\chapter{Force et mouvement}

\vspace{-8mm}

\section{Introduction}
\begin{exointro}{Lycée Thiers, Marseille}
On considère un objet ponctuel massif initialement immobile,
de masse\linebreak $m=100$~g, situé à $t=0$
à l'origine du repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Il est soumis
aux deux forces constantes $\gvec{F_1}$ et $\gvec{F_2}$, de valeurs
respectives $F_1=F_2=6$~N.
%
\begin{center}
\includegraphics{177_nenewton01}
\end{center}
\begin{questions}
\item L'objet va-t-il passer par le point~A ? Par le point~B ?
\item À quelle date arrivera-t-il au point identifié à la question précédente ?
\end{questions}

\textit{Données :}

Les coordonnées de~A dans le repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ sont
respectivement\linebreak $x=1$~m et $y=1$~m.

Les coordonnées de~B dans le repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ sont
respectivement\linebreak $x=2$~m et $y=0$~m.

On considérera que le repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ est attaché
à un référentiel galiléen.
%
\end{exointro}

\vspace*{-2em}
\section{Vitesse et accélération}

Dans les sections qui suivent, on étudie le mouvement d'un système ponctuel~M. 
Le point~O est un point quelconque de l'espace, fixe dans le référentiel d'étude.

\subsection{Vecteur vitesse}
Le point~M est repéré par la donnée du vecteur $\gvec{OM}(t)=x(t)\vec{\imath}
+y(t)\vec{\jmath}+z(t)\vec{k}$, avec $\vec{\imath}$, $\vec{\jmath}$, $\vec{k}$ définissant un repère orthonormé. La donnée des fonctions $x(t)$, $y(t)$
et $z(t)$ constitue \textsl{l'équation horaire} du point~M, et le
vecteur $\gvec{OM}$ est le \index{Vecteur position}vecteur position du système.

Le \index{Vecteur vitesse}vecteur vitesse du point~M est le vecteur :
\[\vec{v}=\frac{\dd\gvec{OM}}{\dd t}=\frac{\dd x}{\dd t}\vec{\imath}+\frac{\dd y}{\dd t}\vec{\jmath}
  +\frac{\dd z}{\dd t}\vec{k}.\]

\begin{aretenir}
  Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur
  position du système.
\end{aretenir}
Les composantes du vecteur vitesse sont les dérivées de l'équation 
horaire. 

\subsection{Vecteur accélération}

Le \index{Vecteur accélération}vecteur accélération du point~M est le vecteur :
\[\vec{a}=\frac{\dd^2\gvec{OM}}{\dd t^2}=\frac{\dd\vec{v}}{\dd t}
=\frac{\dd^2x}{\dd t^2}\vec{\imath}+\frac{\dd^2y}{\dd t^2}\vec{\jmath}+\frac{\dd^2z}{\dd t^2}\vec{k}.\]

\begin{aretenir}
  Le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du
  vecteur vitesse du système.
\end{aretenir}

Les composantes du vecteur accélération sont les dérivées secondes de
l'\index{Equation@\'Equation horaire}équation horaire.

Pour déterminer l'équation horaire d'un objet connaissant son accélération,
on intègre deux fois par rapport au temps les coordonnées de son accélération
(voir la correction de l'exercice type).

\subsection{Unités}

Dans les unités du Système International, les composantes de
l'équation horaire s'expriment en mètre (m), et ses
dérivées temporelles successives, la vitesse, en mètre par seconde
(m.s$^{-1}$) et l'accélération, en mètre par seconde carrée
(m.s$^{-2}$).

\section{Vecteur accélération dans quelques cas\\particuliers}

\subsection{Cas d'un mouvement rectiligne}
\index{Mouvement rectiligne}
Dans un mouvement rectiligne, le vecteur accélération est dirigé le
long du mouvement.

\begin{itemize}
\item Si le vecteur accélération, en outre, est constant, on parle de
  mouvement uniformément accéléré.
\item Si le vecteur accélération est nul, le mouvement se fait à
  vitesse constante et le mouvement est dit rectiligne et uniforme.
\end{itemize}

\subsection{Cas d'un mouvement circulaire:  base de Frenet}
\index{Base de Frenet}
  \index{Mouvement circulaire}
On étudie un point~M ayant un mouvement circulaire. On appelle
$\vec{T}$ le vecteur unitaire tangent en~M à la trajectoire et dirigé
dans le sens du mouvement, et $\vec{N}$ le vecteur normal en~M à la
trajectoire et dirigé vers le centre du cercle.  On appelle $v$ la
norme du vecteur vitesse de~M.

