\chapter{Mouvement dans un champ uniforme}
\label{cha:mouvement-dans-un}
\section{Introduction}
\begin{exointro}{Lycée Thiers, Marseille}
Un plongeur saute dans la mer du haut d'une falaise de Cassis, haute de~35~m. On
néglige sa vitesse initiale.  Calculer la vitesse à laquelle il pénètre dans l'eau :
\begin{questions}
        \item en calculant son équation horaire~;
        
        \item en utilisant la conservation de l'énergie mécanique.
\end{questions}
\textit{Données :}
On négligera la résistance de l'air ;
$g=9{,}8$~m.s$^{-2}$.

%
\end{exointro}

Dans ce chapitre, nous étudions les mouvements dans un champ
uniforme. Il peut s'agir du mouvement dans un champ de pesanteur à la
surface terrestre (on parle alors de mouvement de chute libre) ou du
mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique
uniforme. Formellement, l'étude de ces deux types de mouvements est
très similaire. 

\section{Mouvement de chute libre}
\enlargethispage*{5em}
\begin{defin}
  \index{Mouvement de chute libre}
On appelle mouvement de chute libre tout mouvement 
d'un corps exclusivement soumis à son poids. 
\end{defin}

\index{Force}Cela signifie que la seule force extérieure s'exerçant sur le 
système en chute libre est son poids (qui résulte de son attraction 
gravitationnelle avec la Terre ou avec l'astre à la surface duquel il se 
trouve).  Cela exclut en particulier les forces de frottement 
(résistance de l'air). 

\newpage

On considère un corps en chute libre à la surface de la Terre. 
Ce corps est soumis à son poids $\vec{P}=m\vec{g}$. 
La deuxième loi de Newton permet d'écrire : 
\[m\vec{g}=m\vec{a_G}\mbox{~~~~~soit :~~~~~}\vec{a_G}=\vec{g}.\]
L'accélération du centre d'inertie du système est égale à 
l'accélération de la pesanteur. 

\section{Particule chargée dans un champ électrique}

Dans cette section nous étudions comment produire un champ électrique
uniforme, et étudions le mouvement d'une particule chargée dans un tel champ.

\subsection{Rappel : force électrostatique}

\index{Force électrostatique}Une particule portant une charge~$q$ située en un point où règne un
champ électrique~$\vec{E}$ est soumise à une force
électrostatique~$\vec{F}=q\vec{E}$.

\subsection{Champ électrique dans un condensateur plan chargé}

\index{Condensateur}Un condensateur plan est un système composé de
deux plaques métalliques en regard, entre lesquelles se trouve un
milieu isolant (air, vide, ou tout type de matériau isolant). On
appelle~$d$ la distance entre les plaques, appelées armatures.

On se limite à l'étude du cas idéal du condensateur plan \og
infini\fg, pour lequel l'extension des plaques est bien supérieure à
la distance qui les sépare.  On impose entre ces deux plaques, que
nous notons A et B, une différence de potentiel~$U_{AB}$. Il apparaît
alors entre ces deux plaques, et seulement entre elles, un
\index{Champ électrique}champ électrique~$\vec{E}$, perpendiculaire
aux plaques, et dirigé du potentiel le plus haut vers le potentiel le
plus bas.

\begin{center}
\includegraphics{202_condensplancours}
\end{center}
\enlargethispage*{5em}

Ce champ électrique est uniforme, c'est-à-dire que~:
\begin{itemize}
\item sa direction,
\item son sens,
\item et son intensité
\end{itemize}
ne dépendent pas de l'endroit où l'on se trouve entre les plaques. 

Son intensité est donnée par~:
\[E=\frac{U}{d}.\]

\newpage

\subsection{Mouvement d'une particule dans un champ électrique uniforme}

On raisonne dans un repère $(Oxz)$ fixe dans le référentiel galiléen du laboratoire. 

Dans tout ce qui suit, on néglige le poids de la particule dans le champ 
de pesanteur terrestre. La particule porte une charge~$q$,  sa vitesse 
initiale est\linebreak $\gvec{v_0}=v_{0,x}\vec{\imath}+v_{0,z}\vec{\jmath}$, et 
elle se trouve initialement en~O. 

%
\begin{center}
\includegraphics{203_faisceauelec01}
\end{center}

On donne ici l'exemple d'un champ électrique porté par l'axe $(Oz)$. Cela n'enlève 
rien à la généralité des résultats que l'on obtient : toutefois, il faudra adapter 
le raisonnement qui suit au cas particulier de chaque exercice, où les axes n'ont 
pas de raison d'avoir le même nom et la même orientation que dans cet exemple. 

