\chapter{Décroissance radioactive}
\label{chaprad}
\section{Introduction}
\begin{exointro}{Lycée Grand Champ, Versailles}
On considère l'isotope $^3_1$H
de l'hydrogène, encore appelé tritium.
\begin{questions}
\itemÉcrire l'équation de sa désintégration $\beta^-$.
\item Sachant que la demi-vie du tritium est de $12{,}3$~ans,
calculer l'activité d'un kilogramme d'eau radioactive, où chaque molécule
d'eau possède un atome d'hydrogène \og normal\fg{} $^1_1$H et un atome d'hydrogène
\og lourd\fg{} $^3_1$H.
\end{questions}

\textit{Donnée :}

Nombre d'Avogadro : $N_A\simeq 6{,}02\cdot 10^{23}$~mol$^{-1}$.
%
\end{exointro}

Ce chapitre présente les différents types de
\index{Radioactivite@Radioactivité}radioactivité que l'on peut
rencontrer. Il présente ensuite les formules
d'évolution temporelle du nombre de noyaux radioactifs dans un
échantillon, et définit certaines quantités pertinentes pour l'étude
de la désintégration radioactive d'un grand nombre de noyaux.


\section{Isotopes stables et isotopes radioactifs}

Nous rappelons que l'on appelle \index{Isotope}\emph{isotopes} deux noyaux du même élément
qui diffèrent par leur \index{Nombre de masse}nombre de masse, c'est-à-dire par le nombre de neutrons présents dans leur noyau.


Certains isotopes d'un élément sont \index{Isotope stable}stables : un
noyau de cet isotope, isolé, reste tel quel pour \og toujours\fg{}. En
revanche, certains \index{Isotope instable}isotopes sont instables :
spontanément, isolés, ils ont une probabilité non nulle, mesurable, de
donner lieu à une transformation nucléaire produisant un ou plusieurs autre(s)
noyau(s) sur une certaine échelle de temps.

Cette transformation s'accompagne de l'éjection de particules qui
peuvent être des noyaux d'hélium (\index{Particule alpha}particules
$\alpha$), des électrons (\index{Particule beta moins}particules
$\beta^-$), des positons (\index{Particule beta plus}particules
$\beta^+$) ou des \index{Photon gamma}photons $\gamma$ (photons
extrêmement énergétiques, d'énergie plus élevée que les rayons X).

\begin{defin}[isotope radioactif]
On dit qu'un \index{Isotope radioactif}isotope est \textit{radioactif}
  lorsque, isolé, il a une probabilité non nulle de donner lieu à une
  transformation nucléaire sur un intervalle de temps donné.
\end{defin}
\enlargethispage*{5em}

Si l'on dispose les noyaux sur un diagramme où l'on porte $N$, le
nombre de \index{Neutron}neutrons, en abscisse, et $Z$, le nombre de
\index{Proton}protons, en ordonnée, nous obtenons le \index{Diagramme N-Z}diagramme représenté ci-dessous, appelé \og diagramme
N-Z\fg. Sur ce diagramme, les noyaux stables (non radioactifs) sont
représentés en noir, tandis que les noyaux instables
(radioactifs) sont représentés d'une autre couleur.  Sur une même
ligne, on a différents isotopes d'un même élément.  La droite verte  est la droite d'équation $N=Z$. Nous voyons que les noyaux
stables, tant que leur nombre de nucléons n'est pas trop grand, ont
tendance à se regrouper au voisinage de cette droite.  Toutefois, à
partir de $Z \simeq 20$ (ou $N\simeq 20$), la région des noyaux
stables dévie vers le bas: les noyaux stables ont alors plus de
neutrons que de protons.

\Par

\includegraphics{082_NZ-tout}

\newpage

La figure ci-après montre la région du diagramme N-Z représentant les
noyaux les plus légers ($N<21$, $Z<21$).  L'élément se trouvant dans
la case en bas à gauche ($N=0$, $Z=1$) est l'hydrogène~1
($^1_1\mathrm{H}$). Il est, de loin, le noyau le plus abondant dans
l'Univers. Bien que le nombre de cases correspondant à des noyaux
instables soit nettement plus grand que celui correspondant aux noyaux
stables, ces derniers sont largement plus abondants dans l'Univers, du
fait de leur stabilité.
\begin{center}
  \includegraphics{083_NZ-zoom}
\end{center}

On remarque également sur cette figure que l'on a, en général, plus de
noyaux stables quand $N$ est pair que quand $N$ est impair.

\vspace{-1em}
\section{Lois de conservation}

Au cours d'une désintégration radioactive, la somme des nombres de
masse se conserve : la somme des nombres de masse des produits est
égale à la somme des nombres de masse des réactifs.

De la même manière, la charge électrique totale se conserve : la somme
des numéros atomiques des produits est égale à la somme des numéros
atomiques de réactifs.

