\chapter{Fonction exponentielle} 

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\vspace*{-10mm}

\section{Définition et propriétés algébriques}

\begin{exointro}{Lycée Guynemer, Compiègne}
\begin{questions}
\item Montrer que pour tout réel $x$ on a :
\[
\dfrac{\nep^x-1}{\nep^x+1}=\dfrac{1-\nep^{-x}}{1+\nep^{-x}}=1-\dfrac{2}{\nep^x+1}.
\]

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\vspace*{-5mm}

\item Résoudre l'équation : 
\[
\nep^{3x^2}\nep^{-6x}=\left(\nep^{2-x}\right)^2.
\]
\item Résoudre l'inéquation : 
\[
\nep^{3x+2}>-2.
\]
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Définition}

\begin{thm} 
Il existe une unique fonction  $f$ définie et dérivable sur $\R$,  telle que $f(0)=1$\linebreak et, pour tout réel $x$, $f'(x)=f(x)$. 
\end{thm}

\begin{defin}
On appelle \textit{fonction exponentielle} la fonction  notée $\exp$ telle que:
\[
\exp'(x)=\exp(x) \quad\text{et}\quad \exp(0)=1.
\]
\end{defin}


\enlargethispage*{\baselineskip}
\subsection{Propriétés algébriques}

\begin{prop}\label{prop-alg-exp}
Pour tous réels $x$ et $y$,
\[
\exp(x+y)=\exp(x) \times \exp(y)\quad\text{ et }\quad\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}.
\]
\end{prop}

\textit{Conséquence} : en prenant $y=-x$, la première égalité donne:
\[
\exp(x) \times \exp(-x)=1\quad\text{soit}\quad \exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}.
\]

\subsection{Notation \boldmath $\nep^x$}

Les égalités de la propriété \ref{prop-alg-exp} sont identiques à celles vues au collège sur les\linebreak puissances. C'est l'une des raisons pour lesquelles nous allons désormais convenir de la notation suivante:
\[
\forall x\in\R,\quad \exp(x)=\nep^x.
\]
Ainsi, les égalités précédentes s'écrivent:
\[
\nep^{x+y}=\nep^x\times\nep^y\qquad,\qquad \nep^{x-y}=\dfrac{\nep^{x}}{\nep^{y}}\quad\text{et}\quad
\nep^{-x}=\dfrac{1}{\nep^x}.
\]
De plus,
\[
\nep^0 = 1\quad\text{et}\qquad \forall x\in\R,\quad \big(\nep^x\big)^\prime = \nep^x.
\]

%\subsection{Une suite géométrique}
%
%\begin{prop}
%Pour tout réel $a$, $\big(\nep^{na}\big)$ est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\nep^a$.
%\end{prop}
%
%On en déduit alors la propriété suivante:
%\begin{prop}
%Pour tout réel $a$ et pour tout entier naturel $n$,
%\[
%\nep^{na} = \big(\nep^{a}\big)^n.
%\]
%\end{prop}

\subsection{Le nombre \boldmath$\nep$}

\begin{defin}[nombre d'Euler, ou constante de Neper]
On note :
\[ \nep = \nep^1. \]
On a l'approximation :
\[
\nep \approx2,718.
\]
\end{defin}

\begin{Remarque}
il existe plusieurs fonctions exponentielles. Celle que nous étudions dans ce chapitre est appelée la \textit{fonction exponentielle de base $\nep$}.
\end{Remarque}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item On a : \qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-3,1.2){
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$\dfrac{\nep^x-1}{\nep^x+1}  = \dfrac{\nep^x\left(1-\frac{1}{\nep^x}\right)}{\nep^x\left(1+\frac{1}{\nep^x}\right)} = \dfrac{1-\nep^{-x}}{1+\nep^{-x}}$, 
\Par
et aussi : $\dfrac{\nep^x-1}{\nep^x+1} = \dfrac{\nep^x+1-2}{\nep^x+1}= 1-\dfrac{2}{\nep^x+1}$.


