\thumb

%%% QCM1

\begin{qcm}{Propriétés des probabilités}{15}
Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.
\begin{questions}

\item $A$ et $B$ sont deux événements relatifs à une même épreuve tels que\\
 $ p(A) = 0,3$, $p_A(B) = 0,4 $ et $ p_{\bar{A}}(B) = 0,2$.\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
 \choix $p(B) = 0,26$&
 \choix $p(A\cap B)= 0,4$ &
        \choix $p(A\cup B) = \dfrac{109}{130}$
 \end{tabularx}
    
\item $ A $ et $ B $ sont des événements relatifs à une même épreuve tels que\\
 $p(A) = 0,6$, $p(A\cup B) = 0,8$ et $p(A\cap B) = p(A)p(B)$. Alors\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $p(A\cap B) = 0,48$&
        \choix $p(B) = 0,2$&
        \choix $p_A(B) = 0,5$
    \end{tabularx}

\item $ A $ et $ B $ sont deux événements relatifs à une même épreuve tels que\\
 $p(A\cap B) = 0,8$ et $p_{A}(B) = 0,25$.\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $p(A) = 0,2$&
        \choix C'est impossible&
        \choix $p(B) = 0,9$
    \end{tabularx}

\item $ A $ et $ B $ sont deux événements relatifs à une même épreuve tels que\\
 $p(A\cap B) = 0,12$ et $p(\bar{A}\cap B) = 0,36$.\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $p_B(A) = 0,24$&
        \choix $p_B(A) = 0,48$&
        \choix $p_B(A) = 0,25$
    \end{tabularx}

\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse\choix[a]:
    \begin{align*}
      p(B) & = p(A\cap B) + p(\bar{A}\cap B) = p(A) p_A(B) + p(\bar{A})p_{\bar{A}}(B) \\
       & = 0,3\times 0,4 + (1 - 0,3)\times 0,2 = 0,26.
    \end{align*}

  \begin{attention}
    Il ne faut pas confondre $p(A\cap B)$ avec $p_A(B)$, la réponse \choix[b] est donc fausse.
  \end{attention}


\item Réponse\choix[c]: si $A$ et $B$ sont tels que $ p(A\cap B) = p(A)\times p(B) $, alors
    \begin{gather*}
    \begin{aligned}
          p(A \cup B) & = p(A) + p(B)-p(A\cap B)\\
           & = p(A) + p(B)-p(A)\times p(B),
      \intertext{d'où :}
        0,8 & = 0,6 + p(B)-0,6\times p(B) \\
         & \iff 0,4\times p(B) = 0,2 \iff p(B) = 0,5.
    \end{aligned} \\
      \intertext{Donc }
    p_{A}(B) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} = \dfrac{p(A)p(B)}{p(A)} = p(B) = 0,5
    \end{gather*}

\item Réponse\choix[b]. En effet, d'après le cours,
\[
P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\text{ donc }P(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P_A(B)}=\dfrac{0,8}{0,25}=3,2 > 1
\]
ce qui est impossible.

\item Réponse\choix[c]: comme $A$ et $\bar{A}$ forment une partition de l'univers, d'après la formule des probabilités totales : 
$$ p(B) = p(A\cap B) + p(\bar{A}\cap B) = 0,12 + 0,36 = 0,48.$$

Comme $p_{{B}}(A) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} = \dfrac{0,12}{0,48}$, alors $ p_B (A) = 0,25$.

\end{questions}
\end{corrige}

%%% VF2

\begin{vf}{Interprétation d'un arbre}{15}
On a résumé des informations d'une expérience dans l'arbre ci-dessous :
    \begin{center}
        \includegraphics{282_7_fig_6}
    \end{center}
Les égalités suivantes sont-elles vraies ou fausses ?\resetchoix\par 
\begin{questions}
\item $p_A(D) = 0,2$
\item $p(C) = 0,2$
\item $p(B) = 0,14$
\item $p_D(A) = \dfrac{5}{16}$
\end{questions}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item Faux : $p_A(D) = 0,5$.

  \item Faux : $ p(C) = p(A)p_A(C) + p(\bar{A})p_{\,\bar{A}}(C) = 0,12 + 0,12 = 0,24 $

  \item Vrai : $ p(B) = p(A)p_A(B) + p(\bar{A})p_{\,\bar{A}}(B) = 0,08 + 0,06= 0,14 $

  \item Faux : $p_D(A) = \dfrac{p(D\cap A)}{p(D)} = \dfrac{0,4\times 0,5}{0,4\times 0,5 + 0,6\times 0,7} = \dfrac{0{,2}}{0,62} = \dfrac{10}{31}$.

\end{questions}
\end{corrige}

\newpage

%%% QCM3

\begin{qcm}{D'après un sujet de bac}{10}
Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

Les élèves de deux classes de 1\iere{} (désignées par 1\iere{}A et 1\iere{} B) sont\linebreak répartis selon leur spécialité (qui sont abrégées en NSI, SVT, Math) de la\linebreak façon suivante :

\begin{center}
    \begin{tabular}{|R|*3{Zc|}}
    \hline\tabulartitle
    Spécialité & 1\iere{} A & 1\iere{} B & Total \\\hline
    NSI & 16 & 8 & 24 \\\hline
    SVT & 12 & 14 & 26 \\\hline
    Math & 6 & 10 & 16 \\\hline
    Total & 34 & 32 & 66 \\\hline
  \end{tabular}
\end{center}

\Par

On interroge un élève au hasard. Les données précédentes sont à utiliser pour les quatre questions suivantes :

\begin{questions}
\item La probabilité que l'élève interrogé appartienne à la 1\iere{} A est égale à :\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $\dfrac{1}{66}$&
        \choix $\dfrac{1}{34}$&
        \choix $\dfrac{17}{33}$
    \end{tabularx}

\item La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math ou appartienne à la 1\iere{} A est égale à :\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $\dfrac{2}{3}$&
        \choix $\dfrac{25}{33}$&
        \choix $\dfrac{1}{11}$
    \end{tabularx}

\item La probabilité que l'élève interrogé suive la spécialité Math sachant qu'il appartient à la 1\iere{} A est égale à :\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $\dfrac{1}{34}$&
        \choix $\dfrac{1}{11}$&
        \choix $\dfrac{3}{17}$
    \end{tabularx}

\item La probabilité que l'élève interrogé appartienne à la 1\iere{} A sachant qu'il suit la spécialité Math est égale à :\resetchoix\par 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
        \choix $\dfrac{3}{17}$&
        \choix $\dfrac{14}{17}$&
        \choix $\dfrac{3}{8}$
    \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse\choix[c]: l'ensemble des élèves des deux classes comportent 66 élèves.

  On interroge un élève au hasard, il y a donc équiprobabilité des choix des élèves interrogés.

  N'oubliez pas de justifier l'équiprobabilité, ici, par le mot \og hasard\fg .

  Soit $E_{1}$ l'événement \og  l'élève choisi appartient à la 1\iere A \fg .

  Alors $p(E_1) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \dfrac{34}{66} = \dfrac{17}{33}$.


\item Réponse\choix[a]: soit $M$ l'événement \og  l'élève choisi suit l'enseignement spécialité Math\fg  et $E$ l'événement \og  l'élève choisi suit l'enseignement de spécialité Math ou appartient à la 1\iere A \fg.

  L'événement $E$ est la réunion des deux événements $M$ et $E_1$ et donc:
    \[ p(E) = p(M\cup E_1) = p(M) + p(E_1)-p(M\cap E_1). \]%

  Il y a toujours équiprobabilité des choix des élèves interrogés, d'où:
    \[ p(M) = \dfrac{16}{66} = \dfrac{8}{33}\enspace\text{ et }\enspace p(M\cap E_1) = \dfrac{6}{66} = \dfrac{1}{11}. \]%
  On en déduit que : $p(E) = \dfrac{8}{33} + \dfrac{17}{33}-\dfrac{3}{33} = \dfrac{22}{33} = \dfrac{2}{3}$.

