\chapter{Variables aléatoires} 

\begin{exointro}{Lycée Mansart, Saint-Cyr-l'École}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{variables aléatoires}{https://media.prepamath.fr/IL1Mch10exointro}

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\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch10exointro}}}
\vspace*{-10pt}

Dans une tombola, 100 tickets sont en jeu, répartis comme 
suit :
\begin{itemize}
\item un ticket permet de gagner 100 euros ;
\item neuf tickets permettent de gagner 10 euros ;
\item les autres tickets sont perdants.
\end{itemize}

Pour pouvoir jouer, il faut miser 3 euros.

\Par

Un joueur mise 3 euros et tire un ticket au hasard. On appelle $X$ son gain (différence entre ce qu'il gagne et la mise).

\Par

\begin{questions}
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer l'espérance de $X$. Le jeu est-il à l'avantage des 
joueurs ou des organisateurs de la tombola ? Justifier la réponse.
\end{questions}
\end{exointro}

\section{Définition et loi de probabilité}

\begin{defin}[variable aléatoire réelle discrète]
Soit $\Omega=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ un univers fini constitué de $n$ événements distincts. On appelle \textit{variable aléatoire réelle discrète} définie sur $\Omega$ toute application $X\;:\;\Omega\rightarrow\R$ telle que:
\begin{itemize}
\item $X(e_i)=x_i$ pour $1\leqslant i \leqslant n$;
\item l'ensemble $X(\Omega)=\{x_1~;~x_2~;~\ldots~;~x_n\}$ est fini.
\end{itemize}
\end{defin}

On notera $(X=x_i)$ l'événement \og $X$ prend la valeur $x_i$ \fg.

\newpage


\begin{Exemple}
lors d'un jeu, on peut ne rien gagner, mais on peut aussi gagner \numprint{1000}~\euro ou \numprint{50000} \euro. Si $X$ est la variable aléatoire qui, à chaque issue du jeu, associe la somme que l'on gagne, alors elle peut prendre les 3 valeurs : 0, \numprint{1000}~\euro et \numprint{50000}~\euro. On notera alors:
\[
X(\Omega) = \{0~;\numprint{1000}~;\numprint{50000}\}. 
\]
\end{Exemple}

\begin{defin}[loi de probabilité]
On considère une variable aléatoire $X$ sur un univers $\Omega$ telle que:
\begin{itemize}
\item $X(\Omega)=\{x_1~;x_2~;\ldots~;x_n\}$;
\item pour tout $1\leqslant i\leqslant n$, $p(X=x_i)=p_i$.
\end{itemize}
\Par
La \textit{loi de probabilité} de $X$ est la donnée de toutes les valeurs $p_i$, pour $1\leqslant i\leqslant n$.
\end{defin}

On présente habituellement cette loi sous forme d'un tableau :

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X$ & $x_1$&$x_2$&$\cdots$&$x_n$\\
\hline
$p(X=x_i)$&$p_1$&$p_2$&$\cdots$&$p_n$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{Remarque}
on a toujours : \[p_1+p_2+\cdots+p_n=1.\]
\end{Remarque}

\begin{Exemple}
on lance un dé parfaitement équilibré ; on gagne $5$ euros si l'on obtient un nombre pair, et l'on perd $3$ euros sinon. On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lancer du dé, associe le gain algébrique, c'est-à-dire un nombre positif s'il s'agit d'un gain ou négatif dans
le cas de pertes, du joueur.

\Par

Établir la loi de probabilité de $X$, c'est calculer $p(X=5)$ et
$p(X=-3)$.

\Par

Or,

\[
p(X=5)=p(A)
\]

\Par

où $A$ est l'événement : « obtenir 2, 4 ou 6 » d'où:

\[
p(X=5)=\frac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
\]

et :

\[
p(X=-3)=p(B)
\]

\Par

où $B$ est l'événement : « obtenir 1, 3 ou 5 » d'où:

\[
p(X=-3)=\frac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
\]
\end{Exemple}

\newpage

\section{Espérance, variance et écart-type}

\subsection{Espérance d'une variable aléatoire}

\begin{defin}
Soit $X$ une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_1,x_2,\ldots,x_n$. 

Pour tout $1\leqslant i\leqslant n$, on pose $p_i=P(X=x_i)$.

L'\textit{espérance} de $X$ est le réel noté $E(X)$ défini par :
\[E(X)=p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n.\]
\end{defin}


\begin{Exemple}\label{exemple-va}
on considère la variable aléatoire $X$ définie par la loi de probabilité suivante:
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X$ & $-1$&$-2$&$3$&$4$\\
\hline
$p(X=x_i)$&$0,3$&$0,1$&$0,5$&$0,1$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Alors,
\begin{align*}
E(X) & = (-1)\times0,3 + (-2)\times0,1 + 3\times0,5+ 4\times0,1\\
& = 1,4.
\end{align*}
\end{Exemple}

\begin{aretenir}
L'espérance mathématique représente la valeur moyenne de $X$ si l'expérience est répétée un grand nombre de fois.
\end{aretenir}

\begin{prop}
Soit $X$ une variable aléatoire, et soient $a$ et $b$ deux nombres réels. Alors,
\[
E(aX+b)=aE(x)+b.
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
soit $X$ la variable aléatoire telle que $X(\Omega)=\{3~;5~;7\}$ et $E(X)=6$.

