\chapter{Applications\\du produit scalaire}

\section{Géométrie non analytique}

\begin{exointro}{Lycée Carnot, Cannes}
\textit{Toutes les longueurs sont exprimées en centimètres.}

On considère le triangle $ABC$ tel que $AB=6$, $AC=9$ et $BC=5$.
\begin{questions}
\item Déterminer une valeur approchée de $\widehat{BCA}$ au degré près.
\item Déterminer une valeur approchée au dixième de la médiane de $ABC$ issue de $C$.
\item Déterminer une valeur approchée au centième de l'aire de $ABC$\linebreak (exprimée en cm$^2$).
\item Placer le point $M$ tel que $MA^2+MB^2+MC^2$ soit minimal.
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Théorème d'Al-Kashi}
\enlargethispage*{5em}

\begin{thm}[théorème d'Al-Kashi]
Dans tout triangle $ABC$,
\[
BC^2=AB^2+AC^2-2 AB \times AC \times \cos\big(\gvec{AB}~;~\gvec{AC}\big)\,,
\]
où $\big(\gvec{AB}~;~\gvec{AC}\big)$ désigne l'angle formé par les vecteurs $\gvec{AB}$ et $\gvec{AC}$.
\end{thm}

\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item Les côtés sont interchangeables. On a donc aussi :
\begin{align*}
AB^2 & = BC^2 + AC^2 - 2BC \times AC \times \cos\big(\gvec{CA}~;~\gvec{CB}\big)\,,\\[6pt]
AC^2 & = AB^2 + BC^2 - 2 AB \times BC \times \cos\big(\gvec{BA}~;~\gvec{BC}\big).
\end{align*}
\item Si $ABC$ est rectangle en $A$, on retrouve le théorème de Pythagore.
\end{itemize}
\end{Remarques}

\newpage

\begin{Exemple} soit un triangle $ABC$ tel que $AB=5$, $AC=3$ et $\big(\gvec{AB}~;~\gvec{AC}\big)=\dfrac{\pi}{4}$.

\begin{center}
\includegraphics{245_6_fig_8}
\end{center}
\begin{align*}
BC^2 & = AB^2 + AC^2 - 2AB\times AC\times\cos\big(\gvec{AB};\gvec{AC}\big)\\
& = 5^2 + 3^2 - 2\times5\times3\times\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\\
& = 25+9-30\times\dfrac{\sqrt2}{2}\\
& = 34-15\sqrt2\\
BC & = \sqrt{34-15\sqrt2}.
\end{align*}
\end{Exemple}


\subsection{Théorème de la médiane}

\begin{thm}
Soit $ABC$ un triangle et $I$ le milieu de $[AB]$. Alors,
\[
CA^2+CB^2=2 CI^2+\frac{1}{2} AB^2\,.
\]
\end{thm}

\begin{Exemple}
soit un triangle $ABC$ tel que $AB=5$, $AC=3$ et $\big(\gvec{AB}~;~\gvec{AC}\big)=\dfrac{\pi}{4}$. Nous avons vu dans l'exemple précédent que $BC^2=34-15\sqrt2$.

\Par

\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics{244_6_fig_9}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
\begin{align*}
CA^2+CB^2 & = 2CI^2 + \dfrac{1}{2}AB^2\\
\iff 3^2+\big(34-15\sqrt2\big) & = 2CI^2 + \dfrac{1}{2}\times5^2\\
\iff 2CI^2 & = 9+34-15\sqrt2 -\frac{25}{2}\\
\iff CI^2 & = \dfrac{61-30\sqrt2}{2}\\
\iff CI & = \sqrt{\dfrac{61-30\sqrt2}{4}}.
\end{align*}
\end{minipage}
\end{Exemple}



\newpage

\subsection{Aire d'un triangle }

\begin{thm}
Dans tout triangle $ABC$,
\begin{align*}
\text{Aire} (ABC) & =\frac{1}{2} \times AB \times AC\times \sin \widehat{A}\\[6pt]
& = \dfrac{1}{2} \times BA \times BC \times \sin\widehat{B}\\[6pt]
& = \dfrac{1}{2} \times CA \times CB \times \sin\widehat{C}.
\end{align*}
\end{thm}

\begin{Exemple}
soit un triangle $ABC$ tel que $AB=5$, $AC=3$ et $\big(\gvec{AB}~;~\gvec{AC}\big)=\dfrac{\pi}{4}$.

