end{aligned}\right.
        \]
        D'où :
\[
4x^2-14x+12 = 4 \left(x-\frac{3}{2}\right)(x-2)\,.
\]
        On a donc finalement :
        \[
        P(x)=4(2x-5)(x-2)\left(x-\frac{3}{2}\right)\,,
        \]
        qui est une factorisation de $P(x)$.

        \item D'après la factorisation précédente, l'équation $P(x)=0$
        est une\linebreak équation produit de termes du premier degré. 

        On a ainsi, 
        $P(x)=0$ si et seulement si 
        $2x-5=0$ ou $x-2=0$ ou $x-\frac{3}{2}=0$. 

        Finalement, $S=\left\{ \frac{3}{2}\,;2\,; \frac{5}{2}\right\}$. 
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Fonction rationnelle}{Lycée Charlemagne, Paris}{2}{30}
  Soit le polynôme :
  \[
  P(x)=x^{4}+6x^{3}-11x^{2}-60x+100\,.
  \]
  \begin{questions}
  \item Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que la fonction
  trinôme du second degré $Q(x)=ax^2+bx+c$ vérifie la relation:
    \[P(x)=\big(Q(x)\big)^{2}.\]
  \item Résoudre alors l'équation $P(x)=0$.
  \item
    \begin{questions}
    \item Trouver trois réels $a$, $b$, $c$ tels que :
    \[x^{3}+6x^{2}+6x+5=(x+5)(ax^{2}+bx+c)\,.\]
    \item Déterminer l'ensemble de définition de la fonction  rationnelle $f$ suivante et la simplifier :
      \[
      f(x)=\dfrac{x^{4}+6x^{3}-11x^{2}-60x+100}{x^{3}+6x^{2}+6x+5}\;.
      \]
    \end{questions}
  \end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item  On considère le polynôme 
        $P(x)=x^{4}+6x^{3}-11x^{2}-60x+100$,
        que l'on souhaite écrire sous la forme :
        \[
        P(x)= \Bigl(Q(x)\Bigr)^{2}\,.
        \]
        %$P$ étant de degré $4$, $Q$ est donc de degré $2$.
        $Q(x)=ax^2+bx+c$ étant un trinôme du second degré,  
        on peut développer $\Bigl(Q(x)\Bigr)^{2}$ :
%
        \begin{align*}
        \Bigl(Q(x)\Bigr)^{2} &= (ax^{2}+bx+c)^{2} \\ 
              &= (ax^{2}+bx+c)(ax^{2}+bx+c) \\
              &= a^{2}x^{4}+2abx^{3}+(b^{2}+2ac)x^{2}+2bcx+c^{2}.
        \end{align*}

         Les polynômes $P$ et $Q^{2}$ sont égaux si et seulement si :%
        \begin{align*}
       & \begin{cases}
        a^{2}&=1\\
        2ab&=6\\
        b^{2}+2ac&=-11\\
        2bc&=-60\\
       c^{2}&=100
        \end{cases}
 \intertext{$Q$ et $-Q$ étant indifféremment solutions, on peut donc prendre $a=1$ ou $a=-1$ : 
        choisissons $a>0$. On obtient alors :}
     &   \begin{cases}
        a&=1 \\
       b&=3 \\
       c&=-10
        \end{cases}
        \end{align*}
        Finalement :
\[P(x)=\left(Q(x)\right)^{2}\,,\]
 avec $Q(x)=x^{2}+3x-10$.

\item  $P(x)=0 \iff Q(x)=0 \iff x^{2}+3x-10=0$.