Ces deux lois portent le nom de lois de Soddy.
\enlargethispage*{3em}

\begin{aretenir}
  \index{Loi de Soddy}Au cours d'une transformation nucléaire,
  le nombre de masse total et la charge électrique totale
  se conservent.
\end{aretenir}

Sachant que les produits de certaines désintégrations peuvent être
l'électron ou le positon (particule différente d'un proton, identique à l'électron mais de
charge opposée), il est important de bien savoir quel nombre de masse
on doit leur attribuer.

Puisque le nombre de masse $A$ est celui des nucléons (protons et
neutrons), ce nombre vaut zéro tant pour l'électron que pour le
positon.

Les symboles de l'électron et du positon à utiliser dans l'écriture
des réaction nucléaires sont donc respectivement :
$^{\phantom{-}0}_{-1}$e$^-$ et ~$^0_1$e$^+$, puisque l'on place le
nombre de masse en exposant et la charge électrique en indice
(ceci est également vrai pour les noyaux, puisque le numéro atomique
est alors égal à leur charge, exprimée en charge élémentaire).

\section{Les principales désintégrations radioactives}
\begin{questions}
\item On distingue la radioactivité dite \og alpha $\alpha$\fg, au cours de laquelle
  un noyau $^A_Z$X se désintègre spontanément en émettant un noyau
  d'hélium $^4_2$He, pour donner un noyau plus léger. L'écriture
  générique de la désintégration $\alpha$ est :

  \[^A_Z{\rm X}\rightarrow ^{A-4}_{Z-2}{\rm Y}+^4_2{\rm He}\]
 
  On voit bien que l'on change d'élément, puisque le numéro atomique
  du produit ($Z-2$) est différent de celui du noyau initial
  ($Z$). C'est la raison pour laquelle on utilise le symbole~Y au lieu
  du symbole~X initial (pour montrer que l'élément a changé).
  
  \begin{Exemple}
    l'uranium~238 ($^{238}_{\phantom{1}92}$U) peut subir une
    désintégration $\alpha$ en thorium~234 :

    \[^{238}_{\phantom{2}92}{\rm U}\rightarrow ^{234}_{\phantom{2}90}{\rm Th}
      +^4_2{\rm He}\]
  \end{Exemple}
\item La radioactivité dite \og beta moins $\beta^-$\fg se solde par
  l'éjection par le noyau d'un électron, ainsi que d'un antineutrino
  (particule sans masse et sans charge électrique, qui vient assurer
  une autre loi de conservation qui n'est pas au programme). Son écriture générique est :

  \[^A_Z{\rm X}\rightarrow ^{A}_{Z+1}{\rm Y}+^{\phantom{-}0}_{-1}{\rm e}^-
    (+\bar\nu)\]

  où $\bar\nu$ est le symbole de l'antineutrino.
   
\item La radioactivité dite \og beta plus $\beta^+$ \fg se solde par l'éjection
  par le noyau d'un positon, ainsi que d'un neutrino (là-encore
  particule sans masse et sans charge électrique, qui vient assurer
  cette autre loi de conservation qui n'est pas au programme). Son écriture générique est :

  \[^A_Z{\rm X}\rightarrow ^{A}_{Z-1}{\rm Y}+^{0}_{1}{\rm e}^+
    (+\nu)\]

  où $\nu$ est le symbole du neutrino.\label{pbetaplus} En toute
  rigueur, on devrait écrire les antineutrinos ou neutrinos dans les
  désintégrations $\beta^-$ et $\beta^+$, mais souvent on ne les
  indique pas.
 
  
\item Enfin, il existe un quatrième type de désintégration
  radioactive, qui n'est pas à proprement parler une désintégration,
  mais plutôt une désexcitation : un noyau peut se trouver dans un
  état excité (d'énergie supérieure à celle de son niveau
  fondamental), et il émet un photon en se désexcitant. Le principe
  est strictement analogue à celui de la désexcitation d'un atome,
  mais les énergies mises en jeu sont considérables, et les photons
  par conséquent beaucoup plus énergétiques. Ce sont toujours des
  photons~$\gamma$. Notons que puisque les photons n'ont ni masse ni
  charge, l'identité du noyau est inchangée (il garde mêmes nombre de
  masse et numéro atomique). C'est pourquoi le terme de désintégration
  est peu adapté à ce mécanisme. Il obéit toutefois, à l'instar des
  autres processus, aux lois quantitatives de la radioactivité qui
  sont l'objet de la prochaine section. Formellement on peut
  représenter ce type de transformation par l'écriture:
  \[\rm _Z^AX^*\rightarrow  {_Z^AX}+\gamma,\]
  où l'astérisque indique que le noyau est dans un état excité.
  \begin{Remarque}
    la plupart du temps, les désintégrations $\beta^+$ ou $\beta^-$
    donnent lieu à un noyau dans un état excité, qui se désexcite par
    émission d'un photon gamma. Dans la pratique, ces désintégrations
    s'accompagnent donc fréquemment de l'émission d'un photon gamma.
  \end{Remarque}
\end{questions}