On pose alors $Y=2X-5$. Cela signifie que $y_i=2x_i-5$ donc:
\[
Y(\Omega)=\{2\times3-5~;2\times5-5~;2\times7-5\}\text{ soit } Y(\Omega)=\{1~;5~;9\}.
\]
De plus, $E(Y)=E(2X-5)=2E(X)-5=2\times6-5=12-5=7$.
\end{Exemple}

\begin{defin}[jeu équitable]
si $X$ est une variable aléatoire prenant pour valeurs les gains possibles d'un jeu, on dira que le jeu est \textit{équitable} si $E(X)=0$.
\end{defin}

\newpage

\subsection{Variance}

\begin{defin}
Soit $X$ une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_1,x_2,\ldots,x_n$. 

Pour tout $1\leqslant i\leqslant n$, on pose $p_i=P(X=x_i)$.

On appelle \textit{variance} de $X$ l'espérance de la variable aléatoire $\big(X-E(X)\big)^2$.
\end{defin}

On la note $V(X)$ . On a donc :
\[
V(X)=E\big((X-E(X))^2\big).
\]

\begin{Exemple}
on considère la variable aléatoire $X$ définie par la loi de probabilité suivante:

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X$ & $-1$&$-2$&$3$&$4$\\
\hline
$p(X=x_i)$&$0,3$&$0,1$&$0,5$&$0,1$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

Alors, $E(X)=1,4$ (voir exemple \ref{exemple-va}). La loi de probabilité de $\big(X-E(X)\big)^2$ est:

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Valeurs de $\big(X-E(X)\big)^2$ & $5,76$ & $11,56$ & $2,56$ & $6,76$\\
\hline
$p(X=x_i)$&$0,3$&$0,1$&$0,5$&$0,1$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

Ainsi,
\begin{align*}
V(X) & = E\big[(X-E(X))^2 \big]\\
& = 5,76\times0,3 + 11,56\times0,1 + 2,56\times0,5 + 6,76\times0,1\\
& = 4,84.
\end{align*}
\end{Exemple}

\begin{prop}
Soit $X$ une variable aléatoire, et soient $a$ et $b$ deux nombres réels. Alors,
\[
V(aX+b)=a^2V(X).
\]
\end{prop}

\begin{prop}[formule de König-Huygens] % VIDEO démo.
Soit $X$ une variable aléatoire. Alors,
\[
V(X)=E\big(X^2\big) - \big[E(X)\big]^2.
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X$ & $-1$&$-2$&$3$&$4$\\
\hline
Valeurs de $X^2$ & $1$&$4$&$9$&$16$\\
\hline
$p(X=x_i)$&$0,3$&$0,1$&$0,5$&$0,1$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{align*}
V(X)&=(1\times0,3+4\times0,1+9\times0,5+16\times0,1)-1,4^2\\
& = 4,84.
\end{align*}
\end{Exemple}


\newpage

\enlargethispage*{2em}
\subsection{\'Ecart-type}

\begin{defin}
Soit $X$ une variable aléatoire. On appelle \textit{écart-type} de $X$ le nombre :
\[
\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
\]
\end{defin}

\begin{prop}
Soit $X$ une variable aléatoire, et soient $a$ et $b$ deux nombres réels. Alors,
\[
\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X).
\]
\end{prop}


\begin{solintro}
\textbf{\textit{\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.}}

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\vspace*{-10pt}

\begin{questions}
\item La variable aléatoire $X$ peut prendre trois valeurs : 97 (dans le cas où le joueur achète le ticket gagnant 100 euros dont il convient de déduire la mise de 3 euros), 7 (gain de 10 euros moins la mise de 3 euros) et enfin $-3$ (cas d'un billet perdant).
\par
On suppose que tous les billets ont la même probabilité d'être 
choisis par le joueur. On est donc en situation d'équiprobabilité.
\begin{itemize}
\item Il existe un seul billet permettant de gagner 100 euros donc :
\[p(X=97) = \dfrac{1}{100}\,.\]
\item Il existe 9 billets permettant de gagner 10 euros donc :
\[p(X=7) = \dfrac{9}{100}\,.\]
\item Enfin, il existe 90 billets perdants donc :
\[p(X=-3) = \dfrac{90}{100}\,.\]
\end{itemize}
Finalement, on a:
\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*3{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X$ & $97$ & $7$ & $-3$\\
\hline
$p(X=x_i)$ & $0,01$ & $0,09$ & $0,9$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On a :
\[
\begin{aligned}
E(X) &= 97 \times 0{,}01 + 7 \times 0{,}09 + (-3) \times 0{,}9 \\
         & = - 1,1.
\end{aligned}
\]
Comme l'espérance mathématique n'est pas nulle, le jeu n'est pas équitable. Si le joueur jouait un très grand nombre de fois, il pourrait espérer un « gain » moyen de $-1{,}1$ euro. Le jeu est donc défavorable au joueur et favorable aux organisateurs de la tombola (ce qui était prévisible\ldots)
\end{questions}
\vspace*{-1em}
\end{solintro}