\onglet
\begin{qcm}{Testez vos connaissances}{5}
%%%%
%%%%
\begin{questions}
\item Deux corps de masses différentes sont soumis à une force
  identique.  Celui qui a la plus grande accélération est:

  \resetchoix 
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{} le plus massif & \choix{} le moins massif
  \end{tabularx}
	
\item Sur un manège en rotation, un enfant est assis sur un cheval de
  bois.  La réaction du cheval compense exactement le poids de
  l'enfant.

  \resetchoix 
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{} Vrai & \choix{} Faux
  \end{tabularx}

\item On laisse tomber une balle de tennis sur un sol en béton. Elle
  rebondit. Durant le bref contact entre la balle et le sol, la
  réaction du sol sur la balle est toujours inférieure au poids de la
  balle, en valeur absolue.
          
  \resetchoix 
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{} Vrai & \choix{} Faux
  \end{tabularx}
          
%\item La masse de la Lune est égale à 1/81\ieme{} de la masse de la
%  Terre.  Le centre de masse du système Terre-Lune est situé sur la
%  droite passant par le
%  centre de la Terre et par le centre de la Lune.
%
%  \resetchoix 
%  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
%  \choix{} Vrai & \choix{} Faux
%  \end{tabularx}
%
%  Il est situé plus près de la Lune que de la Terre
%
%  \resetchoix 
%  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
%  \choix{} Vrai & \choix{} Faux
%  \end{tabularx}

\item Le poids d'un parachutiste, une fois son parachute déployé, est

  \resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
  \choix{} inférieur &\choix{} égal &\choix{} supérieur
  \end{tabularx} 
  
  à
  son poids en début de saut.
          
\item La somme vectorielle des tensions des cordes d'un parachute, une
  fois celui-ci déployé, est, en norme:

  \resetchoix \choix{} inférieure au poids du parachutiste

  \choix{} égale au poids du parachutiste

  \choix{} supérieure au poids du parachutiste
          
\item  Quels référentiels parmi ceux mentionnés ci-dessous peuvent
  être considérés comme galiléens ?

  \resetchoix
  \choix{} Le référentiel lié au sol

  \choix{} Une voiture qui accélère

  \choix{} Une voiture qui roule à vitesse constante en ligne droite

  \choix{} Un avion en plein vol
          
\item Deux corps en mouvement de translation ont la même
  accélération. La somme vectorielle des forces s'exerçant sur le
  corps \no 1 a une norme supérieure à la somme vectorielle des forces
  s'exerçant sur le corps \no 2. Lequel des deux corps est le plus
  massif ?

  \resetchoix 
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{} Le corps \no 1 & \choix{} Le corps \no 2
  \end{tabularx}
        
          
\item Sur la figure ci-dessous sont représentés vectoriellement le
  poids $\vec P$ d'une personne dans un ascenseur, ainsi que la
  réaction $\vec R$ du sol de l'ascenseur sur la personne.

  \begin{center}
    \includegraphics{185_qcm2009-chap9-1}
  \end{center}

  L'ascenseur est-il en train de:

  \resetchoix 
  \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
  \choix{} monter &\choix{} descendre &\choix{} impossible à\\
  & &\hspace*{1.5em}  déterminer
  \end{tabularx}
       
%\item Sur la figure ci-dessous sont représentés vectoriellement le
%  poids $\vec P$ d'une personne dans un ascenseur, ainsi que la
%  réaction $\vec R$ du sol de l'ascenseur sur la personne.  L'ascenseur
%  est en train de descendre.
%
%  \begin{center}
%    \includegraphics{209_qcm2009-chap9-2}
%  \end{center}  
%
%  S'agit-il :
%  
%  \resetchoix 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
%  \choix{} du début & \choix{} de la fin
%  \end{tabularx}
%  
%   de la
%  descente ?