\item Réponse\choix[c]: par lecture du tableau, la probabilité demandée est égale à $\dfrac{6}{34}$ (car il y a 6 élèves suivant l'enseignement des mathématiques sur les 34 élèves de la 1\iere A), soit après simplification : $\dfrac{3}{17}$.

\item Réponse\choix[c]: par lecture graphique du tableau, la probabilité demandée est égale à $\dfrac{6}{16}$ (car il y a 6 élèves dans la 1\iere A sur les 16 qui suivent l'enseignement de spécialité Math), soit après simplification : $\dfrac{3}{8}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{vf}{\'Evénements indépendants}{10}
Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{questions}
\item
On joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. La probabilité d'obtenir face au dixième lancer sachant qu'on a obtenu pile à tous les lancers précédents est strictement supérieure à $0,5$.

\item
Si $A$ et $B$ sont deux événements définis sur le même espace probabilisé tels que $P(A)=\dfrac{2}{3}$, $P(B)=\dfrac{3}{5}$ et $P(A \cap \overline{B})=\dfrac{4}{15}$, alors les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

\item
\begin{questions}
\item
 Dans une classe de terminale S, les trois quarts des élèves sont des filles. Une fille sur trois a son permis de conduire du premier coup alors que cela n'est le cas que d'un garçon sur dix. On interroge au hasard un élève de la classe. La probabilité qu'il ait eu son permis du premier coup est $0,275$.
 
\item
On interroge un élève ayant eu son permis du premier coup. La probabilité que ce soit un garçon est $0,1$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item
Faux. La pièce étant parfaitement équilibrée, la probabilité d'avoir face à un lancer quelconque est de $\dfrac{1}{2}$. Les lancers successifs étant indépendants, le fait d'avoir obtenu neuf fois de suite pile lors des lancers antérieurs n'a aucune influence sur le dixième lancer ... même si l'intuition nous incite à penser qu'on devrait voir apparaître \og face \fg{} !

\item
Vrai. On commence par calculer $P(A \cap B)$ : \\
\[ P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \overline{B})= \frac{6}{15}.\] 
On compare ensuite avec le produit $P(A)P(B)=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{5}$.

\Par

On a bien $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ ce qui prouve l'indépendance des événements $A$ et $B$.


\item
\begin{questions}
\item
Vrai. On définit les événements :

\begin{itemize}
\item S : \og L'élève a réussi le permis de conduire \fg.
\item F: \og L'élève interrogé est une fille \fg.
\item G : \og L'élève interrogé est une garçon\fg.
\end{itemize}

On applique la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements $(F,G)$:
\[
P(S)=P_F(S)P(F)+P_G(S)P(G).
\]
On obtient alors :
\[
P(S)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{4}=0,275.\]
 
\item
Faux. On cherche à calculer $P_S(G)$. D'après la formule des probabilités conditionnelles, puisque $P(S)$ est non nul, on a : 
\[ P_S(G)=\frac{P(S \cap G)}{P(S)}=\frac{0,1 \times 0,25}{0,275}=\dfrac{1}{11}. \]
Une valeur approchée de $P_S(G)$ à $0,001$ près est $0,091$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}


\sectionnn{Conditionnement}

%%% ex5 - 2024

\begin{exo}{Notations}{Lycée La Source, Meudon}{1}{5}
Dans une population, on choisit une personne au hasard et on considère les événements suivants:
\begin{itemize}
\item $F$ : \og la personne choisie est une femme \fg{} 
\item $H$ : \og la personne choisie est un homme \fg{} 
\item $R$ : \og la personne choisie est retraitée \fg{} 
\end{itemize}
Donnez la notation correspondant à chacune des probabilités suivantes:
\begin{questions}
\item Parmi les femmes, 25\% sont des retraitées.
\item Un tiers des hommes sont retraités.
\item Chez les personnes retraitées, 45\% sont des femmes.
\item Lorsqu'on interroge un homme, la probabilité pour que ce ne soit pas un retraité est 67\%.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \textit{Parmi les femmes, 25\% sont des retraitées.}

Ici, \og parmi les femmes \fg{} signifie que l'on se place dans un univers autre que l'ensemble de la population. C'est donc une probabilité conditionnelle: sous condition que la personne soit une femme, 25\% sont retraitées.

L'affirmation se note donc : $P_F(R)=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$.

\Par

\item \textit{Un tiers des hommes sont retraités.}

Les événements $H$ et $R$ sont réalisés en même temps: il s'agit donc d'une intersection d'événements.

L'affirmation se note alors : $P(H \cap R)=\frac{1}{3}$.
\enlargethispage*{2em}

\item \textit{Chez les personnes retraitées, 45\% sont des femmes.}

\og Chez les personnes retraitées \fg{} signifie que l'univers est changé: on se place dans l'ensemble des personnes retraitées. Il s'agit donc d'une probabilité conditionnelle.

L'affirmation se note donc : $P_R(F) = \frac{45}{100}=\frac{9}{20}$.

\item \textit{Lorsqu'on interroge un homme, la probabilité pour que ce ne soit pas un retraité est 67\%.}

\og Lorsqu'on interroge un homme \fg{} signifie que l'on se place dans l'ensemble de hommes: il s'agit d'une probabilité conditionnelle.

L'affirmation se note alors: $P_H(\overline{R})=\frac{67}{100}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2024

\begin{exo}{Centre de vacances}{Lycée Notre-Dame-de-Boulogne, Boulogne}{1}{15}
Un centre de vacances accueillant 200 adolescents propose deux activités: équitation et tir à l'arc.

Les adolescents peuvent s'inscrire à une, deux ou aucune activité(s).

73\% choisissent de s'inscrire à l'équitation, 66\% s'inscrivent au tir à l'arc, et parmi ces derniers, 75\% se sont aussi inscrits à l'équitation.

On choisit au hasard un adolescent et on note les événements:
\begin{itemize}
\item $E$ : \og l'adolescent fait de l'équitation \fg{} 
\item $T$ : \og l'adolescent fait du tir à l'arc \fg{} 
\end{itemize}

\begin{questions}
\item À l'aide des événements $E$ et $T$, traduire en terme de probabilité les informations données dans l'énoncé.

\item Compléter le tableau d'effectifs suivant:

\begin{tabularx}{\linewidth}{|C|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
& $E$ & $\overline{E}$ & Total\\
\hline
$T$ &  &               &     \\
\hline
$\overline{T}$ &  & &\\
\hline
Total &  &  & 200\\
\hline
\end{tabularx}

\item Pierre est inscrit à l'équitation. Quelle est la probabilité qu'il ne fasse pas de tir à l'arc?
\item Juliette est inscrite au tir à l'arc. Quelle est la probabilité qu'elle fasse aussi de l'équitation?
\item Quelle est la probabilité que l'adolescent ne fasse aucune activité?
\item Quelle est la probabilité que l'adolescent fasse au moins l'une des deux activités ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item D'après l'énoncé:
\[
P(E)=0,73\qquad;\qquad P(T)=0,66\qquad;\qquad P_T(E)=0,75.
\]
\item Le tableau complété est le suivant:

\begin{tabularx}{\linewidth}{|C|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
& $E$ & $\overline{E}$ & Total\\
\hline
$T$ & 99 & 33 &  132   \\
\hline
$\overline{T}$ & 47  & 21 & 68 \\
\hline
Total & 146  &	54  & 200\\
\hline
\end{tabularx}

\item On nous demande ici de calculer $P_E(\overline{T})$. Nous allons utiliser la formule des probabilités élémentaires pour la déterminer. En effet, d'après le tableau des effectifs:
\[
P_E(\overline{T}) = \frac{47}{146}.
\]

\item De la même façon, on obtient:
\[
P_T(E) = \frac{99}{132} = \frac{3}{4}.
\]

\item D'après le tableau des effectifs,
\[
P( \overline{E} \cap \overline{T} ) = \frac{21}{200}.
\]

\item De même,
% ERREUR % \[ P( E \cup T ) = P(E) + P(T) - P(E \cap T) = \frac{146+132-99}{200} = \frac{149}{200}. \]
\[ P( E \cup T ) = P(E) + P(T) - P(E \cap T) = \frac{146+132-99}{200} = \frac{179}{200}. \]

\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Arbre pondéré}{Lycée Virlogeux, Riom}{1}{20}
Dans une ville , une enquête portant sur les habitudes des ménages en matière d'écologie a donné les résultats suivants :
\begin{itemize}
  \item 70\,\% des ménages pratiquent le tri sélectif ;
  \item parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40\,\% consomment des produits bio ;
  \item parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10\,\% consomment des produits bio.
\end{itemize}
On choisit un ménage au hasard (tous les ménages ayant la même probabilité d'être choisis) et on note :
\begin{itemize}
\item $T$ l'événement \og  le ménage pratique le tri sélectif\fg  et $\bar{T}$ son événement contraire ;
\item $B$ l'événement \og  le ménage consomme des produits bio\fg  et $\bar{B}$ son événement contraire.
\end{itemize}

\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale. }

\begin{questions}
  \item Donner sans justification la probabilité $p(T)$ de l'événement $T$.

