\chapter{Probabilités conditionnelles} 

\enlargethispage*{3em}
\begin{exointro}{Lycée Virlogeux, Riom}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{probabilités conditionnelles}{https://media.prepamath.fr/IL1Mch09exointro}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.3,0.3){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch09exointro}}}
\vspace*{-10pt}

Un laboratoire propose un test de dépistage d'une maladie. Ce test présente les caractéristiques suivantes :
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'un individu atteint de cette maladie ait un test positif est $0{,}95$.
\item la probabilité qu'un individu non atteint par cette maladie ait un test négatif est aussi $0{,}95$.
\end{itemize}
On choisit un individu au hasard et on note $M$ l'événement \og l'individu est malade \fg et $T$ l'événement \og le test est positif \fg.

\begin{questions}
\item On réalise un dépistage dans une population donnée dans laquelle la proportion d'individus atteints de la maladie est $0,001$.
\begin{questions}
\item Construire un arbre représentant cette situation.
\item Calculer la probabilité de l'événement $T$.
\item Calculer la probabilité qu'un individu présentant un test positif soit atteint de la maladie. Cette probabilité est appelée valeur prédictive du test.
\end{questions}

\item On veut étudier les variations de cette valeur prédictive selon la proportion d'individus atteints de la maladie dans la population.
\begin{questions}
\item On considère une population à risque pour la maladie considérée : dans cette population, un quart des individus sont atteints. Quelle est alors la valeur prédictive du test ?
\item On considère maintenant une population dans laquelle la proportion d'individus atteints de la maladie est $x$. Déterminer en fonction de $x$ la valeur prédictive du test pour cette population.\\
Pour quelle valeur de $x$ un individu dont le test est positif a-t-il autant de chance d'être malade que d'être sain ?
\end{questions}
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}
\newpage

\section{Conditionnement}

\begin{defin}
$A$ et $B$ sont deux événements d'un univers $ \Omega $ tels que $p(A) \neq 0$.

La probabilité de l'événement $B$ sachant $A$, notée $p_{A}(B)$ est:
\[
p_{A}(B) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}.
\]
\end{defin}

\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item La probabilité de $B$ sachant $A$ est la probabilité que $B$ soit réalisé dans\linebreak l'univers~$A$.
\item Dans le cas d'équiprobabilité,
  \[p_{A}(B) = \dfrac{\text{nombre d'événements élémentaires de }A\cap B}{\text{nombre d'événements élémentaires de }A}. \]
\end{itemize}
\end{Remarques}


\begin{aretenir}
Pour calculer $p_{A}(B)$, vous pouvez:
\begin{itemize}
\item soit utiliser la définition si vous connaissez $p(A \cap B)$ et $p(A)$;
\item soit déterminer les résultats qui réalisent $A$ et, parmi ceux-ci, calculer la probabilité de ceux qui réalisent $B$.
\end{itemize}
\end{aretenir}

\begin{prop}
Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités non nulles. Alors,
    \[p(A{\cap}B) = p_{A}(B)\times p(A) = p_{B}(A)\times p(B). \]
\end{prop}

\begin{thm}
Soient $A$ et $B$ deux événements, avec $P(A)\neq 0$. Alors : 
\[
p_A(B)+p_A(\Moy{B})=1.
\]
\end{thm}


\section{Indépendance}

\begin{defin}
Soit $p$ une probabilité définie sur un univers $\Omega$.
Deux événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles sont \textit{indépendants} si et seulement si :
\[
p(A\cap B)=p(A)\times p(B).
\]
\end{defin}


\begin{prop}
Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si :
\[
p_A(B)=p(B)\qquad\text{ou}\qquad p_B(A)=p(A).
\]
\end{prop}

\begin{prop}
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\bar{A}$ et $B$, $A$ et $\bar{B}$, et $\bar{A}$ et $\bar{B}$ le sont aussi.
\end{prop}