Le type de raisonnement à appliquer systématiquement dans ce type de problème 
est le suivant : 
\begin{itemize}
\item On applique deuxième loi de Newton à la particule dans 
le référentiel galiléen du laboratoire. Elle s'écrit : 
\[m\gvec{a}=\gvec{F}=q\gvec{E}\mbox{~~~~~soit :~~~~~}\gvec{a}=\frac{q}{m}\gvec{E}.\]
\item On projette cette relation sur les axes du repère. On obtient : 
  \begin{equation*}
    \frac{\dd^2x}{\dd t^2}(t)=0\mbox{~~~~~et~~~~~}
    \frac{\dd^2z}{\dd t^2}(t)=\frac{qE}{m}.
  \end{equation*}
\item On intègre une première fois par rapport au temps cette relation : 
  \begin{equation*}
    \frac{\dd x}{\dd t}(t)=K_1\mbox{~~~~~et~~~~~}
    \frac{\dd z}{\dd t}(t)=\frac{qE}{m}t+K_2 .
  \end{equation*}
\item On détermine les constantes d'intégration en utilisant les conditions initiales : 
  \begin{equation*}
    \frac{\dd x}{\dd t}(t=0)=v_{0,x}=K_1\mbox{~~~~~et~~~~~}
    \frac{\dd z}{\dd t}(t=0)=v_{0,z}=K_2.
  \end{equation*}
\item d'où l'on déduit l'expression de la vitesse : 
  \begin{equation*}
    \frac{\dd x}{\dd t}(t=0)=v_{0,x}\mbox{~~~~~et~~~~~}
    \frac{\dd z}{\dd t}(t=0)=\frac{qE}{m}t+v_{0,z}.
  \end{equation*}
\item On intègre cette relation une deuxième fois par rapport au temps : 
  \begin{equation*}
    x(t)=v_{0,x}t+K_1'\mbox{~~~~~et~~~~~}
    z(t)=\frac{qE}{2m}t^2+v_{0,z}t+K_2'.
  \end{equation*}
\item Une fois de plus, on détermine les constantes d'intégration en utilisant 
les conditions initiales : 
  \begin{equation*}
    x(t=0)=K_1'=0\mbox{~~~~~et~~~~~}
    z(t=0)=K_2'=0.
  \end{equation*}
\item Ceci nous permet d'écrire en définitive l'équation horaire de la particule : 
  \begin{equation*}
    x(t)=v_{0,x}t\mbox{~~~~~et~~~~~}
    z(t)=\frac{qE}{2m}t^2+v_{0,z}t.
  \end{equation*}
\end{itemize}

\begin{aretenir}
  L'équation horaire d'un système est la ou les fonction(s) qui au
  temps $t$ associe sa ou ses coordonnées.
\end{aretenir}

\begin{Exemple}
  dans le cas considéré ci-dessus nous avons deux fonctions $x(t)$ et
  $z(t)$, qui constituent l'équation horaire de la particule.
\end{Exemple}

Ce type de raisonnement est invariablement celui à appliquer dans les exercices 
où l'on demande de calculer la trajectoire d'une particule chargée dans un 
champ uniforme. Le résultat n'est pas à retenir, mais la méthode est à maîtriser 
parfaitement. 

On peut éliminer le temps dans l'équation horaire pour obtenir l'équation cartésienne 
de la trajectoire. D'après l'équation donnant $x$ en fonction de $t$
nous pouvons écrire:
\[t=\frac{x}{v_{0,x}}\]

et nous substituons cette expression de $t$ dans l'expression de
$z(t)$. Nous obtenons en définitive:


\[z=\frac{qE}{2mv_{0,x}^2}x^2+\frac{v_{0,z}}{v_{0,x}}x.\]

Il s'agit de l'équation d'une parabole (si $v_{0,x} \ne 0$, sinon on a $x(t)=0$ pour 
tout temps~$t$ et la trajectoire est incluse dans une droite). 

\begin{aretenir}
  La trajectoire d'un système dans un champ uniforme est une
  \index{Mouvement parabolique}parabole si le vecteur vitesse initial
  du système n'est pas colinéaire au champ, et est portée par une
  droite sinon.
\end{aretenir}
\enlargethispage*{5em}
On donne sur la figure ci-dessous l'allure de la trajectoire de la particule de 
l'exemple générique détaillé dans les lignes précédentes, pour les cas $q>0$ et 
$q<0$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{204_faisceauelec02}
\end{center}
\newpage
\begin{aretenir}
Si la particule est de charge positive, sa trajectoire tourne sa concavité 
dans le sens indiqué par le vecteur~$\gvec{E}$, et dans le sens contraire sinon. 
\end{aretenir}