  \item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

  \item
    \begin{questions}
    \item Calculer la probabilité de l'événement : \og  le ménage pratique le tri sélectif et consomme des produits bio\fg 
    \item Montrer que la probabilité que le ménage consomme des produits bio est égale à $0,31$.
    \end{questions}

\item Calculer la probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu'il consomme des produits bio (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au centième).

\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
% ERREUR % \item $p(T) = 0,4$ (le 70\,\% de l'énoncé !).
\item $p(T) = 0,7$ (le 70\,\% de l'énoncé !).
 
\item $p_T(B) = 0,4$ et $p_{\bar{T}}(B) = 0,1$ (là encore, c'est dans l'énoncé).
  
Les autres probabilités sont obtenues en utilisant le fait que la somme des probabilités des branches partant d'un n\oe ud  est toujours égale à 1.
  
  \Par
  
    \begin{center}
     \includegraphics{296_7_fig_7}
    \end{center}

\Par

  \item \begin{questions}
            \item $p(T\cap B) = p(T)\times p_T(B) = 0,7\times 0,4 = 0,28$.

            \item D'après la formule des probabilités totales :
            
            $ \begin{aligned}[t]
                     p(B) & = p(T\cap B) + p(\bar{T}\cap B )\\
                      & = 0,7\times 0,4 + 0,3\times 0,1\\
                      & = 0,28 + 0,03\\
                      &= 0,31.
                   \end{aligned}$
        \end{questions}

  \item $p_B(T) = \dfrac{p(B\cap T)}{p(B)} = \dfrac{0,28}{0,31} \approx 0,90$.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%

%\begin{exo}{Médailles de judo}{Bac métropole, septembre 2011}{1}{20}
%
%Pierre, le président d'un club de judo. veut acheter 60 médailles ayant la même référence. Elles sont gravées à l'effigie d'une ou d'un champion\linebreak Doullet, Rinar ou Vécosse. Il passe commande chez un grossiste qui travaille avec deux fournisseurs A et B. Le tableau suivant indique les caractéristiques du colis contenant les 60 médailles envoyées par le grossiste :
%
%    \begin{center}
%            \begin{tabular}{|R|*4{Zc|}}
%            \tabulartitle
%\multicolumn{1}{l|}{\cellcolor{white}} & 
%\psline(-0.237,0.36)(5.295,0.36)
%Doullet & Rinar & Vécosse & Total\\\hline
%              Fournisseur A & 10 & 10 & 10 & 30 \\\hline
%              Fournisseur B & 5 & 10 & 15 & 30 \\\hline
%              Total & 15 & 20 & 25 & 60 \\\hline
%            \end{tabular}
%    \end{center}
%
%Pierre reçoit le colis, et tire au hasard une médaille. Dans la suite de l'exercice, on suppose que chaque médaille a la même probabilité d'être tirée.
%
%\begin{questions}
%  \item
%    \begin{questions}
%        \item Montrer que la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de\linebreak Vécosse est égale à $\dfrac{5}{12}$.
%
%    	\item Quelle est la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de\linebreak Vécosse et provienne du fournisseur B ?
%
%    	\item Pierre constate que la médaille tirée est à l'effigie de Vécosse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B ?
%    \end{questions}
%
%
%  \item Pierre remet la médaille dans le colis et répète maintenant trois fois de suite les mêmes gestes :
%        \begin{itemize}
%        	\item il tire au hasard une médaille ;
%        	\item il note l'effigie du champion et remet la médaille dans le colis.
%        \end{itemize}
%Quelle est la probabilité qu'au moins une des médailles soit à l'effigie de Vécosse ?
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%    \begin{questions}
%     \item 
%    \begin{questions}
%     \item On a : $P(V) = \dfrac{25}{60} = \dfrac{5}{12}$.
%     \item On a : $P(V \cap B) = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}$.
%     \item On a : $P_V(B) = \dfrac{P(V \cap B)}{P(V)} = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{12}} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{12}{5} = \dfrac{3}{5}$.
%     
%     (ou bien, d'après le tableau, $P_V(B)=\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}$)
%    \end{questions}
%
%     \item 
%	 \begin{methode}
%	 Quand un énoncé de probabilité contient les mots \og au moins un \fg (ou \og au moins une \fg ), il faut penser à l'événement contraire.
%\end{methode}
%Ici en particulier, il est plus simple de chercher d'abord la probabilité de l'événement contraire, qui est : \og aucune médaille n'est à l'effigie de Vécosse \fg. Sa probabilité est $\left(1-\dfrac{5}{12}\right)^3 = \left(\dfrac{7}{12}\right)^3$, et la probabilité qu'au moins une des médailles soit à l'effigie de Vécosse est donc :\\ 
%$1-\left(\dfrac{7}{12}\right)^3 = \dfrac{1385}{1728} \approx 0{,}8$.
%
%    \end{questions}
%\end{corrige}
%

%%%

\begin{exo}{Pannes électroniques}{Lycée Voltaire, Paris}{1}{20} %

Une entreprise fabrique des appareils électroniques. La probabilité pour qu'un appareil ainsi fabriqué fonctionne parfaitement est $\dfrac{9}{10}$.

\begin{questions}
\item On note $F$ l'événement:\og  l'appareil fonctionne parfaitement\fg , et $\Moy{F}$ l'événement contraire de $F$. Calculer la probabilité de l'événement $\Moy{F}$.

\item On fait subir à chaque appareil un test avant la livraison; on constate que :
        \begin{itemize}
        \item quand un appareil est en parfait état de fonctionnement, il est toujours accepté à l'issue du test.

        \item quand un appareil n'est pas en parfait état de fonctionnement, il peut être néanmoins accepté avec une probabilité de $\dfrac{1}{11}$.
        \end{itemize}
        On note $T$ l'événement \og  l'appareil est accepté à l'issue du test\fg .


        \begin{questions}
        \item Montrer que les probabilités des événements \og $T$ et $F$\fg  et\linebreak \og $T$ et $\Moy{F}$\fg  sont respectivement
        égales à $\dfrac{9}{10}$ et $\dfrac{1}{110}$.

        \item En déduire la probabilité de $T$.

        \item Calculer la probabilité de $F$ sachant $T$.
        \end{questions}

\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On sait que $p(F) + p(\Moy{F}) = 1$ par la loi des contraires.

On sait par ailleurs que $p(F) = \dfrac{9}{10}$. Donc:
    \[ p(\Moy{F}) = 1-\dfrac{9}{10} = \dfrac{1}{10} = 0,1. \]

\item On représente sous forme d'un arbre pondéré, les événements en jeu et les probabilités données directement par l'énoncé.\\
On note que $p_F(T) = 1$ car, si l'appareil est bon, il passe toujours le test avec succès.
    \begin{center}
    \includegraphics{296_7_fig_8}
    \end{center}
	\newpage
        \begin{questions}
        \item Un appareil défectueux ($\Moy{F}$) passe le test avec succès ($T$) avec une probabilité $\dfrac{1}{11}$. On peut donc écrire :
            \[ p_{\,\Moy{F}}(T) = \dfrac{1}{11}. \]
        Utilisons maintenant les probabilités conditionnelles.