\Par

\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics{245_6_fig_8}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
\begin{align*}
\text{Aire} (ABC) & =\frac{1}{2} \times AB \times AC\times \sin \widehat{A}\\
& = \frac{1}{2}\times 5\times 3 \times \sin\frac{\pi}{4}\\
& = \dfrac{15\sqrt2}{4}.
\end{align*}
\end{minipage}
\end{Exemple}

\subsection{Lignes de niveau}

\subsubsection{Cercle}

\begin{prop}\label{prop-ligne-niveau-cercle}
Pour tous points $A$, $B$ et $M$ du plan,
\[
\gvec{MA}\cdot\gvec{MB}= MI^2-\frac{1}{4}AB^2
\]
où $I$ est le milieu de $[AB]$.
\end{prop}

\begin{prop}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
Soient $A$ et $B$ deux points du plan.

L'ensemble des points $M$ du plan qui\linebreak vérifient l'égalité $\gvec{MA}\cdot\gvec{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.

\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{flushright}
\includegraphics{245_6_fig_5}
\end{flushright}
\end{minipage}
\end{prop}

\subsubsection{Centre de gravité d'un triangle}


\begin{defin}[rappel de collège]
Le \textit{centre de gravité} d'un triangle $ABC$ est le point d'intersection de ses\linebreak médianes.
\end{defin}

\begin{prop}
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Soit $ABC$ un triangle quelconque.

Le centre de gravité $G$ de $ABC$ vérifie l'égalité:
\[
\gvec{GA}+\gvec{GB}+\gvec{GC}=\gvec{0}.
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\includegraphics{246_6_fig_10}
\end{minipage}
\end{prop}

\begin{prop}
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points quelconques du plan.

Quel que soit le point $M$ du plan, 
\[
\gvec{MA}+\gvec{MB}+\gvec{MC}=3\gvec{MG}.
\]
\end{prop}

\begin{prop}
Dans un repère cartésien, le centre de gravité $G$ d'un triangle $ABC$ où $A(x_A~;~y_A)$, $B(x_B~;~y_B)$ et $C(x_C~;~y_C)$ a pour coordonnées :
\[
x_G = \dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\qquad;\qquad  y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}.
\]
\end{prop}

\begin{prop}
Soient $ABC$ un triangle quelconque du plan et $G$ son centre de gravité.

Quel que soit le point $M$ du plan, 
\[
MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2.
\]
\end{prop}

\begin{prop}
Soient $ABC$ un triangle quelconque du plan et $G$ son centre de gravité.

Soit $M$ un point quelconque du plan.

\Par

$MA^2+MB^2+MC^2$ est minimal lorsque $M=G$.
\end{prop}

\newpage

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Utilisons le théorème d'Al-Kashi dans le triangle $ABC$ :
\begin{align*}
AB^2 & = AC^2 + BC^2 - 2\times AC \times BC \times \cos\widehat{C}\\
6^2 & = 9^2 + 5^2 - 2\times 5 \times 9 \times \cos\widehat{C}\\
36 & = 81 + 25 - 90\cos\widehat{C}\\
\cos\widehat{C} & = \dfrac{81+25-36}{90}=\dfrac{7}{9}\\
\text{d'où }\widehat{C} & \approx 39\degres.
\end{align*}

\item Posons $I$ le milieu de $[AB]$. 
\begin{align*}
AC^2 + BC^2 & = 2CI^2+\dfrac{AB^2}{2}\text{(théorème de la médiane)}\\
81+25 & = 2CI^2 + \dfrac{36}{2}\\
CI^2 & = \dfrac{81+25-18}{2}\\
CI & = \sqrt{44} \approx 6,6\text{ cm}.
\end{align*}

\item D'après le cours, $\begin{aligned}[t]
\text{Aire}(ABC) & = \dfrac{1}{2}\times CA \times CB \times \sin\widehat{C}\\
& \approx \dfrac{1}{2}\times9\times5\times\sin\big(39\degres)\\
& \approx 28,32\text{ cm}^2.
\end{aligned}$