\item On garde la situation de la question précédente, mais on sait maintenant que l'ascenseur descend.
S'agit-il : \\
  \resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{} du début & \choix{} de la fin
  \end{tabularx}
  de la descente ?

\begin{minipage}{\dimexpr\textwidth-3cm}
\item Une masse $m$ oscille verticalement au bout d'un ressort\\auquel elle est attachée.
\Par
La norme de la tension $T$ du ressort est:\resetchoix

  \choix{} Toujours inférieure à $mg$

  \choix{} Toujours supérieure à $mg$

  \choix{} Alternativement inférieure et supérieure à $mg$
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}{3cm}
    \includegraphics{186_qcm2009-chap9-4}
  \end{minipage}   
  
  

\item On considère un mobile se déplaçant horizontalement sur coussin
  d'air et accroché à un ressort, dont on indique en pointillés la
  longueur à vide $l_0$. Le mobile se déplace vers la droite.

  \begin{center}
    \includegraphics{186_qcm2009-chap9-5}
  \end{center}

  \resetchoix 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
  \choix{} Il ralentit & \choix{} Il accélère
  \end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}
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%%%
%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
        \item Réponse \choix[b]: le moins massif. Il suffit d'écrire \og $a=F/m$\fg pour se
rendre compte que lorsque $m$ augmente, $a$ diminue ($F$ restant constante).
Pour s'en convaincre intuitivement, il suffit de comparer l'accélération d'une
voiture vide et de la même voiture chargée de passagers et de bagages.
        
        \item Réponse \choix[b]: faux. Si c'était le cas, l'enfant vérifierait la première
loi de Newton et aurait une trajectoire rectiligne uniforme, ce qui n'est
évidemment pas le cas. En fait le référentiel attaché au manège n'est pas un
référentiel galiléen, et le fait que l'enfant y soit au repos n'entraîne pas
que la somme des forces qui s'appliquent sur lui est nulle.
        
        \item Réponse \choix[b]: faux. 
        En effet, si c'était le cas, la somme vectorielle des forces s'exerçant
sur la balle serait toujours dirigée vers le bas, et donc l'accélération de la balle
aussi. Cette dernière ne pourrait donc jamais \og rebrousser chemin\fg (c'est-à-dire
rebondir).

%\item Première question: réponse \choix[a]: vrai. 
%
%Seconde question: Réponse \choix[b]: faux. 
%
%Le centre de masse
%va se trouver plus près du corps le plus massif, à savoir la Terre.

\item Réponse \choix[b]: le poids du parachutiste ne varie pas.

\item Réponse \choix[b]. Une fois le parachute déployé, celui-ci se dirige vers le bas
à vitesse constante. Son accélération est donc nulle dans le référentiel galiléen
lié au sol, et la somme vectorielles des forces exercées sur lui est nulle. Ces forces
sont les forces de tension des câbles du parachute et son propre poids.

\item Réponses \choix[a], \choix[c] et \choix[d].

\item Réponse \choix[a]. Il suffit pour s'en convaincre d'écrire la deuxième loi de Newton
pour les deux corps.

\item Réponse \choix[c].  On ne peut pas déterminer le sens du mouvement. On sait
juste, puisque la réaction du sol a une norme supérieure au poids de la personne,
qu'elle subit une accélération vers le haut, mais cela ne préjuge en rien du sens
de son vecteur vitesse.

\item Réponse \choix[b]. La somme vectorielle des forces exercées sur la personne est dirigée
vers le haut, donc celle-ci accélère vers le haut. L'accélération ayant le sens inverse de la vitesse
(puisque l'ascenseur est en train de descendre), on en déduit que l'ascenseur
est en phase de ralentissement, donc en fin de descente.

%\item Réponse b: non. Le système qui doit se déplacer vers le haut est constitué
%de la cage d'ascenseur et de la personne qui s'y trouve. La force qu'elle exerce sur le plafond
%est donc une force interne, et non externe, au système, et n'entre pas en compte dans la
%deuxième loi de Newton.
%
\enlargethispage*{3em}
\item Réponse \choix[c].  Lorsque la masse se trouve au-dessus de sa position\linebreak
  d'\index{Equilibre@\'Equilibre des forces}équilibre, elle accélère
vers le bas, alors qu'elle accélère vers le haut lorsqu'elle se trouve au-dessous de sa position
d'équilibre. Son accélération se fait donc alternativement vers le haut (la tension du ressort
est alors supérieure à son poids, en norme) et vers le bas (la tension du ressort est alors inférieure
à son poids, en norme).