        On cherche $p(T\cap \Moy{F})$ en fonction de $p_{\Moy{F}}(T)$.

        On va donc utiliser la formule des probabilités conditionnelles :
            \[ p(T\cap \Moy{F}) = \underbrace{p(\Moy{F})}_{\frac{1}{10}}\times \underbrace{p_{\Moy{F}}(T)}_{\frac{1}{11}} = \dfrac{1}{10\times 11} = \dfrac{1}{110}. \]
        De la même façon :
            \[ p(T\cap F) = \underbrace{p(F)}_{\frac{9}{10}}\times \underbrace{p_F(T)}_{1} = \frac{9}{10}. \]

        \item Réaliser $T$ s'obtient en réalisant ou bien $T \cap F$ ou bien $T\cap \Moy{F}$. On utilise ici la formule des probabilités totales :
            \begin{align*}
            	p(T) & = p(T\cap F) + p(T\cap \Moy{F})\\
            	& = \dfrac{9}{10} + \dfrac{1}{110}\\
            	& = \dfrac{9\times 11 + 1}{110}\\
            	& = \dfrac{100}{110}\\
            	& = \dfrac{10}{11}.
            \end{align*}
        \item On demande $p_T( F)$
        On utilise la définition d'une probabilité conditionnelle :\enlargethispage*{2em}
            \[ p_T(F) = \dfrac{p(T\cap F)}{ p(T)} = \dfrac{\frac{9}{10}}{\frac{10}{11}} = \dfrac{9\times 11}{10\times10} = \dfrac{99}{100}. \]
        Un appareil ayant passé le test avec succès a donc 99\,\% de chances d'être bon.

        \end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Génétique}{Lycée Stanislas, Paris}{1}{30} 

Une population est constituée de 100 personnes (40 hommes et 60 femmes) telles que :
    \begin{itemize}
    \item 50 personnes ont les yeux bleus,
    \item 60\,\% des hommes ont les yeux bleus.
    \end{itemize}

On choisit au hasard une personne. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.

Calculer, sous forme de fraction irréductible, les probabilités des événements suivants :
    \begin{questions}
      \item $A$ : \og Avoir choisi un homme\fg .

      \item $B$ : \og Avoir choisi un homme aux yeux bleus\fg .

      \item $C$ : \og Avoir choisi une femme aux yeux bleus\fg .

      \item $D$ : \og Avoir choisi une personne aux yeux bleus, sachant que c'est une femme\fg .

      \item $E$ : \og Avoir choisi une femme, sachant que c'est une personne ayant les yeux bleus\fg .

    \end{questions}
    \end{exo}
    
\begin{corrige}
Un tel énoncé se traduit bien à l'aide d'un tableau à deux entrées. Il est facile de calculer les quelques effectifs qui ne sont pas donnés dans l'énoncé .

Il y a $0,6\times40=24$ hommes aux yeux bleus, donc $50-24=26$ femmes aux yeux bleus.

Il restent donc $40-24=16$ hommes qui n'ont pas les yeux bleus et \\\mbox{$60-26=34$} femmes qui n'ont pas les yeux bleus.

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*3{Zc|}}
\tabulartitle
\multicolumn{1}{l|}{\cellcolor{LG}} & \psline(-0.232,0.36)(4.03,0.36) Homme & Femme & Total\\
 \hline
 Yeux bleus & 24 & 26 & 50\\
 \hline
Pas les Yeux bleus & 16 & 34 & 50\\
\hline
Total & 40 & 60 & 100\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Comme toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies, on est en situation d'équiprobabilité.

La probabilité est donc égale au nombre de personne dans l'événement choisi, divisé par le nombre de personne de l'univers de référence.

\begin{questions}
\item A : choisir un homme dans la population totale : $p(A)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$.
\item B : choisir un homme aux yeux bleus dans la population totale :

$p(B)=\dfrac{24}{100}=\dfrac{6}{25}$.
\item C : choisir une femme aux yeux bleus parmi la population totale :

$p(C)=\dfrac{26}{100}=\dfrac{13}{50}$.
\item D : choisir une personne aux yeux bleus, parmi la population des femmes : $p(D)=\dfrac{26}{60}=\dfrac{13}{30}$.
\item E : choisir une femme parmi la population des personnes aux yeux bleus : $p(E)=\dfrac{26}{50}=\dfrac{13}{25}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%


%\begin{exo}{Lancer de fléchettes}{Lycée  Carnot, Dijon}{2}{35}%
%
%Une épreuve consiste à jeter des fléchettes sur une cible partagée en
%trois cases notées $1$, $2$ et $3$. Deux concurrents $A$ et $B$ sont
%en présence. On admet que chaque joueur touche une case et une seule à
%chaque lancer, et que de plus les lancers sont indépendants. Pour le concurrent $A$,
%la probabilité de toucher les cases $1$, $2$ et $3$ sont dans cet
%ordre  :
%\[
%\dfrac{1}{12} \,, \quad \dfrac{1}{3}\quad \text{et}
%\quad \dfrac{7}{12}.
%\]
%Le
%concurrent
%$B$ a ses $3$ éventualités équiprobables.
%\begin{questions}
%\item Le concurrent $A$ lance $3$ fléchettes.
%\begin{questions}
%\item Quelle est la probabilité qu'il atteigne chaque fois la case $3$ ? 
%\item Quelle est la probabilité qu'il atteigne les
%cases $1$, $2$ et $3$ dans cet ordre ?
%\item Quelle est la probabilité qu'il atteigne les
%cases $1$, $2$ et $3$ ?
%\end{questions}
%\item On choisit un des $2$ concurrents. La probabilité de
%choisir $A$ est égale à $\dfrac{2}{3}$, celle de choisir $B$ vaut
%$\dfrac{1}{3}$.
%\begin{questions}
%\item Un seul lancer est effectué, quelle est la probabilité que la case $3$ soit atteinte ?
%\item Un seul lancer est effectué et la case $3$ est
%atteinte. Quelle est la probabilité que ce soit le concurrent $A$
%qui ait lancé la fléchette ?
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item
%\begin{questions}
%\item  
%Le concurrent $A$ touche la case $3$ avec la probabilité $\dfrac{7}{12}$. 
%\par
%Les $3$ lancers successifs étant indépendants les uns des autres, la probabilité que le joueur $A$ touche $3$
%fois la case $3$ vaut donc 
%\[
%\dfrac{7^3}{12^3}=\dfrac{343}{\numprint{1728}}.
%\]
%%
%\item 
%La probabilité qu'il atteigne la case $1$ vaut
%$\dfrac{1}{2}$, celle pour qu'il atteigne la case $2$ vaut $\dfrac{1}{3}$
%et celle pour qu'il atteigne la case $3$ vaut $\dfrac{7}{12}$.
%\par
%La probabilité que le joueur $A$ touche d'abord la case $1$, puis la case
%$2$ et enfin la case $3$ vaut  :
%\[
%\dfrac{1}{12}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{7}{12}=\dfrac{7}{432}.
%\]
%\item Le joueur a alors plusieurs possibilités (l'ordre des cases
%n'est pas imposé), mais chacune des éventualités a une probabilité
%égale à $\dfrac{7}{432}$ :
%\[
%\begin{array}{|c|c|c|}
%\hline\tabulartitle
%\text{1\iere{} case touchée } & \text{2\ieme{} case touchée }
%&\text{3\ieme{} case
%  touchée }\\
%\hline
%1 & 2 & 3\\
%\hline
%1 & 3 & 2\\
%\hline
%2 & 1 & 3\\
%\hline
%2 & 3 & 1\\
%\hline
%3 & 1 & 2\\
%\hline
%3 & 2 & 1\\
%\hline
%\end{array}
%\]
%Ce qui fait $6$ possibilités.
%\par
%La probabilité qu'il touche les cases
%$1$, $2$ et $3$ vaut donc :
%\[
%6\times \dfrac{7}{432}=\dfrac{7}{72}.
%\]
%\end{questions}
%%
%\item
%\begin{questions}
%\item 
%Notons $E_A$ l'événement \og{}le joueur $A$ est choisi\fg{} ; $E_B$ l'événement \og{}le joueur $B$ est choisi\fg{} ; notons $C$ l'événement \og{}la case $3$ est atteinte\fg{}.
%\par
%Le couple $(E_A;E_B)$ constitue un système complet d'événements, on peut appliquer la formule des probabilités totales :
%\[
%P(C)=P(E_A\cap C)+P(E_B\cap C)
%\]
%Calculons la probabilité de $E_A\cap C$.
%\par
%Si on choisit le joueur $A$ (ceci avec une probabilité $\dfrac{2}{3}$), la case
%$3$ est touchée avec une probabilité $\dfrac{7}{12}$. 
%\par
%On en déduit que :
%\[
%P(E_A\cap C)=\dfrac{7}{12}\times
%\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{18}.
%\]
%Calculons la probabilité de $E_B\cap C$.
%\par
%Si on choisit le joueur $B$ (ceci avec une probabilité $\dfrac{1}{3}$), la
%case $3$ est touchée avec une probabilité $\dfrac{1}{3}$. 
%\par
%On en déduit que :
%\[
%P(E_B\cap C)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}.
%\]
%On conclut alors en calculant la probabilité de $C$ :
%\[
%P(C)=\dfrac{7}{18}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{2}.
%\]
%
%\item 
%On cherche donc la probabilité de $E_A$ sachant que $C$ est
%réalisé. On calcule donc la probabilité suivante :
%\[
%P_C(E_A)=\dfrac{P(E_A\cap
%C)}{P(C)}=\dfrac{\frac{7}{18}}{\frac{1}{2}}=\dfrac{7}{9}.
%\]
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{corrige}
%