On a $\Delta=9+40=49$,
d'où \[x_1=\dfrac{-3+7}{2}=2\quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{-3-7}{2}=-5\,.\]
\par
Ainsi :
        \[
        S= \{-5, 2\}\,.
        \]
        \newpage
        \item  
\begin{questions}
\item En développant, on a  :
      \[(x+5)(ax^2+bx+c)=ax^3+(5a+b)x^2+(5b+c)x+5c\,.\]
\par
Par identification des coefficients des termes de même degré on obtient donc :
\[
\left\{
\begin{aligned}
a&=1 \\
5a+b&=6 \\
5b+c&=6 \\
5c&=5
\end{aligned}
\right.
\quad \text{d'où} \quad 
\left\{
\begin{aligned}
a&=1 \\
b&=1 \\
c&=1
\end{aligned}
\right.
\]
et on a donc la factorisation $x^3+6x^2+6x+5=(x+5)(x^2+x+1)$.
\item D'après les questions précédentes :
\[\begin{aligned}
f(x)=&\frac{x^4+6x^3-11x^2-60x+100}{x^3+6x^2+6x+5}=\frac{P(x)}{x^3+6x^2+6x+5}\\
&=\frac{(x^2+3x-10)^2}{(x+5)(x^2+x+1)}\:.
\end{aligned}\]

Déterminons $\mathcal{D}_f$ : $f(x)$ existe si et seulement si : \[(x+5)(x^2+x+1) \neq 0\] soit : \[x+5 \neq 0\quad\text{et}\quad
x^2+x+1 \neq 0\,.\]
\par
L'équation $x+5=0$ équivaut à $x=-5$.
\par
Cherchons à résoudre 
$x^2+x+1=0$ : 
\par
$\Delta=1-4 \times 1 \times 1=-3<0$,
donc cette équation n'admet pas de solutions réelles.
\par
D'où $\mathcal{D}_f=\R \setminus \{-5\}$.
\par
 Les racines du trinôme $x^2+3x-10$ sont $-5$ et $2$
(question 2),
donc  :\[x^2+3x-10=(x+5)(x-2)\,.\]
\par
Finalement :
\[
f(x)=\frac{(x+5)^2(x-2)^2}{(x+5)(x^2+x+1)}=\frac{(x+5)(x-2)^2}{x^2+x+1} \quad
\text{pour } x \neq -5\,.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Recherche d'une fonction}{Lycée La Bruyère, Versailles}{2}{20}
Trouver une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative dans un repère du plan a pour sommet le point $S$ de coordonnées $(-1~;2)$ et dont une racine vaut $\dfrac{5}{2}$.
\end{exo}

\begin{corrige}
Une fonction du second degré est représentée par une parabole dont l'axe de symétrie passe par le sommet. 

Ici, l'axe de symétrie est donc la droite d'équation $x=-1$. 

Comme le polynôme a pour racine $\dfrac{5}{2}$, la parabole coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $\dfrac{5}{2}$. Par symétrie par rapport à la droite d'équation $x=-1$, elle coupe aussi l'axe des abscisses au point d'abscisse $r$ tel que $\dfrac{r+\dfrac{5}{2}}{2}=-1$, c'est-à-dire $r = -\dfrac{9}{2}$.\\
On connaît donc les deux racines du polynôme. Il se factorise donc sous la forme $f(x)= a\left( x-\dfrac{5}{2}\right) \left( x+\dfrac{9}{2}\right)$ où $a$ est un réel à déterminer.\\
Comme $S$ est le sommet de la parabole, il faut de plus que $f(-1)=2$, ce qui donne l'équation:\[2= a\left( -1-\dfrac{5}{2}\right) \left( -1+\dfrac{9}{2}\right).\]
C'est-à-dire : $a=-\dfrac{8}{49}$.\\
Le polynôme recherché est donc:$f(x)=-\dfrac{8}{49}\left( x-\dfrac{5}{2}\right) \left( x+\dfrac{9}{2}\right)$.
\end{corrige}