\item Réponse \choix[a]: il ralentit. Le mobile se trouvant sur coussin d'air, la réaction du support est verticale
et compense exactement son poids. La résultante des forces exercées sur le mobile se résume donc
à la tension du ressort, qui est ici dirigée vers la gauche, puisque le ressort a une longueur supérieure
à sa longueur à vide. L'accélération du mobile est de sens opposé à sa vitesse, donc il ralentit.
\end{questions}
\end{corrige}
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%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{exo}{Couple de patineurs}{D'après Lycée du Parc, Lyon}{2}{10}
%
  Un couple de patineurs sur glace se trouve immobile au centre de la
  piste. À l'instant~$t=0$, ils se repoussent mutuellement. On
  néglige les forces de frottement, c'est-à-dire que l'on suppose
  que la réaction de la piste est perpendiculaire au sol.
\begin{questions}
        \item Montrer que le centre de masse du système \{patineur+patineuse\}
        reste immobile.
        
        \item Sachant qu'à $t=5{,}0$~s, la distance séparant les deux
        partenaires est $d=12$~m, quelle est la vitesse du patineur
        par rapport au sol ? 
\end{questions}
\textit{Données :} les patineurs ont la même masse.
%
\newpage
\end{exo}
%%%
%%%
%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
	\item Le système \{patineur + patineuse\} est soumis aux forces suivantes :\\
	%
\begin{center}
\includegraphics{192_patineurs}
\end{center}
	\begin{questions}
		\item  Son poids, qui est la somme vectorielle du poids $\vec{P_1}$ du patineur
		et du poids $\vec{P_2}$ de la patineuse. Cette somme vectorielle est
		verticale et dirigée vers le bas.
		
		\item  La réaction de la piste, qui est la somme vectorielle de la réaction~$\vec{R_1}$
		de la piste sur le patineur et de la réaction~$\vec{R_2}$ sur la patineuse. Puisque l'on
		néglige les forces de frottement, cette réaction de la piste est {\em verticale}.
	\end{questions}
	La somme vectorielle des forces extérieures s'exerçant sur le système
	étudié n'a donc pas de composante horizontale.  En écrivant
	donc la projection horizontale de la deuxième loi de Newton
    pour le système étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on obtient :
	\[(M_1+M_2)\frac{\dd^2x}{\dd t^2}=0\] 
	où $x$ désigne l'abscisse du
	centre de masse du système \{patineur + patineuse\}.\\ On en
	déduit que $\frac{\dd x}{\dd t}=\mbox{constante}=0$, car le système est
	initialement immobile.  Donc on en déduit que
	$x=\mbox{constante}$, c'est-à-dire que le centre de masse
	du système \{patineur + patineuse\} reste immobile. Pour des
	raisons de commodité on adoptera, comme c'est le cas sur la
	figure, $x=0$.

        \begin{methode}
          Choisir cette constante d'intégration égale à zéro revient à
          choisir l'origine de l'axe des $x$ à la position initiale
          (du centre de masse) du couple de patineurs.
        \end{methode}
	
      \item La somme des forces s'exerçant sur le patineur n'a pas de
        composante horizontale. Sa vitesse, une fois que les patineurs
        sont séparés, reste donc constante. À $t=5{,}0$~s, le patineur a
        parcouru une distance:
        \[d = \frac{12}{2}=6{,}0\mbox{~m     (par symétrie, les patineurs
            ayant la même masse)}.\]
        Sa vitesse est donc:
	\[v=\frac 65=1{,}2\mbox{~m.s}^{-1}.\] La valeur de sa vitesse
        par rapport au sol est $1{,}2$~m.s$^{-1}$~soit environ
        $4{,}3$~km.h$^{-1}$.
\end{questions}
\end{corrige}
%%%%%%%%%%%
%%%
\begin{exo}{Arrêt d'un véhicule}{Lycée Léonard Limosin, Limoges}{2}{15}
%
Une voiture de masse $m=1242$~kg, lancée 
à~105~km.h$^{-1}$~sur une piste horizontale
et rectiligne, s'arrête en un temps $t=6{,}3$~s. On suppose que la
décélération du véhicule est uniforme. Calculer :
\begin{questions}
        \item La valeur de la force de freinage.
        