\section{Loi de décroissance radioactive}

\index{Loi de décroissance radioactive}La probabilité qu'a un noyau
radioactif donné de se désintégrer sur un intervalle de temps
$\Delta t$ est indépendant du temps. Cela peut surprendre {\em a
  priori}. Imaginons qu'un noyau a une probabilité de $1$~\% de se
désintégrer d'ici à une semaine. Cela ne veut pas dire qu'au bout de
100~semaines il se sera certainement désintégré. Imaginons qu'au bout
de $10$~ans, notre noyau ne s'est toujours pas désintégré (cela
représente $520$~semaines). À ce moment-là, la probabilité qu'il se
désintègre d'ici à une semaine {\em n'a pas changé} : c'est toujours
$1$~\%. On peut faire l'analogie avec le lancer d'un dé: la
probabilité qu'un lancer de dé non truqué nous donne le numéro 6 est
toujours de un sixième, même si auparavant cent lancers successifs
n'ont pas donné le numéro 6.

Cette simple constatation a des conséquences importantes pour la mise
en \oe uvre de relations mathématiques servant à décrire la
décroissance radioactive d'un élément.

Appelons $N(t)$ le nombre de noyaux radioactifs dans un échantillon à
un instant~$t$ donné. On appelle $p$ la probabilité que chaque noyau
se désintègre sur un intervalle de temps de une seconde. Cette
probabilité est la même pour tous les noyaux (si ce sont les mêmes
isotopes d'un même élément, bien sûr).

Le nombre de désintégrations que l'on peut attendre sur l'intervalle
de temps $\Delta t$ est, si l'on a un très grand nombre de noyaux :
\[-\Delta N=p\Delta t\times N\] 
si l'on suppose que sur l'intervalle
de temps $\Delta t$, le nombre total de noyaux n'a que très peu
varié. On utilise un signe moins puisque $N$, le nombre de noyaux,
décroît par suite des désintégrations.

En prenant la limite $\Delta t\rightarrow 0$, on peut écrire :
\[\frac{\dd N}{\dd t} = -pN.\]

Dans cette écriture, on considère $N$ comme une fonction continue et
dérivable du temps. \textit{Stricto sensu,} ce n'est pas le cas: c'est
une fonction discrète à valeurs entières, constante par morceaux, qui présente
un discontinuité chaque fois qu'un noyau se désintègre.  Toutefois, il
est commode, pour de grands ensembles de noyaux, de faire cette
approximation.  En fait, lorsqu'on considère de grandes quantités de
noyaux, on oublie l'aspect probabiliste de la désintégration des
noyaux. On écrit simplement que la dérivée temporelle du nombre de
noyaux est proportionnelle au nombre de noyaux restants. La constante de
proportionnalité s'appelle la {\em constante radioactive} du noyau, et
elle est souvent notée $\lambda$.

L'équation :
\[\frac{\dd N}{\dd t} = -\lambda N\]
est une équation différentielle homogène du premier ordre à
coefficients constants. Sa solution générale est de la forme donnée
ci-après.

\begin{aretenir}
La loi de la décroissance radioactive s'écrit :
\[N(t)=N_0e^{-\lambda t}.\]
\end{aretenir}

où la constante d'intégration $N_0$ est bien sûr le nombre de noyaux
que l'on a au départ (il suffit pour s'en convaincre de prendre $t=0$
dans la relation ci-dessus).

 
On notera que la constante $\lambda$ est homogène à l'inverse d'un
temps et s'exprime donc dans les unités du Système International en
s$^{-1}$.

\begin{defin}[activité]
  On appelle \index{Activite@Activité}\emph{activité}, et on note $A(t)$, le
  nombre de désintégrations radioactives d'un système par unité de
  temps. L'activité est reliée au nombre de noyaux radioactifs par la
  relation :
\[A(t)=-\frac{\dd N}{\dd t}.\]
\end{defin}


En utilisant la relation donnée plus haut, il est facile de montrer
que l'activité suit également la loi de décroissance radioactive :
\[A(t)=A_0e^{-\lambda t},\]
où $A_0=\lambda N_0$.

\begin{defin}[becquerel]
  L'activité d'un échantillon radioactif s'exprime en becquerel, de
  symbole Bq. Un \index{Becquerel}\textit{becquerel} correspond à une
  désintégration par seconde.
\end{defin}

\begin{Remarque}
  il existe d'autres unités d'activité, par exemple le curie (Ci), qui
  vaut 37~gigabecquerel. Pourquoi cette valeur ? C'est l'activité
  d'une masse de $1$~g de radium~226, découvert par Pierre et Marie
  Curie.
\end{Remarque}

\begin{defin}[demi-vie]
  On appelle \index{Demi-vie}\index{Temps de
    demi-vie}\textit{demi-vie} d'un isotope radioactif, et on
  note~$T_{1/2}$, le temps au bout duquel il ne reste plus que la moitié des
  noyaux initialement présents.
\end{defin}