%%%

\sectionnn{Pour aller plus loin...}

\begin{exo}{Des techniques de résolution variées}{Lycée Pierre de Fermat, Toulouse}{1}{40}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Résoudre dans $\R$ (en calculant le discriminant) l'équation :
\[u^2 -6u -16 = 0\,.\]
\item En déduire les solutions de l'équation :
 $\left(\lvert x\rvert - 2\right)^2 = 2 \left(\lvert x\rvert + 10\right)$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item Résoudre dans $\R$ (grâce à une racine apparente) l'équation :\[u^2 -5u -6 = 0\,.\]
\item En déduire les solutions de l'équation : $\sqrt{15 -x} = x -3$.
\end{questions}
\item\begin{questions}\item Résoudre dans $\R$ (grâce à la forme canonique) l'équation \[u^2 -7u + 6 = 0\,.\]
\item Un drapeau a pour dimensions $3$ et $4$ (en mètres) et la \og croix blanche\fg est de largeur 
constante. Quelle est cette largeur sachant que l'aire de la croix est égale à l'aire rouge ?
\begin{center}\includegraphics{016_1_fig_7}\end{center}
\end{questions}\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item
 Soit l'équation $u^2 -6u -16 = 0$. $\Delta= 36 + 64 = 100$.
 
L'équation admet deux solutions : $8$ et $-2$.

\item On considère l'équation 
 $(\lvert x\rvert - 2)^2 = 2 (\lvert x\rvert + 10)$.
\par
On pose $u = \lvert x\rvert$.
\par
L'équation précédente s'écrit alors : $(u -2)^2 = 2 (u + 10)$, soit en effectuant et en réduisant : 
$u^2 -6u -16 = 0$.
\par
D'après la question précédente, l'équation $u^2 -6u -16 = 0$ admet deux solutions : $8$ et $-2$.
\par
On cherche alors $x$ tel que $\lvert x\rvert = 8$ ou $\lvert x\rvert = - 2$. 
Or, il n'existe aucun réel $x$ tel que $\lvert x\rvert = - 2$, tandis que
l'équation $\lvert x\rvert = 8$  admet deux solutions : $8$ et $-8$.
\par
L'équation   $(\lvert x\rvert - 2)^2 = 2 (\lvert x\rvert + 10)$ admet donc deux solutions : $8$ et $-8$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item
L'équation $u^2 -5u -6 = 0$ admet comme solution évidente\linebreak $x_1=-1$. 

Or, le produit des racines vaut $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ donc $-x_2=\dfrac{-6}{1}$, soit $x_2=6$.

Les solutions sont donc $-1$ et 6.

\newpage

\item On rappelle que l'équation $\sqrt{a} = b$ équivaut à $b\geq 0$ et $a = b^2$.
\par
Donc l'équation $\sqrt{15 -x} = x -3$ équivaut à :
\[x\geq 3\quad\text{et}\quad 15 -x = x^2 -6x + 9\text{ soit } x^2 -5x -6 = 0\,.\]
D'après la question précédente, cette équation admet  deux racines : $6$ et $-1$. Seule $6$ vérifie la  condition $x \geq 3$.
Il en résulte que\linebreak l'équation proposée admet  pour unique solution : $6$.
\end{questions}
\item\begin{questions}
\item
 L'\'equation $u^2 -7u + 6 = 0$ équivaut successivement à :
\begin{gather*}
\left(u -\frac{7}{2}\right)^2 -\frac{49}{4} + 6 = 0\\
\left(u -\frac{7}{2}\right)^2 -\frac{25}{4} = 0\\
\left(u -\frac{7}{2} -\frac{5}{2}\right)
 \left(u -\frac{7}{2} + \frac{5}{2}\right) = 0\\
(u -6) ( u -1) = 0\,.
\end{gather*}
L'équation admet deux solutions : $6$ et $1$.