%%% 2024

\begin{exo}{Vaccin et maladie}{Lycée Clémenceau, Nantes}{2}{10}
Un vaccin contre une maladie contagieuse n'est pas toujours totalement\linebreak efficace.

Une étude réalisée sur un grand nombre d'individus a montré que:
\begin{itemize}
\item 30\% de la population sont vaccinés;
\item un individu vacciné contracte la maladie une fois sur cinq;
\item un individu non vacciné contracte la maladie dans un cas sur trois.
\end{itemize}
On choisit au hasard un individu de la population.

On note:
\begin{itemize}
\item $V$ : \og l'individu choisi est vacciné \fg
\item $M$ : \og l'individu choisi est malade \fg{} 
\end{itemize}

Représentez la situation par un arbre pondéré.

Déterminer la probabilité qu'un individu soit malade.
\end{exo}

\begin{corrige}
L'arbre correspondant à la situation est le suivant:
\begin{center}
\includegraphics{298_proba_fauxpositif}
\end{center}
On a alors:
\begin{align*}
P(M) & = P(V \cap M) + P(\overline{V} \cap M)\\
     & = P(V)\times P_V(M) + P(\overline{V}) \times P_{\overline{V}}(M)\\
     & = 0,3\times0,2 + 0,7\times \frac{1}{3}\\
     & \approx 0,293.
\end{align*}
La probabilité qu'un individu soit malade est d'environ 0,293.
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Arbre pondéré}{Lycée Galilée, Gennevilliers}{2}{40}

Pour payer ses études de médecine, Watson est gardien de nuit dans une grande résidence de $100$ appartements. Celle-ci est munie d'un système anti-intrusion (antivol) ultra-moderne, mais qui provoque quelquefois de fausses alarmes.

D'après le constructeur du système, la probabilité d'une fausse alarme, c'est-à-dire que l'alarme se déclenche alors qu'il n'y a pas d'intrusion, est de $0,02$.

Par ailleurs, les statistiques sur les trois dernières années montrent que :

    \begin{center}
    \begin{tabular}{| >{\centering}M{3.75cm}|*3{Zc|}}
    \hline\tabulartitle
    Année& 1999 & 2000 & 2001 \\
    \hline
    Nombre d'intrusions & 28 & 30 & 26 \\
    \hline
    Nombre d'intrusions \\ qui ont déclenché l'alarme & 25 & 28 & 23 \\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

On effectuera tous les calculs avec une précision de $0,001$.

\begin{questions}
\item D'après ces données, et en interprétant les fréquences
statistiques comme des probabilités, montrer que :

        \begin{questions}
        \item La probabilité d'avoir une intrusion un jour quelconque de l'année est de $0,077$ (à $0,001$ près).

        \item La probabilité qu'il y ait une intrusion et que l'alarme se déclenche est de $0,069$ (à $0,001$ près).

        \end{questions}

\item Quelle est la probabilité que l'alarme se déclenche sachant qu'il y a eu une intrusion ?

\item Représenter les résultats précédents sous forme d'arbre pondéré.\\
Quelle est la probabilité que l'alarme se déclenche ?

\item Une nuit Watson est réveillé en sursaut par l'alarme. Il consulte son ami Sherlock pour connaître
la probabilité qu'il s'agisse d'une intrusion.

Quelle réponse donne Sherlock ?
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
On va noter $A$ : \og  L'alarme s'est déclenchée\fg  et $I$ : \og  Il y a eu intrusion\fg .

Il convient de remarquer que 2000 est une année bissextile.

\begin{questions}
\item
        \begin{questions}
        \item Cette question renvoie aux liens entre statistiques et probabilités, et notamment à la loi des grands nombres (la fréquence d'un événement converge vers sa probabilité) qui autorise à interpréter les fréquences statistiques comme des probabilités. La fréquence statistique $i$ des intrusions par jour se calcule par :
            \[ 	
            i = \dfrac{28 + 30 + 26}{2 \times 365+366} \approx \numprint{0,0766}. \]
        On en déduit que la probabilité d'une intrusion est de $p(I) = 0,077$ à $10^{-3}$ près. Puis que $p(\bar{I}) =
        0,923$ à $10^{-3}$ près.

        \item D'après le tableau statistique, on peut également calculer la probabilité $p(I \cap A)$ en tant que fréquence du nombre d'intrusions ayant
        déclenché l'alarme :
            \[ 	p(I \cap A) = \dfrac{25 + 28 + 23 }{2 \times 365+366} \approx \numprint{0,0693}
            . \]
        \end{questions}

\item On demande la probabilité conditionnelle $p_I(A)$. L'énoncé ne nous la donne pas directement, donc il faut utiliser la définition
d'une probabilité conditionnelle :
    \[ p_I(A) = \dfrac{p(A \cap I)}{p(I)} \approx \dfrac{0,069}{0,077} \approx 0,896. \]


\item On peut maintenant représenter les données sous forme d'arbre :

    \begin{center}
    \includegraphics{299_7_fig_9}
    \end{center}

On demande $p(A)$ qu'on va calculer avec la loi des probabilités totales :
    \begin{align*}
    	A & = (I \cap A) \cup (\bar{I} \cap A) \\
    	p(A) & = \underbrace{p(I \cap A )}_{\text{calculé précédemment}} + p(\bar{I} \cap A) \\
    	p(\bar{I} \cap A) & = p(\bar{I}) \times p_{\bar{I}}( A ) \approx 0,923 \times 0,02 \approx 0,018. \\
    	p(A)& \approx 0,069 + 0,018 \approx 0,087.
    \end{align*}

\item Dans cette question, on sait que l'alarme s'est déclenchée. On demande la probabilité qu'il s'agisse d'une intrusion sachant que l'alarme s'est déclenchée, soit $p_A(I)$. Par définition des probabilités conditionnelles :
    \[ p_A(I) = \dfrac{p(I \cap A) }{p(A)} \approx \dfrac{0,069}{0,087 } \approx 0,793. \]
    Sherlock répondra qu'il y a plus de 3 chances sur 4 qu'il y ait eu intrusion.