Notons que cette notion de demi-vie est bien définie, c'est-à-dire
unique pour un isotope donné, précisément à cause du comportement en
décroissance radioactive de l'isotope.  Entre constante radioactive
$\lambda$ et demi-vie $T_{1/2}$, il existe la relation :
\[\lambda T_{1/2}=\ln 2,\]
obtenue en résolvant $N(T_{1/2})=N_0e^{-\lambda T_{1/2}}=\frac{N_0}{2}$.

\section{Effets des rayonnements ionisants}
\index{Rayonnement ionisant}On appelle rayonnements ionisants les
produits des décroissances radioactives des différents types
mentionnés ci-dessus. Seuls les photons gamma appartiennent au spectre
électromagnétiques et méritent l'appellation de rayonnement. Pour les
autres types de radioactivité ($\alpha$, $\beta^+$ ou $\beta^-$)
l'utilisation du terme \og rayonnement\fg{} est un abus de langage. On
distingue deux types de contamination par des sources radioactives: la
contamination externe (la source se trouve en dehors du corps humain,
et on doit prendre un certain nombre de précautions pour éviter au
maximum que des \og rayonnements\fg{} ionisants pénètrent dans le
corps) et la contamination interne (la source se trouve alors dans le
corps humain, soit parce qu'elle a été ingérée, soit parce qu'elle a
été inhalée).

La dose absorbée est la quantité d'énergie absorbée par un tissu par
unité de masse. Dans les unités du Système International, elle
s'exprime en gray, de symbole Gy. On a donc: $1$~Gy$=1$~J.kg$^{-1}$.

Le débit de dose absorbée est la dose absorbée par unité de temps, et
s'exprime donc, dans les unités du Système International, en gray par
seconde (Gy.s$^{-1}$).

Les différents types de radioactivité vus ci-dessus représentent
chacune un danger différent. Par exemple la radioactivité $\alpha$ ne
présente pas de danger en exposition externe, alors qu'elle est
extrêmement nocive en exposition interne. 

Enfin, selon le type de
radioactivité et d'exposition, les effets peuvent être localisés à la
peau, à un organe en particulier, ou au corps entier.

\newpage

Notons enfin que la radioactivité n'est pas nécessairement un effet
physique à éviter systématiquement. Dans le domaine médical, en
particulier, elle peut être utilisée pour détruire des tumeurs (on
parle alors de radiothérapie).

\begin{solintro}

\begin{questions}
\item La désintégration radioactive $\beta^-$ du noyau de~  $^3_1$H
fait apparaître un noyau de même nombre de masse et de numéro
atomique $Z=2$, donc un noyau d'hélium. Elle s'écrit donc :

\[ ^3_1{\rm H}\rightarrow ^3_2{\rm He}+^{\phantom{-}0}_{-1}{\rm e}^-
+\bar\nu\]

%On notera, et c'est une exception, que la désintégration $\beta^-$ du tritium
%ne produit pas de rayonnement~$\gamma$.
\item Calculons le nombre de noyaux qu'il y a dans ce kilogramme d'eau. La
masse molaire moléculaire de cette eau est :
\[M=16+1+3=20\mbox{~g.mol}^{-1}\]
(au lieu des 18~g.mol$^{-1}$~ habituels).

On en déduit la quantité de matière en molécules d'eau dans le système :
\[n=\frac{1000}{20}=50\mbox{~mol}.\]
C'est aussi la quantité de matière en noyaux de tritium puisque chaque
molécule d'eau porte un tel noyau.
Le nombre total de noyaux de tritium est donc :
\[N_0=N_An\simeq 3{,}0\cdot 10^{25}\mbox{~noyaux}.\]

La loi de la décroissance radioactive s'écrit :
\[N(t)=N_0e^{-\lambda t}\]
et en dérivant par rapport au temps :
\[A(t)=-\frac{\dd N}{\dd t}=N_0\lambda e^{-\lambda t}.\]
L'activité initiale est donc : $A_0=N_0\lambda$, où :
\[\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.\]
On en déduit :
\[A_0=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}N_0=\frac{\ln 2}{12{,}3\times 365\times 86400}\times
3{,}0\cdot 10^{25}\simeq 5{,}4\cdot 10^{16}\mbox{~Bq}.\]
Cette activité est encore de $1{,}4$ mégacurie (MCi).
\end{questions}
\vspace*{-1em}
 \end{solintro}