\item Soit $x$ la largeur de la croix, exprimée en mètres ($0<x<3$).
L'aire du drapeau est $12~\textup{m}^2$, l'aire de la croix est $3x + 4x -x^2$.
L'aire de la croix blanche est égale à l'aire rouge si et seulement si :
 \[                7x -x^2 = 12 -( 7x -x^2)\,,\]
soit $2x^2 -14x + 12 = 0$.
\par
En divisant les deux membres par $2$, on obtient :
$x^2 -7x + 6 = 0$.
\par
D'après la question précédente, cette équation admet deux\linebreak solutions : $6$ et $1$. Seule la valeur $1$ convient.
\par
La largeur de la croix blanche est donc égale à 1 mètre.
\end{questions}\end{questions}
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Revenir au second degré}{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pin-Justaret}{2}{15}
\enlargethispage*{\baselineskip}
Résoudre dans $\R$ les équations suivantes:
\begin{questions}
\item $-6\sqrt{x}-2x+80=0$.
\item $2x^4-24-2x^2=0$.
\item $4x+\dfrac{8}{x}+24=0$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On pose $X=\sqrt{x}$.\\
L'équation est alors équivalente à $-2X^2-6X+80=0$ et $X=\sqrt{x}$.

L'équation du second degré en $X$ a pour discriminant $676=26^2$ et admet donc deux solutions, $-8$ et $5$. Comme $X=\sqrt{x}$, seule la solution positive est à envisager et alors $\sqrt{x}=5$, donc $x=25$. L'équation a donc une solution unique : 25.

\item L'équation à résoudre est une équation bicarrée. On pose $X=x^2$.\\ L'équation est alors équivalente à $2X^2-2X-24=0$ avec $x^2=X$. 

L'équation du second degré en X a pour discriminant $196=14^2$ et admet donc deux solutions : $X=-3$ et $X=4$.

Cela donne les deux équations en $x$ : $x^2=-3$ ou $x^2=4$.
Seule la deuxième équation a des solutions, 2 et $-2$.
 
Donc l'équation à résoudre a deux solutions: $-2$ et 2.


\item On remarque que 0 n'est pas solution de l'équation (c'est une valeur interdite). On peut donc multiplier les deux membres de l'équation par $x$ et obtenir une équation équivalente: $4x^2+8+24x=0$. En veillant à l'ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$, on calcule son discriminant, $24^2-4\times 4\times8=448=(8\sqrt{7})^2$.

On trouve donc deux solutions : $-3-\sqrt{7}$ et $-3+\sqrt{7}$, qui conviennent toutes les deux puisqu'elles ne sont pas nulles.
\end{questions}
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Choisir une méthode adaptée}{Lycée Saint-Martin, Pontoise}{2}{20}
Résoudre, le plus simplement possible, les équations suivantes:
\begin{questions}
\item  $x^{2}-16+2(x-4)=0$.
\item  $x^{2}-2,4x-0,81=0$.
\item  $\sqrt{2}+2\sqrt{2}x=4x$.
\item  $ \dfrac{x}{2}+1=\dfrac{x^{2}}{4}$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  On peut voir tout de suite que $4$ est solution ; on a en effet :
        \[x^{2}-16=(x-4)(x+4)\]
donc :
\[x^{2}-16+2(x-4)=(x-4)(x+4+2)=(x-4)(x+6).\]
D'où les deux solutions :
\[x=4, \qquad x=-6 \qquad \text{et} \qquad S = \{4, -6\}\,.\]

\item  On a :
\begin{align*}
x^{2}-2,4x-0,81& = (x-1,2)^{2}-0,81-1,44\\
& =(x-1,2)^{2}-2,25.
\end{align*}
Or, $2,25=1,5^2$ donc :
\begin{align*}
x^{2}-2,4x-0,81 & =(x-1,2-1,5)(x-1,2+1,5)\\
& =(x-2,7)(x+0,3)\;,
\end{align*}
d'où les deux solutions :
\[x=2{,}7, \qquad x=-0{,}3 \qquad \text{et} \qquad S = \{-
0{,}3\,;2{,}7\}\,.\]

\begin{Remarque}on pourrait aussi calculer le discriminant.
\end{Remarque}

\item  On a ici une équation du premier degré, que l'on peut écrire sous la forme :
\[x(4-2\sqrt{2})=\sqrt{2}\]
donc :
\begin{align*}
x & = \frac{\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}\\
&  = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{2(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}
\end{align*}

\begin{align*}
x & = \frac{2\sqrt{2}+2}{2(2^2-2)}\\
& =\dfrac{2\sqrt{2}+2}{4}\\
& =\frac{\sqrt{2}+1}{2}.
\end{align*}
On a alors $S = \left\{ \frac{\sqrt{2}+1}{2} \right\}$.