\section{Formule des probabilités totales}

\begin{defin}
Les événements $E_1, \dots,E_n$ forment une partition de $\Omega$ si et seulement si:
\begin{itemize}
\item les $E_i$ sont deux à deux incompatibles ($E_i \cap E_j=\varnothing$ pour $i\neq j$),
\item aucun des $E_i$ n'est impossible ($E_i\neq\varnothing$ pour tout entier $i$),
\item et la réunion des $E_i$ est l'univers ($E_1\cup E_2\cup\cdots\cup E_n=\Omega$).
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{Remarque}
on dit aussi que $(E_1, \dots,E_n)$ forment un système complet\linebreak d'événements.
\end{Remarque}

\begin{thm}[formule des probabilités totales]
Soit $p$ une probabilité définie sur un univers $\Omega$ et  $E_1,\dots, E_n$ un système complet d'événements, alors pour tout événement $B$ :
\[
p(B)=p(B\cap E_1)+p(B\cap E_2)+\cdots p(B\cap E_n).
\]
\end{thm}

\begin{Remarque}
cette dernière formule revient aussi à écrire:
\[
p(B)=p_{E_1}(B)p(E_1)+p_{E_2}(B)p(E_2)+\cdots p_{E_n}(B)p(E_n). 
\]
\end{Remarque}

Dans le cas d'une partition à deux événements $A$ et $D$, on peut schématiser la formule des probabilités totales ainsi:
\begin{center}
\includegraphics{279_7_fig_3}
\end{center}


\section{Succession de deux épreuves indépendantes}

Imaginons une épreuve à 2 issues ($A$ et $\Moy{A}$ par exemple) que l'on répète deux fois de façon indépendante, c'est-à-dire que les issues de la seconde fois ne sont nullement influencées par celles de la première fois.

Alors, la situation peut se représenter par l'arbre suivant :

\begin{center}
\includegraphics{280_7_fig_14}
\end{center}

Ainsi,
\begin{itemize}
\item la probabilité d'obtenir deux fois l'événement $A$ est $p^2$;
\item la probabilité d'obtenir une seule fois l'événement A est $=2p(1-p)$;
\item la probabilité de ne pas obtenir l'événement A est $(1-p)^2$.
\end{itemize}

\begin{Exemple}
on lance un dé cubique équilibré deux fois de suite, en considérant que les lancers sont indépendants.

On pose $A$ : \og obtenir un multiple de 3. \fg{} Ainsi, $p=p(A)=\dfrac{1}{3}$.

\medskip

La probabilité d'obtenir un multiple de 3 une seule fois sur les deux lancers est :
\[
2p(1-p)=2 \times \dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}.
\]
\end{Exemple}

\enlargethispage*{4em}

\begin{solintro}
\PictoVideo\ \textbf{\textit{Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.}}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.5,0.9){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch09exointro}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{questions}
\item \label{ch13exsolq1}
\begin{questions}
\item On peut représenter la situation par l'arbre ci-dessous :
\begin{center}
\includegraphics{280_7_fig_1}
\end{center}
\vspace*{-2.2em}
\Break

\item $\begin{aligned}[t]
P(T) &= P(M\cap T)+P(\overline{M} \cap T) \\
&= 0{,}001 \times 0{,}95 + 0{,}999 \times 0{,}05 \\
&= 0{,}0509. 
\end{aligned}$

\item On a : $P_T(M) = \dfrac{P(T \cap M)}{P(T)} 
 = \dfrac{0{,}001 \times 0{,}95}{0{,}0509} \approx 0{,}0187$.
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item \label{ch13exsolq2a}On obtient le nouvel arbre : 
\begin{center}
\includegraphics{281_7_fig_2}
\end{center}

En faisant le même calcul que précédemment, on obtient : 
\[ 
P_T(M) =  \dfrac{P(T \cap M)}{P(T)} 
= \dfrac{0{,}25 \times 0{,}95}{0{,}25 \times 0{,}95 + 0{,}75 \times 0{,}05} \approx 0{,}864. \]
 
\item\label{ch13exsolq2b} On obtient maintenant cet arbre : 
\begin{center}
\includegraphics{281_7_fig_5}
\end{center}

En faisant le même calcul que précédemment, on obtient :

\[\kern-2em P_T(M) =  \dfrac{P(T \cap M)}{P(T)} 
= \dfrac{x \times 0{,}95}{x \times 0{,}95 +(1-x) \times 0{,}05}=\dfrac{0,95x}{0,05+0,9x}.\]

\[
\begin{aligned}
 \dfrac{0,95x}{0,05+0,9x} = 0,5   
 &\iff 0{,}95x = 0{,}45x+0{,}025 \\
 &\iff 0{,}5x = 0{,}025 \\
 &\iff x = 0{,}05.
\end{aligned} \]

Conclusion : un individu dont le test est positif a autant de chance d'\^etre malade que sain lorsque 5\% de la population est atteinte par cette maladie.
\end{questions}
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{solintro}