La base $(\vec{T}, \vec{N})$ est appelée la base de Frenet, ou base de
Frenet-Serret, ou encore parfois base de Serret-Frenet. Dans cette
base, le vecteur accélération d'un mouvement circulaire a une
expression relativement simple.

%
\begin{center}
\includegraphics{179_frenetserret}
\end{center}

Ainsi, dans la figure ci-dessus, le système décrit une trajectoire
circulaire de rayon $R$ dans le sens trigonométrique (sens contraire des aiguilles d'une montre). Son accélération comporte
deux composantes: $a_T$, le long du vecteur $\vec{T}$, et $a_N$, le
long du vecteur $\vec{N}$.

Le vecteur accélération s'écrit:

\[\vec{a}=a_T\vec{T}+a_N\vec{N}\quad\text{avec:}\quad a_T = \frac{\dd v}{\dd t}\quad\text{ et }\quad a_N = \frac{v^2}{R}.\]
La quantité $a_T$ est parfois appelée l'accélération tangentielle, et
$a_N$ l'accélération normale (\og normale \fg{} signifiant ici \og perpendiculaire\fg).

On peut aussi écrire directement:
\[\vec{a}=\frac{\dd v}{\dd t}\vec{T}+\frac{v^2}{R}\vec{N}.\]

\begin{aretenir}
  Dans le cas d'un mouvement circulaire, le vecteur accélération est
  toujours dirigé vers l'intérieur du cercle décrit.
\end{aretenir}

En outre, dans le cas particulier d'un mouvement uniforme, le vecteur
accélération est colinéaire au vecteur~$\vec{N}$, puisque
$a_T=\frac{\dd v}{\dd t}=0$. La droite qui porte ce vecteur passe donc par
le centre du cercle et sa norme, qui est constante, vaut
$\frac{v^2}{R}$.

\section{Deuxième loi de Newton}

\index{Loi de Newton (deuxième)}
Dans les classes antérieures il a été vu que l'action des forces
extérieures appliquées à un système modifie sa vitesse. Ici nous
allons formaliser cette relation, et relier la somme vectorielle des
forces appliquées au système au taux de variation de son vecteur
vitesse, c'est-à-dire son accélération. Auparavant, il nous faut
introduire la notion de centre de masse.

\subsection{Centre de masse}
\index{Centre de masse}
Le centre de masse d'un système est le point où l'on peut considérer 
que s'appliquent les différentes forces extérieures au système. 
Si le système possède un centre de symétrie (par exemple si le système 
a une répartition sphérique, ou la forme d'une brique, etc.), le 
centre de masse coïncide avec le centre de symétrie. 

\begin{plusloin}
  De manière plus rigoureuse, pour faire le lien avec le cours de 
  Mathématiques, le centre de masse correspond au barycentre des 
  différents points constituant le système, pondérés par leur masse. 
\end{plusloin}



\subsection{Référentiels galiléens}

Nous définissons ici un type de référentiel particulier, d'importance 
capitale pour étudier ensuite le principe fondamental de la 
dynamique, encore appelée \og deuxième loi de Newton\fg. Il s'agit des 
référentiels galiléens. 

\subsection{Rappel: système isolé et première loi de Newton}

Un système est dit isolé quand il n'est soumis à aucune force extérieure. 

\index{Loi de Newton (première)}
\begin{aretenir}
  Première loi de Newton : le centre de masse d'un système isolé est 
  animé d'un mouvement de translation rectiligne uniforme. 
\end{aretenir}

Quelques commentaires sur la première loi de Newton : 
\begin{questions}
\item Rectiligne signifie \og en ligne droite\fg. 
\item Uniforme signifie \og à vitesse constante\fg. 
\item Mathématiquement, cela signifie que le vecteur vitesse du centre 
  de masse du système est une constante : 
\[\gvec{v_G}=\gvec{cste}.\]
\item Cette vitesse peut être nulle : il s'agit d'un cas 
  particulier. Le centre de masse du système isolé est alors immobile. 
\end{questions}


\index{Referentiel@Référentiel galiléen}
\begin{defin}
  On appelle référentiel galiléen tout référentiel dans lequel la 
  première loi de Newton est vérifiée. 
\end{defin}
Le référentiel terrestre (lié  
à la surface terrestre) est 
{\em approximativement} galiléen.  Le référentiel géocentrique (lié 
au centre de la Terre) et héliocentrique (lié au centre du soleil) peuvent 
également être considérés comme galiléens. 