\item  On a, en multipliant les deux membres par 4 :
        \begin{align*}
        2x+4=x^2 &\iff x^2-2x-4 = 0 \\
                 &\iff (x-1)^2-1-4 = 0 \\
                 &\iff (x-1)^2 = 5 \\
                 &\iff x-1 = \sqrt{5} \quad \text{ou} \quad x-1 = -\sqrt{5}
        \end{align*}
        On a donc les racines :
        \[\left\{\begin{aligned}
        x_{1}&=1+\sqrt{5}\\
        x_{2}&=1-\sqrt{5}
        \end{aligned}\right. \qquad \text{et} \qquad S = \left\{1-\sqrt{5}~; 1+\sqrt{5}\right\}\,.\]
        \begin{Remarque}
        on aurait aussi pu utiliser le discriminant.
        \end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\sectionnn{Algorithmes \& programmation en Python}

\begin{exo}{Affichage de plusieurs images}{\null}{1}{5} 
On considère l'algorithme suivant:

\begin{algorithme}{}
Pour x variant de -5 à 5 avec un pas de 0.5:
\qquad	f $\leftarrow$ -3*(x+1)*(x+1)+4
\qquad	Afficher f
Fin du Pour
\end{algorithme}

\begin{questions}
\item Quel est le rôle de cet algorithme ?
\item \'Ecrire le programme Python correspondant à cet algorithme.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Cet algorithme est constitué d'une boucle \og Pour \fg{} (boucle \textit{itérative}) de variable \texttt{x} qui prend ses valeurs de $-5$ à $5$, avec une différence entre chaque valeur de 0,5. 

Dans cette boucle, 
\begin{itemize}
\item on affecte à la variable \texttt{f} la valeur $-3(x+1)^2+4$ (on reconnaît ici la forme canonique d'une fonction de degré 2);
\item on affiche la valeur de la variable \texttt{f}.
\end{itemize}

Le rôle de cet algorithme est donc d'afficher les images des valeurs $-5$, $-4,5$, $-4$, $-3,5$,..., $4,5$, $5$ par la fonction $f$ définie par:
\[
f(x)=-3(x+1)^2+4.
\]

\newpage

\item En Python, faire une boucle avec une variable non entière ne se fait pas avec la fonction \texttt{range} (qui n'accepte que des entiers). 

On peut contourner ce problème en utilisant une boucle \og Tant que \fg{} comme dans le programme suivant: 

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/01-affichage-valeurs.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{}{01-affichage-valeurs.py}\end{listing}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Tableau de valeurs}{\null}{1}{10} 
Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :
\[
f(x)=x^2-4x+2\qquad\text{et}\qquad g(x)=f(x+2).
\]
\begin{questions}
\item \'Ecrire un algorithme permettant de construire un tableau de valeurs de $f$ et $g$ sur l'intervalle $[-5~;~5]$ avec un pas de 1, puis d'afficher les valeurs.

\item \'Ecrire le programme Python correspondant. On mettra les différentes valeurs de $f$ dans une liste nommée \texttt{F}, et celles de $g$ dans une liste \texttt{G}.