\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Tickets de péage}{Lycée Virlogeux, Riom}{2}{30}

\emph{Dans tout cet exercice, on donnera la valeur exacte de chaque résultat. }

Grâce à un système de détecteur, une borne de péage automatique peut délivrer des tickets à deux hauteurs différentes selon le véhicule détecté afin que le conducteur ne soit pas obligé de sortir pour le saisir :
    \begin{itemize}
     \item s'il s'agit d'une voiture, d'une moto ou d'une camionnette, le ticket sort en bas ;
     \item s'il s'agit d'un camion, le ticket sort en haut.
    \end{itemize}
La société d'autoroute a modélisé le fonctionnement défectueux du détecteur de l'une de ces bornes :
    \begin{itemize}
     \item lorsqu'un camion passe, il n'est correctement détecté que deux fois sur trois ;
     \item lorsqu'un autre type de véhicule passe, son conducteur est contraint d'en sortir pour saisir son ticket en haut une fois sur quatre.
    \end{itemize}
On estime qu'à cette borne de péage, 60\,\% des véhicules sont des camions. 

On considère les événements suivants :
    \begin{itemize}
     \item C : \og  Le véhicule qui se présente est un camion\fg  ;
     \item H : \og  Le ticket sort en haut\fg  ;
     \item B : \og  Le ticket sort en bas\fg .
    \end{itemize}
\emph{Notation} : pour tout événement $E$ et tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p(E)$ la probabilité de l'événement $E$ et $p_F(E)$ la probabilité conditionnelle de $E$ sachant $F$.

\begin{questions}
 \item Donner les probabilités : $p(C), p_{\,\bar{C}}(H) $ et $p_{\,\bar{C}}(B)$.

 \item Construire un arbre probabiliste présentant la situation.

 \item Calculer la probabilité que le ticket sorte en haut.

 \item Montrer que la probabilité qu'un conducteur ne soit pas obligé de sortir de son véhicule pour saisir le ticket vaut $0,7$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
 \item
     \begin{methode}
     L'énoncé dit \emph{donner} les probabilités : il ne s'agit pas de les calculer, elles sont dans l'énoncé ou s'en déduisent directement.
     \end{methode}
     
     \vspace*{-1em}
    \[ p(C) = 0,6 \;;\quad p_{\bar{C}}(H) = 0,25\; ; \quad p_{\bar{C}}(B) =0,75.\]

\item \mbox{}\vspace{-1\baselineskip}
    \begin{center}
     \includegraphics{300_7_fig_10}
    \end{center}

\item $p(H) = p(H\cap C) + p(H\cap\bar{C}) = 0,6\times \dfrac{2}{3} + 0,4\times \dfrac{1}{4} = 0,4 + 0,1 = 0,5. $

\item La probabilité cherchée est :
            \[ p(H\cap C) + p(B\cap\bar{C}) = 0,6\times \dfrac{2}{3} + 0,4\times\dfrac{3}{4}= 0,4 + 0,3 = 0,7. \]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Prise d'initiative}{Lycée Sophie Germain, Paris}{2}{25}
Une coopérative d'achat  mène une enquête auprès de ses adhérents et leur fait remplir un questionnaire à propos de leur  équipement en Smartphone.

L'enquête révèle que 80\,\% des adhérents possèdent un Smartphone. Mais aussi que 15\,\% de ceux qui n'en ont pas vont en acheter un dans l'année, alors que 30\,\% de ceux qui sont déjà équipé vont renouveler leur équipement.

On choisit au hasard le questionnaire d'un des adhérents.
\begin{questions}
\item Construire un arbre de probabilités décrivant la situation, en définissant précisément les événements considérés.
\item Quelle est la probabilité de choisir le questionnaire d'un adhérent déjà équipé et qui va renouveler son matériel ?
\item Si au moins 25\,\% des adhérents souhaitent acheter un Smartphone cette année, la coopérative va mettre en place un service spécial d'information pour faciliter le choix de l'équipement. D'après cette enquête, va-t-elle le mettre en place ?
\item Sachant que la personne va acheter un Smartphone dans l'année, quelle est la probabilité que ce soit son premier équipement ? 
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
On note :
\begin{itemize}
\item S l'événement : « l'adhérent a déjà un Smartphone »,
\item A l'événement : « l'adhérent va acheter un Smartphone dans l'année ».
\end{itemize}

On assimile les pourcentages aux probabilités d'obtenir les différents événements si l'on choisit un adhérent au hasard.
\begin{questions}
\item D'après les données de l'énoncé : 

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
\begin{itemize}
\item $P(S)=0,8$ donc $P\big(\bar{S}\big)=0,2$ ;
\item $P_S(A)=0,3$ et $P_{\bar{S}}(A)=0,15$.
\end{itemize}
\vspace*{1cm}
Cela donne l'arbre ci-contre :
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics{301_7_fig_11}
\end{minipage}

\item On cherche : $P(S\cap A)=P(S)\times P_S(A)=0,8\times0,3=0,24$.
\item Il faut calculer $P(A)$.

D'après la formule des probabilités totales :
\[
P(A)=P(A\cap S) + P\big(A\cap\bar{S}\big)=0,24+0,2\times0,15=0,27.
\]
Cela signifie que $P(A)>0,25$. La probabilité qu'un adhérent achète un Smartphone dans l'année est donc supérieure à 25\,\%, la coopérative peut donc mettre en place son service.

\item Il faut ici calculer : $P_A\big(\bar{S}\big)=\dfrac{P(A\cap\bar{S})}{P(A)}=\dfrac{0,03}{0,27}=\dfrac{1}{9}$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Sondage anonyme}{Lycée Jean Moulin, Saint-Amand-Montrond}{3}{20}
Voici une technique pour permettre des réponses anonymes à une question. On propose à chaque personne sondée de faire comme ci-dessous :
    \begin{itemize}
      \item lancez une pièce de monnaie. Si elle tombe sur pile, répondez à la\linebreak question : \og Est-ce que vous fumez plus d'un paquet de cigarette par jour ?\fg .

      \item Si elle tombe sur face, relancez la pièce une deuxième fois, et répondez à la question : \og Êtes-vous tombé sur pile au deuxième lancer ?\fg .
    \end{itemize}
Chacune des personnes sondées répond en cochant la case oui ou la case non au bas de la fiche explicative. On ne sait donc pas à quelle question elle a répondu oui, ou non. Il y a donc plus de chance que les personnes répondent honnêtement.

\begin{questions}
  \item Modéliser la situation par un arbre en notant $ r $ la proportion (inconnue) de gros fumeurs parmi les personnes interrogées.

  \item Sur un grand nombre de personnes, on a obtenu 45\,\% de oui. À combien peut-on estimer la proportion de personnes fumant plus d'un paquet de cigarettes par jour ?

  \item Inversement, quelle devrait être la proportion de oui pour que la proportion de gros fumeurs (plus d'un paquet par jour) soit inférieure à 10\,\% ?

\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item O correspond à l'événement \og  la personne répond oui\fg , F (respectivement P) à l'événement \og  la personne a obtenu face (respectivement pile) au premier lancer\fg . Comme il y a autant de chances d'obtenir pile que face, on obtient l'arbre  de la page ci-contre.
        \begin{center}
        \includegraphics{301_7_fig_12}
        \end{center}

  \item$ p(\mathrm{O}) = 0,45 $. Or, $ p(\mathrm{O}) = p(\mathrm{F\cap O})+ p(\mathrm{P\cap O}) = 0,5\times 0,5 + 0,5 r$.

On a donc $ 0,45 - 0,25 = 0,5 r $, d'où $ 0,5 r = 0,2 $ et $ r = 0,4 $. Il y a donc environ 40\,\% de gros fumeurs.

  \item $ p(\mathrm{O}) $ est maintenant inconnue. On cherche $ p(\mathrm{O}) $ telle que:
        \[ r = \dfrac{P(O)-0,25}{0,5} \leqslant 0,1. \]%
        On trouve alors $P(O)\leqslant0,3$.
        
Il faudrait donc obtenir \textit{au plus} 30\,\% de oui pour avoir \textit{au plus} 10\,\% de gros fumeurs.