%%Deux référentiels galiléens sont animés l'un par rapport à l'autre d'un 
%mouvement de translation rectiligne uniforme. 
%
%\begin{Remarque}
%  Pour les \og matheux\fg : la relation \og ... est animé d'un 
%  mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à ...\fg 
%  est une relation d'équivalence (réflexive, symétrique et 
%  transitive). L'ensemble des référentiels galiléens constitue une 
%  classe d'équivalence de cette relation. 
%\end{Remarque}



\subsection{Énoncé de la deuxième loi de Newton}
\index{Loi de Newton (deuxième)}
La deuxième loi de Newton relie la somme vectorielle des forces extérieures
$\Sigma\vec{F}$ qui s'exercent sur un système donné de masse~$m$ et
l'accélération $\vec{a}$ du centre de masse de ce système dans
un référentiel galiléen.
\begin{aretenir}
La deuxième loi de Newton s'écrit :
\[\Sigma\vec{F}=m\vec{a}.\]
Cette relation n'est vraie que si le référentiel
est galiléen.
\end{aretenir}
Notons que cette relation est aussi parfois appelée \og principe
fondamentale de la dynamique\fg.

\newpage

\textit{Cas particulier:} dans le cas d'un système isolé, on retrouve la première loi de Newton.
En effet, on a : $\Sigma\vec{F}=\vec{0}$ donc $\gvec{a}=\vec{0}$.  Par
conséquent, $\vec{v}$ a pour dérivée par rapport au temps le vecteur
nul. Ce vecteur est donc constant dans le temps :
$\vec{v}=\gvec{cste}$.  C'est précisément ce qu'affirme la première
loi de Newton.
%
%\subsection{Quantité de mouvement}
%
%Nous définissons la quantité de mouvement d'un système de masse $m$,
%dont le centre d'inertie est animé de la vitesse $\gvec {v_G}$, comme la
%quantité:
%\[\vec p =m\gvec {v_G}\]
%
%\begin{aretenir}
%  La quantité de mouvement d'un système isolé dans un référentiel
%  galiléen se conserve au cours du temps.
%\end{aretenir}
%
%Cette propriété est une conséquence directe de la deuxième loi de
%Newton. En l'absence de forces extérieures, celle-ci s'écrit en effet
%simplement:
%\[m\gvec {a_G}=\vec 0\]
%En intégrant une fois par rapport au temps, nous obtenons:
%\[m\gvec{v_G}=\gvec{\mbox{const}}\]
%
%Si l'on considère d'une part un système de masse $m_1$, de centre de masse $G_1$
%et de quantité de mouvement $\gvec{p_1}$, et d'autre part un système
%de masse $m_2$ de centre de masse $G_2$ et de quantité de mouvement
%$\gvec{p_2}$, alors le système constitué de l'union de ces deux
%systèmes a pour quantité de mouvement 
%\begin{equation}
%  \label{eq6:1}
%  \gvec{p}=\gvec{p_1}+\gvec{p_2}
%\end{equation}
%En effet, si $O$ est un point fixe du référentiel galiléen, alors nous
%avons:
%\[m_1\gvec{OG_1}+m_2\gvec{OG_2}=(m_1+m_2)\gvec{OG},\]
%où $G$ est le centre de masse du système constitué de l'union des deux
%systèmes.
%En dérivant par rapport au temps cette relation, nous avons:
%\[m_1\gvec{v_1}+m_2\gvec{v_2}=m\gvec{v}\]
%ce qui est équivalent à l'équation~(\ref{eq6:1}). Ainsi, la quantité de mouvement d'un
%système est la somme vectorielle des quantités de mouvement des
%parties qui le constituent. Ce résultat nous sera très utile en exercice.
%
%
\section{Troisième loi de Newton}