        \item La distance d'arrêt du véhicule.
\end{questions}
\end{exo}
%%%
%%%
%%%
\begin{corrige}
\begin{questions}
	\item On applique la deuxième loi de Newton au système \{voiture\}.
Puisque l'accélération (ou la décélération) du véhicule est
uniforme, l'accélération est donnée par le taux de variation de la vitesse
entre l'instant initial et l'instant final.
\[a=\frac{v_f-v_i}{t_f-t_i}\]
où $v_f$ (resp. $v_i$) est la vitesse finale (resp. initiale) et $t_f$
(resp. $t_i$) la date finale (resp. initiale). Or on a :
$$\begin{cases}
v_f = 0\\
v_i = 105\mbox{~km.h}^{-1}\simeq 29{,}2\mbox{~m.s}^{-1}
\end{cases}$$

et :
$$\begin{cases}
t_f = 6{,}3\mbox{~s}\\
t_i = 0
\end{cases}$$

d'où l'on déduit :
\[a=-\frac{29{,}2}{6{,}3}\simeq -4{,}6\mbox{~m.s}^{-2}.\]
La valeur absolue  de l'accélération est donc $|a|\simeq 4{,}6$~m.s$^{-2}$, et
la force de freinage a donc pour valeur :
\[F=m|a|\simeq 1242\times 4{,}6\simeq 5,7\cdot 10^3\mbox{~N}.\]	

	\item On adopte pour répondre à cette question les notations de la figure 
	ci-dessous :
\begin{center}
\includegraphics{193_nefreinage}
\end{center}

	En appliquant la deuxième loi de Newton à la voiture dans le référentiel
	galiléen lié au sol, on a :
	\[m\frac{\dd^2x}{\dd t^2}=-F\]
	puisque la force $\vec{F}$ est dirigée vers la gauche (sens opposé à la vitesse),
	et que la composante verticale de la réaction de la piste et le poids de la voiture 
	se compensent (pour assurer un mouvement exclusivement horizontal).
	En intégrant cette égalité par rapport au temps, on obtient :
	\[m\frac{\dd x}{\dd t}=-Ft+K.\]
\begin{methode}
La constante d'intégration $K$ doit être déterminée à partir des
conditions initiales.
\end{methode}
À $t=0$, on a :
	\[m\left.\frac{\dd x}{\dd t}\right|_{t=0}=mv_0=K\]
	donc en définitive :
\[v(t)=\frac{\dd x}{\dd t}=v_0-\frac{F}{m}t.\]
	En intégrant une deuxième fois par rapport au temps,
nous obtenons :
\[x(t)=x_0+v_0t-\frac 12\frac Fm t^2.\]
On pose qu'à $t=0$ l'abscisse de la voiture est nulle donc : $x_0=0$.
On a donc :
\[x(t)=v_0t-\frac 12\frac Fm t^2.\]
Or nous avons vu à la question précédente que :
\[F=\frac{mv_0}{t_f}\]
donc :
\[x(t)=v_0t-\frac 12\frac{v_0}{t_f} t^2\]
et en particulier la distance de freinage s'obtient par :
\[d=x(t_f)=v_0t_f-\frac 12\frac{v_0}{t_f} t_f^2=\frac 12 v_0t_f.\]
L'application numérique donne :
\[d=0{,}5\times 29{,}2\times 6{,}3\simeq 92\mbox{~m}.\]
La distance de freinage est de 92~mètres.
\end{questions}
\end{corrige}
%%%
%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%
\begin{exo}{Mouvement circulaire}{Lycée Jean de La Fontaine, Paris}{2}{40} 
 \index{Mouvement circulaire}
 \NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/ILTPC/frenet.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}[style=numeros]{Script 1}{frenet.py}\end{listing}