%\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\item D'après le cours, le point $M$ tel que $MA^2+MB^2+MC^2$ soit minimal est le centre de gravité $G$ de $ABC$, intersection de deux médianes.
%\end{minipage}
%\hfill
%\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\textit{Illustration à l'échelle $1/2$ :} 


\includegraphics{247_6_fig_42}
\end{center}

\end{questions}
\end{solintro}

\newpage

\section{Géométrie analytique}

\begin{exointro}{Lycée Jeanson, Paris}
Dans le plan muni d'un repère $\big(O; \vec{i}, \vec{j}\big)$, on définit les points $A(-1;2)$ et $B(3;4)$.
\begin{questions}
\item Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de $[AB]$.
\item Déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre $[AB]$.
\item Quel est l'ensemble des points $M(x;y)$ dont une équation cartésienne est:
\[
x^2 + y^2 +2x -4y - 15 = 0 ?
\]
Vérifier que $B$ appartient à cet ensemble.
\end{questions}
\end{exointro}

\textit{Dans ce paragraphe, le plan est rapporté à un repère orthonormé.}

\subsection{\'Equations cartésiennes de droites perpendiculaires}

\begin{prop}
Soit $(d)$ une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$.

La droite $(\Delta)$ , perpendiculaire à $(d)$, a pour coefficient directeur $\vec{n}\dbinom{a}{b}$, vecteur normal à $(d)$.
\end{prop}

\begin{Exemple}
on considère la droite $(d)$ d'équation cartésienne:
\[
-3x+5y-7=0.
\]
Soit $(\Delta)$ la droite perpendiculaire à $(d)$ passant par $A(2;-1)$. Alors, un vecteur normal à $(d)$ est $\vec{n}\dbinom{-3}{5}$ et une équation cartésienne de $(\Delta)$ est de la forme:
\[
(\Delta)\;:\; 5x+3y+c=0\quad,\quad c\in\R.
\]
De plus, 
\begin{align*}
A \in (\Delta) & \iff 5x_A+3y_A+c=0\\
               & \iff 5 \times 2 + 3 \times(-1) + c = 0\\
               & \iff c = -7.
\end{align*}
Une équation cartésienne de $(\Delta)$ est donc:
\[
5x+3y-7=0.
\]
\end{Exemple}

\newpage

\begin{methode}[obtention d'une équation cartésienne perpendiculaire]
Ceci est une méthode plus directe que l'exemple précédent pour obtenir une équation cartésienne d'une droite perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné.

\Par

On considère la droite $(d)$ d'équation cartésienne:
\[
-3x+5y-7=0.
\]
$\gvec{u}^\prime\dbinom{-5}{-3}$ et $\gvec{u}\dbinom{5}{3}$ sont des vecteurs directeurs de $(d)$.

Soit alors $(\Delta)$ la droite perpendiculaire à $(d)$ passant par $A(2;-1)$. Alors,
\begin{align*}
M(x;y) \in (\Delta) & \iff \gvec{AM}\cdot\gvec{u} = 0\\
& \iff \dbinom{x-2}{y-(-1)}\cdot\dbinom{5}{3} = 0\\
& \iff 5(x-2) + 3(y+1) = 0\\
& \iff 5x + 3y -7 = 0.
\end{align*}
On obtient ainsi une équation cartésienne de $(\Delta)$.
\end{methode}


\subsection{\'Equations cartésiennes de cercles}

\begin{prop}[équation canonique de cercles]\label{eqcanoncercle}
Dans un repère orthonormal, l'équation cartésienne canonique du cercle de centre $\Omega (a~;b)$ et de rayon $R$ est :
\[
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2\,.
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
soit le cercle de centre $\Omega(-3;5)$ et de rayon $R=4$. Alors, son équation cartésienne canonique est:
\[
\big(x - (-3)\big)^2 + (y-5)^2 = 4^2
\]
soit:
\[
(x+3)^2 + (y-5)^2 = 16.
\]
\end{Exemple}

\begin{methode}[à partir d'une équation cartésienne développée]
On considère l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que:
\[
x^2+y^2+12x-2y+12=0.
\]
Nous allons montrer que cet ensemble est un cercle dont on précisera les caractéristiques.
\Break
\begin{questions}
\item On regroupe les $x^2$ et $x$ ensemble d'une part, les $y^2$ et $y$ d'autre part:
\[
\big( x^2 + 12x \big) + \big(y^2-2y\big)+12=0.
\]