\section{Considérations énergétiques}


\subsection{Travail d'une force constante}

On considère une force constante $\vec{F}$ appliquée au système
étudié, ce qui est le cas dans un champ uniforme.  Au
cours du temps, le point d'application de cette force se déplace du
point~A au point~B.  On appelle \index{Travail d'une force}travail
de la force~$\vec{F}$ entre les points~A et~B, et on note
$W_{A\rightarrow B}^{\vec{F}}$, la quantité $\vec{F}\cdot \gvec{AB}$. On
veillera au fait que cette expression n'est valable que si la force
est constante.

\begin{aretenir}
\[W_{A\rightarrow B}^{\vec{F}}=\vec{F}\cdot \gvec{AB}\mbox{~~~~~~où $\vec{F}$ est constante}.\]
\end{aretenir}

Dans les unités du Système International, le travail s'exprime en joules, de symbole~J.
Malgré le fait que le travail ait la même unité qu'une énergie, ce sont bien deux grandeurs physiques différentes. 

\begin{defin}
  La \index{Puissance d'une force}puissance ${\cal P}$ d'une force
  est le travail qu'elle fournit par unité de temps. Dans les unités
  du Système International, la puissance s'exprime en watts, de
  symbole~W.  La puissance délivrée par un système qui fournit un
  travail $\Delta W$ sur un intervalle de temps $\Delta t$ est :
\[{\cal P}=\frac{\Delta W}{\Delta t}.\]
\end{defin}

Un travail positif est qualifié de travail moteur.  Un travail négatif
est également appelé un travail résistant.  Le travail d'une force
constante entre~A et~B ne dépend pas du chemin suivi pour aller de A à
B, qui peut être absolument quelconque.

%\includegraphics{courstravail}

\subsection{Théorème de l'énergie cinétique}

On étudie un système en mouvement dans un champ uniforme, soumis à une
force $\vec f$. La trajectoire de ce système passe par deux points A
et B. La variation d'énergie cinétique entre les passages aux points A
et B est égale au travail de la force $\vec f$ appliquée au système.

\newpage

\begin{aretenir}
  \[E_c(B)-E_c(A)= W^{\vec{f}}_{A\rightarrow B}\] où
  l'\index{Energie@\'Energie cinétique}énergie cinétique $E_c$ est
  donnée par:
\[E_c=\frac 12 mv^2,\]
$m$ étant la masse du système et $v$ sa vitesse dans le référentiel d'étude. 
\end{aretenir}

\begin{Remarque}
  cette relation n'est vraie que si le référentiel d'étude est galiléen.
\end{Remarque}



\subsection{Cas d'un champ de pesanteur} 

\begin{aretenir}
  \index{Champ de pesanteur}Le travail effectué par le poids d'un
  système de masse~$m$, entre les points~A et~B, est :
\[W_{A\rightarrow B}^{\vec{P}}=mg(z_A-z_B)\]
où $z_A$ (resp. $z_B$) est l'altitude du point~A (resp. du point~B), comptée positivement
vers le haut, et $g$ l'intensité de la pesanteur.
\end{aretenir}

\index{Energie@\'Energie potentielle de pesanteur}
\begin{defin}
L'\textit{énergie potentielle de pesanteur} est définie par :
\[E_p=mgz.\]
\end{defin}
Le travail du poids entre deux points~A et~B est alors donné par :
\[W_{A\rightarrow B}^{\vec{P}}=E_p(A)-E_p(B)\]


\begin{Remarque}
  un système est dit \emph{conservatif} (ou \emph{non dissipatif}) si
  le travail des forces auxquelles il est soumis ne dépend que du
  point d'arrivée et du point de départ, pas du chemin suivi. Le poids
  est ainsi une force conservative, et un pendule simple pesant
  (système que nous aurons l'occasion de revoir) est un système
  conservatif.  Un système soumis à une force de frottement fluide
  n'est pas conservatif.  Les forces de frottement, ceci sera revu
  dans les études ultérieures, dégradent leur travail en chaleur. On
  dit alors que le système est {\em dissipatif}.
\end{Remarque}


\begin{defin}
L'\index{Energie@\'Energie mécanique}énergie mécanique d'un système est égale à la somme de son énergie 
cinétique et de son énergie potentielle~: 
\[E_m=E_c+E_p,\]
\end{defin}