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
 \qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-1.3){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/ILTPC/frenet2.py}}}
\vspace*{-10pt}

  \begin{listing}{Script 2}{frenet2.py}\end{listing}
  
  \Par
  
  
 Un élève veut écrire un script en 
  Python permettant d'afficher le vecteur accélération de la 
  trajectoire d'un point matériel en mouvement circulaire. Il écrit le 
  script 1, qui définit diverses fonctions donnant la position, 
  le vecteur vitesse ou le vecteur accélération du point matériel. En 
  outre il écrit une fonction \texttt{TraceVecteurAcceleration(t)}, 
  qui trace une flèche dont l'origine se trouve à la position du point 
  matériel à l'instant \texttt{t}, et dont la longueur et direction 
  sont celles du vecteur accélération. Les unités sont, pour toutes 
  les grandeurs, celles du Système International. 
  
  \Par
  
  Après avoir défini ces différentes fonctions, il fait tracer par une 
  boucle en Python 50 vecteurs accélération pour 50 points 
  régulièrement espacés de la trajectoire circulaire (script 2). 

\Par\enlargethispage*{3\baselineskip}
Il obtient la figure suivante: 
  \begin{center}
    \includegraphics[width=6.5cm]{188_frenet1}    
  \end{center}
  \begin{questions}
    \item Quelles quantités représentent respectivement les variables 
      \texttt{R0} et \texttt{V0} définies par l'élève ? 
    \item Pourquoi peut-on affirmer que l'élève a commis une erreur 
      quelque part ? 
    \item Identifier cette erreur et la remplacer par l'instruction 
      correcte. 
    \item Après correction, l'élève obtient la figure page ci-contre. 
    
      Quel adjectif s'applique à ce mouvement circulaire ? Quelles 
      sont les caractéristiques du vecteur accélération dans ce cas ? 
      
      \newpage
      
      
      \begin{center}
        \includegraphics[width=6cm]{189_frenet2}    
      \end{center}
     
    \item L'élève change les valeurs de \texttt{V0} et \texttt{R0} et 
      trace à nouveau la figure. Il obtient: 
      \begin{center}
        \includegraphics[width=6cm]{189_frenet3}    
      \end{center}
      Parmi les couples de valeurs suivantes, quel a été celui choisi 
      par l'élève ? Justifier. 
      \begin{questions}
      \begin{multicols}{2}
        \item \texttt{R0 = 3} et \texttt{V0 = 10}
        \item \texttt{R0 = 10} et \texttt{V0 = 3}
        \item \texttt{R0 = 5} et \texttt{V0 = 2}
        \item \texttt{R0 = 10} et \texttt{V0 = 6}      
      \end{multicols}
      \end{questions}
  \end{questions}
  