\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Probabilités et suites}{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand}{3}{45}
Pierre et Jean-Philippe jouent souvent au ping-pong ensemble, et lorsqu'ils jouent, ils font de nombreuses parties d'affilée. Lors de la première partie, ils ont autant de chance de gagner l'un que l'autre.

Ils ont remarqué que, si Pierre gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est $ 0,6 $, alors que s'il perd une partie, la probabilité qu'il perde la suivante est $ 0,7 $.

On note $ G_n $ l'événement \og  Pierre gagne la $ n $-ième partie \fg .

\begin{questions}
  \item
        \begin{questions}
            \item Donner les valeurs de $ p(G_1) $ et de $ p(\bar{G_1}) $.

            \item Calculer $ p(G_2) $ et $ p(\bar{G}_2) $.
        \end{questions}

  \item $ (u_n) $ et $ (v_n) $ sont les deux suites définies sur $ \N^* $ par :
        \[ u_n = p(G_n)\enspace \text{ et }\enspace v_n = p(\bar{G}_n). \]%
        \begin{questions}
            \item Construire un arbre pondéré pour la $ n $-ième et la $(n + 1)$-ième partie.

            \item En déduire que :
                \begin{align*}
                \begin{cases}
                   u_{n+1} = 0,6u_n + 0,3v_n, \\
                   v_{n+1} = 0,4u_n + 0,7v_n.
                   \end{cases}
                \end{align*}

            \item \label{chap7ex17_2c} Montrer que la suite $ (u_n + v_n) $ est constante. Donner la valeur de $ u_n + v_n $ pour tout $ n $.

            \item \label{chap7ex17_2d} Démontrer que la suite $ (4u_n - 3v_n) $ est géométrique. 
            
            Exprimer $ 4u_n - 3v_n $ en fonction de $ n $.
        \end{questions}

  \item
        \begin{questions}
            \item En utilisant les résultats des questions \ref{chap7ex17_2c} et \ref{chap7ex17_2d}, exprimer $ u_n $ et $ v_n $ en fonction de $ n $.

            \item Si les deux amis font un très grand nombre de parties, qui a le plus de chances de gagner la dernière ?
        \end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item
        \begin{questions}
            \item $ p(G_1) = 0,5 $ et $ p(\bar{G}_1) = 0,5 $.
%\newpage
  \item $\begin{aligned}[t]
          p(G_2) & = p(G_1) p_{G_1}(G_2) + p(\bar{G}_1) p_{\bar{G}_1}(G_2) \\
                 & = 0,5 \times 0,6 + 0,5 \times 0,3 = 0,45.\end{aligned}$
                             
        $\begin{aligned}[t]
         p(\bar{G}_2) & = 1-p(G_2) \\
                       & = 0,55.
                    \end{aligned}$
        \end{questions}

  \item
        \begin{questions}
          \item \mbox{}\vspace{\dimexpr -\baselineskip-\topsep\relax}
                \begin{center}
                    \includegraphics{302_7_fig_13}
                \end{center}

            \item $
                \begin{aligned}[t]
                    u_{n+1} & = p(G_{n + 1}) = 0,6 u_n + 0,3v_n, \\
                    v_{n+1} & = p(\overline{G_{n + 1}}) = 0,4 u_n + 0,7 v_n.
                \end{aligned}$

            \item Pour tout $ n $ de $ \N^* $,
                     \[ u_{n+1} + v_{n+1} = 0,6 u_n + 0,3v_n + 0,4 u_n + 0,7 v_n = u_n + v_n. \]%

                Donc la suite $ (u_n + v_n) $ est constante. On sait que $ u_1 + v_1 = 1 $, donc pour tout $ n $ de $ \N^* $, $ u_n + v_n = 1 $.
            \begin{Remarque}ceci est logique : à chaque étape, il n'y a que deux événements incompatibles : Pierre gagne ou perd ! Donc la somme des probabilités de ces événements doit être égale à $ 1 $.
            \end{Remarque}

            \item $
                \begin{aligned}[t]
                   4u_{n+1}-3v_{n+1} & = 4(0,6u_n + 0,3 v_n) - 3(0,4u_n+ 0,7v_n) \\
                   & = 1,2 u_n -0,9 v_n = 0,3(4u_n - 3v_n).
                \end{aligned}$

Donc la suite $ (4u_n - 3v_n) $ est géométrique de raison $ 0,3 $. Son premier terme est $ 4u_1 - 3v_1 = 0,5 $.
Donc $ 4u_n - 3v_n = 0,5\times 0,3^{n-1} $.
        \end{questions}

  \item
        \begin{questions}
            \item On a le système :
            
            \begin{align*}
                        & \begin{cases}
                             u_n + v_n = 1,\\
                            4u_n -3v_n = 0,5\times 0,3^{n-1}
                        \end{cases}\\
                  \iff &
                        \begin{cases}
                             v_n = 1 -u_n ,\\
                            4u_n -3(1-u_n) = 0,5\times 0,3^{n-1}
                        \end{cases}
                        \\ 
                  \iff
                        & \begin{cases}
                             v_n = 1 -u_n ,\\
                            7u_n = 3 + 0,5\times 0,3^{n-1}
                        \end{cases}\\
                  \iff &
                        \begin{cases}
                             u_n = \dfrac{3}{7} + \dfrac{0,5}{7}\times 0,3^{n-1},\\[12pt]
                            v_n = 1 - u_n = \dfrac{4}{7}- \dfrac{0,5}{7}\times 0,3^{n-1}
                        \end{cases}
            \end{align*}

            \item Comme $ 0 < 0,3 < 1 $, on sait que $\dlim_{n\to +\infty} 0,3^{n-1} = 0$, donc
                 \[ \lim_{n\to +\infty} u_n = \dfrac{3}{7} \text{\quad et\enspace} \lim_{n\to +\infty} v_n = \dfrac{4}{7}. \]%
            Par conséquent au bout d'un grand nombre de parties, Jean-Philippe a plus de chances de gagner que Pierre.

        \end{questions}

\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Indépendance}

%%% 2019

\begin{exo}{Deux différents dés}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{1}{10} 
Simon lance un dé à six faces (numérotées de 1 à 6) et un dé à quatre faces (numérotées de 1 à 4) non pipés. Soit $A$ l'événement : \og le dé à six faces tombe sur un nombre pair \fg{} et soit $B$ l'événement : \og le dé à quatre faces tombe sur un nombre impair \fg.
\begin{questions}
\item Quelle est la probabilité, $p(A)$ que le dé à six faces tombe sur un nombre pair ?
\item Quelle est la probabilité, $p(B)$ que le dé à quatre faces tombe sur un nombre impair ?
\item Quelle est la probabilité, $p(A \cap B)$ que le dé à six faces tombe sur un nombre pair et que le dé à quatre faces tombe sur un nombre impair ?
\item Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il y a 3 nombres pairs sur 6 donc $p(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
\item Il y a 2 nombres impairs sur 4, donc $p(B)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.
\item Notons $(n_1~;n_2)$ le couple de nombres obtenus, $n_1$ étant le nombre issu du dé à 6 faces et $n_2$, celui du dé à 4 faces.

\[
A \cap B = \{ (2~;1), (2~;3), (4~;1), (4~;3), (6~;1), (6~;3)\}.
\]

De plus, il y a :
\[
6\text{ (issues pour le dé cubique)}\times4\text{ (possibilités pour le dé à 4 faces)}=24\] couples possibles.