Le théorème de l'énergie cinétique peut se réécrire sous une autre
forme. En effet, nous avons, entre deux point A et B:
\[E_c(B)-E_c(A)=W_{A\rightarrow
    B}^{\vec{P}}=mg(z_A-z_B)=E_p(A)-E_p(B)\]
soit encore:
\[E_c(B)+E_p(B) = E_c(A)+E_p(A)\]
donc:
\[E_m(A) = E_m(B).\]

Le théorème de l'énergie cinétique prend donc ici une forme
particulièrement simple:

\begin{aretenir}
Dans un champ de pesanteur, l'énergie mécanique d'un système se
conserve en l'absence de forces de frottement.
\end{aretenir}


\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez la conservation de l'énergie mécanique en vidéo.]{conservation de l'énergie mécanique}{https://media.prepamath.fr/ILTPCch11crs}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTPCch11crs}}}
\vspace*{-10pt}

\subsection{Particule chargée dans un champ électrique}

Le travail effectué par la force électrostatique sur 
une particule de charge~$q$ qui se déplace d'un point~A 
à un point~B est égal à : 

\[W_{A\rightarrow B}^{\gvec{F}}=q(V_A-V_B)=qU_{AB}.\]

\begin{aretenir}
Le travail effectué par la force électrostatique est égal au produit de 
la charge par la différence de potentiel. 
\end{aretenir}

On peut donc définir une énergie potentielle de manière analogue à ce
que nous avons vu dans un champ de pesanteur:

\begin{defin}
  L'énergie potentielle $E_p$ d'une particule de masse $m$, vitesse
  $v$ et charge $q$ dans un champ électrique est :
  \[E_p=qV,\] où $V$ est le potentiel électrique.
\end{defin}

\newpage

Par suite, nous pouvons également définir, de manière analogue, une
énergie mécanique:
\begin{defin}
  L'énergie mécanique $E_m$ d'une particule de masse $m$, vitesse $v$
  et charge $q$ dans un champ électrique est :
  \[E_m=\frac 12mv^2+qV,\]
  où $V$ est le potentiel électrique.
\end{defin}

Le théorème de l'énergie cinétique, dans le cas d'une particule
chargée dans un champ uniforme, prend également la forme simple
suivante:

\begin{aretenir}
  L'énergie mécanique d'une particule chargée dans un champ électrique
  uniforme se conserve.
\end{aretenir}

\begin{Remarques}
  L'énergie potentielle n'a pas la même forme dans le cas du champ
  de pesanteur et dans le cas du champ électrique. Dans le premier cas
  son expression est\linebreak $E_p=mgz$ et dans le second cas $E_p=qV$. Pour
  lever toute ambiguïté on peut spécifier \og énergie potentielle de
  pesanteur\fg ou \og énergie potentielle électrostatique\fg.

  Une particule chargée entre les armatures d'un condensateur est bien
  sûr soumise à la force électrostatique, mais aussi, dans les
  conditions terrestres, à son propre poids. Toutefois, l'ordre de
  grandeur de ce dernier est très inférieur à celui de la force
  électrostatique, et donc négligeable devant celle-ci. Par suite, on
  néglige également l'énergie potentielle de pesanteur dans les
  problèmes de particules chargées dans des champs électriques.
\end{Remarques}


\begin{solintro}
  \begin{questions}
  \item Pour calculer l'équation horaire, on va écrire la deuxième loi
    de Newton pour le système \{plongeur\}, étudié dans le référentiel
    terrestre considéré comme galiléen.
    
    Puisque l'on néglige la résistance de l'air, la seule force
    exercée sur le plongeur est son poids $\vec{P}=m\vec{g}$. La deuxième
    loi de Newton s'écrit donc :
    \[m\vec{g}=m\vec{a_G}\mbox{~~~~~soit :~~~~~}\vec{a_G}=\vec{g}.\]
    
    \BreakWithoutItem
    
    % 
    \begin{center}
      \includegraphics{209_falaise01}
    \end{center}
    
    On projette cette égalité sur la base
    $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Elle s'écrit :
    \[\frac{\dd^2x}{\dd t^2}(t)=0\mbox{~~~~et~~~~~}\frac{\dd^2z}{\dd t^2}(t)={-g}.\]


    En effet, la composante horizontale de l'accélération, qui s'écrit
    $\frac{\dd^2x}{\dd t^2}$, est nulle puisque l'accélération $\vec{g}$ est verticale,
    et la composante verticale est négative, puisque $\vec{\jmath}$ est
    dirigé vers le haut et $\vec{g}$ dirigé vers le bas.
    