\end{exo}
%%%%%
%%%%%
\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Les variables \texttt{R0} et \texttt{V0} représentent 
    respectivement le rayon de la trajectoire circulaire, et la 
    vitesse à laquelle celle-ci est décrite. Certes le choix de ces 
    noms de variables est suggestif (R comme rayon, V comme vitesse) 
    mais ceci n'est pas une justification suffisante. L'élève aurait 
    parfaitement pu les appeler, s'il avait voulu, \texttt{A} et 
    \texttt{B}, à condition que les diverses fonctions qu'il écrit 
    fassent appel à ces nouveaux noms au lieu de \texttt{R0} et 
    \texttt{V0}. Pour justifier la réponse nous devons remarquer que 
    l'élève définit le vecteur position du point matériel par: 
      \begin{eqnarray*}
        x&=&R_0\cos(V_0t/R_0)\\
        y&=&R_0\sin(V_0t/R_0) 
      \end{eqnarray*}
      Notons que nous utilisons la notation $R_0$ ou $V_0$ plutôt que 
      \texttt{R0} ou \texttt{V0} dans les phrases mathématiques. Nous 
      avons donc: 
      \[x^2+y^2=R_0^2\cos^2(V_0t/R_0)+R_0^2\sin^2(V_0t/R_0).\]
      Or nous savons que, pour tout argument $\alpha$ (ici, en 
      l'occurrence, $V_0t/R_0$), nous avons: 
      \[\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\]
      donc: 
      \[x^2+y^2=R_0^2.\]
      La distance du point matériel à l'origine des coordonnées est 
      donc  $R_0$ à tout instant, ce qui justifie le fait que $R_0$
      (\texttt{R0}) est le rayon de la trajectoire du point matériel. 
      En ce qui concerne $V_0$, à présent, nous dérivons une fois par 
      rapport au temps $x$ et $y$. Nous obtenons: 
      \[\frac{dx}{dt} =
        v_x=-R_0\times\frac{V_0}{R_0}\sin(V_0t/R_0)=-V_0 
        \sin(V_0t/R_0)\]
      et 
      \[\frac{dy}{dt} =
        v_y=R_0\times\frac{V_0}{R_0}\cos(V_0t/R_0)=V_0 
        \cos(V_0t/R_0).\]
      Nous voyons que $v_x^2+v_y^2=V_0^2$, donc $V_0$ est la norme de 
      la vitesse à tout instant.       
      \begin{methode}
        Il existe une autre manière de voir que dans le programme, \texttt{V0} est la vitesse du point matériel. On sait que les fonctions cosinus 
        et sinus sont périodiques de période $2\pi$. Pour que le 
        point matériel effectue un tour, il faut donc que l'argument 
        des fonctions \texttt{cos} et \texttt{sin} augmente de $2\pi$, 
        c'est-à-dire que l'on ait: 
        \[V_0T/R_0=2\pi,\]
        où $T$ est la période du mouvement. 
        \Break        
        On peut réécrire cette 
        égalité comme: 
        \[V_0=\frac{2\pi R_0}{T}.\]
        La variable \texttt{V0} apparaît ainsi comme le quotient du 
        périmètre de la trajectoire ($2\pi R_0$) et de la période: 
        c'est donc bien la vitesse. 
      \end{methode}
      \item On sait que l'accélération d'un mouvement circulaire est 
        toujours dirigée vers l'intérieur du cercle, ce qui n'est 
        manifestement pas le cas ici: l'élève a donc commis une 
        erreur. 
      \item La dérivation temporelle des coordonnées se fait en 
        effectuant une différence entre des valeurs à des temps très 
        proches du temps \texttt{t}. Ainsi, par exemple, la vitesse en 
        $x$, qui est formellement $\dd x/\dd t$, est évaluée de manière 
        approchée par: 
        \[v_x\simeq\frac{x(t+h)-x(t-h)}{2h}.\] Le calcul rigoureux 
        d'une dérivée se fait en prenant la valeur limite de ce 
        quotient quand $h\rightarrow 0$. Ici nous nous contentons 
        d'une valeur approchée avec $h$ très petit ($h=10^{-5}$). 
        Dans chaque cas la valeur au temps $t+h$ a un suffixe \og 
        1\fg{} et la valeur au temps $t-h$ a un suffixe \og 0 \fg. On 
        voit ainsi que l'élève a commis une erreur de signe sur le 
        calcul de la coordonnée $y$ de l'accélération (ce que l'on 
        pouvait anticiper au vu de la figure): la ligne~20, 
        au lieu de: 
        \begin{center}\texttt{ay = (vy0 - vy1)/(2*h)}\end{center}
        devrait être: 
       \begin{center}\texttt{ay = (vy1 - vy0)/(2*h)}.\end{center}
       \enlargethispage*{\baselineskip}
      \item Il s'agit d'un mouvement circulaire uniforme. Dans ce cas 
        le vecteur accélération est de norme constante et la droite 
        qui le porte passe par le centre du cercle. 
      \item On lit directement sur la figure que le nouveau rayon du 
        cercle est $10$. Il nous faut donc à présent départager entre 
        les cas (b) et (d), (a) et (c) étant exclus. 