\textit{Aide :} on utilisera la méthode \texttt{F.append(<valeur>)} pour ajouter une valeur à la liste \texttt{L}.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Un algorithme possible est le suivant :

\begin{algorithme}{Algorithme}
Initialisations:
\hspace*{1em}F et G sont deux listes vides
Traitement:
\hspace*{1em}Pour x allant de -5 à 5:
\hspace{2em} f $\leftarrow$ x*x-4*x+2
\hspace{2em} g $\leftarrow$ (x+2)*(x+2)-4*(x+2)+2
\hspace*{2em} Ajouter f à la liste F
\hspace*{2em} Ajouter g à la liste G
\hspace*{1em}Fin du Pour
Sortie:
\hspace*{1em}Afficher F et G
\end{algorithme}

\item Le programme Python correspondant est :

\Par

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/01-tableau-valeurs.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{En Python}{01-tableau-valeurs.py}\end{listing}

\newpage

et il retourne :

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{1cm}>{\ttfamily}X}
& Les valeurs de f(x) sont :\\
& [47, 34, 23, 14, 7, 2, -1, -2, -1, 2, 7]\\
& Les valeurs de g(x) sont :\\
& [23, 14, 7, 2, -1, -2, -1, 2, 7, 14, 23]
\end{tabularx}

\textit{Explications du programme.}
\begin{itemize}
\item La ligne \og \texttt{F,G = [],[]} \fg{} définie deux listes \texttt{F} et \texttt{G}, qui sont vides (crochets à l'intérieur desquels il n'y a pas de valeurs).

\item \og \texttt{for x in range(-5,6)} \fg{} créé une boucle \og
Pour \fg dont la variable est \texttt{x}; cette variable va prendre des valeurs comprises entre $-5$\linebreak (incluse) et 6 (exclue). Par défaut, le pas est égal à 1. 

Donc \texttt{x} va prendre les valeurs : $-5$, $-4$, $-3$, ..., 4 et 5.

\item Dans la boucle, on calcule l'image de \texttt{x} par les fonctions $f$ et $g$, images stockées respectivement dans les variables \texttt{f} et \texttt{g}.

\item Les instructions \og \texttt{F.append(f)} \fg{} et \og \texttt{G.append(g)} \fg{} ajoutent\linebreak respectivement aux listes \texttt{F} et \texttt{G} la valeur nouvellement stockée dans \texttt{f} et dans \texttt{g}.

\item À la fin de la boucle, les listes \texttt{F} et \texttt{G} contiendront toutes les images calculées. Il n'y a plus qu'à les afficher (avec l'instruction \texttt{print}).
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\newpage



%%% NEW 2024

\begin{exo}{Lunules}{Lycée Les Chartreux, Lyon}{3}{30}
\textit{Les unités de longueur sont en cm, et les unités d'aires sont en cm$^2$.}

Soit un demi-cercle $(C)$ de centre $O$ et de diamètre $[AB]$, tel que $AB=8$, et soit $M$ un point mobile sur le segment $[AB]$.

On construit deux demi-cercles $(D_1)$ et $(D_2)$ de diamètres respectifs $[AM]$ et $[BM]$. On pose $x=AM$.

\begin{center}
\includegraphics{018_sndegr_demicercle}
\end{center}

Soit $f(x)$ l'aire de la partie colorée.

\begin{questions}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de $[0;8]$, $f(x)=\frac{\pi}{4}(-x^2+8x)$.
\item Déterminer les valeurs de $x$ telles que l'aire de la surface colorée soit supérieure ou égale à un quart de l'aire du demi-disque $(C)$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0;8]$ et en déduire la position du point $M$ telle que l'aire de la surface colorée soit maximale. Donner cette aire maximale arrondie au cm$^2$.
\item Compléter le programme suivant, écrit en Python, afin que la fonction \texttt{result(x)} retourne si l'aire colorée est supérieure, inférieure ou égale à un quart de l'aire du disque $(C)$ pour une valeur de $x$ entrée en argument.