Ainsi, 
\[ 
p(A\cap B) = \dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}.
\]
\item On constate que $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ donc les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Lancers successifs de dés}{Lycée  Marie Curie, Sceaux}{1}{15}%

On lance 3 fois de suite un dé à 6 faces (numérotées de 1 à 6) non pipé (c'est-à-dire non truqué). Soient $x$ , $y$ et $z$ les
chiffres obtenus lors des trois lancers.
\par
On considère deux événements :
\begin{itemize}
\item $A=$ \og{}$x\times y \times z=12$\fg{}

\item $B=$ \og{}$x + y=4$\fg{}.
\end{itemize}
\par
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
\end{exo}

\begin{corrige}
L'univers $\Omega$ est l'ensemble de tous les triplets $(a,b,c)$ où $a$, $b$, et $c$ sont trois entiers compris entre 1 et 6. Il existe ainsi $216$ résultats possibles.\par
Le dé étant par hypothèse non pipé, on est en situation d'équiprobabilité.\par
La probabilité d'un événement élémentaire $(a,b,c)$ est : 
\[
P(\{(a,b,c)\})=\dfrac{1}{216}.
\]
L'événement $A$ est la réunion des événements élémentaires :
\[
\begin{aligned}
(1,2,6) &\quad ; \quad (1,3,4) \quad ; \quad (1,4,3) \quad ; \quad (1,6,2)
\quad ; \quad (2,1,6) \quad ; \\
(2,2,3) &\quad ; \quad (2,3,2) \quad ; \quad (2,6,1) \quad ; \quad (3,1,4)
\quad ; \quad (3,2,2) \quad ; \\
(3,4,1) &\quad ; \quad (4,1,3) \quad ; \quad (4,3,1) \quad ; \quad (6,1,2)
\quad ; \quad (6,2,1).
\end{aligned}
\]
Donc :
\[
P(A)=\dfrac{15}{216}=\dfrac{5}{72}.
\]
L'événement $B$ est la réunion des événements élémentaires :
\[
(1,3,z) \quad ; \quad (2,2,z) \quad  ; \quad (3,1,z) \quad \text{où}
\quad  z \quad \text{décrit} \quad \{1,\dots,6\}.
\]
Donc :
\[
P(B)=\dfrac{3\times6}{216}=\dfrac{1}{12}.
\]
Or, l'événement $A\cap B$ est la réunion des événements élémentaires :
$(1,3,4)$, $(2,2,3)$, $(3,1,4)$.\\
Donc : 
\[
P(A\cap B)=\dfrac{3}{216}=\dfrac{1}{72}
\]
et
\[
P(A)P(B)=\dfrac{5}{72}\times\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{864}.
\]
Ainsi,
\[
P(A\cap B)\neq P(A)P(B).
\]
Donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
%
\begin{methode}
Pour savoir si deux événements sont indépendants, on calcule la probabilité de leur intersection et on la compare au produit de leurs probabilités.\par
L'indépendance est une notion délicate et l'intuition est, en ce domaine, souvent mauvaise conseillère !
\end{methode}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Généralisation d'un résultat}{Lycée Camille Jullian, Bordeaux}{3}{20} 
La famille Potter comporte 2 enfants. On considère les événements:
\begin{itemize}
\item $A$ :  \og il y a deux enfants de sexes différents chez les Potter \fg
\item $B$ : \og la famille Potter a au plus une fille \fg.
\end{itemize}
\begin{questions}
\item $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? 
\item Même question si la famille Potter comporte 3 enfants.
\item Généraliser le résultat à $n$ enfants.
\end{questions} 
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Avec 2 enfants, l'univers des possibles est :
\[
\Omega = \{ (G,G) ; (G,F) ; (F,G) ; (F,F) \}
\]
L'événement $(F,G)$ correspond ici au fait que l'aînée est une fille et le cadet, un garçon.

\Par

Alors,
\begin{itemize}
\item $p(A)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$;
\item $p(B)=\dfrac{3}{4}$ (\og au plus une fille \fg{}  signifie \og aucune fille ou une fille \fg;
\item $p(A\cap B)=\dfrac{2}{4}$ (en effet, $A\cap B$ est l'événement \og il y a deux enfants de sexes différents, dont au plus une fille \fg, ce qui correspond aux événements $(F,G)$ et $(G,F)$.
\end{itemize}
On s'aperçoit alors que $p(A\cap B)\neq p(A)\times p(B)$ donc les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

\item Dans cette question, il y a 3 enfants. L'univers des possibles est alors:
\begin{align*}
\Omega' & =\{(F,F,F);(F,F,G);(F,G,F);(F,G,G);(G,F,F);\\
& \hspace*{15em}(G,F,G);(G,G,F);(G,G,G)\}.
\end{align*}

\begin{itemize}
\item $p(A)=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$;
\item $p(B)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$;
\item $p(A\cap B)=\dfrac{3}{8}=p(A)\times p(B)$.
\end{itemize}

Donc $A$ et $B$ sont cette fois-ci indépendants.


\item Avec $n$ enfants, il y a en tout $2^n$ $n$-uplets possibles ($n$ enfants, 2 possibilités par enfant).
\begin{itemize}
\item $p(A)=1-\dfrac{2}{2^n}=1-\dfrac{1}{2^{n-1}}$. En effet, tous les $n$-uplets conviennent sauf ceux composés uniquement de garçons et ceux composés uniquement de filles.

\item $p(B)=\dfrac{n+1}{2^n}$. En effet, il y a un $n$-uplet avec 0 fille (celui composé uniquement de garçons) et $n$ avec uniquement une fille;

\item $p(A\cap B)=\dfrac{n}{2^n}$. En effet, on ne s'intéresse ici qu'aux $n$-uplets où il y a au moins un garçon et au plus une fille, donc les $n$-uplets du type $(F,G,G,\ldots,G)$ ou $(G,G,\ldots,G,F,G,G,\ldots)$ : ces $n$-uplets sont formés en mettant \og F \fg{} n'importe où parmi les $n$ positions possibles; il y en a donc $n$.
\end{itemize}

Or, $\begin{aligned}[t]
p(A)\times p(B) & = \left(1-\dfrac{2}{2^n}\right)\times\dfrac{n+1}{2^n}\\
& = \dfrac{n+1}{2^n} - \dfrac{2}{2^n}\times\dfrac{n+1}{2^n}\\
& = \dfrac{2^n(n+1)-2(n+1)}{2^n \times 2^n}\\
& = \dfrac{2(n+1)(2^{n-1}-1)}{2^{2n}}.
\end{aligned}$

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
 & p(A)\times p(B) = p(A\cap B)\\
  \iff &\dfrac{2(n+1)(2^{n-1}-1)}{2^{2n}}=\dfrac{n}{2^n}\\
 \iff &2(n+1)(2^{n-1}-1)=n\times2^n\\
 \iff &(n+1)(2^{n-1}-1)=n\times2^{n-1}\\
 \iff &n\times2^{n-1} + 2^{n-1} - n-1 = n\times2^{n-1}\\
 \iff &2^{n-1}=n+1.
\end{aligned}$

Un tableau des valeurs de $2^{n-1}$ et $n+1$ (sur la calculatrice par exemple) montre que $n+1$ croît bien moins vite que $2^{n-1}$, ce qui signifie que $n+1\neq2^{n-1}$ pour $n\geqslant4$.

Ainsi, il n'existe qu'une valeur de $n$ pour laquelle $2^{n-1}=n+1$, donc pour laquelle $p(A)\times p(B)=p(A\cap B)$, donc pour laquelle $A$ et $B$ sont indépendants.

\begin{Remarque}
on dit que $n+1$ a une croissance \textit{linéaire} alors que $2^{n-1}$ a une croissance \textit{exponentielle}.
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Succession de deux épreuves indépendantes}

%%% 2024

\begin{exo}{Détermination d'une proportion}{Lycée Jules Ferry, Paris}{1}{10}
Une entreprise reçoit des matières premières de deux fournisseurs A et B. On note $p$ la proportion de matières premières livrées par le fournisseur A.

Comment choisir $p$ pour que le fournisseur A livre les matières premières deux semaines de suite avec une probabilité supérieure à 0,8 ?
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{\baselineskip}
L'arbre correspondant à la situation est le suivant:
\begin{center}
\includegraphics{306_proba_succession}
\end{center}
On cherche alors $p$ tel que:
\[
p \times p \geqslant 0,8 \iff p \geqslant \sqrt{0,8} \iff p \geqslant 0,895.
\]
Ainsi, si le fournisseur A livre au moins 89,5\% des matières premières, il fournira au moins 80\% des matières premières deux semaines consécutives.
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