        Dans le cas (b), la norme du vecteur accélération serait: 
        \[a_N= \frac{V_0^2}{R_0}=\frac{3^2}{10}=0{,}9\mbox{~m.s}^{-2}\]
        tandis que dans le cas (c), la norme du vecteur accélération 
        serait: 
        \[a_N= \frac{V_0^2}{R_0}=\frac{6^2}{10}=3{,}6\mbox{~m.s}^{-2}.\]
        C'est ce dernier cas qui est compatible avec la longueur des 
        flèches de la figure. 
  \end{questions}
\end{corrige}
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%%%
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\begin{exo}{Ascenseur}{Lycée Henri IV, Paris}{3}{15}
  \begin{questions}
  \item Un pendule formé d'un fil sans masse et d'une bille de
petite masse $m=100$~g est fixé au plafond d'un ascenseur.
 
\newpage

Calculer
la tension du fil sur la bille dans les cas suivants.
\begin{questions}
\item l'ascenseur démarre vers le haut avec une accélération
constante sur un bref intervalle de temps et de valeur $a_1=2{,}2$~m.s$^{-2}$.

\item l'ascenseur se déplace ensuite à vitesse constante.

\item l'ascenseur ralentit avec une décélération constante de valeur\linebreak $a_2=1{,}7$~m.s$^{-2}$. 
\end{questions}

\item Une personne dont la masse est $m=65$~kg se trouve dans le
même ascenseur, sur un pèse-personne correctement étalonné.
Quelles sont les trois indications successives du pèse-personne
dans les trois cas considérés ci-dessus~?
  \end{questions}

{\em Donnée :}  $g=9{,}8$~m.s$^{-2}$.

\end{exo}

\begin{corrige}
  \begin{center}
    \includegraphics{197_ascenseur}
  \end{center}

\begin{questions}
\item On adopte les
notations de la figure ci-avant. Le vecteur $\vec{\jmath}$ est unitaire, vertical et
dirigé vers le haut. On applique la relation fondamentale
de la dynamique à la bille dans le référentiel lié au sol, qui est galiléen.
Elle s'écrit~:
\[\gvec{P}+\gvec{T}=m\gvec{a}\]
soit encore~:
\[(-mg+T)\vec{\jmath}=ma\vec{\jmath}\]
ce qui donne en définitive~:
\[T=m(a+g).\]
\begin{questions}
\item On a dans ce cas $a=a_1=2{,}2$~m.s$^{-2}$, ce qui nous donne~:
\[T=m(a+g)=0{,}1\times(2{,}2+9{,}8)=1{,}2\mbox{~N}.\]

\item Dans ce cas l'accélération $a$ de l'ascenseur est nulle, et la tension est
donnée par~:
\[T=m(0+g)=mg=0{,}1\times9{,}8=0{,}98\mbox{~N}.\]

\item Enfin, dans ce dernier cas, $a=-a_2=-1{,}7$~m.s$^{-2}$~(puisqu'il s'agit
d'une décélération, le vecteur~$\gvec{a}$ est dirigé vers le bas). On
obtient donc~:
\[T=m(a+g)=0{,}1\times(-1{,}7+9{,}8)=0{,}81\mbox{~N}.\]
\end{questions}

\begin{center}
  \includegraphics{197_ascenseur02}
\end{center}

\item Ce que mesure le pèse-personne 
est en dernier lieu l'intensité de la
réaction~$\gvec{R}$ qu'il exerce sur le système qui se trouve sur son plateau. Cette 
intensité n'est pas donnée en newton, ce qui serait l'unité correcte (en effet
un {\em pèse}-personne mesure un {\em poids}, pas une masse), mais en kilogrammes,
de manière à indiquer la masse que devrait avoir un système pour qu'il exerce
le poids que subit le pèse-personne. Bien évidemment, l'étalonnage se fait
dans un référentiel galiléen, avec un système de masse $m$ au repos sur le
plateau du pèse-personne. Dans ce cas la relation fondamentale de la dynamique
appliquée à ce système s'écrit~:
\[\gvec{P}+\gvec{R}=0\]
soit encore~: $R=mg$. Donc quand la réaction qu'{\em exerce} le pèse-personne est $R$,
il {\em indique} la valeur $m=\frac{R}{g}$. Pour savoir la valeur $m'$ qu'il indique
dans les cas accélérés rencontrés ci-dessus, il suffit donc d'évaluer la réaction $R$,
puis de calculer $m'=\frac{R}{g}$.