\item On voit ce qu'il y a entre parenthèses comme les débuts d'une identité remarquable:
\[
\big( x^2 + 12x \big) = \left( x + \frac{12}{2} \right)^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2 = (x+6)^2-36
\]
et
\[
\big(y^2-2y\big) = \left(y - \frac{2}{2}\right)^2 - \left(\frac{2}{2}\right)^2 = (y-1)^2 - 1.
\]

\item On réécrit l'équation avec ces informations de sorte à obtenir l'équation canonique d'un cercle:
\begin{align*}
 & (x+6)^2 - 36 + (y-1)^2 - 1 +12 = 0\\
 & (x+6)^2 + (y-1)^2 = 25\\
 & (x+6)^2 + (y-1)^2 = 5^2.
\end{align*}

L'ensemble des points $M(x;y)$ est donc le cercle de centre $\Omega(-6;1)$ et de rayon $R=5$.
\end{questions}
\end{methode}

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item La médiatrice de $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par son milieu, que nous allons noter $I$, avec :
\[
x_I = \frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-1+3}{2}=1\qquad\text{et}\qquad y_I = \frac{y_A+y_B}{2}=\frac{2+4}{2}=3.
\]
On cherche donc une équation cartésienne de la droite $(m)$, perpendiculaire à $(AB)$ passant par $I(1;3)$.
\begin{align*}
M(x;y) \in (m) & \iff \gvec{IM}\cdot\gvec{AB} = 0\\
               & \iff \dbinom{x-1}{y-3}\cdot\dbinom{3-(-1)}{4-2}=0\\
               & \iff 4(x-1) + 2(y-3) = 0\\
               & \iff 4x + 2y - 10 = 0\\
               & \iff 2x + y - 5 = 0.
\end{align*}
\begin{Remarque}il n'est pas obligatoire de simplifier au maximum les coefficients d'une équation cartésienne, mais si nous pouvons le faire, c'est mieux... pour avoir les nombres les plus petits possibles.
\end{Remarque}

\Break

\item Cherchons maintenant une équation cartésienne du cercle de diamètre $[AB]$: nous en connaissons le centre $I(1;3)$; il nous faut en connaître le rayon.

Pour cela, calculons:
\[
\gvec{IA}\dbinom{-1-1}{2-3} \qquad \text{soit} \qquad \gvec{IA}\dbinom{-2}{-1}.
\]
Ainsi,
\[
IA^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 4+1 = 5.
\]
Ainsi, l'équation cartésienne canonique du cercle est, d'après la propriété \ref{eqcanoncercle} de ce cours:
\[
(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5.
\]

\item Recherchons l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que:
\begin{align*}
& x^2 + y^2 +2x -4y - 15 = 0\\
\iff & \big(x^2 + 2x \big) + \big(y^2 - 4y \big) - 15 = 0\\
\iff & \big[ (x+1)^2 - 1 \big] + \big[ (y-2)^2 - 4 \big] -15 = 0\\
\iff & (x+1)^2 + (y-2)^2 = 20.
\end{align*}

Ainsi, cet ensemble est le cercle de centre $A(-1;2)$ et de rayon \mbox{$R = \sqrt{20}$}.

\Par

Pour vérifier si $B$ appartient à ce cercle, on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées du point dans l'équation canonique (par exemple):
\begin{align*}
(x_B+1)^2 + (y_B-2)^2 = 20 & \iff (3+1)^2 + (4-2)^2 = 20\\
& \iff 4^2 + 2^2 = 20\\
& \iff 20 = 20.
\end{align*}
Les coordonnées de $B$ vérifient l'équation du cercle; par conséquent, $B$ appartient à ce cercle.

Ce cercle est donc le cercle de centre $A$ et de rayon $AB$.
\end{questions}
\end{solintro}