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/01-lunules-enonce.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{Python}{01-lunules-enonce.py}\end{listing}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'aire d'un disque de rayon $R$ est donnée par la formule:
\[
\pi \times R^2. 
\]
Donc l'aire d'un demi-disque est donnée par la formule:
\[
\dfrac{1}{2}\times \pi \times R^2.
\]
De plus, l'aire de la surface colorée est obtenue en soustrayant à l'aire du demi-disque $(C)$ (de rayon 4) la somme de l'aire des demi-disques $(D_1)$ (de rayon $\frac{x}{2}$) et $(D_2)$ (de rayon $\frac{8-x}{2}$).

Ainsi l'aire $f(x)$ de la surface colorée est:
\begin{align*}
f(x) & = \frac{1}{2}\times\pi \times 4^2 - \left[ \frac{1}{2}\times\pi \times \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\times\pi\times\left(\frac{8-x}{2}\right)^2 \right]\\
& = 8\pi - \left( \frac{x^2}{8}\pi + \frac{(8-x)^2}{8}\pi \right)\\
& = 8\pi - \frac{x^2}{8}\pi - \frac{64-16x+x^2}{8}\pi\\
\end{align*}

\begin{align*}
f(x) & = 8\pi - \frac{x^2}{8}\pi - 8\pi + \frac{16x}{8}\pi - \frac{x^2}{8}\pi\\
& = -\frac{x^2}{4}\pi + \frac{8x}{4}\pi\\
& = \frac{\pi}{4}(-x^2+8x).
\end{align*}

\item On souhaite déterminer pour quelles valeurs de $x$ l'aire de la surface colorée est supérieure ou égale à un quart de l'aire du demi-disque $(C)$, soit à $\frac{1}{4}\times8\pi=2\pi$. Il faut donc résoudre l'inéquation:
\begin{align*}
f(x) \geqslant 2\pi & \iff \frac{\pi}{4}(-x^2+8x) \geqslant 2\pi\\
& \iff \textcolor{DR}{\frac{4}{\pi}\times}\frac{\pi}{4}(-x^2+8x) \geqslant \textcolor{DR}{\frac{4}{\pi}\times}2\pi\\
& \iff -x^2+8x \geqslant 8\\
& \iff -x^2 + 8x - 8 \geqslant 0.
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $-x^2+8x-8$ est:
\[
\Delta = 8^2-4\times(-1)\times(-8)=64-32=32>0
\]
donc il admet deux racines:
\[
x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-8-\sqrt{32}}{-2}=4+2\sqrt2\approx6,8
\]
et
\[
x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-8+\sqrt{32}}{-2}=4-2\sqrt2\approx1,2.
\]
Ces deux valeurs sont comprises entre 0 et 8, donc elles sont bien solutions à notre inéquation. 

\Par

Ainsi, l'ensemble des valeurs de $x$ telles que l'aire de la surface bleue est supérieure ou égale à un quart de celle du demi-disque $(C)$ est $[4-2\sqrt2 ; 4+2\sqrt2]$.

\item $f(x)=\frac{\pi}{4}x(-x+8)$. Ces deux racines sont donc $0$ et $8$. Sa courbe représentative est une parabole dont les branches sont orientées vers le bas (car le coefficient de $x^2$ est négatif). De plus, le sommet de la parabole a pour abscisse la moyenne des deux racines, soit $x_S=4$. D'où le tableau suivant:

\[
\begin{array}{|R|l c c c r|}
\hline\tabulartitle
x & 0 &  & 4 &  & 8\\
\hline
f & & \nearrow& &  \searrow & \\
\hline
\end{array}
\]

L'aire maximale est donc atteinte pour $x=4$, et vaut:
\begin{align*}
f(4) & = \frac{\pi}{4}(-4^2+8\times4)\\
& = \frac{\pi}{4}\times16\\
& = 4\pi.
\end{align*}

\item Une complétion possible du programme est la suivante:

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/01-lunules-corrige.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{En Python}{01-lunules-corrige.py}\end{listing}

\end{questions}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