La deuxième loi de Newton appliquée à la personne dans le
référentiel galiléen lié au sol s'écrit~:
\[\gvec{P}+\gvec{R}=m\gvec{a}\]
d'où~:
\[m'=\frac{R}{g}=\frac{ma+mg}{g}=m\frac{a}{g}+m.\]

Dans le premier cas, l'application numérique donne~:

\[m'=65\times\frac{2,\!2}{9,\!8}+65=80\mbox{~kg}.\]

Dans le second, on obtient~: $m'=m=65$~kg. Enfin, dans le dernier cas, on a~:

\[m'=-65\times\frac{1,\!7}{9,\!8}+65=54\mbox{~kg}.\]

On retrouve dans ces résultats le fait intuitif que l'on se sent
\og plus lourd\fg
quand l'ascenseur démarre vers le haut, et plus léger au moment où il ralentit.
\end{questions}
\end{corrige} 

\begin{exo}{Recul d'un canon}{D'après lycée Saint Jean de Passy, Paris}{3}{15}
  On considère le canon représenté sur la figure ci-après. Il est 
  initialement immobile, et tire avec un angle de $30^\circ$ par 
  rapport à l'horizontal un boulet de masse $m=10$~kg. La vitesse du 
  boulet dans le référentiel du canon est $v=50$~m.s$^{-1}$. 
  \begin{center}
    \includegraphics{190_canon1}
  \end{center}
  Quelle est la vitesse de recul du canon dans le référentiel lié au sol~?

  \textit{Données:}
  la masse du canon seul (sans boulet) est $M=320$~kg. On négligera les 
  frottements du sol. L'abscisse $x$ du centre de masse du système \{canon
  + boulet\} est donnée par:

  \[x=\frac{mx_\mathrm{boulet}+Mx_\mathrm{canon}}{M+m}\]
  
\end{exo}
%%%
%%%
\begin{corrige}
  Les forces extérieures auxquelles est soumis le système
  \{canon+boulet\} sont verticales, puisque l'on néglige les
  frottements du sol. Par conséquent, en vertu de la deuxième loi de
  Newton appliquée dans le référentiel galiléen lié au sol, nous avons:
  \[\frac{\dd^2x}{\dd t^2}=0\]
  donc:
  \[\frac{\dd x}{\dd t}=\mathrm{const}.\]
  Cette constante est nulle car elle correspond à la vitesse qu'avait
  le système par rapport au sol avant le tir. Puisque
  \[\frac{\dd x}{\dd t}=0\]
  et que
  \[x=\frac{mx_\mathrm{boulet}+Mx_\mathrm{canon}}{M+m},\]
  nous avons:
  \[m\frac{\dd x_\mathrm{boulet}}{\dd t}+M\frac{\dd x_\mathrm{canon}}{\dd t}=0\]
  soit encore, si $V$ est la composante de la vitesse du 
canon sur l'axe $(Ox)$:
\[m(v\cos 30^\circ+V) +MV=0.\]
En effet, la composante de $\gvec{v}$ sur l'axe $(Ox)$ est $v\cos 
30^\circ$. Cette vitesse, d'après l'énoncé, est la vitesse dans le 
référentiel du canon. Il nous faut donc lui ajouter $V$ pour avoir la 
vitesse dans le référentiel terrestre. 

En extrayant $V$ de l'égalité précédente, il vient:
%\[V=-\frac{m}{m+M}v\sin 30^\circ\] %<=== ERREUR VOLONTAIRE (non détectée)
\[V=-\frac{m}{m+M}v\cos 30^\circ.\]  %<=== RESULTAT CORRECT
L'application numérique donne:
\[V=-\frac{10}{330}\times 50\times \frac{\sqrt{3}}{2}=-1{,}4\mbox{~m.s}^{-1}.\]
\end{corrige}
\thumb\AfficheCorrige