La troisième loi de Newton est encore appelée \og loi de l'action et de la réaction\fg 
ou \og loi des actions réciproques\fg. Elle stipule que

\begin{aretenir}
Troisième loi de Newton :
si un système~A exerce sur un système~B une force~$\gvec{F_{A/B}}$, alors
le système~B exerce sur le système~A une force~$\gvec{F_{B/A}}$ de valeur
et de direction identique à~$\gvec{F_{A/B}}$, et de sens opposé :
\[\gvec{F_{A/B}} = -\gvec{F_{B/A}}\]

\end{aretenir}
\begin{Exemple}
Un objet posé sur une table exerce sur celle-ci une force verticale dirigée
vers le bas, égale à son poids. {\em Réciproquement}, la table exerce sur cet objet
une force verticale, dirigée vers le haut, de valeur égale au poids de l'objet.
C'est cette force, appelée {\em réaction} de la table, qui fait que l'objet
reste immobile.
\end{Exemple}

%\begin{center}
%\includegraphics{nereactiontable}
%\end{center}
%%
%%Démontrons que la troisième loi de Newton est, à l'instar de la
%%première, une conséquence de la deuxième. On envisage un système~A, un système~B,
%%et on appelle~E le reste de l'Univers. La somme vectorielle des forces extérieures
%%exercées sur~A est la somme des forces exercées par~E sur~A, 
%%$\gvec{F_{E/A}}$ et des forces exercées par~B sur~A, 
%%$\gvec{F_{B/A}}$. 
%%La deuxième loi de Newton appliquée au système~A peut donc s'écrire :
%%\[m_A\gvec{a_{G_A}}=\gvec{F_{E/A}}+\gvec{F_{B/A}}\]
%%où $m_A$ est la masse du système~A et $\gvec{a_{G_A}}$ l'accélération de son
%%centre d'inertie. De manière similaire, la deuxième loi de Newton appliquée au système~B peut s'écrire :
%%\[m_B\gvec{a_{G_B}}=\gvec{F_{E/B}}+\gvec{F_{A/B}}\]
%%La somme de ces deux égalités vectorielles s'écrit :
%%\begin{equation}
%%\label{eq:new3_1}
%%m_A\gvec{a_{G_A}}+m_B\gvec{a_{G_B}}=\gvec{F_{E/A}}+\gvec{F_{E/B}}+
%%\gvec{F_{B/A}}+\gvec{F_{A/B}}
%%\end{equation}
%%Considérons à présent le système formé par A et B. Son centre d'inertie $G$ est
%%repéré par $(m_A+m_B)\gvec{OG}=m_A\gvec{OG_A}+m_B\gvec{OG_B}$, où $O$
%%est un point fixe quelconque de l'espace. En dérivant deux fois cette relation
%%par rapport au temps, on en déduit l'égalité suivante :
%%\begin{equation}
%%\label{eq:new3_2}
%%(m_A+m_B)\gvec{a_G}=m_A\gvec{a_{G_A}}+m_B\gvec{a_{G_B}}
%%\end{equation}
%%
%%Or la deuxième loi de Newton pour le système formé par A et B s'écrit :
%%\begin{equation}
%%\label{eq:new3_3}
%%(m_A+m_B)\gvec{a_G}=\underbrace{\gvec{F_{E/A}}+
%%\gvec{F_{E/B}}}_{\mbox{Forces extérieures}}
%%\end{equation}
%%
%%En soustrayant l'équation~(\ref{eq:new3_3}) de l'équation~(\ref{eq:new3_1}),
%%on obtient :
%%\[m_A\gvec{a_{G_A}}+m_B\gvec{a_{G_B}}-(m_A+m_B)\gvec{a_G}=\gvec{F_{B/A}}+\gvec{F_{A/B}}\]
%%Or l'équation~(\ref{eq:new3_2}) montre que le membre de gauche de cette
%%égalité est nul. On en déduit :
%%\[\gvec{F_{B/A}}+\gvec{F_{A/B}}=\vec{0}\]
%%C'est la troisième loi de Newton.
%
%
\begin{solintro}

Le système considéré est l'objet~M.
La somme vectorielle $\vec F$ des forces appliquées au système est représentée ci-dessous.
Elle a pour module:

\[F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}\approx 8{,}48\mbox{~N.}\]