    
    On \emph{intègre} une fois par rapport au temps cette relation. On
    obtient :
    \[\frac{\dd x}{\dd t}(t)=K_1\mbox{~~~~et~~~~~}\frac{\dd z}{\dd t}(t)=-gt+K_2,\] où $K_1$ et
    $K_2$ sont des \emph{constantes d'intégration}. On \textit{doit}
    toujours les écrire puisqu'elles peuvent avoir \emph{a priori}
    n'importe quelle valeur. Pour obtenir cette valeur, on utilise les
    \emph{conditions initiales}. Ici, on sait qu'à $t=0$, on a, d'après
    l'énoncé :
    \[{\frac{\dd x}{\dd t}(t=0)=0\mbox{~~~~~et~~~~~~}\frac{\dd z}{\dd t}(t=0)=0}\] car le système est
    sans vitesse initiale.
    
    Or d'après la solution que nous avons obtenue, à $t=0$ on a :
    \[{\frac{\dd x}{\dd t}(t=0)=K_1\mbox{~~~~~et~~~~~~}\frac{\dd z}{\dd t}(t=0)=K_2}.\]

    Par identification dans ces deux expressions, on doit avoir
    $K_1=0$ et\linebreak $K_2=0$.

   
    On a donc l'expression suivante de la vitesse :
    \[\frac{\dd x}{\dd t}(t)=0\mbox{~~~~et~:~~~~}\frac{\dd z}{\dd t}(t)=-gt.\]

    
    On \emph{intègre à nouveau par rapport au temps} ces égalités pour
    obtenir les expressions de $x(t)$ et $z(t)$, c'est-à-dire pour obtenir
    l'équation horaire du plongeur. 
    \vspace*{-5mm}
    
    \BreakWithoutItem
    
    Cela donne : $\begin{cases}
x(t) = K_1'\\
z(t) = K_2'-\frac{1}{2}gt^2
\end{cases}$, où $K_1'$ et $K_2'$ sont de nouveau des constantes
    d'intégration. Pour les déterminer on utilise là encore les conditions
    initiales (c'est-à-dire que l'on substitue $t$ par $0$ dans les
    expressions obtenues, et que l'on utilise les données de l'énoncé) :
    \begin{itemize}
    \item À $t=0$, le plongeur commence juste sa chute donc $x=0$ et
      $z=0$.
    \item En outre, on sait qu'à $t=0$ on a: $x=K_1'$ et $z=K_2'$.
    \end{itemize}

    donc on en déduit que $K_1'=K_2'=0$ et donc l'équation horaire est
    en définitive : $$\begin{cases}
x(t) = 0\\
z(t) = -\frac{1}{2}gt^2
\end{cases}$$


    Le plongeur touche l'eau après une durée $t_f$ quand $z=-H$ donc quand
    $H=\frac{1}{2}gt_f^2$, soit encore quand $t_f=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}$.

    À cette date, la vitesse $v_f$ du plongeur vaut, d'après l'expression de
    $\frac{\dd z}{\dd t}(t)$ :
    \[v_f=\frac{\dd z}{\dd t}(t=t_f)=-gt_f=-\sqrt{2Hg}.\] 
    L'application numérique donne :
    $v_f=-26$~m.s$^{-1}$.
    
    On trouve une valeur négative puisque le plongeur se dirige vers
    les $z$ décroissants.

  \item On étudie à nouveau le système \{plongeur\} dans le
    référentiel galiléen lié au sol. La somme algébrique des travaux des
    forces extérieures appliquées au système se réduit ici au travail du
    poids. On appelle~A le point de départ du plongeur (en haut de la
    falaise) et B son point d'impact à la surface de l'eau.  La
    conservation de l'énergie mécanique du système \{plongeur\}
    entre les points~A et~B s'écrit :
    \[\frac{1}{2}mv_B^2+mgz_B=\frac{1}{2}mv_A^2+mgz_A\mbox{, soit
      encore~:}\]
    \[\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2=mg(z_A-z_B)\] qui s'écrit
    ici, puisque l'on néglige la vitesse initiale :
    \[\frac{1}{2}mv_B^2-0=mg[0-(-H)].\] 
    On en déduit :
    \[v_B=\sqrt{2gH}\] ce qui donne la même réponse que précédemment
    (à ceci près qu'on a ici la norme de la vitesse au lieu de la valeur
    algébrique de la vitesse verticale).
  \end{questions}
  \vspace*{-2em}
\end{solintro}