\item $\nep^{3x^2}\nep^{-6x}=\left(\nep^{2-x}\right)^2 \iff \nep^{3x^2-6x}=\nep^{2(2-x)}$.

Or, $\nep^x=\nep^y\Leftrightarrow x=y$ donc:
\[ 3x^2-6x=4-2x\;,\]
c'est-à-dire :
\[ 3x^2-4x-4=0.\]
Cette équation du second degré de discriminant $\Delta=64$ admet deux\linebreak solutions : $-\dfrac{2}{3}$ et 2, qui sont donc aussi les solutions de l'équation\linebreak initiale.

\item $\nep^{3x+2}>-2$. 

Cette inégalité est toujours vérifiée car pour tout réel $a$, $\nep^a>0$.

Par conséquent, l'ensemble des solutions est $\R$.
\end{questions}
\end{solintro}


\section{\'Etude de la fonction exponentielle}

\begin{exointro}{Lycée Notre-Dame-de-Boulogne, Boulogne}
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par:
\[
f(x)=(2-x)\nep^x.
\]
\begin{questions}
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=(1-x)\nep^x$.
\item En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Signe et sens de variation}

\begin{props}
Pour tout réel $x$, $\nep^x > 0$.

La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur \R.
\end{props}


La courbe représentative de la fonction exponentielle est la suivante:

\begin{center}
\includegraphics{106_4_fig_1}
\end{center}

\begin{Remarque}
si on considère un point $M$, d'abscisse $x$, sur cette courbe, alors le point d'abscisse $x+1$ est obtenu en multipliant celle de $M$ par $\nep$.
\end{Remarque}



\subsection{Conséquences} 

\begin{props}
Pour tous réels $x$ et $y$,
\begin{itemize}
\item $\nep^x = \nep^y \iff x = y$;
\item $\nep^x > \nep^y \iff x > y$;
\item $\nep^x < \nep^y \iff x < y$.
\end{itemize}
\end{props}

\begin{Exemple}
on souhaite résoudre l'inéquation $\nep^{3x+1} > \nep^{5x}+7$:
\begin{align*}
\nep^{3x+1} > \nep^{5x+7} & \iff 3x+1 > 5x+7\\
& \iff -2x > 6\\
& \iff x < -3.
\end{align*}
\end{Exemple}

\subsection{Dérivée de \boldmath$x\mapsto\nep^{ax+b}$}

\begin{prop}
Pour tous réels $a$ et $b$,
\[
\big(\nep^{ax+b}\big)^\prime = a\nep^{ax+b}.
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
soit $f(x)=\nep^{-3x+5}$.

\Par

Alors, \[ f'(x)=-3\nep^{-3x+5}. \]

$\nep^{-3x+5} > 0$ sur $\R$ (car une exponentielle est toujours strictement positive, quel que soit ce qui est mis en exposant), donc $f'(x) < 0$ sur $\R$.

\Par

On on déduit que $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
\end{Exemple}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item $f$ est de la forme $u\times v$ avec:
\[
\begin{array}{lll}
u(x) = 2-x & \qquad & v(x)=\nep^x\\
u'(x)=-1 & & v'(x)=\nep^x
\end{array}
\]
Ainsi, 
\begin{align*}
f'(x) & = (u'v+v'u)(x)\\
      & = -\nep^x + (2-x)\nep x\\
      & = (-1 + 2-x)\nep^x\\
      & = (1-x)\nep^x.
\end{align*}

\item On déduit de la question précédente que $f'(x)$ est du signe de $1-x$, car $\nep^x > 0$ sur $\R$. 

De plus,
\[
f(1) = (2-1) \times \nep^1 = \nep.
\]

D'où le tableau suivant:
\[
\begin{array}{|R|l c c c r|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty &  & 1 &  & +\infty\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & \\
\hline
  &  &          & \nep &    &\\
f(x) &  & \nearrow &  & \searrow & \\
\hline
\end{array}
\]

\begin{Remarque}
même si ce n'est pas précisé dans l'énoncé, il est toujours intéressant de calculer la valeur de l'extremum (quand il existe) et de l'insérer dans le tableau de variation.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{solintro}