%
\begin{center}
\includegraphics{182_nenewton02}
\end{center}

\begin{questions}
\item Puisque le système est initialement immobile et soumis à une force
constante, sa trajectoire va être la droite passant par $O$ (sa position
initiale) et portée par le vecteur $\gvec F$. L'objet va donc passer par le point~A.
\BreakWithoutItem
\item On établit l'équation horaire du système dans le référentiel considéré galiléen lié au repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. 
On appelle $(x,y)$ les coordonnées du point~M. On peut écrire:
\[m\frac{\dd^2\gvec{OM}}{\dd t^2}(t)=\gvec F
\mbox{~~~soit :~~~}
m\begin{pmatrix}
\dfrac{\dd^2x}{\dd t^2}(t)\\[2ex]
\dfrac{\dd^2y}{\dd t^2}(t)
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
F_2\\[1ex]
F_1
\end{pmatrix}.
\]
On commence par étudier la projection de cette égalité sur la coordonnée $x$.
Elle s'écrit :
\[m\frac{\dd^2x}{\dd t^2}(t) = F_2\]
qui s'intègre une première fois par rapport au temps $t$ en :
\[m\frac{\dd x}{\dd t}(t) = F_2t + v_{x,0}.\]

%\begin{methode}
La constante d'intégration $v_{x,0}$ est déterminée par les \textsl{conditions
initiales}.
%\end{methode}


Lorsque $t=0$, on sait que la vitesse du système est nulle,
soit\linebreak $\frac{\dd x}{\dd t}(t=0)= 0$. La relation ci-dessus donne d'autre part à $t=0$:
$\frac{\dd x}{\dd t}(t=0)= v_{x,0}$. On en déduit que la constante  d'intégration $v_{x,0}$ est nulle,
soit :
\[m\frac{\dd x}{\dd t}(t) = F_2t.\]

On intègre une deuxième fois cette relation par rapport au temps. Cela donne :
\[x(t)=\frac{F_2}{2m}t^2+x_0\]
%
où $x_0$, constante d'intégration, est déterminée par les
\textsl{conditions initiales}.
%
Lorsque $t=0$, on sait que l'abscisse $x$ du système est nulle,
soit\linebreak $x(t=0)= 0$. La relation ci-dessus donne d'autre part à $t=0$:
$x(t=0)= x_0$. On en déduit que la constante  d'intégration $x_0$ est nulle,
soit :\vspace*{-0.5em}
\[x(t) = \frac{F_2}{2m}t^2.\]
L'équation horaire de la trajectoire projetée sur l'axe $(O,\vec{\jmath})$
s'obtient de manière similaire, et conduit à un résultat identique :
\[y(t) = \frac{F_1}{2m}t^2.\]
La date $t_A$ à laquelle le système passe par le point~A s'obtient en écrivant :
\[x(t=t_A) = \frac{F_2}{2m}t_A^2
\mbox{~~~soit :~~~}
t_A=\sqrt{\frac{2mx(t=t_A)}{F_2}}.\]
\BreakWithoutItem
Or $x(t=t_A)=x_A$ avec $x_A$ l'abscisse du point A par définition, d'où:
\[t_A=\sqrt{\frac{2mx_A}{F_2}}=\sqrt{\frac{2\times 0{,}1\times 1}{6}}\approx0{,}18\mbox{~s}.\]
Le système passe au point~A au bout de dix-huit centièmes de seconde.
\end{questions}

 \begin{itemize}
 \item Bien évidemment, utiliser plutôt l'équation sur $y$ pour
   déterminer $t_A$ aurait donné le même résultat, sinon cela signifierait
   que le système ne passe pas par le point~A.

 \item On aurait pu aussi se contenter de travailler sur l'axe
   $(O,\vec{u})$, où $\vec u$ est le vecteur unitaire dirigé par la
   droite $(OA)$, orienté de $O$ vers $A$. La coordonnée du point $A$
   dans le repère $(O,\vec u)$ est $q_A=\sqrt{2}\approx 1{,}41$~m.  La
   date de passage au point~A s'obtient alors par :
   \[t_A=\sqrt{\frac{2mq_A}{F}},\]
   ce qui donne bien entendu le même résultat.
 \end{itemize}
\end{solintro}

